陳洪芳， 韓夢(mèng)蕊， 孫若水， 石照耀

(北京工業(yè)大學(xué) 北京市精密測(cè)控技術(shù)與儀器工程技術(shù)研究中心， 北京 100124)

隨著裝備制造業(yè)的發(fā)展，在大型工件檢測(cè)、工件對(duì)齊、機(jī)床校準(zhǔn)等領(lǐng)域，對(duì)測(cè)量精度的要求越來(lái)越高，激光跟蹤測(cè)量技術(shù)作為公認(rèn)最具有潛力的可進(jìn)行大范圍、高精度動(dòng)態(tài)現(xiàn)場(chǎng)實(shí)時(shí)測(cè)量技術(shù)，近年來(lái)受到廣泛關(guān)注[1]。激光追蹤儀由于其基準(zhǔn)球的創(chuàng)新設(shè)計(jì)，使激光跟蹤技術(shù)的空間距離的測(cè)量精度得到了大幅提高，解決了坐標(biāo)測(cè)量機(jī)標(biāo)定效率和精度提高難度大的問(wèn)題。激光追蹤測(cè)量系統(tǒng)采用類(lèi)杠桿結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)俯仰運(yùn)動(dòng)[2]，利用配重塊實(shí)現(xiàn)俯仰平臺(tái)的平衡。在有限的激光追蹤測(cè)量系統(tǒng)機(jī)械整體結(jié)構(gòu)內(nèi)，激光追蹤測(cè)量系統(tǒng)俯仰平臺(tái)配重塊存在體積與質(zhì)量的矛盾，極大影響了部分零件的使用壽命、測(cè)量系統(tǒng)精度及系統(tǒng)安全性能等。采用拓?fù)鋬?yōu)化的方法進(jìn)行機(jī)械結(jié)構(gòu)的輕量化，克服了傳統(tǒng)設(shè)計(jì)中對(duì)人的主觀(guān)依賴(lài)性[3]，特別是在工業(yè)部件輕量化中應(yīng)用廣泛。拓?fù)涿枋龇椒ㄝ^為常用的是均勻化方法和密度法材料插值模型[4-5]。其中密度法材料插值模型在工程領(lǐng)域應(yīng)用最為廣泛。對(duì)于密度插值方法，不同插值模式會(huì)導(dǎo)致不同的計(jì)算模型，如SIMP材料插值模型、RAMP材料插值模型及Voigt上邊界材料插值模型及等在工程中較為常用的為SIMP材料插值模型[6-8]。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)材料插值理論和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)優(yōu)化方法及其應(yīng)用進(jìn)行了深入研究。如Nguyen等[9]提出將拓?fù)鋬?yōu)化作為增材制造(3D打印)設(shè)計(jì)方法在保證產(chǎn)品的機(jī)械性能前提下，幫助設(shè)計(jì)者用最少的材料創(chuàng)造出最優(yōu)的產(chǎn)品結(jié)構(gòu)；李所軍等[10]基于變密度法分別對(duì)搖臂和擺桿進(jìn)行了多工況結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)；張聰?shù)萚11]設(shè)計(jì)了7 個(gè)三體船結(jié)構(gòu)強(qiáng)度校核工況并應(yīng)用變密度拓?fù)鋬?yōu)化方法分別計(jì)算了不同結(jié)構(gòu)在不同工況下的應(yīng)力分布，實(shí)現(xiàn)了部分結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計(jì)；Liang等[12]對(duì)變速箱在多工況下的拓?fù)鋬?yōu)化進(jìn)行了研究；Otomo等[13]提出了一種基于歸一化高斯函數(shù)方法的新型兩步拓?fù)鋬?yōu)化方法，可有效地改善爪極式交流發(fā)電機(jī)的性能；Chen等[14]介紹了一種在拓?fù)鋬?yōu)化敏感性過(guò)程中使用工程約束的啟發(fā)式方法，使拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果可以滿(mǎn)足結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的要求；Cai等[15]提出了一種考慮載荷不確定性的魯棒連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題的求解方法，采用的比例拓?fù)鋬?yōu)化方法避免了計(jì)算目標(biāo)靈敏度，并證明了所提方法的有效性。目前關(guān)于拓?fù)鋬?yōu)化在機(jī)械機(jī)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)的相關(guān)理論及應(yīng)用較為完善[16]。但在激光追蹤測(cè)量系統(tǒng)中應(yīng)用相對(duì)較少。

