劉軍， 張宇， 汪暢， 張冕

(1.天津市先進(jìn)機(jī)電系統(tǒng)設(shè)計與智能控制重點實驗室， 天津 300384；2.機(jī)電工程國家級實驗教學(xué)示范中心(天津理工大學(xué))， 天津 300384)

高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械在工業(yè)生產(chǎn)中有著舉足輕重的地位，而轉(zhuǎn)子作為旋轉(zhuǎn)機(jī)械的重要組成部分，往往工作在惡劣的條件下，加之運行時所受到的周期性交變載荷及轉(zhuǎn)子本身的材料缺陷，容易伴隨著裂紋的萌生與擴(kuò)展，若不及時發(fā)現(xiàn)，會造成轉(zhuǎn)子的斷裂或系統(tǒng)運行停止等損失，嚴(yán)重了甚至?xí)＜吧６嗄昵?，裂紋轉(zhuǎn)子動力學(xué)特性吸引了國內(nèi)外研究者的廣泛關(guān)注，針對裂紋轉(zhuǎn)子數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建、裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動特性分析和裂紋診斷等開展了大量的研究，形成了較為完善的裂紋轉(zhuǎn)子理論體系。

Arem等[1]采用簡化裂紋數(shù)學(xué)模型，將裂紋簡化成2個由集中質(zhì)量非線性彎曲彈簧連接的無裂紋剛性桿模型，并進(jìn)行了理論分析。Shudeifat等[2]以裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對象，基于單位時變剛度矩陣等特征，對時變剛度裂紋轉(zhuǎn)子的動力學(xué)特性進(jìn)行分析。Liu 等[3]利用開閉映射法研究了轉(zhuǎn)速、不均勻質(zhì)量、扁平性等參數(shù)對裂紋開閉特性的影響。Xiang等[4]綜合考慮裂紋和碰摩等故障和油膜支撐的非線性，著重研究了耦合故障的轉(zhuǎn)子模型渦動軌跡特征及各故障之間的耦合效應(yīng)。Hamid等[5]討論了2個裂紋同時存在時裂紋深度、位置和相對角位置等特征對系統(tǒng)振動特性的影響。Anuj等[6]建立了含有非對稱項的多轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學(xué)模型，研究了非對稱剛度對多轉(zhuǎn)子系統(tǒng)參數(shù)不穩(wěn)定性的影響。Shudeifat等[7]分析了連續(xù)加速和減速2種瞬態(tài)情況下裂紋對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)前向進(jìn)動與后向進(jìn)動的影響。Cavalini等[8]以雙轉(zhuǎn)子為研究對象，通過理論分析，對含裂紋轉(zhuǎn)軸的非線性振動進(jìn)行了研究。Hou等[9]以裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對象，研究了1/2和1/3亞諧波共振的局部分岔特性，討論了模態(tài)特性和裂紋呼吸對系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的影響。

在裂紋故障診斷及監(jiān)測方面，主要有基于動力學(xué)模型和響應(yīng)信號的2種方式[10]進(jìn)行診斷。Chandra等[11]比較了短時傅立葉變換(STFT)、連續(xù)小波變換(CWT)和希爾伯特-黃變換(HHT)3種信號處理工具的檢測性能。Liu等[12]利用HHT能量譜分析在裂紋轉(zhuǎn)子的瞬態(tài)振動信號下研究了裂紋故障診斷，通過理論分析與實驗驗證發(fā)現(xiàn)該方法在早期裂紋信號檢測上優(yōu)于小波分析方法。Liu等[13]基于非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)，提出了一種轉(zhuǎn)子裂紋檢測與量化準(zhǔn)則，放大轉(zhuǎn)子振動特性對裂紋的敏感影響。Rodrigo等[14]采用近似熵算法，對模擬得到的裂紋信號，實現(xiàn)了轉(zhuǎn)軸的裂紋檢測。目前，鮮有文獻(xiàn)從能量觀點對裂紋轉(zhuǎn)子振動特性及裂紋診斷進(jìn)行分析和研究。Liu等[15]引入能量軌道遷移、能量Poincare映射、能量軌跡穩(wěn)定性和能量供給函數(shù)等概念，分析了雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性振動特性。但是，該研究并未對裂紋轉(zhuǎn)子進(jìn)行系統(tǒng)分析。

