張所娟 黃 松 余曉晗 陳恩紅

在學習場景中，知識的關聯(lián)性普遍存在[1]，這種關聯(lián)性強調各個知識并不是孤立存在[2-3],學習不是多個知識的簡單累加，而是“整體大于部分之和”[4]的過程.在不同的學習場景下，知識的關聯(lián)性發(fā)揮不同的作用.對于教師而言，在有限的教學時間內，需要根據(jù)知識的關聯(lián)性[5-6]合理設計編排教學內容，有效組織教學活動.對于學生來說，需要找出知識系統(tǒng)的薄弱環(huán)節(jié)，分析影響學習的關鍵點.另外，科學合理的試題建立需要覆蓋課程知識體系中的重難點.無論在何種場景下，解決教師教學、學生學習、題庫建設的有效性和知識間的關聯(lián)性都不可忽視.

在認知診斷和知識追蹤模型中，大多數(shù)研究者將知識看作是獨立的[7-8].然而，學習中的知識之間通常具有密切關系[9].其中，忽略知識關系的一個主要原因是一旦知識屬性與模型及其聚合關系一起引入時，知識之間的關系就變得不清楚[10].針對此問題，Leighton等[11]提出AHM(Attribute Hierarchy Method)，認為學習過程中知識之間構成一個相互關聯(lián)的網(wǎng)絡.AHM將知識構成一個層次結構以建立知識間的關聯(lián)[12].

現(xiàn)有知識關聯(lián)的研究更多集中在對知識先決關系的討論[13-16]，在認知診斷[17]和知識追蹤[18-19]中均有考慮知識結構信息，將知識概念之間的先決關系納入模型中.先決關系是指學生要達到教學目標必須掌握的各級知識間的從屬關系,如特征分析是主成分分析的先決條件[15].同時，要考慮在學習達成目標時可能存在多種解決問題的路徑[20-21]，不同解題路徑對應不同的知識點[22].從單個知識之間的聯(lián)系上看，無法明確知識之間的關系，而是要置于集合中考慮知識間的關聯(lián).因此，有必要對知識集合之間的關系建模.

但是，在現(xiàn)有研究中，對知識之間關聯(lián)性的研究較單一，僅考慮單個知識間的關系，未考慮知識集合之間的關聯(lián)，更無法處理集合間的復雜關系.因此，本文引入模糊測度對知識集合進行量化度量，并在此基礎上提出基于模糊測度的知識關聯(lián)性建模方法.首先，基于認知心理學理論，分析知識間存在的三種不同關系，并利用模糊測度建模知識間的關聯(lián)性，通過實際教學場景論證方法的實用性.然后，在模糊測度建模的基礎上，從知識關聯(lián)性的視角討論知識的重要度和交互指標.最后，研究知識關聯(lián)性在認知診斷中的應用，真實數(shù)據(jù)集上的實驗證實知識關聯(lián)性對認知診斷的影響，不僅有效提升預測精度，也提供更好的可解釋性.

1 知識關聯(lián)性建模方法

1.1 知識集合間的關系

由于知識集合之間的關聯(lián)性，學習的發(fā)生可看作是知識集合之間相互作用的結果.依據(jù)認知心理學理論[1]，劃分如下3種集合關系，描述知識集合間的關聯(lián)性.

1)負協(xié)同關系或冗余關系.當學生掌握多個知識點后，由于知識之間的相似性，在一定程度上對學習造成干擾，形成負協(xié)同增強的關系.舉例來說，學習字母d之前，學生很容易辨認字母b，但由于字母b、d很相似，會產生混淆，字母d的學習干擾對字母b的識別.還有一種情況，知識x1(分數(shù))是知識x2(分數(shù)減法)的先決條件.相比只掌握x2，同時掌握知識集合{x1,x2}并不能明顯提高學生在解答分數(shù)計算上的學習表現(xiàn)，那么知識x1、x2存在冗余關系.

3)相互獨立關系.當不符合上述兩種關系時，認為知識集合之間存在獨立關系.

上述3種關系表達知識集合間復雜的非線性關系，這對知識關聯(lián)性的量化建模提出挑戰(zhàn).本文引入模糊測度，對知識集合進行量化度量，并在此基礎上提出基于模糊測度的知識關聯(lián)性建模方法.

