魚先鋒，耿生玲

1.青海師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，西寧810008

2.商洛學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)應(yīng)用學(xué)院，陜西 商洛726000

模糊決策是一門對(duì)決策信息進(jìn)行推理、計(jì)算和決策的方法論，奠定了智能決策的基礎(chǔ)。在許多決策環(huán)境下，專家往往根據(jù)他們?cè)诒绢I(lǐng)域的常識(shí)來(lái)評(píng)判一列備選方案，而在絕大多數(shù)情況下，他們的認(rèn)知無(wú)法量化而只能用抽象的語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)來(lái)表達(dá)。例如，在評(píng)估大型工程項(xiàng)目時(shí)，專家可能會(huì)說(shuō)“這個(gè)項(xiàng)目在理論上基本上是好的，但是可行性有一點(diǎn)兒弱”。再如專家描述某工程會(huì)說(shuō)，在當(dāng)前階段實(shí)施某種方案，完成工程的難度“大”或“小”。在這兩個(gè)例子中，專家不可能用精確的數(shù)值來(lái)描述“基本上”“一會(huì)兒”“一點(diǎn)兒”“大”“小”這些詞匯的精準(zhǔn)含義，但是人們都能夠理解它們所表達(dá)的意思。在許多現(xiàn)實(shí)的定性決策問題中，用語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)，比如“快”的速度，“高”的價(jià)格，“低”的溫度，“好”的績(jī)效等，來(lái)表達(dá)專家的觀點(diǎn)非常普遍而且直觀易懂。然而，雖然語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)與人們的認(rèn)知非常接近，但是，語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)的運(yùn)算較復(fù)雜。1965 年Zadeh 提出了模糊集理論（fuzzy sets），1986年Atanassov 提出了模糊集理論（intuitionistic fuzzy sets）；將定性的信息定量化，來(lái)表達(dá)人們的定性決策信息。雖然決策信息的取值沒有數(shù)字那么精確，但是它增強(qiáng)了決策信息表達(dá)的可行性、靈活性和可信度，在許多不同的研究領(lǐng)域取得了很好的效果。

模糊樹模型在控制和決策方面取得了很多成功應(yīng)用。而這些應(yīng)用在樹模型上或者側(cè)重某種具體約束問題的控制策略設(shè)計(jì)，比如單輸入輸出系統(tǒng)；或者控制策略基于特定機(jī)制或策略比如自適應(yīng)機(jī)制、最小Wilcoxon 學(xué)習(xí)方法等。本文根據(jù)不同的推理和決策需求，將提出不同的模糊推理規(guī)則和模糊合成規(guī)則，以刻畫不同的決策過程。并將加權(quán)函數(shù)引入決策過程，刻畫決策屬性對(duì)決策結(jié)果的重要程度。本文將建立更具靈活性和普適性的模糊樹模型。將各種推理控制策略形式化為模糊智能決策樹的邊，推理前提和控制信息形式化為節(jié)點(diǎn)，自動(dòng)控制，智能選擇，靈活高效，具有普適性。將工程決策問題的成本和收益形式化為邊上的權(quán)值，并考慮權(quán)值偏好、決策可行性等刻畫，建立了加權(quán)模糊智能決策樹模型用以求解最優(yōu)決策。討論了基于模糊智能決策樹做智能控制，和基于加權(quán)模糊智能決策樹求最優(yōu)決策方案的算法復(fù)雜度，最后結(jié)合模糊智能洗衣機(jī)控制和工程最優(yōu)決策方案求解的應(yīng)用實(shí)例說(shuō)明文中給出的模型和算法是合理有效的。

1 模糊智能決策樹

先介紹模糊數(shù)學(xué)和模糊推理的幾個(gè)基本概念。

（模糊集）集合上的模糊集合（fuzzy set）是一個(gè)映射:→[0,1]，也稱為模糊集合的隸屬函數(shù)，常記為μ，?∈，μ()稱為屬于模糊集的隸屬度。模糊集合有以下幾種記法：

（1）={(,())|∈}；

用()表示上模糊集合的全體，即()={|:→[0,1]}。

設(shè),∈()，若?∈有()≤()，則稱含于，或包含，記作?。若?∈，有()=()，稱等于記作=，則((),?)為偏序集。

設(shè),∈()，與的并?，交?，補(bǔ)A的隸屬函數(shù)定義為：

(?)()=()∨()=max{(),()}

(?)()=()∧()=min{(),()}

A()=1-()

