袁修開(kāi) 趙超帆 鄭振軒 孔沖沖

摘要：為分析組合模型輸出響應(yīng)不確定性的來(lái)源及其影響，本文提出多模型合并下的方差靈敏度和矩獨(dú)立靈敏度指標(biāo)及其分析求解方法。模型方差靈敏度量化了各單模型對(duì)組合模型輸出響應(yīng)方差的影響。模型矩獨(dú)立靈敏度則量化了各模型對(duì)組合模型輸出響應(yīng)的概率密度函數(shù)的影響。同時(shí)，本文還給出了兩種模型靈敏度的求解方法。最后，以航空典型螺栓連接件為例，分析了連接件隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)模型合并預(yù)測(cè)的靈敏度。結(jié)果表明，影響組合模型靈敏度的主要因素為組合模型的權(quán)重值以及各單模型本身的不確定性（模型內(nèi)部參數(shù)引起）。

關(guān)鍵詞：靈敏度分析；組合模型；不確定性；隨機(jī)振動(dòng)

中圖分類號(hào)：TH113.1文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：ADOI：10.19452/j.issn1007-5453.2022.01.014

基金項(xiàng)目：航空科學(xué)基金（20170968002）；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目（XMU20720180072）

螺栓連接在航空工程結(jié)構(gòu)中被廣泛應(yīng)用。在仿真建模中，螺栓結(jié)構(gòu)由于機(jī)理復(fù)雜而常被簡(jiǎn)化處理，而簡(jiǎn)化或者假設(shè)不同，所建立的模型也會(huì)有所不同。那么從一組不同的模型形式中進(jìn)行選擇就伴隨著不確定性，這種稱為多模型下的模型形式不確定性[1]。模型形式不確定性來(lái)源于人們對(duì)問(wèn)題認(rèn)識(shí)的不足，導(dǎo)致所建立的模型不能完全反映出現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，而模型的合并預(yù)測(cè)可以很好地彌補(bǔ)不同單模型預(yù)測(cè)所帶來(lái)的局限性。

多模型的組合預(yù)測(cè)有著單模型不可比擬的優(yōu)勢(shì)。1963年，Barnard[2]首次提到模型合并；之后，Bates等[3]首次提出合并預(yù)測(cè)方法可以綜合各單模型預(yù)測(cè)模型的有效信息，避免單模型在復(fù)雜情況下對(duì)現(xiàn)實(shí)結(jié)果預(yù)測(cè)的局限性；隨后，合并預(yù)測(cè)受到越來(lái)越多學(xué)者的關(guān)注[4]，各種合并預(yù)測(cè)方法被學(xué)者提出，如最小方差合并預(yù)測(cè)方法[5]、貝葉斯統(tǒng)計(jì)方法[6-7]、變權(quán)重方法[8]等。1997年，Buckland[5]提出了最小方差法合并預(yù)測(cè)方法；2014年，Park等[6]提出貝葉斯統(tǒng)計(jì)方法量化模型形式不確定性和模型合并預(yù)測(cè)方法，使得合并預(yù)測(cè)方法在工程結(jié)構(gòu)領(lǐng)域開(kāi)始得到應(yīng)用。

隨著合并預(yù)測(cè)開(kāi)始在工程上得到應(yīng)用，探究組合模型響應(yīng)的不確定性來(lái)源[9-10]，使合并預(yù)測(cè)有著更為穩(wěn)健、可靠的預(yù)測(cè)結(jié)果，對(duì)合并預(yù)測(cè)的模型形式進(jìn)行靈敏度分析顯得尤為重要。目前，對(duì)參數(shù)靈敏度的研究較為成熟。全局靈敏度分析方法主要有基本效應(yīng)法[11-12]、導(dǎo)數(shù)法[13-14]、方差靈敏度分析法[15-17]、矩獨(dú)立靈敏度分析法[18-21]等?；拘?yīng)法最初是由Morris[11]提出，通過(guò)輸入變量的變化對(duì)輸出響應(yīng)的平均影響，其計(jì)算量隨著輸入變量的維數(shù)增加而線性增加；導(dǎo)數(shù)法最初是由Sobol等[13]提出，通過(guò)模型輸出響應(yīng)對(duì)輸入變量偏導(dǎo)數(shù)平方的期望來(lái)衡量輸入變量的重要性，由于要求偏導(dǎo)數(shù)，故其對(duì)于非線性程度較高的模型計(jì)算效率低；方差靈敏度分析法最初也是由Saltelli等[15]提出的，通過(guò)輸入變量對(duì)輸出響應(yīng)方差的影響程度來(lái)衡量輸入變量的重要程度；由于方差只是一個(gè)統(tǒng)計(jì)特征，在很多情況下反映出的信息不全面，故Borgonovo[19]提出了矩獨(dú)立靈敏度分析法，其通過(guò)輸入變量對(duì)輸出響應(yīng)概率密度函數(shù)的影響來(lái)衡量輸入變量的重要度，后來(lái)Liu等[21]又提出了基于累計(jì)分布函數(shù)的矩獨(dú)立指標(biāo)，這是通過(guò)描述輸入變量對(duì)輸出響應(yīng)的累積分布函數(shù)的影響來(lái)衡量輸入變量的重要度。此外，靈敏度分析在航空領(lǐng)域也得到了應(yīng)用，如可用于結(jié)構(gòu)及氣動(dòng)的分析與設(shè)計(jì)中[22-24]。由上可以看出，對(duì)參數(shù)的靈敏度分析已經(jīng)日趨完善，但是鮮有文獻(xiàn)對(duì)模型形式不確定的靈敏度進(jìn)行研究。