本文基于三維拓?fù)鋬?yōu)化算法[17]，使用變密度法的SIMP材料插值模型[18]，對(duì)激光追蹤測(cè)量系統(tǒng)俯仰平臺(tái)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，根據(jù)優(yōu)化結(jié)果在Inventor中進(jìn)行模型重構(gòu)，對(duì)重構(gòu)模型進(jìn)行應(yīng)力分析，并計(jì)算配重進(jìn)行驗(yàn)證。在不改變?cè)袡C(jī)械結(jié)構(gòu)條件下，實(shí)現(xiàn)激光追蹤測(cè)量系統(tǒng)的機(jī)械結(jié)構(gòu)輕量化。

1 激光追蹤測(cè)量系統(tǒng)機(jī)械結(jié)構(gòu)的輕量化

1.1 激光追蹤測(cè)量原理

將貓眼放置于被測(cè)目標(biāo)上，當(dāng)貓眼處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，激光束入射到位置敏感探測(cè)器(position sensitive detector，PSD)的中心，PSD輸出電壓信號(hào)為零，電機(jī)無(wú)控制信號(hào)輸入；在追蹤測(cè)量過(guò)程中，貓眼運(yùn)動(dòng)，被貓眼反射回的激光束偏離PSD的中心，PSD輸出偏移量信號(hào)反饋至電機(jī)，電機(jī)通過(guò)機(jī)械系統(tǒng)控制光學(xué)系統(tǒng)跟蹤貓眼運(yùn)動(dòng)，保證光學(xué)系統(tǒng)發(fā)出的光始終入射到貓眼的中心，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的跟蹤測(cè)量[19]。激光追蹤測(cè)量系統(tǒng)工作原理示意圖如圖1所示。

圖1 激光追蹤測(cè)量系統(tǒng)工作原理示意Fig.1 Light path diagram of Laser tracking measurement system

1.2 激光追蹤測(cè)量系統(tǒng)機(jī)械結(jié)構(gòu)

激光追蹤測(cè)量系統(tǒng)整體結(jié)構(gòu)[20]主要由4個(gè)部分組成：激光頭部分，由光學(xué)元件及干涉光路等組成；俯仰平臺(tái)，由激光頭、防塵蓋、連接板、俯仰架及配重組成；旋轉(zhuǎn)平臺(tái)，主要由俯仰電機(jī)及俯仰平臺(tái)支撐架等組成；底座，主要由標(biāo)準(zhǔn)球、支撐座及旋轉(zhuǎn)電機(jī)等組成，如圖2所示。其中標(biāo)準(zhǔn)球球心位于兩電機(jī)軸線(xiàn)交點(diǎn)處。

圖2 激光追蹤測(cè)量系統(tǒng)機(jī)械結(jié)構(gòu)Fig.2 Mechanical structure of laser tracking measurement system

1.3 機(jī)械結(jié)構(gòu)輕量化的拓?fù)鋬?yōu)化理論

對(duì)于靜力學(xué)，常用優(yōu)化模型主要有：在體積或質(zhì)量約束下求最小柔度(最大剛度)[21]；或在剛度約束下求最小體積或質(zhì)量[22]。本文采用約束體積，目標(biāo)函數(shù)為最小柔度進(jìn)行模型建立。

首先，將離散模型轉(zhuǎn)化為連續(xù)體進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，建立目標(biāo)函數(shù)，設(shè)置約束條件等，目標(biāo)是讓柔度最小化，表達(dá)為：

(1)

