焦恒昌

（中國電子科技集團(tuán)公司第二十二研究所，山東青島，266100）

結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)用于表征結(jié)構(gòu)的固有動(dòng)態(tài)特性，試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析主要通過控制系統(tǒng)激勵(lì)，對(duì)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的輸入時(shí)域信號(hào)和輸出時(shí)域信號(hào)進(jìn)行同步測量，通過時(shí)域或者頻域的數(shù)學(xué)算法處理得到系統(tǒng)頻響函數(shù)(頻域)或者傳遞函數(shù)(時(shí)域)，利用曲線擬合等方法識(shí)別出系統(tǒng)的頻率、阻尼和振型[1]。多參考點(diǎn)最小二乘復(fù)頻域法（PRLSCF）是國際近年發(fā)展并流行的基于系統(tǒng)傳遞函數(shù)的模態(tài)分析方法，該方法對(duì)系統(tǒng)模態(tài)的頻率、阻尼和振型都有很好的識(shí)別精度[2]。而在實(shí)際的工程應(yīng)用中，輸入輸出信號(hào)的測量、傳輸中會(huì)有環(huán)境噪聲的影響，得到的數(shù)據(jù)質(zhì)量是有區(qū)別的，數(shù)據(jù)的有效性也參差不齊。一方面多參考點(diǎn)最小二乘復(fù)頻域法處理過程中對(duì)不同質(zhì)量數(shù)據(jù)做了同等對(duì)待，影響模態(tài)識(shí)別精度；另一方面，目前人工手段借用穩(wěn)定圖進(jìn)行的模態(tài)參數(shù)識(shí)別，對(duì)操作者個(gè)人素質(zhì)要求較高，影響方法便捷應(yīng)用。

本文針對(duì)PRLSCF算法中對(duì)不同質(zhì)量數(shù)據(jù)缺少有針對(duì)的區(qū)別合理對(duì)待利用，以及人工拾取穩(wěn)定圖中物理模態(tài)自動(dòng)化程度低，研究了基于穩(wěn)定圖分組加權(quán)的最優(yōu)模態(tài)參數(shù)自動(dòng)識(shí)別算法。

1 理論分析

1.1 加權(quán)綜合頻響函數(shù)

PRLSCF算法模態(tài)參數(shù)識(shí)別技術(shù)利用系統(tǒng)輸入輸出得到多個(gè)頻響函數(shù),構(gòu)造頻響函數(shù)矩陣。在頻域中，系統(tǒng)輸出和輸入的關(guān)系可用右矩陣分式模型（RΜF(xiàn)D）來描述[2]，右矩陣分式模型的表達(dá)式為：

且Uo(ω)和D(ω)可以表示成如下形式：

式中：N—多項(xiàng)式階次

其中:

對(duì)于參數(shù)矩陣θ做非線性最小二乘（NLS）目標(biāo)函數(shù)為：

式中：?H：矩陣的復(fù)共扼轉(zhuǎn)置；

tr(?)：矩陣的跡，即矩陣的主對(duì)角元素之和。

利用數(shù)學(xué)方法求上式極小值，便得到θ矩陣的估計(jì)值。

因此通過試驗(yàn)測量輸入輸出數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)質(zhì)量高低，直接影響結(jié)構(gòu)系統(tǒng)測量頻響函數(shù)逼近真實(shí)系統(tǒng)頻響函數(shù)程度，進(jìn)而對(duì)最終模態(tài)參數(shù)識(shí)別精度產(chǎn)生直接影響。

定義加權(quán)綜合頻響函數(shù)：

其中：

加權(quán)綜合頻響函數(shù)不再是多次試驗(yàn)結(jié)果頻響函數(shù)的簡單平均，而是充分考慮每次試驗(yàn)的頻響函數(shù)質(zhì)量，即每次輸入與輸出的相干函數(shù)作為加權(quán)函數(shù)，當(dāng)頻響函數(shù)質(zhì)量較高則在加權(quán)頻響函數(shù)中具有較高的權(quán)值，頻響函數(shù)數(shù)據(jù)質(zhì)量劣質(zhì)時(shí)則在加權(quán)函數(shù)中權(quán)值較低。這樣即達(dá)到提高優(yōu)質(zhì)數(shù)據(jù)在計(jì)算過程中的權(quán)重，提高模態(tài)參數(shù)識(shí)別精度。