顯然，若,∈()，則：

?,?,A∈()

另外，若A∈()(∈)，則可定義模糊集合的任意并與任意交的運(yùn)算如下：

模糊邏輯推理是建立在模糊邏輯基礎(chǔ)上的不確定性推理方法，是在二值邏輯三段論基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的。這種推理方法以模糊命題為前提，動(dòng)用模糊產(chǎn)生式規(guī)則，推導(dǎo)出一個(gè)近似的模糊結(jié)論。

（模糊命題）含有模糊概念、模糊數(shù)據(jù)的語(yǔ)句稱為模糊命題。它的一般表示形式為：

其中，是模糊概念，用模糊集及隸屬函數(shù)刻畫；是論域上的變量，用以代表所論述對(duì)象的屬性；是模糊命題的可信度。

（模糊推理）模糊產(chǎn)生式規(guī)則的一般形式是→(,)。其中，是用模糊命題表示的模糊條件；是用模糊命題表示的模糊結(jié)論；∈[0,1]是前提的隸屬度，表示前提的可信度；∈[0,1]是推理的隸屬度，表示該推理的可信程度。

（1）組合前提的不確定性計(jì)算：可采用最大最小法，當(dāng)組合前提是多個(gè)單一前提的合取時(shí)，若已知(),(),…,(E)，則()=min{(),(),…,(E)}；當(dāng)組合前提是多個(gè)單一前提的析取時(shí)，若已 知(),(),…,(E)，則()=max{(),(),…,(E)} ；當(dāng)前提是模糊命題的否定時(shí)，(?)=1-()。

（2）結(jié)論不確定性的更新：基于乘法原理，由產(chǎn)生式→(,)確定的結(jié)論的隸屬度()=()·。

（3）結(jié)論不確定性的合成：由多條不同前提推出了相同的結(jié)論，但可信度不同，則用合成算法求出綜合可信度。設(shè)有推理→(,)，→(,)，則據(jù)容斥原理：

依據(jù)最大隸屬原則：

依據(jù)保守可信原則：

式（1）～（3）可根據(jù)實(shí)際情況選擇一種即可。

當(dāng)三條以上推理具有相同結(jié)論，需要合成推理時(shí)，先合成兩條生成一條，再將新生成的一條與第三條進(jìn)行合成，直至將所有推理合成一個(gè)。

下面給出模糊智能決策樹模型。先約定∈N，決策等級(jí)標(biāo)識(shí)集合（decision grade label set）={1,2,…,}。

（模糊智能決策樹）模糊智能決策樹模型（fuzzy intelligent decision tree，F(xiàn)IDT）是一個(gè)四元組,=(,,,)。其中，為葉子節(jié)點(diǎn)之集，記錄初始決策條件，為內(nèi)部節(jié)點(diǎn)，存儲(chǔ)計(jì)算中間決策條件，為根節(jié)點(diǎn)，存儲(chǔ)計(jì)算最終決策結(jié)果。為邊集，刻畫模糊決策函數(shù)。圖1 給出了模糊智能決策樹的框架示意圖。在圖1 中用圓圈表示葉子節(jié)點(diǎn)，用矩形表示內(nèi)部節(jié)點(diǎn)，用圓矩形表示根節(jié)點(diǎn)，用箭頭代表決策邊集。

圖1 模糊智能決策樹框架示意圖Fig.1 Frame diagram of fuzzy intelligent decision tree

中各種節(jié)點(diǎn)和邊具體定義如下：

（葉子節(jié)點(diǎn)）葉子節(jié)點(diǎn)（original decision node）是一個(gè)三元組，=(,,)，其中：

（1）為原始決策條件的特征數(shù)量值；

（2）模糊信度函數(shù):→[0,1]，用以原始決策條件的模糊化；

（3）一級(jí)模糊決策函數(shù):→[0,1]對(duì)應(yīng)一個(gè)指向其父節(jié)點(diǎn)即一個(gè)[1]的邊。

（內(nèi)部節(jié)點(diǎn)）內(nèi)部節(jié)點(diǎn)為中間決策節(jié)點(diǎn)（middle decision node），是一個(gè)三元組，=(,)遞歸定義為：

