李旭龍 張 忠 董俊輝 魏 莎,, 陳立群,

?(上海大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院，上海 200444)

?(北京強度環(huán)境研究所可靠性與環(huán)境工程技術(shù)重點實驗室，北京 100076)

??(哈爾濱工業(yè)大學(xué)(深圳) 理學(xué)院，深圳 518055)??(上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海 200072)

近年來，隨著航空航天、船舶和機械等工程領(lǐng)域的迅速發(fā)展，越來越多的復(fù)雜結(jié)構(gòu)被運用于工程實際，這對其結(jié)構(gòu)動態(tài)分析結(jié)果的準確性提出了更高的要求。目前，針對大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)展開有限元仿真計算，需要耗費大量的計算成本，不利于復(fù)雜結(jié)構(gòu)中部件的優(yōu)化設(shè)計，頻響函數(shù)子結(jié)構(gòu)方法為該問題提供了解決思路。該方法將復(fù)雜結(jié)構(gòu)進行子結(jié)構(gòu)劃分，并對每個子結(jié)構(gòu)進行動態(tài)特性分析，最后根據(jù)位移協(xié)調(diào)條件和界面力平衡條件求得整體結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性[1-2]。同時，相較于模態(tài)綜合方法，其無需考慮剩余模態(tài)和主模態(tài)個數(shù)的限制，適用于模態(tài)密集和較大阻尼結(jié)構(gòu)。但該方法同樣須克服諸多難題，在實驗測試過程中由于無法進行純彎矩激勵且一般傳感器無法對轉(zhuǎn)角自由度數(shù)據(jù)進行測量，因此轉(zhuǎn)角自由度信息的獲取成為了難題之一。

許多學(xué)者針對實驗測試中存在的轉(zhuǎn)角自由度信息缺失問題展開了相關(guān)研究。Liu 等[3]詳細討論了轉(zhuǎn)角自由度信息在頻響函數(shù)子結(jié)構(gòu)綜合方法中的重要性，并指出不考慮該信息進行綜合會導(dǎo)致錯誤的綜合結(jié)果。Duarte 等[4]采用有限差分法獲取了與轉(zhuǎn)角自由度相關(guān)的頻響函數(shù)，具有較高的計算精度，但該方法對試驗件的結(jié)構(gòu)有較高要求。Avitabile 等[5]采用測試得到的平動自由度信息進行模態(tài)參數(shù)識別，并將計算得到的模態(tài)振型和殘余模態(tài)進行擴展從而得到相應(yīng)的轉(zhuǎn)角自由度頻響函數(shù)。de Klerk 等[6]提出界面剛性等效方法，假設(shè)連接點處的多個拾振點位于同一剛體區(qū)域內(nèi)，通過耦合多個拾振點的平動自由度信息計算得到連接點的轉(zhuǎn)角自由度信息，避免了轉(zhuǎn)角自由度的直接測量。

本文介紹了界面剛性等效方法的基本理論，并將該方法用于圓柱殼結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)角自由度信息缺失問題。通過對圓柱殼結(jié)構(gòu)的數(shù)值仿真和實驗研究，驗證了該方法的可行性。此外，結(jié)果表明該方法的計算結(jié)果具有較高的精度，可用于頻響函數(shù)子結(jié)構(gòu)綜合方法的研究。

1 界面剛性等效方法

1.1 基本理論

界面剛性等效(equivalent multi-point connection, EMPC) 方法[6-8]將子結(jié)構(gòu)連接界面視為剛性面，按剛體運動理論對界面進行剛性等效。通過耦合連接點附近的多個平動自由度信息，進行子結(jié)構(gòu)連接點轉(zhuǎn)角自由度信息的近似估計。以對接圓柱殼結(jié)構(gòu)為例，可根據(jù)連接特性將其分為子結(jié)構(gòu)A 和B。由系統(tǒng)輸入、輸出關(guān)系，可得到子結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)方程為[9-10]

為簡要說明界面剛性等效方法中變換矩陣R的構(gòu)成，以每個連接點附近布置三個三軸加速度傳感器的典型配置為例，如圖1 所示。該結(jié)構(gòu)由子結(jié)構(gòu)A 和B 組成，連接界面為1～3 號節(jié)點組成的平面，兩子結(jié)構(gòu)在界面處完全固結(jié)。將1～3 號節(jié)點的拾振點通過符號k(k= 1,2,3) 表示，每個拾振點僅包含3 個平動自由度。

圖1 對接結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of docking structure

其中，E為單位矩陣。

1.2 界面剛性指數(shù)