1.2 基于模糊測度的知識關聯(lián)性建模方法

為了更好地表達知識集合間復雜的非線性關系，本文引入模糊測度的概念，建模知識的關聯(lián)性.經典測度具有可加性.例如，使用測度表示區(qū)域的面積，那么兩個不相交的區(qū)域之和的面積等于這兩個區(qū)域面積之和.概率測度就是一個可加性測度的例子.但是，經典測度在很多情況下無法滿足可加性，如兩人合作的工作效率不一定等于兩個人工作效率之和，效率可能提高也可能降低.Sugeno[23]提出使用較弱的單調性代替可加性的一類集函數(shù)，即以集合為定義域的函數(shù)[24]，稱為模糊測度.模糊測度的主要特征是非可加性.相比可加性測度，模糊測度更符合客觀實際的情況.

定義1對于一個有限集合X，模糊測度可看作是一個實值集函數(shù)v∶2X→[0，1]：

1)v(?)=0，v(X)=1，

2)如果A?X,B?X，A?B，則v(A)≤v(B)

定義2X表示X的冪集，即X的所有子集構成的集合.模糊測度目前已廣泛應用于不同場景中，可被描述為重要性、可靠性、滿意度等相似的概念[25].例如，采納專家意見評價某設備的性能，可以使用模糊測度表示專家意見的可靠性.在教育領域，可將定義1中的X看作是達成學習目標所需的n個知識的集合X={x1,x2,…,xn}.令X1?X,X2?X，模糊測度v(X1)為一個集函數(shù)，表示知識集合X1促進目標達成的重要程度.顯然，知識集合覆蓋所有n個知識時，v(X)=1且v(X1)∈(0，1]，v(X2)∈(0，1].v(X1∪X2)表示考慮知識集X1∪X2對于目標達成的重要程度，不僅要考慮知識集X1、X2本身的重要性，還要考慮知識集X1、X2之間的關聯(lián)性.而知識關聯(lián)性可能是顯性確定的，也可能是隱性模糊的.例如，進位加法是以十進制加法運算為基礎，它們之間存在顯著的關聯(lián)關系.而加法運算和乘法運算的交互關系是隱性的，較模糊.知識集合之間是否存在關聯(lián)性及關聯(lián)程度，可通過模糊測度建模，量化表達知識集合間的關系.

1)負協(xié)同關系或冗余關系建模.表示知識組合后對目標達成的貢獻度低于單獨使用各個知識的貢獻度之和.也就是說，掌握該知識集合的重要度弱于單獨使用其子集重要度的總和，則知識集合間的關系是負協(xié)同關系.設知識集合為X1，X2，同時X1?X,X2?X.知識集合間的模糊測度關系為：

v(X1∪X2)

滿足上式時，知識集合之間的關聯(lián)為負協(xié)同關系.

冗余關系可看作負協(xié)同關系的一種特例，用于表達知識集合間的先決條件，若知識x1為x2的先決條件.令X1={x1}，X2={x2}，根據(jù)定義1中2)，即模糊測度的弱單調性，知識集合間的模糊測度關系為：

v(X1∪X2)=v(X2).

滿足上式時，知識集合之間的關聯(lián)為冗余關系.也就是知識組合后對目標達成的貢獻與單獨使用知識集合X2相比沒有變化，對于目標達成的重要程度不產生增強的作用.

2)增強促進關系建模.多個知識組合后有助于學習目標的達成，也就是說掌握該知識集合比單獨使用其子集之和更重要，說明知識集合間互補促進，存在協(xié)同增強的關系.當知識集合的模糊測度符合

v(X1∪X2)>v(X1)+v(X2)

時，認為知識集合存在協(xié)同增強的關系.上式表示知識集X1、X2共同構成的集合X1∪X2對于目標達成的重要程度高于各個知識屬性集重要度之和.當知識集X1、X2組合后激發(fā)出一種新的潛在關聯(lián)，對促進目標的達成更重要.

3)相互獨立關系建模.兩個知識集組合后的對于學習目標達成的重要度等于這兩個知識集單獨使用時的重要度之和，當模糊測度滿足

v(X1∪X2)=v(X1)+v(X2)

時，說明知識集之間是相互獨立，不存在關聯(lián)性.