（1）記[]∈,∈為決策樹中一個(gè)第級(jí)決策節(jié)點(diǎn)；則[]為[]的子節(jié)點(diǎn)之集，遞歸定義為：

[]={[-1]|([-1],[])＞0}

（2）中間模糊決策函數(shù)定義為:[]→[0,1],+1 ∈，對(duì)應(yīng)一個(gè)[]指向其父節(jié)點(diǎn)即一個(gè)[+1]的邊，即[]∈[+1]刻畫了決策規(guī)則，[]→[+1](,)即在[]條件的信度為([])的前提下推理到 結(jié)論[+1] 的 信 度([+1])。的具體計(jì)算已經(jīng)在定義6 關(guān)于模糊推理計(jì)算的定義中給出。

（3）?,+1 ∈遞歸定義，([+1])=([])。在多級(jí)推理決策中第級(jí)的結(jié)論就是第+1 級(jí)的前提。

（4）∈N，若某一決策等級(jí)有節(jié)點(diǎn)個(gè)，此級(jí)節(jié)點(diǎn)標(biāo)號(hào)集合（node ordinal number set）={1,2,…,}。?∈,∈，[][] 表示第層的第個(gè)節(jié)點(diǎn)。

（根節(jié)點(diǎn)）根節(jié)點(diǎn)為終級(jí)決策節(jié)點(diǎn)（final decision node），是一個(gè)二元組=([],,)，其中：

（1）[]為第級(jí)決策節(jié)點(diǎn)，記錄模糊的推理結(jié)果。

（2）={,,…,ch}表示決策結(jié)果的不同等級(jí)的特征值；?ch∈為決策結(jié)果為等的特征值。

（3）去模糊化函數(shù):[]→，用以決策的模糊化結(jié)果[]去模糊化成一個(gè)特征函數(shù)值（一般是非負(fù)實(shí)數(shù)）。例如定義：

其中，[][]為決策結(jié)果為等的隸屬度；ch∈為決策結(jié)果為等的特征值。

（邊集）邊集={,,}表示決策函數(shù)集合，其中為一級(jí)模糊決策函數(shù)，為中間模糊決策函數(shù)，為去模糊化函數(shù)。

（樹高，層高）設(shè)是一個(gè)模糊智能決策樹，將要做被決策對(duì)象的級(jí)決策。定義根節(jié)點(diǎn)所處層數(shù)為0，記為()=0；第級(jí)節(jié)點(diǎn)[]所處層數(shù)為-+1，記為([])=-+1；若max{([])|∈}=，則稱的高度()=。

（樹杈，子樹）設(shè)是一個(gè)模糊智能決策樹，?[]∈，∈為決策樹中一個(gè)第級(jí)決策節(jié)點(diǎn)，則稱以[]為根節(jié)點(diǎn)的樹記為([])，為的一棵子樹。若[]的子節(jié)點(diǎn)之集為[]，若|[]|=∈N，則稱[]節(jié)點(diǎn)分了叉。進(jìn)一步，若在中有max{|[][]||∈,∈}=，則稱為一棵叉樹。

定義12 和定義13 是為了自然地參照經(jīng)典樹理論的術(shù)語(yǔ)描述的性質(zhì)。經(jīng)典樹理論的其他概念像滿叉樹、完全叉樹等概念也可以很容易拓展到，這里不再贅述。

（的規(guī)模）設(shè)=(,,,) 是一個(gè)叉模糊智能決策樹,()=。則有：

（1）||=1,|[1]|=1；

（2）||≤n；

（3）||≤(n-1)/(-1)；

（4）||=||+||+||-1 ≤(n-1)/(-1)，邊數(shù)比節(jié)點(diǎn)數(shù)少1。

用數(shù)學(xué)歸納法在上按層歸納得到各層節(jié)點(diǎn)數(shù)是關(guān)于層數(shù)的等比數(shù)列，公比為，再用等比數(shù)列求和公式很容易證得定理1 中的結(jié)論。結(jié)論中全是不等式而非等式，因?yàn)閷?duì)具體決策問題生成的一般不會(huì)是滿叉樹，或叉完全樹。

（空間復(fù)雜度）設(shè)=(,,,)是一個(gè)叉模糊智能決策樹，()=。則的節(jié)點(diǎn)數(shù)為||+||+||，邊數(shù)為||；的空間復(fù)雜度為(n。