針對研究中存在的上述問題，基于振動能量空間，本文提出了振動能量分析方法，并與相空間分析相結(jié)合，研究了不同臨界轉(zhuǎn)速區(qū)域在能量空間的轉(zhuǎn)子振動特性，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不同參數(shù)對非線性振動特性及振動能量軌道變化規(guī)律的影響；基于提出能量軌道、能量FFT和能量軌道畸變等概念，研究不同裂紋和非線性等參數(shù)對系統(tǒng)振動特性的影響，相關(guān)實驗驗證了裂紋轉(zhuǎn)子的能量FFT和軌道畸變。研究結(jié)果表明能量FFT和能量軌道畸變規(guī)律能夠更適合診斷轉(zhuǎn)子的裂紋故障，為分析裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動響應(yīng)和故障診斷提供了一種方法。

1 裂紋轉(zhuǎn)子模型及動力學(xué)方程

為體現(xiàn)提出方法的可行性，選用Jeffcott模型，并取裂紋靠近圓盤附近，裂紋最大深度為a，圓盤質(zhì)量偏心e。當(dāng)轉(zhuǎn)軸一端支撐選用單列深溝球軸承時，轉(zhuǎn)子支撐恢復(fù)力會出現(xiàn)復(fù)雜的非線性項[16]，并引起系統(tǒng)非線性振動現(xiàn)象。

1.1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

轉(zhuǎn)子模型如圖1，并導(dǎo)入直角坐標(biāo)系O-XYZ。由于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)水平放置，在重力的作用下，x方向會產(chǎn)生一定程度的撓曲變形r。

圖1 裂紋轉(zhuǎn)子模型Fig.1 Cracked rotor model

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)方程表示為：

(1)

式中：m為圓盤質(zhì)量；c為阻尼系數(shù)；k為無裂紋彈性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的剛度系數(shù)；ω為旋轉(zhuǎn)速度；φ為不平衡方向初始相位角。

1.2 裂紋轉(zhuǎn)子的剛度模型

裂紋參數(shù)在轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系的關(guān)系如圖2所示，重力作用下轉(zhuǎn)子產(chǎn)生彎曲變形，會影響裂紋開閉。

圖2 裂紋參數(shù)在轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系的關(guān)系Fig.2 Relationship of crack parameters in coordinate system

設(shè)裂紋位置設(shè)定靠近圓盤，且裂紋張開角度充分，在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中，隨著裂紋張開，裂紋方向的剛度值會大大降低，即剛度變化主要體現(xiàn)在ξ方向的剛度變化量Δk，η方向的剛度變化量影響較小可忽略不計。故裂紋的剛度矩陣方程可表示為：

(2)

式中f(θ)為裂紋開閉函數(shù)。

1.3 裂紋模型

裂紋模型要反映裂紋在轉(zhuǎn)子運行中全開、全閉及變化過程，并保持各過程中合理的持續(xù)時間。在此選用裂紋混合模型，其函數(shù)表達(dá)式[17]：

(3)

式中：θ=ωt+φ+β-φ,α為裂紋張開角度的一半。

1.4 非線性彈簧恢復(fù)力數(shù)學(xué)模型

當(dāng)轉(zhuǎn)軸一端支撐使用單列深溝球軸承時，由于內(nèi)環(huán)對滾珠運動限制，支撐恢復(fù)力會產(chǎn)生特性不同的非線性項，其恢復(fù)力引起的能量方程為：

β40x4+β31x3y1+β22x2y2+β13x1y3+β04y4

(4)

通過能量方程(4)對x與y方向的導(dǎo)數(shù)，得出轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性項表達(dá)式[16]表示為：

(5)

1.5 無量綱非線性裂紋轉(zhuǎn)子動力學(xué)方程

為了計算及研究方便，對轉(zhuǎn)子動力學(xué)方程(1)進(jìn)行無量綱處理，變換參數(shù)為：

變量無量綱處理后，為簡化將各變量上標(biāo)“-”省略，并將式(2)、(3)和(5)導(dǎo)入，裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)方程為：

(6)

2 相空間與能量空間中振動特性分析

2.1 轉(zhuǎn)子的振動特性理論解的誘導(dǎo)

設(shè)該系統(tǒng)的動力學(xué)方程解表示為：

(7)

基于諧波平衡法，利用Mathematics代入系統(tǒng)動力學(xué)方程(6)，經(jīng)過三角函數(shù)簡化整理得到：

(8)

式中：f1、f2為常數(shù)項系數(shù)；f3、f4為ω成分系數(shù)，f5、f6為ω/2成分系數(shù)。

2.2 線性裂紋轉(zhuǎn)子的振動能量特性分析

將裂紋轉(zhuǎn)子在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的剛度矩陣式(2)代入勢量方程V=kx2/2，可得到其在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)中的能量方程為：

(9)

