楊宇嬌， 徐慧東， 張建文

（1.太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，太原 030024；2.太原理工大學(xué) 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，太原 030024）

引 言

分岔是由非線性動(dòng)力系統(tǒng)的參數(shù)發(fā)生變化所引起的，系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化的一種非線性現(xiàn)象.相較于連續(xù)系統(tǒng)中較為完備的分岔理論，離散系統(tǒng)(映射)中也蘊(yùn)含著豐富的動(dòng)力學(xué).許多學(xué)者研究了離散動(dòng)力系統(tǒng)下復(fù)雜的分岔行為，并且取得了不少有價(jià)值的研究成果[1-8].Pecora[6]基于一個(gè)二維離散時(shí)間壟斷模型定性分析了在1∶4 共振點(diǎn)附近出現(xiàn)的分岔序列，發(fā)現(xiàn)了許多復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象.Ren 等[7]基于一個(gè)離散時(shí)間信息擴(kuò)散模型，討論了由Neimark-Sacker 分岔退化引起的1∶2 共振、1∶3 共振和1∶4 共振.Li 等[8]基于一個(gè)離散Hindmarsh-Rose 模型，用內(nèi)積法和規(guī)范形理論分析了flip 分岔、Neimark-Sacker 分岔以及1∶2 共振分岔，并給出了1∶2共振發(fā)生的條件.

分岔控制指的是通過(guò)控制改變?cè)蔷€性系統(tǒng)的特性進(jìn)而來(lái)獲得所需要的動(dòng)力學(xué)行為.早期分岔控制的研究包括延遲固有分岔的發(fā)生以及穩(wěn)定現(xiàn)有的分岔，但隨著對(duì)分岔機(jī)理的深入研究和非線性控制理論的發(fā)展，Chen 等[9]開(kāi)創(chuàng)性地研究了washout-filter 反饋控制器下連續(xù)系統(tǒng)Hopf 分岔反控制問(wèn)題.自此，有不少學(xué)者開(kāi)始對(duì)分岔反控制問(wèn)題進(jìn)行研究[10-16].需要強(qiáng)調(diào)的是，分岔反控制是傳統(tǒng)分岔控制的逆問(wèn)題，其任務(wù)就是通過(guò)控制在系統(tǒng)預(yù)先指定的系統(tǒng)參數(shù)點(diǎn)設(shè)計(jì)出具有所期望特性的分岔.Wen 等[14]提出了一種新的反饋控制方法，并基于此方法實(shí)現(xiàn)了共振情況下的Hopf 分岔.伍新等[15]使用線性反饋控制方法研究了一類含間隙的三自由度高維碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的Neimark-Sacker 分岔反控制問(wèn)題.徐慧東等[16]對(duì)一類含間隙碰撞振動(dòng)系統(tǒng)Poincaré映射的Hopf-Hopf 交互分岔進(jìn)行了反控制研究.

值得注意的是，在實(shí)施分岔的反控制時(shí)，需要按分岔的臨界準(zhǔn)則反求出控制增益參數(shù)，進(jìn)而通過(guò)調(diào)控增益參數(shù)來(lái)生成所期望的分岔解.而傳統(tǒng)的分岔準(zhǔn)則是用特征值的特性來(lái)描述的，對(duì)于低維系統(tǒng)，由于其線性化矩陣的特征值具有解析的表達(dá)式，所以基于傳統(tǒng)的分岔準(zhǔn)則來(lái)確定分岔存在是有效的.但對(duì)于高維系統(tǒng)，由于其線性化矩陣的特征值一般無(wú)法解析表示，這樣基于傳統(tǒng)的分岔準(zhǔn)則來(lái)研究分岔的存在性，通常需要逐點(diǎn)取值去檢驗(yàn)在某個(gè)參數(shù)點(diǎn)分岔的存在性，具有一定的局限性.針對(duì)這個(gè)局限性，Wen[17]提出了任意維映射的，不依賴于特征值計(jì)算的Hopf 分岔顯式臨界準(zhǔn)則.隨后，有不少研究者對(duì)其他分岔的顯示準(zhǔn)則問(wèn)題進(jìn)行了研究.Xu 等[18]提出了一種新的準(zhǔn)則來(lái)研究繼電器反饋系統(tǒng)極限環(huán)的叉式分岔問(wèn)題，并利用數(shù)值模擬驗(yàn)證了新準(zhǔn)則的準(zhǔn)確性.Yao[19]針對(duì)一般意義下的離散系統(tǒng)的余維二分岔，提出了一種新的flip-Neimark-Sacker 分岔臨界判據(jù).據(jù)筆者所知，目前有關(guān)高維映射的1∶2 共振情形下的余維二分岔反控制的問(wèn)題，尚未有報(bào)道.

