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        例談“曲線系方程法”在解幾題中的妙用

        2022-03-12 09:44:28劉海濤
        數(shù)理化解題研究 2022年4期
        關(guān)鍵詞:定值斜率拋物線

        劉海濤

        (安徽省蕪湖市第一中學(xué) 241000)

        我們知道,若兩曲線C1:f(x,y)=0,C2:g(x,y)=0有公共點M(x0,y0),則過點M的曲線系方程為f(x,y)+λg(x,y)=0(λ∈R)(不包含曲線C2).

        由此不難得到:

        筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn),很多解析幾何問題若能使用曲線系方程解題,可以達到事半功倍的解題效果,現(xiàn)與讀者分享交流.

        1 求曲線的方程問題

        解析設(shè)所求曲線方程為

        (x2+2y2-2)+λ(x2-2y+1)=0(λ∈R),

        即(λ+1)x2+2y2-2λy+λ-2=0.

        與x+y=0聯(lián)立,得

        (λ+3)x2+2λx+λ-2=0.

        由題知Δ=4λ2-4(λ+3)(λ-2)=0.

        解得λ=6.

        所以滿足條件的曲線方程為

        7x2+2y2-12y+4=0.

        2 求斜率為定值問題

        例2 已知拋物線y2=2px上三點A(2,2),B,C,若直線AB,AC的斜率互為相反數(shù),則直線BC的斜率為____.

        解析將A(2,2)代入y2=2px,得p=1.

        則拋物線方程為y2=2x.

        設(shè)lAB:y-2=k(x-2),

        lAC:y-2=-k(x-2)(k≠0),

        即(y-2)2(k2y2+4k2y+4k2-4)=0.

        由于A,B,C三點的縱坐標(biāo)為該方程的三個根,所以B,C兩點縱坐標(biāo)滿足k2y2+4k2y+4k2-4=0.

        又y2=2x,所以lBC:2k2x+4k2y+4k2-4=0.

        3 求斜率和為定值問題

        (1)求C的方程;

        又A,B,P,Q四點在曲線C上,所以A,B,P,Q四點滿足方程

        又|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,

        由圓的相交弦定理的逆定理知A,B,P,Q四點共圓.

        由圓的一般式知方程式①中xy項系數(shù)為0,且x2項與y2項的系數(shù)相等,得

        則k1+k2=0.

        故直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

        4 求斜率積為定值問題

        解析設(shè)直線PA,PB的斜率分別為k1,k2,

        則lPA:y=k1x+1,lPB:y=k2x+1.

        于是P,A,B三點滿足方程

        (k1x-y+1)(k2x-y+1)=0.

        即k1k2x2+(y-1)2-(k1+k2)(y-1)x=0.

        聯(lián)立x2=4(1-y2),整理,得

        (y-1)[-4k1k2(y+1)+(y-1)

        -(k1+k2)·x]=0.

        由于P,A,B三點的縱坐標(biāo)為該方程的三個根,所以A,B兩點坐標(biāo)滿足(k1+k2)x+(4k1k2-1)y+4k1k2+1=0.

        即為直線AB的方程.

        即k1k2=-1.

        故直線PA與直線PB的斜率積為定值-1.

        5 求數(shù)量積為定值問題

        設(shè)直線CD,AC,BD的斜率分別為k,k1,k2,則

        lCD:y=kx+1,

        lAC:y=k1(x+1),

        lBD:y=k2(x-1).

        由題知A,B,C,D四點滿足方程

        [k1(x+1)-y][k2(x-1)-y]+λy(kx-y+1)=0.

        于是k1+k2=λk=k(k1-k2).

        6 求直線過定點問題

        (1)求E的方程;

        (2)證明:直線CD過定點.

        當(dāng)t=0時,直線CD即為x軸;

        設(shè)直線BC,BD的斜率分別為k1,k2,則

        于是B,C,D三點滿足方程

        [k1(x-3)-y][k2(x-3)-y]=0.

        即(x-3)2-3y2+3(k1+k2)(x-3)y=0.

        整理,得9(x-3)[4x+9(k1+k2)y-6]=0.

        易知B,C,D三點的橫坐標(biāo)為該方程的三個根.

        所以lCD:4x+9(k1+k2)y-6=0.

        7 求圓過定點問題

        例7 已知拋物線C:x2=-2py經(jīng)過點(2,-1).

        (1)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程;

        (2)設(shè)O為原點,過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M,N,直線y=-1分別交直線OM,ON于點A和點B.求證:以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點.

        解析(1)C:x2=-4y,準(zhǔn)線:y=1(過程略);

        于是O,M,N三點滿足方程

        (y-k1x)(y-k2x)=0.

        即y2-(k1+k2)xy+k1k2x2=0.

        聯(lián)立x2=-4y,整理,得

        y[y-(k1+k2)x+4k1k2]=0.

        易知M,N,O三點的坐標(biāo)為該方程的三根.

        則lMN:(k1+k2)x-y-4k1k2=0.

        又焦點(0,1)在直線MN上,所以0-1-4k1k2=0.

        以AB為直徑的圓的方程為

        (x-a)(x-b)+(y+1)2=0.

        令x=0,得(y+1)2=4,即y=1或-3.

        故以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的定點(0,1)和(0,-3).

        8 求四點共圓問題

        故A,B,C,D滿足方程

        所以A,B,C,D四點滿足方程

        此即為A,B,C,D四點所在的圓的方程.

        本文介紹的“曲線系方程”法, 為今后解決一類解幾問題提供了新的思路,相較于聯(lián)立直線與曲線方程的通法,該法過程簡潔、計算量小,可以提高解題效率,但是該法有其局限性,我們在日常的學(xué)習(xí)中,要結(jié)合自身掌握程度和實際情況,選擇最佳的解題方法,不能盲目追求某一種解法,要學(xué)會從不同的解法中汲取不同的數(shù)學(xué)思想,從而提高自身的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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