基于上述理論，可通過連接點附近多個拾振點所組成的局部變形模態(tài)對界面連接點轉(zhuǎn)角自由度信息進行近似估計。如果拾振點選取不當將直接導(dǎo)致估計精度的降低。de Klerk 定義的界面剛性指數(shù)可作為拾振點選取優(yōu)劣的評判依據(jù)[6,11]。通過子結(jié)構(gòu)連接界面的原自由度響應(yīng)與轉(zhuǎn)換得到的等效自由度響應(yīng)的比值，判斷局部變形模態(tài)是否能夠較好地描述界面連接點。不考慮內(nèi)部點自由度響應(yīng)，由式(3)可得

當界面完全剛性時，根據(jù)剛體運動特點可知剩余自由度響應(yīng)μ趨近于零。此時，界面等效自由度響應(yīng)?u趨近于原自由度響應(yīng)u，則界面剛性指數(shù)接近“1”，也就是說界面連接點可以被較好地描述，反之則描述效果較差。同樣以圖1 所示結(jié)構(gòu)為例說明界面剛性指數(shù)的計算過程。

令內(nèi)部節(jié)點力fi=0，可得

其中，下標1～3 為拾振點編號。

將式(8)、式(3) 代入式(1) 便可得到子結(jié)構(gòu)連接界面剛性指數(shù)。

2 圓柱殼結(jié)構(gòu)數(shù)值仿真研究

2.1 仿真模型

將界面剛性等效方法應(yīng)用于對接圓柱殼結(jié)構(gòu)。仿真過程中采用ABAQUS 有限元分析軟件對圓柱殼結(jié)構(gòu)進行頻響函數(shù)的計算，以下稱作“有限元頻響”。同時，為模擬實驗條件下界面轉(zhuǎn)角自由度信息不可測的情況，采用EMPC 方法耦合多個拾振點的平動自由度信息以進行界面連接點轉(zhuǎn)角自由度信息的近似估計，以下稱作 “EMPC 計算頻響”。圖2 為圓柱殼結(jié)構(gòu)的連接界面示意圖，其中1～3號點為待耦合的拾振點，4 號點為待估計的界面連接點。

圖2 圓柱殼結(jié)構(gòu)連接界面示意圖Fig.2 Schematic diagram of the connection interface of cylindrical shell structure

由于EMPC 理論基于界面剛性假設(shè)，故選取三個較為靠近界面連接點的位置作為拾振點。以法蘭盤為坐標原點，則三點坐標分別為：1(163.3, 13.2,0)，2(185, 0, 0)，3(163.3,-13.2, 0)，通過式(8) 便可組成變換矩陣R。

2.2 仿真結(jié)果及分析

通過EMPC 方法耦合1～3 號點的線自由度信息，可對4 號連接點進行轉(zhuǎn)角自由度信息的近似估計。同時，將EMPC 計算頻響與有限元頻響進行對比，如表1 所示為二者的峰值誤差與峰值處頻率誤差匯總。

從表1 所得的相對誤差可以看出，EMPC 計算頻響與有限元頻響吻合較好，其最大峰值誤差為2.67 dB，峰值處的頻率誤差為0 Hz，均在誤差允許范圍內(nèi)。結(jié)果表明界面剛性等效方法可以近似估計圓柱殼結(jié)構(gòu)界面連接點的轉(zhuǎn)角自由度信息。

表1 EMPC 計算頻響與有限元頻響結(jié)果的頻率誤差和峰值誤差匯總表Table 1 Summary of frequency errors and peak errors of FRF calculated by EMPC method and finite element method

3 圓柱殼結(jié)構(gòu)試驗研究

3.1 實驗?zāi)Ｐ图皽y試方案

為進一步驗證界面剛性等效方法的正確性及其在對接結(jié)構(gòu)中的有效性，采用上述方法對圖3 所示的圓柱殼結(jié)構(gòu)進行界面轉(zhuǎn)角自由度信息的近似估計，其中1～4 號點為界面連接點。圓柱殼結(jié)構(gòu)的基本參數(shù)信息為：筒壁內(nèi)徑D1= 292 mm，筒壁外徑D2= 300 mm，筒壁長度L= 500 mm，法蘭厚度b=30 mm，法蘭外伸長度h=35 mm。

圖3 圓柱殼結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 Schematic diagram of cylindrical shell structure

3.2 實驗結(jié)果及分析

為正確評估EMPC 計算頻響的正確性，需結(jié)合圓柱殼結(jié)構(gòu)模態(tài)振動特性，故本節(jié)開展了該結(jié)構(gòu)的實驗?zāi)B(tài)測試與分析[12]。實驗過程中通過彈性繩進行圓柱殼結(jié)構(gòu)自由邊界的實驗實現(xiàn)，采用單點激勵多點響應(yīng)形式，利用沖擊力錘施加脈沖激勵，力傳感器信號和拾振點處的三軸加速度傳感器信號反饋給數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)。數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)結(jié)合輸入和輸出信號進行曲線擬合，從而識別系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)，試驗?zāi)B(tài)測試系統(tǒng)如圖4 所示。