由定理1 的結(jié)果，定理2 是顯然的。

（時(shí)間復(fù)雜度）設(shè)=(,,,)是一個(gè)叉模糊智能決策樹，()=。則用做智能決策需要做||+||+||次運(yùn)算，的時(shí)間復(fù)雜度為(n。

決策初始在葉子節(jié)點(diǎn)做原始數(shù)據(jù)模糊化需要||次運(yùn)算。根據(jù)定義6 和定義9 關(guān)于模糊決策算子的定義，用做智能決策需要做||次乘法求決策更新，[]=[][]?([][])，需做最多4(-1)||次運(yùn)算求決策合成。再將定理1結(jié)果帶入，就得到的時(shí)間復(fù)雜度為(n。

需要指出的是雖然的計(jì)算復(fù)雜度形式上為樹杈數(shù)關(guān)于樹高的指數(shù)形式(n。但慶幸的是現(xiàn)實(shí)中樹高也就是決策等級(jí)一般比較小，≤4，大多數(shù)情況下=3 或=2。因此用做智能決策是高效的，不會(huì)出現(xiàn)狀態(tài)爆炸。

2 加權(quán)模糊智能決策樹

工程決策中要考慮成本、收益，決策者對(duì)不同成本、收益的偏好，以及不同決策方案的可行性。接下來(lái)將這些決策信息融合到?jīng)Q策樹模型中建立加權(quán)模糊智能決策樹模型，并給出基于該模型求解融合多屬性信息的最優(yōu)工程決策方案。

（加權(quán)模糊智能決策樹）加權(quán)模糊智能決策樹（weight fuzzy intelligent decision tree，）是一個(gè)二元組，=(,)。其中，=(,,,) 為模糊智能決策樹，加權(quán)函數(shù)為:→，給的每一條邊∈賦上一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)作為邊上的權(quán)值()。

（決策路徑與路徑可達(dá)測(cè)度）若中存在序列=[],[1][],[2][],…,[][j]滿足[][j]∈[+1][j]?，[]∈，∈, j∈，則稱為一條特征長(zhǎng)度為的決策路徑；記[0][]=[]，稱：

（1）在工程決策中決策路徑（定義15）和決策子樹（定義13）對(duì)應(yīng)著部分目標(biāo)決策策略；決策通路（定義16）和對(duì)應(yīng)著完整的決策策略。

（2）路徑長(zhǎng)度是邊上權(quán)值之和，現(xiàn)實(shí)中用以刻畫工程的收益（profit）或成本（cost）；當(dāng)然工程決策中最優(yōu)的策略應(yīng)滿足成本盡可能小而收益盡可能大。

（3）在有些決策問題中成本和收益在邊上是鋼性的或者說(shuō)是分明的，比如一段工程必須花費(fèi)多少錢，某個(gè)產(chǎn)品必然可以有多少利潤(rùn)；這樣的話在求決策通路的加權(quán)長(zhǎng)度時(shí)令([][j])=1；只考慮邊上的絕對(duì)權(quán)值，不考慮邊上的可能測(cè)度。

（決策收益與成本）記()為中所有的決策通路之集，?∈()。()=wl()表示決策路徑上的收益；()=wl()表示決策路徑的成本。

（受限決策路徑）在某一工程決策中有決策要求(,)，其中，向量對(duì)(,)∈R×R，其中R表示正實(shí)數(shù)，,∈N分別表示成本和收益的種類數(shù)。若?∈()，滿足(,),記作╞(,)，當(dāng)且僅當(dāng)?c∈,={1,2,…,}，(,)≤c且?p∈,={1,2,…,}，(,)≥p。即滿足(,)要求的所有種類的成本的約束。

記(,)={|∈(),╞(,)}為滿足約束(,)的受限路徑之集。

（收益與成本規(guī)范化）在某一工程決策中對(duì)有要求(,)，若(,)≠?，(,)∈R×R，()=。?∈{1,2,…,},∈{1,2,…,},∈{1,2,…,}，c表示成本的第個(gè)分量；p表示收益的第個(gè)分量；則收益與成本規(guī)范化為：

顯然規(guī)范收益與收益正相關(guān)，成本與規(guī)范成本負(fù)相關(guān)；而且他們都被規(guī)范到[0,1]上。這樣做有兩個(gè)好處：（1）規(guī)范化數(shù)據(jù)到同一量綱，便于數(shù)據(jù)的融合；（2）這樣規(guī)范化后的收益和成本沿路徑累加起來(lái)可以刻畫決策路徑的優(yōu)劣。