1.2 基于穩(wěn)定圖分組加權(quán)的最優(yōu)模態(tài)參數(shù)自動(dòng)提取

在模態(tài)分析中，穩(wěn)定圖是分離結(jié)構(gòu)物理極點(diǎn)和數(shù)學(xué)極點(diǎn)（虛假極點(diǎn)）的有力工具[3]。穩(wěn)定圖的建立方式為：坐標(biāo)軸橫坐標(biāo)為頻率，單位Hz，坐標(biāo)軸縱坐標(biāo)為的階次值，圖上標(biāo)注特定文字符號(hào)。由于利用穩(wěn)定圖模態(tài)識(shí)別需要對(duì)模型階次假設(shè)，且假設(shè)階次要高于系統(tǒng)固有階次，通過計(jì)算得到物理模態(tài)及計(jì)算虛假模態(tài)。但是一般實(shí)際情況是隨模型假設(shè)階次遞增，物理模態(tài)作為真實(shí)模態(tài)，始終保持穩(wěn)定在一條軸上；而通過計(jì)算出現(xiàn)虛假模態(tài)則隨機(jī)離散出現(xiàn)，散布于穩(wěn)定圖上，不會(huì)出現(xiàn)類似于真實(shí)模態(tài)穩(wěn)定軸。根據(jù)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)這個(gè)性質(zhì)，便比較直觀在穩(wěn)定圖上區(qū)別開物理模態(tài)和虛假模態(tài)。根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)，系統(tǒng)假設(shè)的階次取值越大，在穩(wěn)態(tài)圖上反映的極點(diǎn)信息越全面，防止出現(xiàn)漏掉的穩(wěn)定極點(diǎn)，也便于出現(xiàn)穩(wěn)定軸；但是階次估值提高也帶入了許多虛假的極點(diǎn)信息，這樣會(huì)給極點(diǎn)分離帶來困難。這就要需要權(quán)衡估計(jì)階次高低的優(yōu)劣，選取合適估計(jì)階次。

穩(wěn)定圖上不同估計(jì)階次情況下極點(diǎn)分布，在同一模態(tài)軸上，相鄰階次模態(tài)參數(shù)相比較，若相鄰階次模態(tài)參數(shù)差值不高于容差設(shè)定值，則該極點(diǎn)為穩(wěn)定極點(diǎn)，得到的模態(tài)參數(shù)為穩(wěn)定模態(tài)參數(shù)。假定特征頻率容差為f? ，阻尼比容差為 ξ?，則穩(wěn)定點(diǎn)的條件為：

其中j表示系統(tǒng)模型階數(shù)，f、ξ表示不同估值階次下的模態(tài)頻率、阻尼比。

通過專家人工對(duì)模態(tài)極點(diǎn)篩選的步驟，可將模態(tài)識(shí)別過程劃分為：首先選擇理想的極點(diǎn)列，然后在列中選擇比較好的極點(diǎn)，進(jìn)而對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別。因而進(jìn)行自動(dòng)化模態(tài)參數(shù)識(shí)別的基礎(chǔ)是按照專家篩選過程對(duì)每一步的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行量化。主要分為以下幾個(gè)步驟：

①基于加權(quán)的最優(yōu)極點(diǎn)列提取

根據(jù)不同模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法，假定不同模型固有階次，得到的所有計(jì)算極點(diǎn)（即虛假極點(diǎn)）將散布于整個(gè)穩(wěn)定圖上。系統(tǒng)固有模態(tài)并不會(huì)隨著模型階次的提高而大的改變，而計(jì)算的虛假模態(tài)則會(huì)隨著模型階次提高而變化較大。

