殷洪才，全玉錦

(1．廣東外語(yǔ)外貿(mào)大學(xué)；2．遼東學(xué)院)

0 引言

張量是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，近代物理和力學(xué)的發(fā)展促進(jìn)了它的充實(shí)與完善.它的應(yīng)用也越來(lái)越廣泛.在文獻(xiàn)[1]中作者在光學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用張量研究了反射線；在文獻(xiàn)[2]中作者在材料力學(xué)中應(yīng)用張量研究了彈性問(wèn)題；在文獻(xiàn)[3]中作者在Dirac場(chǎng)的重正化提出了張量和Casimir效應(yīng)；還有核物理等方面的應(yīng)用[4].

該文將張量以線性空間來(lái)描述，進(jìn)而建立泛函分析相應(yīng)結(jié)構(gòu)，尤其是將再生核概念引入到張量中去.再生核本是泛函分析中一種正定的積分核[5]，從某種意義上看，它是Riesz表現(xiàn)定理的實(shí)現(xiàn)[6].近年來(lái)，再生核在物理模型計(jì)算中有著積極的貢獻(xiàn)[7-15].該文就是在將這些積極的因素引入到張量分析中，擴(kuò)大再生核計(jì)算優(yōu)勢(shì)，相信這將對(duì)物理領(lǐng)域中的研究、尤其是在計(jì)算物理中開(kāi)辟一種新的計(jì)算方法來(lái).

1 一些預(yù)備知識(shí)與符號(hào)

(2)協(xié)(逆)變基矢量新老轉(zhuǎn)化關(guān)系

(4)兩個(gè)張量(階數(shù)≥2)的雙點(diǎn)內(nèi)積

設(shè)張量

2 二階張量空間

基于張量的一些已有運(yùn)算從公理化角度嚴(yán)格敘述，使得二階張量構(gòu)成一個(gè)賦范空間.為再生引入奠定基礎(chǔ).

定理2.1 假設(shè)gij是正定矩陣，則Ω在張量加法、數(shù)乘和雙點(diǎn)內(nèi)積下構(gòu)成內(nèi)積空間、賦范空間.

證明僅檢驗(yàn)內(nèi)積公理.也僅對(duì)張量協(xié)變型式檢驗(yàn)，

(1)內(nèi)積正定性

和

(2)交換性

(3)數(shù)因子結(jié)合性

(4)分配率

3 二階再生張量空間與再生張量的性質(zhì)

再生性質(zhì)本是Riesz表現(xiàn)定理[6]對(duì)線性泛函理論表示提出來(lái)的，即對(duì)任意空間H上的連續(xù)泛函f(x)，必存在H唯一的元y，使得f(x)=.近年來(lái)國(guó)內(nèi)外一些學(xué)者將定理中的y在一定空間下給出來(lái)的具體表達(dá)式Rs(t)，得到x(s)=[5]，這在應(yīng)用中起到了關(guān)鍵.該文就是在這種思想引導(dǎo)下，來(lái)完成張量分析中的再生基概念.

(1)

定理3.1 二階張量空間Ω是再生張量空間.

證明取四階張量：

(2)

定理3.2 張量空間Ω是再生張量空間的再生張量(2)是唯一的.

而

(3)

是Ω的一組基.

4 結(jié)束語(yǔ)