通過知識集合模糊測度的對比，可獲得知識集合間3種非線性的關系，由此完成對知識關聯(lián)性的建模.在不同的教育應用場景下，模糊測度可賦予不同的含義以幫助理解教與學的過程.在教學場景中，模糊測度可幫助教師更好地理解知識間的聯(lián)系，以此作為編排教學內容的依據(jù).而學習場景中加入模糊測度，在診斷學生認知水平時，基于關聯(lián)性考慮知識集的重要程度，可更準確地找出知識學習中的薄弱點.在評價場景中，以模糊測度為基礎檢查知識體系中重點知識的覆蓋范圍.因此，通過模糊測度建模知識關聯(lián)性，有助于不同教育場景下的目標達成.本文在下述討論中統(tǒng)一將模糊測度作為知識集合促進目標達成的重要程度.通過模糊測度建模可更好地表達知識集合的關聯(lián)性，同時反映知識集合的特征，為學習活動的有效開展提供數(shù)據(jù)支持和指導.

案例分析1以教學內容的編排呈現(xiàn)順序為例，若達成學習目標需要3個知識共同作用完成，令X={x1,x2,x3}，

v({x1})=0.45，v({x2})=0.45，v({x3})=0.3，

v({x1,x2})=0.5，v({x1,x3})=0.9，

v({x2,x3})=0.9，v({x1,x2,x3})=1.

這里模糊測度v表示知識集合促進達成目標的重要程度.例如，知識集合{x1,x2}對于目標達成的重要程度為0.5.

根據(jù)已知的模糊測度值，考慮知識的學習序列，通過不同的編排順序對學生產生不同的學習刺激.存在如下知識關聯(lián)性：

v({x1,x2})

v({x1,x3})>v({x1})+v({x3})，

v({x2,x3})>v({x2})+v({x3}).

由此可知知識集{x3}與知識集{x1}、{x2}之間均存在協(xié)同增強關系，而知識集{x1}、{x2}之間是負協(xié)同增強關系，顯然知識集{x3}在目標達成中發(fā)揮積極作用.在不考慮先決關系的條件下，假定以知識點x1作為學習起點，設計不同的學習次序.如圖1中實線所示，可知序列1對應的學習順序為

圖1 不同序列下的教學設計

x1→{x1,x2}→{x1,x2,x3}，

而序列2對應圖中的虛線部分，知識的學習順序可表達為

x1→{x1,x3}→{x1,x2,x3}.

在序列1指導下的學習活動中，學生學習知識點x1、x2后并未有明顯提升，直到完成知識點x3的學習后才有較明顯的飛躍.序列1的設計更適合一般學習者，持續(xù)平緩地獲得學習成就.對于序列2的學習，在前期(學習知識點x1、x3后)學生可獲得顯著的進步，而后期進步并不明顯.序列2設計更適合于學習動機不強的學生，通過較快獲得學習成就激勵學生.

2 模糊測度計算

2.1 依賴于專家知識的模糊測度計算

相比其它領域，專家知識在教育系統(tǒng)中發(fā)揮更重要的作用.對于專家而言，相對較容易給出兩個知識集合之間的關聯(lián)指標Δj(X1,X2).首先以單知識集的情況為例，選擇3～5位專家,給出單個知識的模糊測度v({xi})、v({xj})及知識集間的關聯(lián)指標Δj({xi,xj}).根據(jù)各位專家的意見取平均值，獲得更客觀的結果.由已知的單個知識模糊測度及關聯(lián)指標，可計算2個知識點構成集合的模糊測度：

v({xi,xj})=v({xi})+v({xj})+Δj({xi,xj}).

由此，可進一步擴展為多個知識點構成的集合

L={xi,xi+1,…,xi+n,…}

的關聯(lián)指標[26-27]：

其中,k表示集合L中的維數(shù)，即元素個數(shù)，L(l)表示l維子集構成的集合.由此可完成所有知識集合模糊測度的計算.

2.2 數(shù)據(jù)驅動的模糊測度計算

在涉及單個知識點集時，可由領域專家根據(jù)經驗給定模糊測度，但是隨著知識數(shù)量的增加，給出各個集合的關聯(lián)指標具有一定的主觀性且工作量較大.若能通過學生的學習數(shù)據(jù)獲得模糊測度,結果更客觀有效.通過數(shù)據(jù)驅動的方法表示和學習模糊測度，使輸入更大的知識數(shù)目時模糊測度這一參數(shù)的學習是可計算的[28].舉例來說，若完成學習任務涉及知識x1、x2、x3，則需要計算的模糊測度個數(shù)為

23-2=6,v(?)=0，v({x1,x2,x3})=1，

如圖2所示.