在整個(gè)需要分析頻帶內(nèi)分成若干頻帶組，一般是每組帶寬為整個(gè)分析頻帶的0.5%~1.0%，若是模態(tài)更為密集，則可根據(jù)具體情況相應(yīng)提高分組組數(shù)，得到標(biāo)準(zhǔn)組列。但存在邊界與固有頻率重合情況，利用標(biāo)準(zhǔn)分組再偏移半個(gè)標(biāo)準(zhǔn)組帶寬得到新的偏移組列，統(tǒng)稱為極點(diǎn)列，如圖1所示。

圖1 穩(wěn)定圖頻帶組分組示意圖

將每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)組列及偏移組列中的極點(diǎn)通過加權(quán)計(jì)算該組總分值，其中“s”類權(quán)分ws，“d”類權(quán)分wd，“v”類權(quán)分wv，“f”類權(quán)分wf，得到每一組的極點(diǎn)列加權(quán)分值：

根據(jù)最終加權(quán)分值的大小，得到前N個(gè)基于加權(quán)的最優(yōu)極點(diǎn)列 {Si}。

②加權(quán)最優(yōu)極點(diǎn)簇選擇

得到最優(yōu)極點(diǎn)列后，需要選擇最優(yōu)極點(diǎn)列 }{iS中的最優(yōu)極點(diǎn)作為模態(tài)極點(diǎn)。但是極點(diǎn)列中有很多極點(diǎn)，為了減少虛擬極點(diǎn)混入，首先將每極點(diǎn)列分成若干極點(diǎn)簇，選擇最優(yōu)極點(diǎn)簇，整個(gè)流程如圖2所示。

圖2 加權(quán)最優(yōu)極點(diǎn)極點(diǎn)簇選擇流程圖

③最優(yōu)穩(wěn)定極點(diǎn)選擇

在最優(yōu)極點(diǎn)簇選擇平均阻尼比相差最小的極點(diǎn)作為最優(yōu)穩(wěn)定點(diǎn)。

因此，整個(gè)基于穩(wěn)定圖分組加權(quán)的最優(yōu)結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)自動(dòng)提取過程為：首先根據(jù)多次測量的數(shù)數(shù)輸出采集數(shù)據(jù)計(jì)算實(shí)測頻響函數(shù)矩陣，利用相干函數(shù)作為加權(quán)函數(shù)構(gòu)造加權(quán)的綜合頻響函數(shù)矩陣，然后根據(jù)實(shí)際分析頻帶設(shè)定出最高假定階次，利用多參考最小二乘復(fù)頻域法構(gòu)造穩(wěn)定圖，最后利用基于穩(wěn)定圖分組加權(quán)自動(dòng)拾取最優(yōu)穩(wěn)定極點(diǎn)，對(duì)系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)進(jìn)行計(jì)算。整個(gè)過程流程圖如圖3所示。

圖3 基于穩(wěn)定圖分組加權(quán)的最優(yōu)模態(tài)參數(shù)自動(dòng)提取流程圖

2 實(shí)驗(yàn)論證與分析

為了驗(yàn)證方法的有效性，以一個(gè)三自由度線性時(shí)不變系統(tǒng)作為仿真結(jié)構(gòu)[4]，如圖4所示。

圖4 三自由度線性時(shí)不變振動(dòng)系統(tǒng)

表1 系統(tǒng)的頻率和阻尼比理論值

對(duì)系統(tǒng)中m1激勵(lì)，激勵(lì)類型為脈沖激勵(lì)，力大小f1=1kN，同步對(duì)3個(gè)質(zhì)量塊時(shí)域位移響應(yīng)信號(hào)采集，設(shè)置采樣頻率40Hz，采樣時(shí)長150s。得到各點(diǎn)位移響應(yīng)如圖5所示。由圖5看出各測點(diǎn)位移響應(yīng)已經(jīng)得到很好的衰減，不需要加窗函數(shù)處理。

圖5 三自由度系統(tǒng)位移響應(yīng)時(shí)域圖

對(duì)輸入輸出響應(yīng)分別加1%，5%，10%的隨機(jī)噪聲作為模擬三次采樣數(shù)據(jù)，并根據(jù)輸入輸出并做頻率響應(yīng)函數(shù)，以m1為例如圖6所示。