將式(9)轉(zhuǎn)化到直角坐標(biāo)系中，可得到裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在直角坐標(biāo)系下的能量方程：

(10)

基于式(10)，通過數(shù)值仿真，做出該系統(tǒng)振動能量變化的時間歷程圖、能量FFT圖、能量龐加萊圖以及能量軌道圖，分析振動能量隨時間的變化關(guān)系、分析能量成分、能量的變化周期以及闡述能量軌道的變化規(guī)律，以上稱作在振動能量空間中對系統(tǒng)的振動特性分析，即在振動能量空間中基于能量變化規(guī)律解釋裂紋轉(zhuǎn)子的振動特性。

圖3 裂紋轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)曲線(線性)Fig.3 Vibration response curve of the linear cracked rotor

在ω=0.49時能量空間中的時間歷程圖、頻譜圖、龐加萊映射圖及能量軌道，如圖4所示。圖4(a)和4(b)為超諧波共振時振動能量變化的時間歷程和龐加萊映射圖，表明了裂紋轉(zhuǎn)子的振動特性變化規(guī)律。圖4(a)能量變化值出現(xiàn)2種成分的周期振動，圖4(b)能量龐加萊映射中2點落在能量軌跡平面上，即此時轉(zhuǎn)子振動能量呈二倍周期規(guī)律變化。圖4(c)表示能量頻譜圖，結(jié)果可以分析出，轉(zhuǎn)子在振動過程中，能量變化的主要頻率為ω和2ω成分。圖4(d)為轉(zhuǎn)子能量在x-y方向的投影軌道變化。

圖4 能量空間特性分析(超諧波共振)Fig.4 Analyses of energy change characteristics in the vicinity of the secondary critical speed

在ω=0.99附近時能量變化的時間歷程圖、頻譜圖、龐加萊映射圖及能量軌跡圖，如圖5所示。圖5(a)和5(b) 表示主諧波共振附近振動能量的時間歷程和龐加萊映射圖。圖5(a)顯示能量變化為單周期變化，圖5(b)表示龐加萊映射一點落在能量軌跡平面上，即轉(zhuǎn)子在振動時能量呈單周期規(guī)律變化。圖5(c)為能量頻譜圖，分析得到振動能量頻率變化主要為ω成分，并且出現(xiàn)了很小的2ω成分。圖5(d)為轉(zhuǎn)子的振動能量軌道在x-y方向的投影軌跡變化?；谡駝幽芰款l譜和軌道分析，在一定程度上能清晰的反映出裂紋的影響。

圖5 主諧波共振能量變化特性分析(線性)Fig.5 Analyses of energy change characteristics in the vicinity of the major critical speed (linear)

2.3 非線性裂紋轉(zhuǎn)子的能量特性分析

圖6 非線性裂紋轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)曲線Fig.6 Vibration response curves of the nonlinear cracked rotor

在ω=0.68超諧波共振附近，圖7(a) 和7(b)為振動能量變化的時間歷程和龐加萊映射圖。圖7(a)顯示能量變化出現(xiàn)2種不同頻率的周期振動，圖7(b)中龐加萊映射有2點落在能量軌跡平面上，即轉(zhuǎn)子的振動能量呈二倍周期規(guī)律變化。圖7(c)為能量頻譜圖，分析得到系統(tǒng)的振動能量頻率主要為ω和2ω成分，還有很小的3ω成分。圖7(d)為轉(zhuǎn)子能量軌道在x-y方向的投影軌跡，突顯非線性的影響。

圖7 超諧波共振能量變化特性分析Fig.7 Analyses of energy change characteristics in the vicinity of the secondary critical speed

在ω=1.26主諧波共振附近，圖8(a)和8(b)為振動能量變化的時間歷程和龐加萊映射圖。分析可知，圖8(a)振動能量的變化已經(jīng)不再是簡單的單周期振動。圖8(b)中龐加萊映射為有2點落在能量軌跡平面上。圖8(c)顯示振動能量頻譜圖，振動能量的主要頻率是ω和2ω成分，3ω成分也十分明顯。圖8(d)表示轉(zhuǎn)子能量軌道在x-y方向的投影軌跡，顯不規(guī)則橢圓型。

在ω=2.83 1/2次亞諧波共振附近，圖9(a)和9(b) 為振動能量變化的時間歷程和龐加萊映射圖。分析可知，圖9(a)振動能量變化顯示為二倍周期變化，圖9(b)中龐加萊映射為兩點落在能量軌跡平面上，與圖9(a)相對應(yīng)。圖9(c)顯示振動能量頻譜圖，出現(xiàn)了明顯的1/2ω、ω和3/2ω成分，很小的2ω成分。圖9(d)表示轉(zhuǎn)子振動能量軌道在x-y方向的投影軌跡，顯不規(guī)則軌跡。