圖2 模糊測度的計算規(guī)模

為了實現(xiàn)計算目的，可將模糊測度v值存儲在大小為2n的數(shù)組中，建立子集X′?X和二進制表示方法之間一對一的映射關系.若X′={x1,x2,x3}，則v({x1})表示為v(001)，v({x1,x2})表示為v(011)，v({x1,x2,x3})表示為v(111).基于模糊測度的弱單調性，構成不同子集間模糊測度的約束關系，如v({x1})≤v({x1,x2})，且v({x1,x2,x3})=1.若已知函數(shù)的有限離散值α=(α1，α2，…αK)和模糊測度v，模糊積分計算得到實際值s.由此，已知輸入值α和實際值s，可通過遺傳算法或神經網(wǎng)絡找到最優(yōu)的模糊測度v,使損失函數(shù)值最小.

具體算法如下所示.

算法1模糊測度學習算法

輸入輸入值α，實際值s//α為某函數(shù)f的離散值

輸出模糊測度的值

設置迭代次數(shù)t=0

//對應2K-2個模糊測度值

Whilet

//tmax為最大迭代次數(shù)

v1，v2，…,vL=search(μ(t))

//搜索可行解

forl←1 toLdo

//通過模糊積分計算獲得預測值

end for

//根據(jù)目標函數(shù)計算損失l

vt+1=vl*

//更新參數(shù)

end while

Returnv(tmax)

然而在實際應用中，知識點的數(shù)量可能遠超過3個，那么模糊測度的計算會面臨復雜性急劇增長的問題.當|X|=n時，需確定模糊測度的數(shù)量為2n個參數(shù)值.例如，涉及知識點數(shù)量為10時，所需確定的模糊測度值為210=1 024個.當n值變大時，模糊測度的數(shù)量呈指數(shù)級增長，確定模糊測度變得非常困難.為了應對上述問題，可進一步引入k可加模糊測度[29]，在模糊測度的復雜性和表達能力方面進行折衷.

3 知識的全局重要度和交互指標

3.1 知識的全局重要度

在實現(xiàn)模糊測度的計算后，可得出知識的全局重要度及知識之間的交互指數(shù).基于知識的關聯(lián)性，綜合單個知識點的模糊測度值及同時考慮包含該知識點所有集合對應的測度值.可采用合作博弈中Shapley指標度量知識的全局重要度[30].

定義2令v為一個模糊測度，對于?xi∈X，全局重要度指數(shù)為：

(1)

其中，n為知識集X中的知識點個數(shù)，n=|X|，A為知識點集合，A?X.

具體算法如下所示.

算法2計算知識全局重要度

輸入二進制序列編碼的模糊測度冪集

輸出知識點xi的全局重要度

forxi←x1toxndo

獲得局部知識集合Ai=X{xi}，求得局部全集A中所有含k個元素的子集K

fork←0 ton-1 do

end for

vK∪i=vK∪vi

//Ai各子集對應編碼的模糊測度為vK

end for

根據(jù)案例1中模糊測度值及式(1)，計算知識點x1的全局重要度：

同理可得,知識點x2、x3的全局重要度分別為

φ(x2)=0.292，φ(x3)=0.416.

除了知識自身的重要性以外，還考慮其超集的模糊測度.盡管知識x3的模糊測度值不高，但它和其它知識關聯(lián)后產生的模糊測度值較高，因此知識x3的全局重要性最高.在此情況下，可將知識x3看作是后續(xù)學習中的重點內容，在教學和學習過程中加以關注，并在知識x3上分配相應的教學時間，設置練習的推薦.

3.2 知識的交互指標

通過模糊測度還可反映知識間的交互指標.例如，某些知識與其它知識總是存在積極的交互作用，可看作是學習中的關鍵點，說明這個知識點需要被重點關注或優(yōu)先推薦學習鞏固.

定義3知識點xi、xj關于模糊測度v的交互作用指標[31]定義為

[v(A∪{xi,xj})-v(A∪{xi})-

(2)

其中

n=|X|，I(xi,xj)∈[-1,1]，

A?X為知識點集合，交互指標反映兩兩知識點在整個知識集合中的交互作用.