圖6 m1不同噪聲下頻響函數(shù)曲線

對(duì)不同加噪處理后的輸入輸出信號(hào)處理，分別計(jì)算系統(tǒng)頻響函數(shù)矩陣和相干函數(shù)矩陣，進(jìn)而可計(jì)算平均頻響函數(shù)和本文方法的加權(quán)綜合頻響函數(shù)。利用以上數(shù)據(jù)對(duì)系統(tǒng)分別采用PRLSCF和改進(jìn)PRLSCF進(jìn)行模態(tài)分析，假設(shè)模型最高階數(shù)為64，分別得到系統(tǒng)穩(wěn)定圖如圖7、圖8所示。

結(jié)合圖7和表1看出，穩(wěn)定圖上在系統(tǒng)固有頻率處出現(xiàn)了由穩(wěn)定點(diǎn)（s）所構(gòu)成的清晰穩(wěn)定軸，但在非固有頻率出也出現(xiàn)了穩(wěn)定軸，即計(jì)算出的虛假穩(wěn)定軸。因此這些虛假穩(wěn)定軸在模態(tài)拾取就會(huì)被誤拾取，計(jì)算出多余錯(cuò)誤的模態(tài)識(shí)別結(jié)果。在圖7，圖8穩(wěn)定圖中虛假穩(wěn)定極點(diǎn)明顯減少，在系統(tǒng)固有頻率處的穩(wěn)定軸更加明顯清晰，使得拾取穩(wěn)定軸變得更加容易，模態(tài)參數(shù)識(shí)別可操作性更強(qiáng)，減少結(jié)構(gòu)系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)識(shí)別中誤判率。

圖7 PRLSCF方法構(gòu)造的穩(wěn)定圖

圖8 改進(jìn)PRLSCF方法構(gòu)造的穩(wěn)定圖

最后基于穩(wěn)定圖分組加權(quán)的最優(yōu)結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)自動(dòng)提取識(shí)別結(jié)果如表2所示?？梢钥闯觯鄥⒖甲钚《藦?fù)頻域法和本文的方法都可以得到系統(tǒng)的三階固有模態(tài)參數(shù)，但是在阻尼比和固有頻率識(shí)別的精度上，本文方法比原有的多參考最小二乘復(fù)頻域法誤差更小，更接近于理論值。

表2 兩種方法識(shí)別結(jié)果對(duì)比

3 結(jié)束語

對(duì)現(xiàn)有PRLSCF模態(tài)參數(shù)識(shí)別算法進(jìn)行優(yōu)化并提出基于穩(wěn)定圖分組加權(quán)的最優(yōu)結(jié)構(gòu)模態(tài)自動(dòng)識(shí)別算法。對(duì)PRLSCF模態(tài)識(shí)別算法進(jìn)行優(yōu)化，提出加權(quán)的多參考最小二乘復(fù)頻域法模態(tài)參數(shù)識(shí)別，以輸入輸出相干函數(shù)為加權(quán)函數(shù)得到綜合頻響函數(shù)，通過增加高質(zhì)量采集數(shù)據(jù)的權(quán)重，更加有效利用高質(zhì)量采集數(shù)據(jù)，提高系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)識(shí)別精度；提出了基于穩(wěn)定圖分組加權(quán)的最優(yōu)結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)自動(dòng)識(shí)別，根據(jù)穩(wěn)定圖中計(jì)算模態(tài)的頻率、阻尼比等分組加權(quán)，自動(dòng)拾取最優(yōu)物理極點(diǎn)并進(jìn)行模態(tài)參數(shù)計(jì)算，提高了模態(tài)分析自動(dòng)化程度。最后通過仿真的三階物理模型進(jìn)行系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)識(shí)別，本文方法比原PRLSCF法構(gòu)造出的穩(wěn)定圖更加清晰，可實(shí)現(xiàn)自動(dòng)識(shí)別模態(tài)參數(shù)，驗(yàn)證了本文方法的可行性與正確性。