本文針對(duì)組合模型方法下的靈敏度問(wèn)題，提出模型靈敏度指標(biāo)及其分析求解方法。首先提出兩種模型靈敏度指標(biāo)：模型方差靈敏度及模型矩獨(dú)立靈敏度。同時(shí)給出對(duì)應(yīng)的分析方法。然后，以典型螺栓連接件的隨機(jī)振動(dòng)多模型合并預(yù)測(cè)為例，分析計(jì)算其中各個(gè)單模型的模型方差靈敏度指標(biāo)和矩獨(dú)立靈敏度指標(biāo)，由靈敏度指標(biāo)值可得出組合模型中相對(duì)重要的模型，為組合模型預(yù)測(cè)的進(jìn)一步提升提供更多信息。

1模型合并中的模型靈敏度指標(biāo)及其求解

1.1基于模型合并的預(yù)測(cè)

2實(shí)例：典型螺栓連接件的隨機(jī)振動(dòng)組合模型靈敏度分析

典型螺栓連接框架結(jié)構(gòu)示意圖如圖3所示，該結(jié)構(gòu)借鑒于參考文獻(xiàn)[25]。針對(duì)螺栓連接不同的假設(shè)處理，分別建立了三個(gè)不同的框架結(jié)構(gòu)有限元模型。如圖4所示，其中圖4（a）為h1板殼單元模型，該模型中將圖3中的螺栓連接Bolt1～Bolt8都進(jìn)行細(xì)化單獨(dú)建模；圖4（b）為h2實(shí)體單元模型，在該模型中連接Bolt7與Bolt8的不做細(xì)化建模；圖4（c）為h3板梁?jiǎn)卧Ｐ?，該模型中連接Bolt1～Bolt8均未細(xì)化建模，等效入上下橫梁與側(cè)柱的直接連接中去。本文的模型合并將在該三個(gè)模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行。

該結(jié)構(gòu)中的隨機(jī)變量包括E=[E1，E2，E3，E4，E5，E6，E7，E8，Eb，Ec]，其中Ei（i = 1，…，8）為第i個(gè)螺栓連接的彈性模量，Eb，Ec分別為上下橫梁及兩側(cè)側(cè)柱的彈性模量，還包括結(jié)構(gòu)阻尼比ξ。各變量的分布信息見(jiàn)表1，其中正態(tài)分布的參數(shù)1和2分別為均值和標(biāo)準(zhǔn)差，均勻分布的參數(shù)1和2分別為上限和下限。

2.1固定頻率點(diǎn)下的模型靈敏度分析

首先進(jìn)行某一典型頻率點(diǎn)下的靈敏度分析。依據(jù)模型中隨機(jī)變量彈性模量和阻尼比的分布抽樣N=1000組樣本值，使用限元軟件Nastran計(jì)算得到每一個(gè)模型在對(duì)應(yīng)參數(shù)樣本下的響應(yīng)——功率譜密度（PSD）曲線，如圖5所示。

