楊憲偉

(陜西省榆林市第十中學(xué) 719000)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017年版2020年修訂)提出，高中數(shù)學(xué)課程要以學(xué)生發(fā)展為本，落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)，培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來(lái)發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)(簡(jiǎn)稱(chēng)“四基”)；提高學(xué)生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力(簡(jiǎn)稱(chēng)“四能”)．?dāng)?shù)學(xué)解題教學(xué)就是落實(shí)“四基”“四能”的重要過(guò)程，教師要積極開(kāi)展一題多解和一題多變活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生自主探究、克服弱點(diǎn)、攻破難點(diǎn)、解決疑點(diǎn)，總結(jié)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的策略．

1典例分析

例1已知直線y=x+1與曲線y=ln(x+a)相切，求a的值.

策略1設(shè)切點(diǎn)，方程思想.

設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，則m+1=ln(m+a).

①

即m+a=1.代入①式，得m+1=0.

所以m=-1，a=2．

點(diǎn)評(píng)本法涉及的知識(shí)是必須掌握的基礎(chǔ)知識(shí)，蘊(yùn)含的是解決此類(lèi)問(wèn)題的基本方法和基本思想，是變式引申的基礎(chǔ)和鋪墊．

策略2借圖象，幾何直觀.

曲線y=lnx在(1，0)處的切線為y=x-1，所以直線y=x+1與曲線y=ln(x+2)相切.故a=2．

點(diǎn)評(píng)本法從熟悉的一個(gè)知識(shí)結(jié)合函數(shù)圖象平移快速解決問(wèn)題，是必需積累的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．

2變式引申

變式1 已知函數(shù)f(x)=x(lnx-ax)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ).

C．(0，1) D．(0，+∞)

策略3 半分離，數(shù)形結(jié)合.

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x(lnx-ax)有兩個(gè)極值點(diǎn)，

所以f′(x)=lnx-2ax+1=0至少有兩個(gè)解.

即方程lnx=2ax-1至少有兩個(gè)解.

故函數(shù)y=lnx和y=2ax-1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．

圖1

點(diǎn)評(píng)本法的主要策略就是分而治之，數(shù)形結(jié)合，這也是常見(jiàn)的處理含參問(wèn)題的一種方法，我們稱(chēng)之為“半分離，數(shù)形結(jié)合”．

策略4 不分離，分類(lèi)討論.

①當(dāng)a≤0時(shí)，g′(x)>0在(0，+∞)恒成立，f′(x)=lnx-2ax+1在(0，+∞)上單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，故不滿足條件；

策略5求值域，極限說(shuō)明.

圖2

策略6 要證明，嚴(yán)謹(jǐn)找點(diǎn).

如果作為解答題，要避開(kāi)極限，可以找點(diǎn)用零點(diǎn)的存在性定理嚴(yán)謹(jǐn)證明．

點(diǎn)評(píng)本法也是常見(jiàn)的處理含參問(wèn)題的一種方法，我們稱(chēng)之為“不分離，分類(lèi)討論”．若作為解答題，可以用極限思想解決問(wèn)題，也可以通過(guò)找點(diǎn)用零點(diǎn)的存在性定理嚴(yán)格證明，但找點(diǎn)難度比較大，選取的時(shí)候要兼顧函數(shù)值計(jì)算簡(jiǎn)單和滿足要求這兩條，有時(shí)甚至需要借助指對(duì)放縮加以說(shuō)明．

策略7全分離，研究函數(shù).

圖3

策略8 遇困難，適當(dāng)放縮.

點(diǎn)評(píng)這種方法主體是“全分離，研究函數(shù)”，若作為解答題，必須要繼續(xù)嚴(yán)謹(jǐn)證明．但是端點(diǎn)的函數(shù)值不確定時(shí)可以用極限或洛必達(dá)法則說(shuō)明．事實(shí)上，函數(shù)y=lnx+1的增長(zhǎng)速度比函數(shù)y=2x的增長(zhǎng)速度慢，所以x→+∞時(shí)，h(x)→0．若要避開(kāi)極限和洛必達(dá)法則，可以通過(guò)放縮，轉(zhuǎn)化為熟悉函數(shù)．

變式2 已知a為常數(shù)，函數(shù)f(x)=x(lnx-ax)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2(x1

策略9隱零點(diǎn)，整體代換.

所以f(x1)=x1(lnx1-ax1)<0．

而x2是方程lnx-2ax+1=0的解，

所以φ(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞增.

點(diǎn)評(píng)本題中不能準(zhǔn)確求出x2，但卻滿足恒等式，也就是說(shuō)x2從理論上講是確定的，我們稱(chēng)之為“隱零點(diǎn)”，處理這種問(wèn)題的主要手段就是整體代入消元轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)求解，我們把這個(gè)過(guò)程稱(chēng)為“隱零點(diǎn)代換”．

策略10 用導(dǎo)數(shù)，整體代換.

以上十種含參函數(shù)問(wèn)題的解題策略中蘊(yùn)含著的正是解決該類(lèi)問(wèn)題的基本方法和基本思想．在解題教學(xué)中，我們不僅要關(guān)注基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，更要關(guān)注基本思想的滲透和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，要注重培養(yǎng)學(xué)生高階思維，提升學(xué)生綜合能力，幫助學(xué)生把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，發(fā)展核心素養(yǎng)．