式中：U為整體位移；F為力矢量；K為整體stiffness矩陣(單元?jiǎng)偠染仃?，表示單元體的受力與變形關(guān)系)；e為元素；xe為元素密度；ue為單元位移矢量；k0為單元楊氏模量的單元stiffness矩陣；ke為stiffness矩陣；x為設(shè)計(jì)變量矢量；xmin為最小相對(duì)密度矢量；N為用于離散設(shè)計(jì)域的元素?cái)?shù)；p為懲罰冪(通常p=3)；V(x)為材料體積；V0為設(shè)計(jì)域體積；f為規(guī)定的體積分?jǐn)?shù)。

對(duì)連續(xù)體問(wèn)題，可使用最優(yōu)化準(zhǔn)則(OC)法進(jìn)行求解。OC優(yōu)化方案可表達(dá)為[18]：

(2)

式中：m是正的移動(dòng)極限；η(=1/2)是數(shù)值阻尼系數(shù)；Be可從最優(yōu)性條件中得到。

根據(jù)OC優(yōu)化準(zhǔn)則可以計(jì)算出目標(biāo)函數(shù)c的靈敏度。公式表達(dá)為：

(3)

式中：λ為拉格朗日乘子；Be為相對(duì)靈敏度。拉格朗日乘子可采用雙分段算法求得，要使用過(guò)濾器對(duì)靈敏度進(jìn)行優(yōu)化迭代。

2 激光追蹤測(cè)量系統(tǒng)機(jī)械結(jié)構(gòu)的三維拓?fù)鋬?yōu)化方法

表格的設(shè)基于激光追蹤測(cè)量系統(tǒng)整體機(jī)械機(jī)構(gòu)，若俯仰平臺(tái)與激光頭連接后的重心不在標(biāo)準(zhǔn)球中心，會(huì)導(dǎo)致俯仰電機(jī)和旋轉(zhuǎn)電機(jī)軸向受力不平衡、系統(tǒng)精度下降等問(wèn)題，需要在俯仰架后端增加配重。配重由于質(zhì)量與體積之間的矛盾，因此要對(duì)俯仰平臺(tái)前半段機(jī)械結(jié)構(gòu)進(jìn)行減重優(yōu)化。如圖3所示為激光追蹤測(cè)量系統(tǒng)俯仰平臺(tái)機(jī)械結(jié)構(gòu)圖，在俯仰平臺(tái)中除配重外，質(zhì)量最大的零件為連接板及俯仰架，本文將針對(duì)連接板及俯仰進(jìn)行輕量化研究。

圖3 激光追蹤測(cè)量系統(tǒng)俯仰平臺(tái)機(jī)械結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Mechanical structure diagram of the pitch platform of the laser tracking measurement system

利用三維拓?fù)鋬?yōu)化算法對(duì)連接板和俯仰架的機(jī)械結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，根據(jù)優(yōu)化結(jié)果及實(shí)際情況進(jìn)行俯仰平臺(tái)的模型重構(gòu)，并對(duì)重構(gòu)模型進(jìn)行力學(xué)分析，根據(jù)重構(gòu)模型仿真出質(zhì)量進(jìn)行配重的重新計(jì)算，激光追蹤測(cè)量系統(tǒng)機(jī)械結(jié)構(gòu)的三維拓?fù)鋬?yōu)化方法流程如圖4 所示。

圖4 激光追蹤測(cè)量系統(tǒng)機(jī)械結(jié)構(gòu)優(yōu)化流程圖Fig.4 Flow chart of mechanical structure optimization of laser tracking measurement system