圖4 實驗?zāi)B(tài)測試系統(tǒng)示意圖Fig.4 Schematic diagram of experimental modal test system

依次對112 個測點進行徑向激勵并對對應(yīng)的頻響函數(shù)進行5 次有效值平均，計算得到前6 階固有頻率及阻尼比，如表2 所示，其中m和n分別表示軸向波數(shù)與周向半波數(shù)。

表2 圓柱殼結(jié)構(gòu)前6 階模態(tài)參數(shù)Table 2 The first six modal parameters of cylindrical shell structure

由表2 可以發(fā)現(xiàn)，帶有法蘭的圓柱殼結(jié)構(gòu)仍然保留了薄殼振動的大多數(shù)特點：(1) 呼吸振型，其軸向和周向都呈現(xiàn)出周期波的特點；(2)其周向的半波數(shù)和軸向波數(shù)隨著模態(tài)階數(shù)的增加而呈增加趨勢，第3 階、第5 階模態(tài)雖出現(xiàn)了周向半波數(shù)減少的情況，但總體上看其仍滿足上述規(guī)律，表現(xiàn)為圓柱殼結(jié)構(gòu)的一般振動特性。

基于上述對圓柱殼結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的求解，現(xiàn)對1～4 號連接點采用圖2 所示的拾振點布置，布置結(jié)果如圖5 所示。同時，為驗證拾振點布置的合理性，可根據(jù)Klerk 定義的界面剛性指數(shù)進行計算[6,11]，計算結(jié)果如圖6 所示。

圖5 拾振點布置示意圖Fig.5 Schematic diagram of pick-up point layout

通過圖6 結(jié)果可以看出：(1)整個界面的剛性指數(shù)隨著頻率的增加而有所降低，說明拾振點布置是合理的；(2) 250～400 Hz，500～700 Hz 頻段處的界面剛性指數(shù)較小，界面連接點可能無法得到較好的描述，導(dǎo)致上述頻段的頻響綜合結(jié)果較差。上述結(jié)論驗證了其布置的合理性，由于該過程所用的數(shù)據(jù)均為實驗實測獲得，故仍需進行計算精度驗證。

圖6 界面剛性指數(shù)計算結(jié)果(Klerk 方法)Fig.6 Calculation result of interface rigidness (Klerk method)

進一步對上述連接點轉(zhuǎn)角自由度信息進行EMPC 方法的近似估計。為便于敘述，將基于實驗頻響函數(shù)EMPC 計算得到的連接點頻響函數(shù)稱為“EMPC 計算頻響”。表3 為1 號連接點EMPC 計算頻響與有限元頻響的頻率誤差和峰值誤差匯總表。由于500～700 Hz 頻段界面剛性指數(shù)較差，故不對該頻段進行討論。

通過表3 結(jié)果可以看出，EMPC 計算頻響在各階固有頻率處均有峰值存在。將其與有限元頻響進行對比可以發(fā)現(xiàn)，二者的頻率誤差最大為6 Hz(1.68%)、峰值誤差最大為1.29 dB，二者具有較高的一致性。因此可得結(jié)論：(1)EMPC 方法同樣適用于圓柱殼結(jié)構(gòu)；(2) 將實驗頻響函數(shù)進行EMPC 計算得到轉(zhuǎn)角自由度信息具有較高的計算精度，可用于子結(jié)構(gòu)混合建模的研究。

表3 EMPC 計算頻響與有限元頻響的頻率誤差和峰值誤差匯總表Table 3 Summary of frequency error and peak error of FRF calculated by EMPC method and finite element method

4 結(jié)論

本文介紹了界面剛性等效方法，并將其運用于圓柱殼結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)角自由度信息估計問題。為驗證界面剛性等效方法的可行性與計算精度，對圓柱殼結(jié)構(gòu)進行了數(shù)值仿真和實驗研究，基于上述結(jié)果可得結(jié)論：(1)界面剛性等效方法可以近似估計連接點的轉(zhuǎn)角自由度信息且可用于圓柱殼結(jié)構(gòu)；(2)圓柱殼結(jié)構(gòu)連接點經(jīng)過界面剛性等效方法計算后，其結(jié)果與有限元結(jié)果相吻合，具有較高的計算精度；(3) 經(jīng)界面剛性等效方法計算得到的轉(zhuǎn)角自由度信息可用于子結(jié)構(gòu)混合建模研究，以提高混合建模精度。