張國(guó)龍 呂 鑫 方 遠(yuǎn) 石景嵐 朱 峰

（電子信息系統(tǒng)復(fù)雜電磁環(huán)境效應(yīng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 洛陽(yáng) 471003）

1 引言

產(chǎn)品的性能和可靠性主要受實(shí)際工作環(huán)境應(yīng)力的影響，如何建立更加貼近產(chǎn)品實(shí)際工作環(huán)境的可靠性預(yù)測(cè)模型是當(dāng)前研究的重點(diǎn)。現(xiàn)有文獻(xiàn)關(guān)于可靠性分析預(yù)測(cè)的模型大多數(shù)局限于產(chǎn)品工作環(huán)境應(yīng)力是確定性和靜態(tài)應(yīng)力水平的假設(shè)條件下［1～4］，模型對(duì)于在實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行的環(huán)境可控的加速試驗(yàn)適用性強(qiáng)，但不適用于分析產(chǎn)品在時(shí)變環(huán)境下的可靠性，在工程實(shí)際中，產(chǎn)品的工作環(huán)境應(yīng)力具有時(shí)變性。應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型起源于機(jī)械可靠度領(lǐng)域，利用應(yīng)力與強(qiáng)度之間的關(guān)系定量評(píng)估產(chǎn)品可靠性，多應(yīng)用于可靠性強(qiáng)化試驗(yàn)，傳統(tǒng)的應(yīng)力強(qiáng)度模型只能大概描述產(chǎn)品可靠度曲線(xiàn)，主要應(yīng)用于機(jī)械類(lèi)產(chǎn)品的磨損可靠性預(yù)測(cè)［5～8］，很少應(yīng)用到電子產(chǎn)品的可靠性預(yù)測(cè)中，一方面缺乏試驗(yàn)數(shù)據(jù)的支持，另一方面，大部分研究中的應(yīng)力和強(qiáng)度都是廣義上的，即應(yīng)力是指所有導(dǎo)致產(chǎn)品失效因素的綜合，而強(qiáng)度則是抵抗這種失效的能力。一般通過(guò)加速退化試驗(yàn)可獲得恒定應(yīng)力下受試產(chǎn)品的可靠性變化曲線(xiàn)，本文結(jié)合恒定應(yīng)力加速退化試驗(yàn)和動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度模型理論，外推得到產(chǎn)品工作環(huán)境服從正態(tài)分布時(shí)的可靠度隨時(shí)間的變化趨勢(shì)。

2 應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型

定義［9～10］：產(chǎn)品的失效取決于使用應(yīng)力和強(qiáng)度之間的關(guān)系，當(dāng)產(chǎn)品強(qiáng)度大于環(huán)境應(yīng)力時(shí)，能夠正常工作，反之則不能正常工作，假設(shè)產(chǎn)品的強(qiáng)度為Y，使用應(yīng)力為X，則產(chǎn)品的可靠度可表示為

假設(shè)Y和X都符合正態(tài)分布，令Z=Y-X，則根據(jù)正態(tài)分布的和（差）仍為正態(tài)分布的性質(zhì)，可知Z也符合正態(tài)分布，其Z的密度函數(shù)為

將式（3）轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布形式：

從式（4）可以看出，靜態(tài)SSI模型與時(shí)間變量無(wú)關(guān)，而通常所講的可靠性是一個(gè)與時(shí)間變量相關(guān)的概念，因此這種模型只能定量評(píng)估產(chǎn)品的性能可靠性。然而很多產(chǎn)品在實(shí)際使用時(shí)會(huì)受疲勞、劣化、侵蝕等方面因素的影響，強(qiáng)度會(huì)隨著使用時(shí)間在應(yīng)力作用下逐漸發(fā)生退化，此時(shí)靜態(tài)SSI模型已不能適用于評(píng)估產(chǎn)品使用可靠性，因此，考慮應(yīng)力作用下強(qiáng)度隨時(shí)間退化的動(dòng)態(tài)SSI模型更加符合工程實(shí)際，此時(shí)引入應(yīng)力和強(qiáng)度隨時(shí)間變化的動(dòng)態(tài)應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型，如圖1所示，動(dòng)態(tài)SSI模型的示意圖，由式（1）變?yōu)殡S時(shí)間變化的可靠度：

圖1 動(dòng)態(tài)應(yīng)力-強(qiáng)度模型示意圖

文獻(xiàn)［9］將產(chǎn)品的強(qiáng)度和應(yīng)力分別用兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程來(lái)描述，如式（6）所示。

其中，B（t）是均值為0，方差為時(shí)間t的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)；σB為擴(kuò)散系數(shù)，σB1表征產(chǎn)品的強(qiáng)度隨時(shí)間退化的隨機(jī)性，σB2表征應(yīng)力隨時(shí)間變化的隨機(jī)性；d（s）為漂移系數(shù)，是一個(gè)與應(yīng)力相關(guān)的確定性函數(shù)，μ1為產(chǎn)品強(qiáng)度的初始值，μ2代表應(yīng)力的初始值。