（最優(yōu)決策路徑）在某一工程決策中對(duì)有要求(,)，若(,)≠?，(,)∈R×R，={,,…,λc}為各種成本的偏好系數(shù)，={,,…,λp}為各種收益的偏好系數(shù)；()=。?∈{1,2,…,},∈{1,2,…,},∈{1,2,…,}，?∈(,)，記=,[1],[2],…,[]，=[0],=[+1]，()為路徑的可達(dá)測(cè)度，則關(guān)于成本的規(guī)范測(cè)度為：

式中，nc是邊([-1],[])=e∈上成本的第個(gè)分量的規(guī)范化；關(guān)于收益的規(guī)范測(cè)度為：

記滿足(,) 的最優(yōu)測(cè)度為(,)=max{(,,)|∈(,)}，這樣(,)對(duì)應(yīng)的路徑記為(,)，即為滿足(,)的最優(yōu)決策路徑。

求最優(yōu)決策路徑算法

（1）按照定義7～定義11 和定義14，從葉子節(jié)點(diǎn)到根節(jié)點(diǎn)，計(jì)算生成=(,)；節(jié)點(diǎn)用結(jié)構(gòu)體存儲(chǔ)，包括隸屬度（前提）、信度（邊即決策函數(shù)）和邊上的權(quán)值（成本和收益），還有指向其父節(jié)點(diǎn)、子節(jié)點(diǎn)、兄弟節(jié)點(diǎn)的指針。

（2）遍歷生成受限決策路徑之集(,)。

①輸入決策要求(,)；成本的偏好系數(shù)={,,…,λc}，收益的偏好系數(shù)={,,…,λp}；并根據(jù)定義15 確定路徑測(cè)度()。

②路徑標(biāo)號(hào)=1，路徑當(dāng)前狀態(tài)標(biāo)號(hào)[][]=[0][0]，路徑收益(π=0，路徑成本cost(π=0。

③從根節(jié)點(diǎn)開始遍歷找到最左邊第一個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)[]，[][]=[]。

④將[][]的所有兄弟節(jié)點(diǎn)依次壓入棧_中。

⑤訪問[][]的父節(jié)點(diǎn)[+1][]，計(jì)算：

若(π≤且(π≥，則++；將[+1][]添加到路徑π上，若≤，執(zhí)行④；否則將π添加到(,)中。

否則，若-存在[]的兄弟，從-中彈出[]的緊鄰兄弟[][+1]，=+1,執(zhí)行⑤。

若-不存在[]的兄弟，--,=0；若≥0,執(zhí)行⑤；否則結(jié)束（2）。

（3）生成受限決策路徑集的規(guī)范組合測(cè)度集合。若(,)≠?，基于(,)中的路徑，求得規(guī)范組合測(cè)度集合{(,,)|∈(,)}。

（4）在規(guī)范組合測(cè)度集合{(,,)|∈(,)}中打擂臺(tái)，打出最大的元素(,)對(duì)應(yīng)的∈(,)，即為(,)。

（算法復(fù)雜度）若決策問題形式化為=(,)，是一個(gè)叉加權(quán)模糊智能決策樹，()=。則求解滿足(,)，(,)∈R×R的最優(yōu)決策路徑的空間復(fù)雜度都為(lun)，時(shí)間復(fù)雜度為(lun。

空間開銷在的每條邊∈上多了個(gè)權(quán)重()，多出||≤(n-1)/(-1)個(gè)空間，故空間復(fù)雜度為(lun)。在中的決策通路與葉子節(jié)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)|()|=||≤n，每條通路特征長(zhǎng)度為。求(,)是要計(jì)算每條路徑的收益和成本需要做4次乘法，2(-1)次加法，復(fù)雜度為(n；基于(,)求規(guī)范組合測(cè)度集合要做規(guī)范化，復(fù)雜度為(lun；求(,)需要打擂臺(tái)，復(fù)雜度為|(,)|≤|()|=||≤n。因此算法時(shí)間復(fù)雜度為(lun。