首先提取俯仰平臺(tái)中的俯仰架與連接板的相關(guān)模型參數(shù)。并指定俯仰平臺(tái)連接板、俯仰架前半部分作為優(yōu)化域。根據(jù)參數(shù)及模型受力情況，調(diào)整三維拓?fù)鋬?yōu)化代碼，對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)化。為了實(shí)現(xiàn)三維板狀結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，將俯仰架拆分成前板、安裝電機(jī)側(cè)側(cè)板及未安裝電機(jī)側(cè)側(cè)板三部分進(jìn)行優(yōu)化。按照優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行模型重構(gòu)，并對(duì)重構(gòu)模型進(jìn)行應(yīng)力分析。若重構(gòu)模型符合安全設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)，則繼續(xù)進(jìn)行配重計(jì)算；不符合安全設(shè)計(jì)準(zhǔn)，則重新進(jìn)行模型重構(gòu)。最后分析配重計(jì)算結(jié)果，若滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求，則優(yōu)化結(jié)束；若不滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求，則重新選取優(yōu)化域進(jìn)行優(yōu)化。

3 激光追蹤測(cè)量系統(tǒng)俯仰平臺(tái)機(jī)械結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化分析

3.1 激光追蹤測(cè)量系統(tǒng)俯仰平臺(tái)受力情況

俯仰架及連接板受力分析如圖5～8所示。

在整個(gè)俯仰平臺(tái)平衡中，俯仰架側(cè)板起到杠桿的作用，即以中間部分固定端為界限。選定俯仰架兩側(cè)板的優(yōu)化域?yàn)榍鞍攵?；俯仰架前板和連接板的優(yōu)化域?yàn)檎w。圖5為俯仰架前板受力圖，俯仰架前板所受載荷來(lái)自于連接板及激光頭，其固定約束為與兩側(cè)板連接的位置。

圖5 俯仰架前板受力圖Fig.5 Force diagram of front plate of pitch frame

圖6 俯仰架安裝電機(jī)側(cè)側(cè)板受力圖Fig.6 Force diagram of side plate with motor of pitch frame

注：Fw為原配重對(duì)俯仰架施加的重力，F(xiàn)L為原激光頭及連接板對(duì)俯仰架板加的重力圖7 俯仰架不安裝電機(jī)側(cè)側(cè)板受力圖Fig.7 Force diagram of side plate without motor of pitch frame

圖8 連接板受力圖Fig.8 Force diagram of connecting plate

3.2 激光追蹤測(cè)量系統(tǒng)俯仰平臺(tái)三維拓?fù)鋬?yōu)化方法

由Inventor仿真獲得俯仰平臺(tái)的優(yōu)化參數(shù)。根據(jù)上述參數(shù)進(jìn)行初始化，對(duì)俯仰架及連接板設(shè)定的優(yōu)化域進(jìn)行優(yōu)化。

根據(jù)文獻(xiàn)[17]代碼中所提及的優(yōu)化模型，即設(shè)置材料相對(duì)密度x作為設(shè)計(jì)變量，在規(guī)定的約束和荷載條件下，優(yōu)化模型結(jié)構(gòu)使變形最小。建立目標(biāo)為：

(4)

建立模型后，進(jìn)行有限元分析，計(jì)算目標(biāo)函數(shù)靈敏度，用OC優(yōu)化準(zhǔn)則進(jìn)行設(shè)計(jì)變量更新，設(shè)置迭代次數(shù)200次。

設(shè)置體積分?jǐn)?shù)0.3，懲罰功率3，濾波器尺寸1.5。優(yōu)化結(jié)果如圖9～11所示，優(yōu)化結(jié)果邊界清晰，參數(shù)設(shè)置合理。

圖9 俯仰架安裝電機(jī)側(cè)側(cè)板優(yōu)化圖Fig.9 Topology optimization result of side plate with motor of pitch frame

圖9、10分別為俯仰架安裝電機(jī)側(cè)側(cè)板及不安裝電機(jī)側(cè)側(cè)板優(yōu)化圖，優(yōu)化域中心區(qū)域可去除的材料相對(duì)較多，并采用交叉支撐以減少材料的使用，得到空間最合理的布局。

圖10 俯仰架不安裝電機(jī)側(cè)側(cè)板優(yōu)化圖Fig.10 Topology optimization result of side plate without motor of pitch frame