本文發(fā)展了一種控制方法，基于該方法對(duì)三維映射的1∶2 共振分岔進(jìn)行了反控制研究.針對(duì)傳統(tǒng)的映射1∶2 共振分岔準(zhǔn)則在確定分岔點(diǎn)存在的局限性，建立了不直接依賴于特征值計(jì)算的顯式臨界準(zhǔn)則，并基于顯式準(zhǔn)則，通過(guò)設(shè)計(jì)線性控制增益來(lái)確保系統(tǒng)會(huì)發(fā)生1∶2 共振分岔.然后，應(yīng)用中心流形-范式方法進(jìn)一步通過(guò)確定非線性控制增益分析了1∶2 共振分岔解及其穩(wěn)定性.最后，針對(duì)一個(gè)三維的Arneodo-Coullet-Tresser 映射，通過(guò)設(shè)計(jì)線性和非線性控制增益在指定的參數(shù)點(diǎn)處實(shí)現(xiàn)了1∶2 共振分岔的各種分岔解.

1 控制系統(tǒng)

考慮一個(gè)一般的三維離散動(dòng)力系統(tǒng)：

其中μ ∈R2是 分岔參數(shù)，函數(shù)f1，f2，f3關(guān) 于x,y,z和μ 是充分光滑的.

本文的目的是通過(guò)設(shè)計(jì)一個(gè)適當(dāng)?shù)目刂破鳎陬A(yù)先指定的位置μ =μ0處，使系統(tǒng)(1)產(chǎn)生1∶2 共振情形下的余維二分岔.設(shè)計(jì)一個(gè)離散時(shí)間的濾波反饋控制器并施加到原系統(tǒng)(1)，可得如下的控制系統(tǒng)：

其中X=(x,y,z,w)T， μ ∈R2，w為濾波器狀態(tài)變量，為濾波器輸出函數(shù).當(dāng)=0時(shí) ，u(s)=0,v(s)=0，這樣濾波器在控制過(guò)程中會(huì)保持原系統(tǒng)(1) 的不動(dòng)點(diǎn).對(duì)于一個(gè)穩(wěn)定的濾波器，r在 ( 0,2)范 圍內(nèi)變化，并且r的選取會(huì)影響控制的收斂速度.控制增益矩陣K由控制器的系數(shù)kij(i=1,2,3，j=1,2 ) 構(gòu)成，其中的線性控制增益k11，k12被用于控制1∶2 共振情形下的余維二分岔的發(fā)生，非線性控制增益k21，k31，k22，k32能夠靈活地操縱所發(fā)生的1∶2 共振分岔，確定該分岔所產(chǎn)生的分岔解的類型和穩(wěn)定性，從而實(shí)現(xiàn)一些理想的動(dòng)力學(xué)行為.在下一節(jié)中，我們將發(fā)展一些適當(dāng)?shù)墓絹?lái)確定這些增益.

2 線性控制增益的設(shè)計(jì)

控制系統(tǒng)(2)～(4)在不動(dòng)點(diǎn)x?(x0,y0,z0,w0)處的Jacobi 矩陣為

傳統(tǒng)的映射1∶2 共振的臨界分岔?xiàng)l件表述如下.

命題1[20]當(dāng)控制系統(tǒng)(2)～(4)滿足如下的條件(C1)和(C2)：

(C1) 特征值分布條件 在 μ =μ0處，Jacobi 矩陣(5)有兩個(gè)實(shí)特征值λ1(μ0,KL)=λ2(μ0,KL)=?1，其余特征值λi(μ,KL),i=3,4 在單位圓內(nèi)，即| λi(μ0,KL)|<1；

系統(tǒng)將在μ =μ0處發(fā)生1∶2 共振分岔.