3 決策實(shí)例

下面給出基于的智能決策和基于最優(yōu)決策求解的應(yīng)用實(shí)例。

3.1 基于FIDT 的智能決策

將應(yīng)用到洗衣機(jī)的智能控制中。模糊智能洗衣機(jī)可以根據(jù)洗滌物的種類、污泥和油脂程度來(lái)自動(dòng)選定洗滌時(shí)長(zhǎng)與旋轉(zhuǎn)強(qiáng)度。選取污泥含量、油脂含量作為決策屬性；洗滌時(shí)間作為控制信息，定義輸入輸出量的隸屬度函數(shù)并建立模糊規(guī)則。

洗衣機(jī)通過借助光度傳感器來(lái)檢測(cè)沖洗用水透明度的方法，測(cè)出沖洗水中污泥含量∈[0,100](%)和油脂含量∈[0,100](%)。根據(jù)污泥含量與油脂含量的檢測(cè)數(shù)據(jù)，來(lái)確定洗滌時(shí)間∈[0,80](min)。用葉子節(jié)點(diǎn)[1]表示污泥，[2]表示油脂。根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，可將污泥含量的程度分為污泥少（SN）、污泥中（MN）和污泥（LN），并將其涵蓋于的論域[0,100]，其隸屬度函數(shù)如圖2給出了污泥含量[0,100](%)對(duì)“SN”“MN”“LN”3 個(gè)等級(jí)的隸屬度的一種定義；由圖知若污泥含量為65%，則隸屬度為：

圖2 污泥含量對(duì)各等級(jí)的隸屬度曲線Fig.2 Membership curve of sludge content to each grade

如圖3 給出了油脂含量0%～100%對(duì)“油脂少（SZ）”“油脂中（MZ）”“油脂多（LZ）”的隸屬度的一種定義；由圖知若當(dāng)前油脂含量為40%，則其隸屬度為：

圖3 油脂含量對(duì)各等級(jí)的隸屬度曲線Fig.3 Membership curve of grease content to each grade

[][]，∈{1,2},∈{1,2,3}表示決策屬性對(duì)等級(jí)的隸屬度所對(duì)應(yīng)葉子節(jié)點(diǎn)，例如[2][3]刻畫油脂含量為油脂多。

洗滌時(shí)長(zhǎng)劃分為很短（TVS）、較短（TS）、適中（TM）、較長(zhǎng)（TL）和很長(zhǎng)（TVL）5 個(gè)等級(jí)。表1 定義了一種不同污泥含量和油脂含量等級(jí)組合下需要洗滌時(shí)長(zhǎng)等級(jí)的分明推理規(guī)則。9 條推理規(guī)則對(duì)應(yīng)9 個(gè)1 級(jí)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)和18 條邊。比如第4 條“ 4.∧→”對(duì)應(yīng)圖4 所示的一棵決策子樹。

表1 模糊合成推理規(guī)則庫(kù)Table 1 Rule base of fuzzy synthetic reasoning

圖4 TM(4)對(duì)應(yīng)的決策子樹Fig.4 Decision tree corresponding to TM(4)

TM(4)形式化為([1][2],[2][1])=[1][4]。

由于污泥（65%）對(duì)SN，油脂（40%）對(duì)LZ 的隸屬度為0，表1 規(guī)則庫(kù)中的SN 行和LZ 列不被激活。激活規(guī)則如表2 所列。

表2 被激活規(guī)則Table 2 Activated rules

實(shí)際上決策樹中有4 個(gè)1 級(jí)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)，8 條1 級(jí)邊，8 個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)。這一結(jié)果直觀地體現(xiàn)了定理1 中的結(jié)論全是不等式而非等式，因?yàn)閷?duì)具體決策問題生成的一般不會(huì)是滿叉樹，或叉完全樹。

由表2 知有如下4 條規(guī)則被激活：

（4）∧→

（5）∧→

（7）∧→

（8）∧→

由于規(guī)則條件中連接兩個(gè)條件（2 個(gè)葉子）的是“且”，在此選用取最小值法確定4 條規(guī)則（8 條邊1 級(jí)邊）的強(qiáng)度：