圖9 1/2次亞諧波能量變化特性分析Fig.9 Analyses of energy change characteristics in the vicinity of the subharmonic of order 1/2 critical speed

通過振動能量空間分析結(jié)果分析可知，不同區(qū)域能量頻譜分析在一定程度上加強(qiáng)了超諧波成份，2ω成份更加顯著。

2.4 裂紋轉(zhuǎn)子的相頻譜與能量頻譜對比

由于裂紋檢測的一個重要標(biāo)識在于振動特征的變化，如果能在高轉(zhuǎn)速區(qū)發(fā)現(xiàn)超諧波成份，有利于裂紋檢測?；谏鲜龇治?，無論是在主諧波共振附近或是1/2次亞諧波共振附近，能量頻譜中的超諧波成分都比相空間振動信號分析更加明顯。變化不同裂紋深度、相對位置及非線性系數(shù)等參數(shù)時，振動頻譜與振動能量頻譜對比及分析證明該觀點。

2.4.1 裂紋深度的變化

取不同Δk值表示裂紋深度的變化。裂紋深度變化時，非線性裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動響應(yīng)曲線，如圖10所示。隨著裂紋加深，無論是在1/2次亞諧波共振和主諧波共振附近，振幅值都相對增加，主諧波附近會出現(xiàn)解的分化和下沉，如同圖6所示的變化。1/2次亞諧波共振會向高速方向推移。在主諧波共振附近以轉(zhuǎn)速ω=1.26時得到的振動與振動能量頻譜圖，如圖11所示。隨著裂紋的加深，圖11(a)中ω成分略有升高,而2ω成分幾乎不可見。而圖11(b)中，隨著裂紋的加深，除ω成分略升高外，還可以看到明顯的2ω成分，并出現(xiàn)3ω成分。在1/2次亞諧波共振附近ω=2.83時得到的振動與振動能量頻譜圖，如圖12所示。隨著裂紋的加深，圖12(a)中ω成分略有升高，而圖12(b)與圖12(a)相比，同樣2ω成分更加明顯，并出現(xiàn)3ω成分。

圖10 不同裂紋深度振動響應(yīng)曲線Fig.10 Vibration response curves under different crack depths

圖11 主諧波共振隨著裂紋加深的頻譜分析Fig.11 Frequency spectrum analyses with crack depths in the vicinity of the major critical speed

圖12 1/2次亞諧波隨著裂紋加深的頻譜分析Fig.12 Frequency spectrum analyses with crack depths in the vicinity of the subharmonic of order 1/2 critical speed

2.4.2 裂紋與偏心位置的變化

隨著裂紋與質(zhì)量偏心的相對位置β角的增加，在主諧波共振ω=1.26附近的振動與振動能量頻譜圖，如圖13所示。隨著β角的增加，圖13(a)中ω成分略有降低，而2ω成分幾乎不可見。圖13(b) 中，除ω成分略有降低，還可以看到明顯的2ω成分，并出現(xiàn)3ω成分。在1/2次亞諧波共振附近ω=2.83時得到的振動與振動能量頻譜圖，如圖14所示。隨著β的增加，圖14(a)中1/2ω成分保持，ω成分略有降低。圖14(b)與圖14(a)相比，3/2ω和2ω成分明顯。

圖13 主諧波共振隨著相對角增加的頻譜分析Fig.13 Frequency analyses with the increase of relative angles in the vicinity of the major critical speed

圖14 1/2次亞諧波隨著相對角增加的頻譜分析Fig.14 Frequency analyses with the increase of relative angles in the vicinity of the subharmonic of order 1/2 critical speed

2.4.3 非線性參數(shù)的變化

圖15 主諧波共振不同非線性參數(shù)下的頻譜分析Fig.15 Spectrum analyses under different nonlinearities in the vicinity of the major critical speed

圖16 1/2次亞諧波不同非線性參數(shù)下的頻譜分析Fig.16 Spectrum analyses under different nonlinearities in the vicinity of the subharmonic of order 1/2 critical speed

綜上，隨著不同參數(shù)變化在主諧波共振及1/2次亞諧波共振附近的振動能量頻譜圖中可以明顯的發(fā)現(xiàn)超諧波共振成分。

3 基于能量軌道的裂紋診斷研究

基于系統(tǒng)的能量空間，研究裂紋轉(zhuǎn)子的能量軌道變化，找出裂紋參數(shù)影響下能量軌道的變化規(guī)律，可以完善對系統(tǒng)的振動特性分析及診斷。