鑒于162Hz為PSD響應(yīng)圖的第二個(gè)波峰附近，故先取各模型在固定頻率點(diǎn)162Hz下的響應(yīng)，求解各單模型在該處響應(yīng)下的方差靈敏度和矩獨(dú)立靈敏度指標(biāo)，結(jié)果見(jiàn)表2。由表2可以看出，無(wú)論是矩獨(dú)立靈敏度指標(biāo)還是方差靈敏度指標(biāo)上看，模型h1對(duì)于組合模型的影響是最大的。由結(jié)合式（15）可看出，模型h1的權(quán)重值是最大的，模型h2次之，模型h3最小。因此可以說(shuō)明，權(quán)重值是影響組合模型靈敏度指標(biāo)的一個(gè)因素，但靈敏度指標(biāo)還受到模型中包含變量的影響，具體在下面的分析中體現(xiàn)出來(lái)。

2.2隨機(jī)振動(dòng)的模型靈敏度分析

在2.1節(jié)中，只考慮了在某一固定頻率點(diǎn)下的靈敏度分析，在這一節(jié)，將分析框架結(jié)構(gòu)的隨機(jī)振動(dòng)功率譜密度（PSD）在各個(gè)頻率下的靈敏度。隨機(jī)振動(dòng)的PSD為一曲線，這里對(duì)每一個(gè)頻率點(diǎn)均進(jìn)行靈敏度分析，最后得到方差和矩獨(dú)立靈敏度指標(biāo)隨頻率變化的結(jié)果，分別如圖6～圖8所示。從圖6～圖8中可看出，在大部分的頻率點(diǎn)下模型h1對(duì)于組合模型的貢獻(xiàn)度是最大的，這主要是由于模型h1的權(quán)重值是最大的。但是在有些頻率點(diǎn)下出現(xiàn)交錯(cuò)現(xiàn)象，例如，圖6中，在50～70Hz、160～180Hz和270～300Hz頻率段，模型h3與模型h2的貢獻(xiàn)度互相交錯(cuò)。這是由于在某些頻率段下各模型輸出響應(yīng)的分布類型以及分布參數(shù)的不同。因此，影響模型靈敏度的指標(biāo)因素為：一個(gè)是分配到每個(gè)模型的權(quán)重值，一個(gè)是模型本身的隨機(jī)性（模型中的參數(shù)）。

為了更為直觀地了解每一個(gè)模型的重要度，對(duì)靈敏度指標(biāo)求其均方根值，得到如表3所示的數(shù)據(jù)?？梢钥闯鰜?lái)，在貝葉斯方法下的組合模型，對(duì)組合模型的重要度排序?yàn)閔1> h3> h2，且兩種指標(biāo)獲得了一致的重要度排序結(jié)果。

3結(jié)論

本文分析探討了以模型作為不確定性輸入對(duì)組合模型輸出響應(yīng)方差以及概率密度函數(shù)的影響，類比隨機(jī)變量靈敏度指標(biāo)，提出了兩種模型靈敏度指標(biāo)。一是基于方差的模型靈敏度指標(biāo)Si和STi，一是基于矩獨(dú)立的模型靈敏度指標(biāo)δi，來(lái)分別量化各單模型對(duì)組合模型的影響程度。

對(duì)航空典型螺栓連接件的隨機(jī)振動(dòng)組合模型進(jìn)行了靈敏度分析，計(jì)算了不同的螺栓連接模型的方差靈敏度和矩獨(dú)立靈敏度。從得到的指標(biāo)值可以看出各模型在組合模型預(yù)測(cè)中的影響程度。從靈敏度函數(shù)結(jié)果看出，影響模型靈敏度的因素包括組合模型中各單模型的權(quán)重值和各單模型響應(yīng)本身的不確定性（內(nèi)部的不確定參數(shù)引起）。

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Sensitivity Analysis of Multiply Random Vibration Models for Typical Bolt Connection

Yuan Xiukai，Zhao Chaofan，Zheng Zhenxuan，Kong Chongchong Xiamen University，Xiamen 361005，China

Abstract： In order to analyze the sources and impacts of uncertainties on combined model output， the variance sensitivity and moment-independent sensitivity for the combined models are proposed； also， the sensitivity analysis methods are presented. Model variance sensitivity is to quantify the influence of each model on the variance of the combined model output response. Model moment-independent sensitivity is to quantify the influence of each model on the probability density function of the combined model output response. Finally， based on a typical bolt connection combination forecast， the model sensitivity of structural random vibration combination forecast model is analyzed. The result shows that two factors affect the model sensitivity： the weight value of the combined model and the uncertainty of every single model itself （caused by internal parameters）.

Key Words： sensitivity analysis； combined model； uncertainty； random vibration

3816500338202