規(guī)則4：污泥對(duì)MN 隸屬度為0.70，油脂對(duì)SZ 隸屬度為0.20，min(0.70,0.20)=0.20。

規(guī)則5：污泥對(duì)MN 隸屬度為0.70，油脂對(duì)MZ 隸屬度為0.80，min(0.70,0.80)=0.70。

規(guī)則7：污泥對(duì)LN 隸屬度為0.30，油脂對(duì)SZ 隸屬度為0.20，min(0.30,0.20)=0.20。

規(guī)則8：污泥對(duì)LN 隸屬度為0.30，油脂對(duì)MZ 隸屬度為0.80，min(0.30,0.80)=0.30。

規(guī)則4 和規(guī)則5 的結(jié)論都為TM,根據(jù)定義6 的式（1）按容斥原理合稱為：

0.2+0.7-0.2×0.7=0.76

結(jié)論為洗滌時(shí)間適中的隸屬度最終為0.76，同理可得結(jié)論為洗滌時(shí)間較長(zhǎng)的隸屬度最終為0.44。這就生成了2 級(jí)決策節(jié)點(diǎn)[2][2],[2][3]，分別刻畫洗滌時(shí)間為中和洗滌時(shí)間為長(zhǎng)，[2][1]沒有在此決策問題中出現(xiàn)。

表3 將各洗滌時(shí)長(zhǎng)等級(jí)映射到一個(gè)具體的時(shí)長(zhǎng)。

表3 洗滌等級(jí)的特征函數(shù)Table 3 Characteristic function of washing grade

根據(jù)定義10 對(duì)終極決策信息的定義，

計(jì)算最終洗滌時(shí)長(zhǎng)（單位min）輸出如下：

因?yàn)?8.6 ≥5，所以當(dāng)污泥含量65%，油脂含量40%，智能洗衣機(jī)將自動(dòng)洗滌約38.6 min；38.6 min 后智能洗衣機(jī)將再次獲取彼時(shí)污泥含量和油脂含量進(jìn)入下一周期模糊控制洗衣。

3.2 基于WFIDT 最優(yōu)決策求解

某公司計(jì)劃把一種新產(chǎn)品投放市場(chǎng)，公司管理者希望能盡快地推出該新產(chǎn)品以搶占市場(chǎng)。設(shè)有4個(gè)沒有時(shí)間重疊的階段沒有完成，包括正以正常速度進(jìn)行的研究工作（第一階段）。然而，每個(gè)階段的實(shí)施水平可以從正常水平提高為優(yōu)先水平或應(yīng)急水平，使之能夠加速完成，而且最后3 個(gè)階段都可以考慮提高實(shí)施水平。第一階段可以以正常速度完成，也可以加速完成。正常、優(yōu)先、應(yīng)急標(biāo)記為、、。管理層現(xiàn)在預(yù)計(jì)給研究、研制、制造系統(tǒng)設(shè)計(jì)、開始生產(chǎn)和分銷這4 個(gè)階段標(biāo)記為、、、；撥款3 000 萬(wàn)人民幣，盡量在11 個(gè)月內(nèi)推出產(chǎn)品，還要盡可能地確保質(zhì)量問題。

不同工程進(jìn)度水平下4 個(gè)階段完成所需要的時(shí)間列在表4 中。各階段預(yù)計(jì)費(fèi)用在表5 中給出。各階段完成的可能性（隸屬度）在表6 中給出。

表4 不同水平下4 個(gè)階段完成所需時(shí)間Table 4 Time required for completion of 4 stages at different levels

表5 不同水平下各階段預(yù)計(jì)費(fèi)用Table 5 Estimated cost of each stage at different levels

公司決策者希望確定這4個(gè)階段各自應(yīng)該采取哪一種水平，同時(shí)在3 000 萬(wàn)人民幣的預(yù)算內(nèi)在11 個(gè)月內(nèi)盡可能高質(zhì)量地確保該產(chǎn)品推出市場(chǎng)。

3.2.2 問題形式化為

將上述決策問題的條件形式化為一個(gè)=(,)。約定∈{1,2,3,4}，對(duì)應(yīng)階段、、、；∈{1,2,3}對(duì)應(yīng)水平、、；則[][i]表示中第∈{1,2,3,4}層的一個(gè)節(jié)點(diǎn)，表示當(dāng)狀態(tài)是階段，通過實(shí)施水平后到達(dá)+1 階段的可能性為[][i] 。例如[2][2] 表示現(xiàn)在在“研制”階段，且“優(yōu)先”水平進(jìn)入“制造系統(tǒng)設(shè)計(jì)”階段的可能，由表6 知，[2][2]=0.70。

表6 不同水平下各階段完成可能性Table 6 Completion possibility of each stage under different levels