具體算法如下所示.

算法3計算知識交互指標

輸入按二進制序列編碼的模糊測度冪集

輸出知識對{xi,xj}的交互指標

forxi←x1toxndo

forxj←xi+1toxndo

獲得局部知識集合Aij=X{xi,xj}中所有含k個元素的子集K

fork←0 ton-2 do

end for

vK∪i=vK∪vi

//Aij各子集對應編碼的模糊測度為vK

//{xi,xj}交互指標

end for

end for

同樣根據(jù)案例1的模糊測度值及式(2)，可得知識對{x1,x2}的交互指標值:

v(?∪{x1})-v(?∪{x2})+v(?)]+

v({x1,x3})-v({x2,x3})+v(x3)]=

-0.45.

同理可得，

I(x1,x3)=0.1，I(x2,x3)=0.1.

通過交互指標可看出,知識點x3與知識點x1、x2交互值均大于0，說明知識點x3對于學習目標的達成較重要.

4 在認知診斷中的應用

4.1 融合知識關聯(lián)性的認知診斷

知識關聯(lián)性建?？蓱玫秸J知診斷等實際學習場景中，為教師教學、學生學習及試題建設提供有效的輔助決策支持.認知診斷旨在識別認知過程，并評估學生是否已掌握或擁有特定的認知技能或知識[32-33]，進而實現(xiàn)對學習者表現(xiàn)的預測.

本文建立融合知識關聯(lián)性的認知診斷框架，如圖3所示.

圖3 知識關聯(lián)性融合的認知診斷框架

在認知診斷過程中，若某道題目涉及K個知識點(x1，x2，…，xK),題目所需的知識點標記為1，否則為0，那么學生的潛在能力θ被分解為在這幾個知識點上的掌握水平

α={α1，α2，…，αK}，

聚合多個知識點后獲得理想的作答情況RI.同時，還需要考慮學生做題時猜測和失誤的影響,得到實際的作答情況R.將認知診斷中多知識聚合表達為

RI=f(α1,α2,…,αK)，

其中，f∶[0,1]k→[0,1]表示聚合函數(shù),即聚合每個知識點上的掌握水平以獲得理想作答情況.

在現(xiàn)有研究中，多個知識間的聚合方式通常為聯(lián)結型和補償型[34]，由不同的聚合函數(shù)表示.但無論何種聚合函數(shù)，都未從知識集合間關聯(lián)性角度進行考慮.由于模糊積分[35]是以模糊測度為核心建立的聚合方法，可通過模糊積分中的模糊測度表達知識集合間的關聯(lián)性，本文引入模糊積分作為聚合函數(shù).融合知識關聯(lián)性的認知診斷具體實現(xiàn)如下.首先獲得各個知識點及知識集合間的模糊測度，利用模糊測度建模知識的關聯(lián)性，通過模糊積分聚合多個知識的掌握水平α，這里選擇模糊積分中的一類典型代表Choquet積分[35]實現(xiàn)聚合計算：

其中，αk表示學習者在第k個知識點上的掌握水平，模糊測度v表示各知識集合對于正確作答的重要程度.那么Choquet積分聚合的結果就表示學生的理想作答情況，由此實現(xiàn)認知診斷過程中的知識關聯(lián)性融合.

4.2 實驗設置與結果分析

由于FuzzyCDF(Fuzzy Cognitive Diagnosis Frame-work)[36]完整體現(xiàn)認知診斷過程，本次實驗以FuzzyCDF作為實驗框架，通過預測學習者的學習表現(xiàn)驗證本文方法的可行性.實驗中使用模糊積分替換FuzzyCDF中原有的聚合函數(shù).

從公平性角度出發(fā)，本文實驗采用與FuzzyCDF相同的參數(shù),具體實現(xiàn)細節(jié)見文獻[37].學生潛在能力θ及知識掌握水平α通過M-H(Metro-polis-Hastings)的馬爾科夫蒙特卡洛算法學習獲得.對于聚合函數(shù)Choquet 積分中模糊測度的參數(shù)學習，由模糊積分神經網(wǎng)絡[38]實現(xiàn).