圖11為連接板優(yōu)化圖，由于其所受載荷均在優(yōu)化域底部，因此上半部分材料去除較多，但結(jié)合實(shí)際情況重構(gòu)建模時(shí)要對(duì)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行適當(dāng)修改，增加上半部分的支撐結(jié)構(gòu)。其中因其固定形式與其他零件略有不同。圖中矩形部分為夾緊塊所產(chǎn)生的固定約束，非可減重部分。

圖11 連接板優(yōu)化圖Fig.11 Topology optimization result of connecting plate

3.3 激光追蹤測(cè)量系統(tǒng)俯仰平臺(tái)重構(gòu)模型及應(yīng)力分析

根據(jù)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果及實(shí)際情況對(duì)模型進(jìn)行重構(gòu)建模，其中對(duì)俯仰架采用圓形減重孔減重方案，如圖12所示；連接板重構(gòu)模型如圖13所示。減重后，將重構(gòu)模型導(dǎo)入Inventor進(jìn)行應(yīng)力分析。俯仰架所受載荷為53 N，得到安全系數(shù)云圖如圖14所示，可知重構(gòu)模型的安全系數(shù)均大于15，即輕量化后的機(jī)械結(jié)構(gòu)可以安全承受所加載荷，滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求。

周一，美國(guó)市場(chǎng)開(kāi)市，中國(guó)還是假期，看到了雷曼破產(chǎn)，中投風(fēng)控部工作人員，挨個(gè)打電話(huà)給自己的分布在全球的投資經(jīng)理，尤其是幫助中投管理貨幣市場(chǎng)基金的經(jīng)理，詢(xún)問(wèn)在他們的投資組合里，是否有雷曼的債券？果然，Primary的基金經(jīng)理回復(fù)，他們資產(chǎn)池中有4%的倉(cāng)位在雷曼債券上。該基金全稱(chēng)Reserve Primary Fund，在其持有人名單上，中投公司旗下的Stable Investment是最大持有人，持有份額折合市值約54億美元。

圖12 圓形減重孔俯仰架結(jié)構(gòu)Fig.12 The structure of round weight-reducing hole pitch frame

圖13 連接板結(jié)構(gòu)Fig.13 The structure of connecting plate

圖14 圓形減重孔俯仰架應(yīng)力云圖Fig.14 Stress analysis diagram of round weight-reducing hole pitch frame

同理，連接板應(yīng)力分析云圖如圖15所示，連接板所受載荷為22 N，其安全系數(shù)大于15，輕量化后的機(jī)械結(jié)構(gòu)可以安全承受所加載荷，滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求。

圖15 連接板應(yīng)力云圖Fig.15 Stress analysis diagram of connecting plate

3.4 激光追蹤測(cè)量系統(tǒng)配重計(jì)算

為了檢驗(yàn)輕量化方法的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，計(jì)算減重后的俯仰平臺(tái)所需配重的質(zhì)量，檢驗(yàn)其是否小于原配重質(zhì)量。

在不添加配重的情況下，由于激光跟蹤系統(tǒng)激光頭部分(俯仰模塊)的質(zhì)心會(huì)與俯仰電機(jī)的旋轉(zhuǎn)軸線(xiàn)產(chǎn)生一個(gè)偏心距，增加了俯仰電機(jī)的高速伺服控制難度，使其難以將電機(jī)控制參數(shù)調(diào)整到一個(gè)合適的數(shù)值。因此在俯仰架尾端添加配重可以達(dá)到與前端激光頭平衡，通過(guò)杠桿平衡的原理，獲得所需配重質(zhì)量。

如圖16所示，分別以標(biāo)準(zhǔn)球球心為原點(diǎn)O，水平回轉(zhuǎn)軸、垂直回轉(zhuǎn)軸為X軸和Z軸，建立O-XYZ坐標(biāo)系。以XOZ平面為分割面，將整個(gè)俯仰平臺(tái)分為如上文所述的前半部及后半部。設(shè)水平回轉(zhuǎn)前半部質(zhì)心點(diǎn)空間坐標(biāo)為A(x1,y1,z1)，標(biāo)準(zhǔn)球球心為空間坐標(biāo)系原點(diǎn)O(0，0，0)，水平回轉(zhuǎn)后半部質(zhì)心點(diǎn)空間坐標(biāo)為B(x2,y2,z2)，尾架部分質(zhì)心點(diǎn)空間坐標(biāo)為C(x3,y3,z3)，配重塊質(zhì)心點(diǎn)空間坐標(biāo)為D(x4,y4,z4)。設(shè)俯仰前半部質(zhì)量為m1，尾架部分質(zhì)量為m2，配重塊質(zhì)量為m3，水平回轉(zhuǎn)后半部質(zhì)量為 (m2+m3)。