此決策問題初始數(shù)據(jù)為不同水平下各階段完成可能性，已經(jīng)是模糊數(shù)，不需要進(jìn)行模糊化，因此不需要形式化葉子節(jié)點(diǎn)。另外約定根節(jié)點(diǎn)為表示工程完成的狀態(tài)。

([][i],[+1][(+1)])表示從段實(shí)施水平后到達(dá)+1 階段的花費(fèi)；([][i],[+1][(+1)])表示從段實(shí)施水平后到達(dá)+1階段的時(shí)間；例如([2][2],[3][3])=600；([2][2],[3][3])=3。

決策要求為：

在此問題中認(rèn)為推理信度即邊的可能測(cè)度為表6 中不同水平下各階段完成可能性；?([][i],[+1][(+1)])=∈,()，表示在第階段實(shí)施水平進(jìn)入+1階段的可能測(cè)度；比如([2][2],[3][3])=0.70 表示當(dāng)前的“研制階段”實(shí)施“優(yōu)先水平”可以完成進(jìn)入“制造系統(tǒng)設(shè)計(jì)”階段的可能性為0.70。為了書寫簡(jiǎn)單進(jìn)一步將[][i]簡(jiǎn)記為v。設(shè)決策者對(duì)時(shí)間和費(fèi)用的偏好=(0.6,0.4)是指相對(duì)費(fèi)用決策者更希望付出時(shí)間。

基于上述形式化的用求最優(yōu)決策路徑算法求得，(,)包含以下5 條路徑：

顯然(,)=(,,)=1.321 最大，因此決策路徑為最優(yōu)策略。

=,,,,；解碼后對(duì)應(yīng)策略為，在階段“研究”“研制”“制造系統(tǒng)設(shè)計(jì)”“開始生產(chǎn)和分銷”分別選擇實(shí)施水平“加急”“優(yōu)先”“優(yōu)先”“加急”。現(xiàn)對(duì)這一結(jié)果分析如下：

（1）雖然各種滿足策略消耗費(fèi)用同為3 000，時(shí)間除了(,)=10，其他為11；沒選做最優(yōu)策略是因?yàn)樗惴紤]了路徑上的可達(dá)測(cè)度，保守可達(dá)測(cè)度最大為0.70。

（2）雖然和的規(guī)范費(fèi)用最大為0.833，但規(guī)范時(shí)間最大為1.220，且相對(duì)費(fèi)用成本決策者更愿意花費(fèi)時(shí)間成本：

故而沒選和選了。

（3）綜上基于的最優(yōu)策略考慮可達(dá)性、成本、收益、偏好等眾多因素對(duì)決策的影響，求解結(jié)果客觀合理。

4 小結(jié)與展望

基于模糊數(shù)學(xué)理論建立了一個(gè)普適的模糊智能決策樹模型。用節(jié)點(diǎn)刻畫決策信息，用樹上的邊記錄決策控制推理規(guī)則；并在節(jié)點(diǎn)和邊上定義合理的模糊決策算子。討論了該模型的計(jì)算復(fù)雜度。將工程成本和收益作為權(quán)值，將不同成本、收益的偏好要求以及不同決策方案的可行性等信息進(jìn)行融合作為決策方案優(yōu)劣的測(cè)度。建立加權(quán)模糊智能決策模型，并給出了基于該模型求最優(yōu)的多屬性受限決策的算法。討論算法的復(fù)雜度。最后結(jié)合模糊智能洗衣機(jī)控制和工程最優(yōu)決策方案求解的應(yīng)用實(shí)例說(shuō)明文中給出的模型和算法是合理有效的。

建立的模型決策過程考慮定性與定量信息，更加客觀自然且自動(dòng)化程度高；決策結(jié)果科學(xué)合理且信息量大。不同決策指標(biāo)建立的不同指標(biāo)體系框架，都可以靈活高效地形式化為一個(gè)。將工程成本和收益作為權(quán)值，將不同成本、收益的偏好要求以及不同決策方案的可行性等信息進(jìn)行融合作為決策方案優(yōu)劣的測(cè)度，客觀合理。后續(xù)研究工作將考慮將和用于其他背景下的智能控制與決策建模。考慮在的決策算子中添加其他一些模糊計(jì)算和模糊控制算子，使得擴(kuò)充后的模型可以更靈活高效地做模糊智能決策和控制。