根據(jù)式（4），結(jié)合布朗運(yùn)動(dòng)首次達(dá)到閾值時(shí)間的分布，可推導(dǎo)得到產(chǎn)品在時(shí)間區(qū)間（0，t0）內(nèi)工作的可靠度模型：

從式（7）模型中可以看出，雖然考慮了應(yīng)力和強(qiáng)度隨時(shí)間變化的情況，但是由于假設(shè)應(yīng)力和強(qiáng)度均為隨機(jī)過(guò)程，因此需要通過(guò)數(shù)值積分的方法來(lái)求解可靠度值，而且求解過(guò)程非常復(fù)雜，且隨機(jī)過(guò)程的參數(shù)估計(jì)誤差偏大，雖然具有一定的通用性，但是與工程實(shí)際很難有效地結(jié)合到一起，因此，本文結(jié)合動(dòng)態(tài)SSI模型和加速退化試驗(yàn)理論，在產(chǎn)品環(huán)境應(yīng)力服從正態(tài)分布的假設(shè)下，提出一種定量預(yù)測(cè)產(chǎn)品可靠性的方法。

3 基于動(dòng)態(tài)SSI模型的加速退化試驗(yàn)可靠性定量預(yù)測(cè)

通常利用加速應(yīng)力試驗(yàn)最終只能給出產(chǎn)品在恒定應(yīng)力水平下的可靠度變化曲線(xiàn)，而動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度模型相對(duì)于傳統(tǒng)應(yīng)力強(qiáng)度模型可以分析應(yīng)力隨時(shí)間變化條件下的可靠性問(wèn)題。因此將應(yīng)力強(qiáng)度模型應(yīng)用到加速性能退化試驗(yàn)可靠性分析中，利用恒定應(yīng)力加速退化試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到產(chǎn)品可靠度的前提下，通過(guò)SSI模型外推得到產(chǎn)品在各應(yīng)力水平下強(qiáng)度隨時(shí)間退化的數(shù)據(jù)，此時(shí)強(qiáng)度是指產(chǎn)品在應(yīng)力極限值，也是耐受強(qiáng)度，推導(dǎo)產(chǎn)品在動(dòng)態(tài)環(huán)境作用下的可靠性。

首先作如下假設(shè)：

1）產(chǎn)品實(shí)際工作環(huán)境的應(yīng)力服從正態(tài)分布N(uE,δE)；

2）產(chǎn)品的失效主要來(lái)源于環(huán)境應(yīng)力，不考慮其他方面因素的影響；

3）與環(huán)境應(yīng)力所對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度即產(chǎn)品的環(huán)境應(yīng)力耐受強(qiáng)度，如只考慮溫度環(huán)境應(yīng)力因素的影響，則此處強(qiáng)度即為溫度應(yīng)力極限值。

4）在k個(gè)應(yīng)力水平下進(jìn)行加速退化試驗(yàn)，每組應(yīng)力水平有n個(gè)試驗(yàn)樣本，假定在給定時(shí)刻性能退化量的標(biāo)準(zhǔn)方差和強(qiáng)度的標(biāo)準(zhǔn)方差一致。產(chǎn)品的強(qiáng)度退化量與應(yīng)力大小的關(guān)系一般服從加速模型［11］，且產(chǎn)品性能特征量和應(yīng)力強(qiáng)度都能夠反映產(chǎn)品的性能退化好壞，因此，兩個(gè)物理量量綱不同，反映的物理意義相同，因此，對(duì)性能退化量進(jìn)行無(wú)量綱化處理后，假定標(biāo)準(zhǔn)方差一致是合理的［12］。

基于上述假設(shè)，動(dòng)態(tài)環(huán)境下的可靠性預(yù)測(cè)步驟如下：

第1步：根據(jù)加速退化試驗(yàn)的數(shù)據(jù)，獲得給定時(shí)刻下各樣本的性能退化量的均值和方差；

第2步：根據(jù)性能退化分析技術(shù)，獲得每組恒定應(yīng)力水平S1,S2,...,Sk下的可靠度函數(shù)值R1(t),R2(t),...,Rk(t)，在已知的測(cè)試時(shí)刻t1,t2,...,tm，抽取各應(yīng)力下的可靠度函數(shù)值，如圖2所示，組成如下數(shù)據(jù)序列：

圖2 通過(guò)恒定應(yīng)力加速退化試驗(yàn)得到可靠度曲線(xiàn)

第3步：根據(jù)SSI模型外推產(chǎn)品在各應(yīng)力水平S1,S2,...,Sk下，在給定時(shí)刻t1,t2,...,tm的強(qiáng)度值。

因?yàn)楫a(chǎn)品是進(jìn)行恒定應(yīng)力加速退化試驗(yàn)，因此環(huán)境應(yīng)力是恒定不變的，則在應(yīng)力水平S0下在給定時(shí)刻tj時(shí)刻，應(yīng)力水平的均值μX(tj)=S0，σX(tj)=0。

