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        次分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散模型下重置期權(quán)的保險(xiǎn)精算定價(jià)

        2022-03-13 21:30:02孫明明
        關(guān)鍵詞:重置模型

        孫明明

        (南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,江蘇 南京 210046)

        重置期權(quán)是當(dāng)下金融市場(chǎng)中一種新型的被廣泛運(yùn)用的期權(quán),它要求當(dāng)股票價(jià)格達(dá)到某一預(yù)先給定的水平時(shí),按照合約規(guī)定重新設(shè)定敲定價(jià)格。重置期權(quán)是一種依賴路徑的期權(quán),其定價(jià)方法有很多,如偏微分方程法、鞅方法、保險(xiǎn)精算法等,其中保險(xiǎn)精算法應(yīng)用范圍更廣,不管市場(chǎng)有無(wú)套利,保險(xiǎn)精算法都能適用,而且不需要對(duì)市場(chǎng)進(jìn)行一些金融假設(shè)。

        經(jīng)典的B-S模型假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng),而實(shí)際金融市場(chǎng)中,股票價(jià)格變化具有長(zhǎng)相依性、自相似性等分形特征[1],幾何布朗運(yùn)動(dòng)不能很好地刻畫(huà)這些特征。一些學(xué)者提出用修正的幾何布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)描述股票價(jià)格過(guò)程,如分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)[2],但金融市場(chǎng)中股票價(jià)格不總是連續(xù)的隨機(jī)過(guò)程,有時(shí)會(huì)出現(xiàn)“跳躍”現(xiàn)象。一些學(xué)者將跳引入到股票價(jià)格過(guò)程,然而分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)不是半鞅,直接將它運(yùn)用到金融市場(chǎng)中會(huì)產(chǎn)生套利機(jī)會(huì)。

        雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)在一定條件下是半鞅,董瑩瑩等[3]研究了雙分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散環(huán)境下重置期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題。而次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)比分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)收斂速度更快[4],是更為一般的高斯過(guò)程,沒(méi)有平穩(wěn)增量性,同時(shí)具有長(zhǎng)相依性、自相似性等特征,使它成為未來(lái)期權(quán)定價(jià)方面的一種重要工具。本文將次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型引入跳-擴(kuò)散過(guò)程,能更加貼切地描述現(xiàn)實(shí)金融市場(chǎng)[5-6],使得次分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散模型下重置期權(quán)的定價(jià)研究更為科學(xué),可以作為分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散模型和雙分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散模型的一個(gè)重要補(bǔ)充。

        1 模型介紹

        1.1 次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)

        定義1對(duì)任意的s、t≥0(s、t表示時(shí)間),次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng){BH(t)}是一個(gè)Hurst 指數(shù)H ∈(0,1)的連續(xù)高斯過(guò)程,期望為E[BH(t)]= 0,協(xié)方差為

        次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng){BH(t)}具有以下性質(zhì):

        (2) 次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)是自相似的;

        次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)具有長(zhǎng)相依性、自相似性等特征,不具有平穩(wěn)增量性。有關(guān)次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)性質(zhì)在文獻(xiàn)[7]中詳細(xì)介紹。

        1.2 次分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散模型

        次分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散模型是把跳-擴(kuò)散模型中的幾何布朗運(yùn)動(dòng)擴(kuò)展為次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)。假設(shè)股票的期望收益率和波動(dòng)率都是常數(shù),標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格過(guò)程{S(t),t ≥0}滿足隨機(jī)微分方程如下:

        式中:{BH(t),0 ≤t ≤T}(T 為股票到期日)為概率空間(Ω,F(xiàn),P)上的次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng);P(t)服從強(qiáng)度為λ 的泊松過(guò)程,且BH(t)、P(t)相互獨(dú)立;u 為股票收益率;λ 為泊松過(guò)程P(t)的強(qiáng)度;? 為股票價(jià)格跳躍的相對(duì)高度;v 為? 的無(wú)條件數(shù)學(xué)期望;σ為股票波動(dòng)率。

        引理1[8]隨機(jī)微分方程(式(1))的解為:

        式中:?i表示股票第i 次跳躍的高度,是獨(dú)立同分布于? 的隨機(jī)變量,且ln(1 + ?i)服從N(ln(1 +的方差)。

        2 重置期權(quán)定價(jià)公式

        不失一般性,討論只有一個(gè)重置時(shí)間的重置期權(quán)。假定期權(quán)敲定價(jià)格為Y,到期日為T(mén),重置時(shí)間為T(mén)1(0 ≤T1≤T),則重置執(zhí)行價(jià)格為:

        式中:ST1為重置時(shí)間為T(mén)1時(shí)的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格。

        定義2 重置期權(quán)在t 時(shí)刻的損益函數(shù)F(t,T1,T)為:

        式中:ST為重置時(shí)間為T(mén) 時(shí)的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格;I 表示示性函數(shù),上標(biāo)+表示正部。

        引理2[9]用F(t,T,K)表示執(zhí)行價(jià)格為K、到期日為T(mén)的歐式看漲期權(quán)在時(shí)刻t的價(jià)格,則次分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散環(huán)境下歐式期權(quán)的保險(xiǎn)精算價(jià)格為:

        其中:

        式中:n為股票價(jià)格在[0,T1]內(nèi)的跳躍次數(shù);r表示利率;N(*)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

        定理1重置時(shí)間為T(mén)1的歐式看漲期權(quán)在時(shí)刻t的保險(xiǎn)精算定價(jià)FRS(t,T1,T)為:

        (1) 當(dāng)T1≤t ≤T時(shí),F(xiàn)RS(t,T1,T)=F(t,T,Y)I{ST1≥Y}+ F(t,T,ST1)I{ST1

        (2) 0 ≤t < T1時(shí),

        其中:

        式中:m 表示股票價(jià)格在T1~T 時(shí)間段內(nèi)的跳躍次數(shù);ρ表示隨機(jī)變量ξ和η的相關(guān)系數(shù)。

        證明:

        (1)當(dāng)T1≤t ≤T時(shí),根據(jù)次分?jǐn)?shù)-跳擴(kuò)散過(guò)程下歐式期權(quán),易得結(jié)論。

        (2)當(dāng)0 ≤t < T1時(shí),記

        式中:βu為股票期望收益率,這里取βu=u。則根據(jù)定義2

        則ξ服從

        η服從

        接下來(lái),分別計(jì)算I1、I2、I3和I4。

        由于

        服從N(0,1),

        服從N(0,1),

        根據(jù)I1、I2、I3、I4,得定理1。

        推論1當(dāng)λ= 0時(shí),可得次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下重置期權(quán)定價(jià)公式。

        推論2 當(dāng)T1=T時(shí),可得次分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過(guò)程下標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲期權(quán)的保險(xiǎn)精算定價(jià)(引理4)。

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