王秀鋒 趙穎濤

?(湘潭大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院，湖南湘潭 411105)

?(北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100081)

主應(yīng)力空間中π平面上應(yīng)力偏量的描述是屈服準(zhǔn)則和塑性本構(gòu)關(guān)系的基礎(chǔ)，是彈塑性力學(xué)課程的重要內(nèi)容。常見教材中π平面上應(yīng)力偏量的描述都是基于空間中向量的幾何關(guān)系，即先在三維坐標(biāo)上取單位長度，將其投影到π平面上。根據(jù)它們在π平面上的坐標(biāo)表達(dá)式，來描述主應(yīng)力空間中任意一點(diǎn)應(yīng)力的偏量部分[1-3]。該推導(dǎo)過程繁鎖，特別是在求解其逆表達(dá)形式時，需設(shè)一組變量作為三維應(yīng)力分量，通過建立方程組來求得。事實上，主應(yīng)力空間中的任何一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)矢都可分解為π平面內(nèi)兩個偏量和沿著其法向方向的應(yīng)力，它們對應(yīng)的三個方向剛好構(gòu)成了一個正交坐標(biāo)系。根據(jù)彈性力學(xué)里的不同笛卡兒坐標(biāo)系中矢量的分量轉(zhuǎn)換關(guān)系，即轉(zhuǎn)軸公式[2]，就能輕松導(dǎo)出上述兩個坐標(biāo)系(即應(yīng)力空間中的主坐標(biāo)和π平面及其法向坐標(biāo)系) 之間的關(guān)系，從而得到任意應(yīng)力在π平面上的應(yīng)力偏量描述。

1 主應(yīng)力空間及π 平面

任意一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)，可以通過參考坐標(biāo)系下應(yīng)力張量來描述，也可以用三個主應(yīng)力和主方向來描述。由三個主應(yīng)力分量σ1，σ2，σ3為坐標(biāo)軸組成的空間直角坐標(biāo)系稱為主應(yīng)力空間。設(shè)主應(yīng)力空間沿主方向的3 個基矢記為(e1,e2,e3)，其中任意一點(diǎn)應(yīng)力(對應(yīng)圖1 中的OP) 的應(yīng)力狀態(tài)矢可表示為[1-3]

圖1 主應(yīng)力空間中一點(diǎn)應(yīng)力矢及其在π 平面上的投影

設(shè)ON為主應(yīng)力空間的等傾線(又稱Λ線)，過原點(diǎn)且法向為ON的平面是主應(yīng)力空間的等傾面，稱之為π平面。其方程為

其中σm= (σ1+σ2+σ3)/3，為平均正應(yīng)力，si=σi-σm(i=1,2,3)，si為應(yīng)力偏量的三個主值。顯然

也即OQ必然在π平面內(nèi)。

由于靜水應(yīng)力對材料的塑性變形沒有影響，因此研究材料的塑性變形時，通常只需要分析應(yīng)力偏量部分，即度量任一點(diǎn)應(yīng)力在二維π平面上所對應(yīng)的偏量部分的大小和方向，建立三維主應(yīng)力空間和二維π平面之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。

常見教材中π平面上應(yīng)力偏量的描述都是基于空間中向量的幾何關(guān)系，過程繁瑣容易出錯。本文將利用坐標(biāo)變換的方法，即根據(jù)任意矢量的分量在不同坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)換關(guān)系，輕松得到主應(yīng)力空間中的任意應(yīng)力分量與π平面上應(yīng)力偏量的對應(yīng)關(guān)系。

2 應(yīng)力分量從主坐標(biāo)系變換到π 平面坐標(biāo)系，即(e1,e2,e3) →(,,)

圖2 兩個坐標(biāo)系間的幾何關(guān)系

由坐標(biāo)系間的夾角余弦值[4]，新舊坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)換系數(shù)矩陣βij可寫為

代入式(4)，可得應(yīng)力狀態(tài)矢在π平面坐標(biāo)系下的分量(σ′1,σ′2,σ′3)

3 應(yīng)力分量從(主坐標(biāo)系)到π平面坐標(biāo)系的逆變換，即,,→(e1,e2,e3)

對應(yīng)的偏量部分可以表示為

上述推導(dǎo)得到了與現(xiàn)有教材完全一致的應(yīng)力分量關(guān)系，但數(shù)學(xué)思路更為清晰，可以作為該知識點(diǎn)的一個教學(xué)補(bǔ)充。

4 結(jié)論

本文利用π平面及其法向構(gòu)造了新的π平面坐標(biāo)系，并基于坐標(biāo)變換方法，通過應(yīng)力空間中主坐標(biāo)系和π平面坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)變換關(guān)系，得到任意應(yīng)力在π平面上的應(yīng)力偏量描述。與傳統(tǒng)的幾何投影法相比，本方法更為方便簡潔，與傳統(tǒng)方法又有異曲同工之處，在彈塑性力學(xué)的教學(xué)中可以對比使用。