令R(tj)=Φ(θ)，即可反推得到θ的值，由θ的定義式可推導(dǎo)得出：

這樣就獲得產(chǎn)品在強(qiáng)度均值數(shù)據(jù)和方差數(shù)據(jù)：μY(tj)，j=1，2，…m。

由上述過(guò)程就可外推得到產(chǎn)品在各應(yīng)力水平下，在各時(shí)刻強(qiáng)度的均值數(shù)據(jù)。利用這些均值數(shù)據(jù)，就可以得到強(qiáng)度隨時(shí)間變化的曲線(xiàn)，選擇指數(shù)模型y=a?xb+c回歸擬合強(qiáng)度退化曲線(xiàn)。

第4步：外推正態(tài)分布環(huán)境應(yīng)力水平下的可靠度曲線(xiàn)，通過(guò)蒙特卡洛仿真的方法進(jìn)行可靠性預(yù)測(cè)，方法步驟如下：

子步驟1根據(jù)產(chǎn)品強(qiáng)度退化曲線(xiàn)的回歸參數(shù)a，b，c的估計(jì)值，利用蒙特卡洛仿真的方法生成N個(gè)強(qiáng)度數(shù)據(jù)，假定產(chǎn)品工作的正常應(yīng)力服從正態(tài)分布S0～N(μE,σE)，同時(shí)利用蒙特卡洛仿真方法產(chǎn)生N個(gè)應(yīng)力數(shù)據(jù)；

子步驟2 令y=S0，即：對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，簡(jiǎn)化可得到失效時(shí)間數(shù)據(jù)：

子步驟3則在給定任意時(shí)刻top，定義τi如下：

則根據(jù)產(chǎn)品可靠度的定義，得到可靠度值為

4 實(shí)例分析

某電子產(chǎn)品經(jīng)過(guò)分析確定其失效主要是由于溫度環(huán)境應(yīng)力引起，其工作時(shí)的溫度環(huán)境應(yīng)力大致服從N（20，1.22）的正態(tài)分布，所以選擇溫度應(yīng)力作為加速應(yīng)力水平進(jìn)行加速退化試驗(yàn)，選取10個(gè)樣本，在5組應(yīng)力水平下進(jìn)行加速退化試驗(yàn)，根據(jù)上述方法預(yù)測(cè)產(chǎn)品的使用壽命。

通過(guò)加速退化試驗(yàn)獲得產(chǎn)品在正常應(yīng)力水平下的可靠度函數(shù)為

按照上述方法，外推產(chǎn)品的強(qiáng)度數(shù)據(jù)，利用指數(shù)回歸擬合方法得到強(qiáng)度退化曲線(xiàn)如圖3所示，參數(shù)估計(jì)值如表1所示。

圖3 強(qiáng)度退化曲線(xiàn)

表1 參數(shù)估計(jì)值

根據(jù)步驟4中基于MC仿真的方法，得到產(chǎn)品在溫度應(yīng)力服從正態(tài)分布N（20，1.22）時(shí)的可靠度曲線(xiàn)如圖4所示。

圖4 環(huán)境應(yīng)力正態(tài)分布假設(shè)下的可靠度預(yù)測(cè)曲線(xiàn)

根據(jù)均值和方差及SSI模型的定義得到各應(yīng)力水平下的可靠度函數(shù)，和通過(guò)加速退化試驗(yàn)獲得的可靠性曲線(xiàn)對(duì)比分析，證明了上述外推強(qiáng)度退化數(shù)據(jù)方法有效性。同時(shí)根據(jù)SSI模型的定義外推環(huán)境應(yīng)力服從正態(tài)分布情況下的可靠度曲線(xiàn)，表明產(chǎn)品在動(dòng)態(tài)環(huán)境下的可靠度與恒定應(yīng)力水平下的可靠度存在較大差異。

5 結(jié)語(yǔ)

利用加速退化試驗(yàn)通常只能給出產(chǎn)品在恒定應(yīng)力水平下的可靠度變化曲線(xiàn)，而動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度模型相對(duì)于傳統(tǒng)應(yīng)力強(qiáng)度模型可以分析應(yīng)力隨時(shí)間變化條件下的可靠性問(wèn)題。本文將應(yīng)力強(qiáng)度模型應(yīng)用到加速性能退化試驗(yàn)可靠性分析中，利用恒定應(yīng)力加速退化試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到產(chǎn)品可靠度的前提下，通過(guò)SSI模型外推得到產(chǎn)品在各應(yīng)力水平下強(qiáng)度隨時(shí)間退化的數(shù)據(jù)，推導(dǎo)出產(chǎn)品在動(dòng)態(tài)環(huán)境作用下的可靠性。相關(guān)理論方法應(yīng)用到工程實(shí)際可有效提高產(chǎn)品使用壽命預(yù)測(cè)的有效性和準(zhǔn)確性。