首先將由FuzzyCDF得到學生在各知識點上的掌握水平作為輸入，輸出是學生在每道題目上的作答得分.根據(jù)定義1，模糊測度

其中，Δv(A)∈R+，由此可確保模糊測度的單調性.模糊積分神經網(wǎng)絡根據(jù)模糊測度的單調性約束設計基于隨機梯度下降的優(yōu)化方法，實現(xiàn)模糊測度的訓練(算法描述見2.2節(jié)).在獲得各知識點的模糊測度后，使用Choquet積分計算多知識聚合后學生的理想作答情況.

實驗選擇公開數(shù)據(jù)集Math1和Math2(http://staff.ustc.edu.cn/～qiliuql/data/math2015.rar)，Math1數(shù)據(jù)集包含15道客觀題和5道主觀題，Math2數(shù)據(jù)集包含16道客觀題和4道主觀題，客觀題的得分為{0,1}，主觀題得分為[0,1].

使用AUC(Area Under the Curve)和MAE(Mean Absolute Error)作為評估指標，對比認知診斷模型預測效果.

實驗將Choquet積分作為聚合函數(shù)的模型(簡稱為CHI(Choquet Integral)方法)(https://github.com/kathy-sj/Choquet-integrals),并將CHI和其它基準方法對比.選擇FuzzyCDF、 IRT(Item Response Theory)[39]、DINA(Deterministic Inputs, Noisy "And" Gate Model)[40]作為對比方法.

同時構造2種不同比例的訓練數(shù)據(jù)集，首先隨機抽取80%的數(shù)據(jù)用于訓練，20%的數(shù)據(jù)用于測試模型效果.為了進一步觀察各預測方法在不同數(shù)據(jù)稀疏度情況下的預測效果，再隨機抽取20%的數(shù)據(jù)用于訓練，80%的數(shù)據(jù)用于測試模型.

各方法在Math1、Math2數(shù)據(jù)集上的得分預測結果如圖4所示.由圖可知，在認知診斷模型中融合知識關聯(lián)性后,即使使用CHI進行預測，相比FuzzyCDF，在訓練數(shù)據(jù)占 80% 的情況下,MAE值分別下降2.8%(Math1數(shù)據(jù)集)和0.8%(Math2數(shù)據(jù)集),比IRT和DINA更有優(yōu)勢.在訓練數(shù)據(jù)占20%的情況下，MAE值平均降低 0.7%.由此證實CHI在數(shù)據(jù)稀疏時仍有效.

(a)Math1

另一方面，針對數(shù)據(jù)集中的客觀題計算AUC值，如圖5所示.由圖可看出，在考慮知識關聯(lián)性后，預測精度更高.此外，隨著訓練數(shù)據(jù)稀疏度的增加，優(yōu)勢依然存在.

由圖4和圖5可看出，融合知識關聯(lián)性的認知診斷模型在預測學習者表現(xiàn)時，相比未考慮知識的關聯(lián)性，可得到更優(yōu)的預測效果.對比Math1、Math2數(shù)據(jù)集上的實驗結果發(fā)現(xiàn)，在Math1數(shù)據(jù)集上的優(yōu)勢更顯著.而在Math2數(shù)據(jù)集上，在80%數(shù)據(jù)用于訓練，20%數(shù)據(jù)用于測試的情況下，CHI僅有微弱的優(yōu)勢.這和Math2數(shù)據(jù)集上知識點本身的特征有關，知識點之間存在的關聯(lián)性較弱(如掌握不等式的性質和計算能力之間相對獨立)，因此是否融合知識關聯(lián)性進行預測對結果影響并不大.但同時也可說明模糊積分作為聚合函數(shù)對于認知診斷工作的通用性，對關聯(lián)性較弱的數(shù)據(jù)集同樣適用，并具有相對較優(yōu)的性能.

此外，為了驗證聚合函數(shù)本身對預測效果的影響，進行擴展實驗.在不計算失誤和猜測這兩個因素的情況下，直接將聚合函數(shù)的輸出作為最終分數(shù)與實際得分進行對比，觀察預測表現(xiàn)的影響，結果如表1所示.由表可看出，在Math1、Math2數(shù)據(jù)集上，考慮知識關聯(lián)性的模糊積分方法,MAE值分別降低6.2%和1.6%，比考慮失誤和猜測參數(shù)時優(yōu)勢更明顯.而在客觀題上的AUC值分別提高5.2%和1.4%.從結果上看，預測誤差被部分轉移到失誤和猜測參數(shù)中.

