孫明明

（南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 210046）

重置期權(quán)是當(dāng)下金融市場(chǎng)中一種新型的被廣泛運(yùn)用的期權(quán)，它要求當(dāng)股票價(jià)格達(dá)到某一預(yù)先給定的水平時(shí)，按照合約規(guī)定重新設(shè)定敲定價(jià)格。重置期權(quán)是一種依賴路徑的期權(quán)，其定價(jià)方法有很多，如偏微分方程法、鞅方法、保險(xiǎn)精算法等，其中保險(xiǎn)精算法應(yīng)用范圍更廣，不管市場(chǎng)有無(wú)套利，保險(xiǎn)精算法都能適用，而且不需要對(duì)市場(chǎng)進(jìn)行一些金融假設(shè)。

經(jīng)典的B-S模型假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，而實(shí)際金融市場(chǎng)中，股票價(jià)格變化具有長(zhǎng)相依性、自相似性等分形特征［1］，幾何布朗運(yùn)動(dòng)不能很好地刻畫(huà)這些特征。一些學(xué)者提出用修正的幾何布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)描述股票價(jià)格過(guò)程，如分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)［2］，但金融市場(chǎng)中股票價(jià)格不總是連續(xù)的隨機(jī)過(guò)程，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)“跳躍”現(xiàn)象。一些學(xué)者將跳引入到股票價(jià)格過(guò)程，然而分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)不是半鞅，直接將它運(yùn)用到金融市場(chǎng)中會(huì)產(chǎn)生套利機(jī)會(huì)。

雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)在一定條件下是半鞅，董瑩瑩等［3］研究了雙分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散環(huán)境下重置期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題。而次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)比分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)收斂速度更快［4］，是更為一般的高斯過(guò)程，沒(méi)有平穩(wěn)增量性，同時(shí)具有長(zhǎng)相依性、自相似性等特征，使它成為未來(lái)期權(quán)定價(jià)方面的一種重要工具。本文將次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型引入跳-擴(kuò)散過(guò)程，能更加貼切地描述現(xiàn)實(shí)金融市場(chǎng)［5-6］，使得次分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散模型下重置期權(quán)的定價(jià)研究更為科學(xué)，可以作為分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散模型和雙分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散模型的一個(gè)重要補(bǔ)充。

1 模型介紹

1.1 次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)

定義1對(duì)任意的s、t≥0（s、t表示時(shí)間），次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng){BH(t)}是一個(gè)Hurst 指數(shù)H ∈(0，1)的連續(xù)高斯過(guò)程，期望為E[BH(t)]= 0，協(xié)方差為

次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng){BH(t)}具有以下性質(zhì)：

（2） 次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)是自相似的；

次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)具有長(zhǎng)相依性、自相似性等特征，不具有平穩(wěn)增量性。有關(guān)次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)性質(zhì)在文獻(xiàn)［7］中詳細(xì)介紹。

1.2 次分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散模型

次分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散模型是把跳-擴(kuò)散模型中的幾何布朗運(yùn)動(dòng)擴(kuò)展為次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)。假設(shè)股票的期望收益率和波動(dòng)率都是常數(shù)，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格過(guò)程{S(t)，t ≥0}滿足隨機(jī)微分方程如下：

式中：{BH(t)，0 ≤t ≤T}（T 為股票到期日）為概率空間(Ω，F(xiàn)，P)上的次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)；P(t)服從強(qiáng)度為λ 的泊松過(guò)程，且BH(t)、P(t)相互獨(dú)立；u 為股票收益率；λ 為泊松過(guò)程P(t)的強(qiáng)度；? 為股票價(jià)格跳躍的相對(duì)高度；v 為? 的無(wú)條件數(shù)學(xué)期望；σ為股票波動(dòng)率。

引理1［8］隨機(jī)微分方程（式（1））的解為：

式中：?i表示股票第i 次跳躍的高度，是獨(dú)立同分布于? 的隨機(jī)變量，且ln(1 + ?i)服從N(ln(1 +的方差）。

2 重置期權(quán)定價(jià)公式

不失一般性，討論只有一個(gè)重置時(shí)間的重置期權(quán)。假定期權(quán)敲定價(jià)格為Y，到期日為T(mén)，重置時(shí)間為T(mén)1(0 ≤T1≤T)，則重置執(zhí)行價(jià)格為：

式中：ST1為重置時(shí)間為T(mén)1時(shí)的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格。

定義2 重置期權(quán)在t 時(shí)刻的損益函數(shù)F（t，T1，T）為：

式中：ST為重置時(shí)間為T(mén) 時(shí)的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格；I 表示示性函數(shù)，上標(biāo)+表示正部。

引理2［9］用F(t，T，K)表示執(zhí)行價(jià)格為K、到期日為T(mén)的歐式看漲期權(quán)在時(shí)刻t的價(jià)格，則次分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散環(huán)境下歐式期權(quán)的保險(xiǎn)精算價(jià)格為：

其中：

式中：n為股票價(jià)格在［0，T1］內(nèi)的跳躍次數(shù)；r表示利率；N(*)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

定理1重置時(shí)間為T(mén)1的歐式看漲期權(quán)在時(shí)刻t的保險(xiǎn)精算定價(jià)FRS（t，T1，T）為：

（1） 當(dāng)T1≤t ≤T時(shí)，F(xiàn)RS(t，T1，T)=F(t，T，Y)I{ST1≥Y}+ F(t，T，ST1)I{ST1

（2） 0 ≤t < T1時(shí)，

其中：

式中：m 表示股票價(jià)格在T1～T 時(shí)間段內(nèi)的跳躍次數(shù)；ρ表示隨機(jī)變量ξ和η的相關(guān)系數(shù)。

證明：

（1）當(dāng)T1≤t ≤T時(shí)，根據(jù)次分?jǐn)?shù)-跳擴(kuò)散過(guò)程下歐式期權(quán)，易得結(jié)論。

（2）當(dāng)0 ≤t < T1時(shí)，記

式中：βu為股票期望收益率，這里取βu=u。則根據(jù)定義2

記

則ξ服從

η服從

接下來(lái)，分別計(jì)算I1、I2、I3和I4。

由于

令

則

令

服從N(0,1),

服從N(0,1),

又

則

根據(jù)I1、I2、I3、I4，得定理1。

推論1當(dāng)λ= 0時(shí)，可得次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下重置期權(quán)定價(jià)公式。

推論2 當(dāng)T1=T時(shí)，可得次分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過(guò)程下標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲期權(quán)的保險(xiǎn)精算定價(jià)（引理4）。