研究能量方程(10)發(fā)現(xiàn)，能量V是由不同頻率成分的能量疊加的結(jié)果。為了更直觀的研究振動能量變化，將能量變化在三維能量空間V-X-Y中進(jìn)行描點，稱為振動能量軌道，其中X和Y數(shù)值序列可通過V分別在X和Y軸投影獲得。

3.1 不同裂紋深度引發(fā)能量軌道變化(主諧波共振)

隨著Δk的變化，主諧波共振ω=1.26附近的振動能量軌道變化，如圖17所示。圖17(a)為三維能量軌道。從中可分析出，裂紋軌道為兩邊對折的封閉曲面。裂紋的加深使得能量對折處一邊升高，并向兩側(cè)傾斜膨脹，即裂紋越深，能量軌道幅值越大，振動越激烈。圖17(b)為振動能量軌道在x-y方向的投影。當(dāng)Δk=0.05時，投影為一個帶有凹陷的橢圓；當(dāng)Δk=0.1時，凹陷明顯變緩，但軌道旋轉(zhuǎn)并擴(kuò)展；當(dāng)Δk=0.15時，凹陷處軌跡更加向外擴(kuò)展。

圖17 主諧波共振裂紋深度對能量軌道的影響Fig.17 The influence of energy tracks with crack depths in the vicinity of the major critical speed

3.2 不同裂紋參數(shù)引發(fā)能量軌道變化(亞諧波共振)

隨著Δk的變化，亞諧波共振ω=2.83附近的振動能量軌道變化，如圖18所示。圖18(a)為三維能量軌道。從中可分析出，裂紋軌道呈傾斜的封閉曲面。隨著裂紋深度Δk的增大，曲面越傾斜，幅值也相對增加，即裂紋越深，能量軌道幅值越大。圖18(b)為振動能量軌道在x-y方向的投影。當(dāng)Δk=0.05時，投影為有一個凹陷的圓面；當(dāng)Δk=0.1時，圓面凹陷處上方向內(nèi)收縮；當(dāng)Δk=0.15時凹陷處已經(jīng)明顯收縮為“凸”字形，這一發(fā)現(xiàn)可以為裂紋的檢測提供新的軌道畸變依據(jù)。

圖18 1/2次亞諧波裂紋深度對能量軌道的影響Fig.18 The influence of energy tracks with crack depths in the vicinity of the subharmonic of order 1/2 critical speed

3.3 實驗驗證

構(gòu)建了實驗裝置，如圖19所示。水平支撐且材料為不銹鋼的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，其長度和直徑分別為700 mm和12 mm。圓盤安裝在軸的中心位置，直徑和厚度分別為300 mm和15 mm。采用2個激光傳感器從2個正交方向測量圓盤的徑向位移，得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動響應(yīng)。轉(zhuǎn)子上裂紋的制作是利用激光切割轉(zhuǎn)軸1.5 mm深的細(xì)窄縫，其位置在圓盤附近。通過實驗，裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的主諧波共振為800 r/min。

圖19 實驗裝置Fig.19 Experimental setup

在主諧波共振附近轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動能量的時間歷程、FFT和相應(yīng)振動能量軌道變化，如圖20所示。

圖20 實驗結(jié)果(主諧波共振)Fig.20 Experimental results(the major critical speed)

圖20(a)表示此刻振動能量周期變化的時間歷程。圖20(b)顯示此時振動能量FFT中明顯觀察到2ω和ω成分。圖20(c)顯示3D振動能量軌跡呈對折形狀的閉合曲面。

4 結(jié)論

1)能量空間分析方法可實現(xiàn)系統(tǒng)振動特性分析。裂紋轉(zhuǎn)子在高轉(zhuǎn)速時，在振動能量空間分析中超諧波2ω成分保存更加明顯，特別有利于在高轉(zhuǎn)速條件下對裂紋進(jìn)行檢測。

2)在各諧波共振附近，能量軌道呈對折曲面。在主諧波共振和1/2次亞諧波共振附近，呈傾斜曲面，其X-Y平面上投影中隨裂紋加深而呈現(xiàn)出“凹”和“凸”字形，且裂紋變化會引起振動能量軌道的旋轉(zhuǎn)，即利用能量軌道變化可以對裂紋轉(zhuǎn)子的參數(shù)變化進(jìn)行定性分析。

3)實驗驗證了振動能量空間分析方法的正確。