表1 不同聚合函數(shù)對指標值的影響

此外，從模型的解釋性上看，融合知識關聯(lián)性的認知診斷模型可通過模糊測度更好地反映知識之間的關聯(lián)性.根據(jù)3.1節(jié)和3.2節(jié)的討論，以模糊測度為基礎，計算各個知識點的全局重要度和兩兩知識點間的交互指標，可更好地理解和解釋知識的關聯(lián)性.下面舉例說明.

案例分析2以Math1數(shù)據(jù)集上的第15題為例，題目涉及如下6個知識點：函數(shù)的性質(x1)、函數(shù)的象限(x2)、空間想象(x3)、抽象歸納(x4)、推理論證(x5)、計算(x6).根據(jù)各知識點及知識集合的模糊測度，可計算得出每個知識的全局重要度及兩兩知識之間的交互指標(見式(1)、式(2)).其中知識點函數(shù)的性質(x1)、函數(shù)的象限(x2)的全局重要程度較高，

φ(x1)=0.241，φ(x2)=0.212，

而重要性程度最低(φ(x6)=0.091)的是知識點計算(x6)這一通用技能.對于考察函數(shù)相關的問題，這一結果是可接受和合理的.

另外，通過交互指標可體現(xiàn)知識之間的關聯(lián)性，通過模糊測度計算可得知識點x1、x2交互指標I(x1,x2)=-0.206，知識點x1、x6交互指標I(x1,x6)=-0.068.一般而言：交互指標越高，互補性越強[41]；交互指標越低，知識點之間的關聯(lián)性越高.根據(jù)計算結果可看出，知識點x1、x2之間的關聯(lián)性更強.從知識點本身上看，函數(shù)的性質(x1)和函數(shù)的象限(x2)之間的關聯(lián)性必然強于函數(shù)的性質(x1)和計算(x6)之間的聯(lián)系.這與交互指標顯示的結果一致，也說明模糊測度表征知識關聯(lián)性的有效性.

案例分析3以Math1數(shù)據(jù)集上的主觀題為例，知識全局重要度與影響得分程度之間的關系如圖6所示.圖中橫軸表示每道題涉及知識點對應的全局重要度，基于模糊測度計算得出全局重要度(見式(1)).縱軸表示是否掌握知識點對得分的影響程度，由計算知識點掌握水平與實際得分的皮爾遜相關系數(shù)表示.

圖6 知識全局重要度與影響得分程度的關系

由圖6可見，題17需要3個知識點{x5,x10,x11}，對應的全局重要度分別為

φ(x5)=0.25，φ(x10)=0.35，φ(x11)=0.4，

這3個知識點的知識掌握水平與實際得分的相關系數(shù)分別為0.6，0.67，0.72.知識的重要性越高意味著該知識對于學生實際得分的影響越大.題16、18、19也有同樣趨勢.而對于第20題，由于各個知識點的全局重要度相近，對應的知識點掌握水平與得分的相關系數(shù)也接近.由圖6可看出，越重要的知識，其掌握水平與實際得分的相關系數(shù)就越大，這一趨勢符合一般認知規(guī)律，進一步說明模糊測度建模的合理性.

5 結 束 語

關聯(lián)性存在于知識及知識集合之間，這種關聯(lián)性可能是顯性確定的，也可能是隱性模糊的.本文通過模糊測度建模知識的關聯(lián)性，量化表達知識及知識集合復雜的關系，這對于理解學生的認知過程具有積極意義.本文同時以模糊測度為基礎，拓展延伸至知識全局重要度和交互指標及知識關聯(lián)性在認知診斷這一場景中的應用，充分體現(xiàn)知識關聯(lián)性對實際學習場景的現(xiàn)實意義.基于現(xiàn)有的認知診斷框架，引入模糊測度對知識關聯(lián)性進行表征.本文對于框架中參數(shù)的學習問題開展研究，然而如何學習獲得更優(yōu)化的參數(shù)仍是一個挑戰(zhàn).為此，下一步將考慮借助其它研究工作實現(xiàn)參數(shù)優(yōu)化，并基于此著力解決認知水平和知識關聯(lián)性統(tǒng)一表征的認知診斷框架實現(xiàn)問題.