圖16 俯仰平臺(tái)質(zhì)心分布Fig.16 Centroid distribution of pitch frame

以AB為杠桿，原點(diǎn)O為杠桿支撐點(diǎn)，滿(mǎn)足方程：

m1·|AO|=(m2+m3)·|OB|

(5)

則AO的直線(xiàn)方程與∣AO∣、∣OB∣的長(zhǎng)度可以表示為：

(6)

(7)

(8)

質(zhì)心點(diǎn)B為質(zhì)心點(diǎn)C與質(zhì)心點(diǎn)D的合成質(zhì)心點(diǎn)，且質(zhì)心點(diǎn)B位于AO直線(xiàn)延長(zhǎng)線(xiàn)上。則合成質(zhì)心點(diǎn)B的空間坐標(biāo)方程為：

(9)

將∣AO∣長(zhǎng)度式(7)與∣OB∣長(zhǎng)度式(8)代入杠桿定理方程(5)后得到方程：

(10)

根據(jù)方程(10)獲得配重質(zhì)量m3。

基于上述模型，對(duì)俯仰平臺(tái)實(shí)現(xiàn)平衡所需配重進(jìn)行計(jì)算，對(duì)于優(yōu)化前的俯仰平臺(tái)實(shí)現(xiàn)平衡所需配重質(zhì)量為7.77 kg(材料：硬質(zhì)合金，密度：15.50 g/cm3)。

根據(jù)本文提出的三維拓?fù)浞椒▽?duì)激光追蹤系統(tǒng)機(jī)械結(jié)構(gòu)進(jìn)行輕量化后，計(jì)算得到的所需配重質(zhì)量為4.64 kg。相比優(yōu)化前實(shí)現(xiàn)平衡所需的配重質(zhì)量減少了3.13 kg。

4 結(jié)論

1)采用三維拓?fù)鋬?yōu)化算法對(duì)激光追蹤測(cè)量系統(tǒng)俯仰平臺(tái)的連接板和俯仰架進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)，得到滿(mǎn)足系統(tǒng)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與系統(tǒng)安全系數(shù)要求的輕量化連接板與俯仰架模型。相較輕量化優(yōu)化前，連扳優(yōu)化后直接減重1.65 kg，減重效果達(dá)55.7%；俯仰架優(yōu)化后直接減重0.628 kg，減重效果可達(dá)27.9%。

2)在保證傳力效果和傳力路徑的基礎(chǔ)上，對(duì)類(lèi)板狀拼接型零件進(jìn)行拆解分塊分析。該方法既解決了復(fù)雜類(lèi)板狀拼接型零件難以設(shè)定受力的問(wèn)題，又可以保證優(yōu)化結(jié)果的準(zhǔn)確性。

3)本文通過(guò)拓?fù)鋬?yōu)化對(duì)激光追蹤測(cè)量系統(tǒng)關(guān)鍵零件輕量化，在不改變零件原設(shè)計(jì)整體結(jié)構(gòu)的情況下，實(shí)現(xiàn)在有限體積內(nèi)配重質(zhì)量達(dá)到設(shè)計(jì)要求的目的。

4)本文將拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)引入到激光追蹤測(cè)量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，降低了常規(guī)設(shè)計(jì)方法中的局限性，提高了激光追蹤測(cè)量系統(tǒng)設(shè)計(jì)效率，是對(duì)激光追蹤測(cè)量系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法的補(bǔ)充和改善，具有參考意義。