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        具有奇異項的臨界重調(diào)和方程的多重正解 *

        2022-03-12 09:14:10李春平桑彥彬
        關(guān)鍵詞:四階臨界點調(diào)和

        李春平, 桑彥彬

        (中北大學(xué) 理學(xué)院, 山西 太原 030051)

        0 引 言

        重調(diào)和方程產(chǎn)生于研究懸橋周期振動中的行波問題和研究靜態(tài)偏轉(zhuǎn)的彈性板問題. 近年來, 學(xué)者們對重調(diào)和方程進(jìn)行了廣泛的研究, 如文獻(xiàn)[1] 研究了一類四階半線性橢圓邊值問題的多個非平凡解的存在性; 文獻(xiàn)[2-5]獲得了具有臨界Sobolev指數(shù)的雙拉普拉氏算子問題解的存在性結(jié)果; 文獻(xiàn)[6-8]證明了一類Kirchhoff型四階半線性橢圓邊值問題解的存在性; Chen和Li在文獻(xiàn) [9]中討論了一類四階橢圓方程, 并獲得了解的存在性和多解性的結(jié)果. 眾所周知, 奇異項的加入使得方程所對應(yīng)的能量泛函不可微, 導(dǎo)致問題變得困難. 值得注意的是Gaston等在文獻(xiàn)[10]中研究了以下奇異重調(diào)和方程

        (1)

        證明了方程(1)存在唯一的一個正解. 進(jìn)一步, 由文獻(xiàn)[11]的定理1.2, 可得存在唯一的wλ是方程的正解, 且wλ≥cφ1, 其中φ1>0是問題Δφ+λφ=0,φ|?Ω=0的最小特征值λ1對應(yīng)的特征函數(shù). 而且不難證明

        (2)

        (3)

        在本文中, 考慮以下方程

        (4)

        注記1若取g(x)=ex2, 事實上,其滿足條件(G).

        方程(4)所對應(yīng)的能量泛函為

        為了研究方程(4), 定義f:Ω×R→[0,+∞)為

        故將研究方程(4)轉(zhuǎn)化為考慮以下問題

        方程(5)所對應(yīng)的泛函為

        為了克服方程(4)奇異項帶來的奇異性, 首先構(gòu)造了一輔助函數(shù)(5), 將奇異問題轉(zhuǎn)化為非奇異問題. 然后, 采用Nehari流形的分解和 Ekeland 變分原理, 通過序列收斂問題得到原問題的解. 本文的創(chuàng)新之處在于對于參數(shù)所處區(qū)間的上確界進(jìn)行了精確估計, 便于應(yīng)用.

        1 預(yù)備知識和定理(引理)

        定理1當(dāng)參數(shù)λ∈(0,Λ1), 且g(x)滿足條件G時, 方程(4)至少存在兩個正解.

        引理1對于任意的u∈H,Iλ∈C2(H), 以下結(jié)論成立:

        1) 若u是Iλ的一個臨界點, 則u≥wλ在Ω中幾乎處處成立.

        2) 若u是Iλ的一個臨界點, 則u是方程(4)的一個正解.

        證明由于Iλ∈C2(H), 則對于任意的φ∈H,

        1) 設(shè)u是Iλ的一個臨界點.選取(u-wλ)-作為試探函數(shù), 則有

        (6)

        由wλ的定義可知

        (7)

        由式(6)減式(7)可得

        2) 同理可證成立.

        基于引理1, 定義H中的閉正錐集合P為

        P={u|u∈H,u(x)≥wλ(x), a.e.x∈Ω},

        則P是完備空間.

        定義Nehari流形為

        定義hu:t→Iλ(tu),t>0.若u∈P, 有

        容易得到

        其中

        令η′(t)=0, 可得

        通過計算可知,η(t)在[0,t0]單調(diào)遞增, [t0,+∞)單調(diào)遞減;η(t)在t0處達(dá)到最大值.將t0代入η(t), 同時利用H?lder不等式和Sobolev不等式, 以及以下關(guān)系式

        可得

        同時由于λ<Λ0, 從而得到

        (8)

        此外, 由于u∈Nλ, 利用Sobolev不等式可知,

        (9)

        由文獻(xiàn)[12]的引理2.3和引理2.4, 同理可得以下引理.

        引理3當(dāng)參數(shù)λ∈(0,Λ0)時, 如果u是Iλ在Nλ上的一個臨界點, 那么u是Iλ的一個臨界點.

        引理4泛函Iλ在Nλ上是強制且下方有界的.

        由文獻(xiàn)[12]的引理2.5, 引理2.6以及引理2.7, 同理可得以下引理.

        引理7存在一個Iλ的極小化序列{un}?Nλ, 對于任意的φ∈H, 使得

        vn→v在H和L2**(Ω)中.

        (10)

        顯然, 此極小序列在H中是有界的, 因此, 存在一個子列, 不妨仍記為{vn}, 使得當(dāng)n→∞時,

        令式(10)的n→∞時, 對于任意的φ∈H,

        (11)

        令式(11)中的試探函數(shù)φ=v, 則可得

        (12)

        由Brezis-Lieb’s引理(參見文獻(xiàn)[13])可知

        將φ=vn代入式(10)可得

        (13)

        由式(12)和式(13), 再利用Sobolev不等式

        即有

        即得到矛盾, 由此可得l=0, 這意味著vn→v在H中, 從而當(dāng)n→∞時, 有

        2 定理1的證明

        本節(jié)對本文主要結(jié)果定理1進(jìn)行證明, 它是下面的引理10和定理2及定理3的直接結(jié)果.

        定理2若g(x)滿足條件G, 方程(4)至少存在一個正基態(tài)解.

        證明由引理4可知, 存在一個Iλ的極小序列{un}?Nλ使得, 當(dāng)n→∞時

        下證uλ是方程(4)的一個基態(tài)解. 由引理8可得

        更進(jìn)一步,

        (14)

        θλ

        再由引理3可知,uλ是方程(4)的一個正基態(tài)解, 則證畢.

        Vε,z(x)=ηzUε,z(x).

        當(dāng)ε→0時, 對于z∈M有

        (15)

        由文獻(xiàn)[13]的引理3.1以及文獻(xiàn)[14]可得, 對于z∈M, 以下估計成立

        (16)

        引理9對于z∈M, 有

        證明由于

        (17)

        又由于uλ是方程(4)的一個正解, 將式(15)~式(17)代入可知, 對于任意的t≥0

        而且, 可以推出存在與ε,λ無關(guān)的正常數(shù)t1,t2, 使得

        證畢.

        由文獻(xiàn)[12]的引理3.3和定理3.4, 同理可得以下引理和定理.

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