命題1 中條件(C1)和(C2)是1∶2 共振情形下的余維二分岔的重要臨界條件，決定了映射中是否存在該分岔.顯然，該命題是用特征值的性質(zhì)表示的，也就是說(shuō)分析分岔的存在與否，需要借助特征值的解析表達(dá)式或在參數(shù)空間中通過(guò)數(shù)值搜索方法尋找分岔點(diǎn).由于Jacobi 矩陣(5)是一個(gè)高階矩陣，且包含了一些需要被確定的控制參數(shù)k11和k12，所以通過(guò)求解特征值的解析表達(dá)式來(lái)確定這些控制參數(shù)是很困難的.為了更方便、有效地根據(jù)臨界分岔?xiàng)l件得到線性增益KL，進(jìn)而分析1∶2 共振情形下的余維二分岔的存在性，下文將給出四維離散動(dòng)力系統(tǒng)1∶2 共振情形下的余維二分岔的顯式判據(jù).該判據(jù)是由特征多項(xiàng)式方程的系數(shù)所組成的一組等式或不等式構(gòu)成的，與特征值的計(jì)算無(wú)關(guān).

在建立新的顯式臨界判據(jù)之前，先給出映射(2)的Jacobi 矩陣(5)在不動(dòng)點(diǎn)x?處的特征多項(xiàng)式為

其中a0=1， 并且aj=aj(μ,KL),j=1,2,3,4.再定義如下行列式序列：

通過(guò)使用多項(xiàng)式(6)與行列式(7), 可以得到如下命題.

命題2映射(2)在μ =μ0處發(fā)生1∶2 共振的必要不充分條件為(H1)與(H2)：

(H1) 特征值分布條件

(H2) 橫截條件

其中表示ai(μ,KL)關(guān) 于μ 在 μ =μ0處 的導(dǎo)數(shù)，i=1,2,3,4.

為了證明所提出的顯式臨界準(zhǔn)則的必要性，需要先引入下述引理.

引理1[21]針對(duì)三次多項(xiàng)式方程0 有一個(gè)實(shí)特征根?1，其余的所有特征根都在單位圓內(nèi)的充分必要條件由下述條件(M1) 與(M2)給出：

(M1) 特征值分布條件

(M2) 橫截條件

證明如果條件(C1)與(C2)可以推得條件(H1) 與(H2), 那么命題2 就構(gòu)成了映射發(fā)生1∶2 共振的一個(gè)必要條件.

首先證明條件(H1)的必要性，假設(shè)條件(C1)成立，根據(jù)λ1(μ0,KL)=?1， 必有條件(H1)中Pμ0,KL(?1)=0成立.在確保有特征值?1 的情況下，在μ =μ0處特征多項(xiàng)式(6)可寫為如下形式：

其中

根據(jù)命題1 和引理1, 條件(C1)中的 λ2(μ0,KL)=?1， |λi(μ,KL)|<1，i=3,4表明條件(M1) 成立.展開(kāi)等式(10)的右側(cè)，并同等式(6)的系數(shù)作比較可得

根據(jù)如下公式[22]：

以及式(10)、(13)、條件(M1)，很容易證明條件(H1)中

成立.故條件(H1)的必要性得證.

接下來(lái)說(shuō)明條件(H1)的不充分性，假設(shè)條件(H1)成立，則必然成立，已知[23]

也必然成立，命題2 得證.

在本節(jié)中，利用命題2 通過(guò)調(diào)節(jié)線性控制增益k11和k12，可以保證系統(tǒng)(2)～(4)產(chǎn)生1∶2 共振分岔.從命題2 的條件(H1)和(H2)可以看出，這些不等式可以快速排除一些參數(shù)區(qū)域并直接確定臨界分岔的控制參數(shù)區(qū)域，從而避免了對(duì)關(guān)鍵參數(shù)點(diǎn)費(fèi)力的數(shù)值搜索，簡(jiǎn)化了繁重的計(jì)算.與傳統(tǒng)臨界判據(jù)相比，本文提出的臨界判據(jù)更適合高維控制系統(tǒng)，可以更方便、有效地實(shí)現(xiàn)分岔點(diǎn)的確定.

3 非線性控制增益的設(shè)計(jì)

本節(jié)將基于中心流形-范式方法和1∶2 共振分岔理論，通過(guò)設(shè)計(jì)四個(gè)非線性控制增益k21，k31，k22，k32來(lái)分析1∶2 共振情形下的余維二分岔所產(chǎn)生的分岔解的穩(wěn)定性和類型，實(shí)現(xiàn)一些理想的動(dòng)力學(xué)行為.

命題3對(duì)于四維映射(2), 若其線性化矩陣(5)有兩個(gè)特征值?1，其余都在單位圓內(nèi)，則存在一個(gè)中心流形，可以將原映射降階成與其局部動(dòng)力學(xué)行為等價(jià)的二維映射.

證明做如下坐標(biāo)變換，將不動(dòng)點(diǎn)x?和分岔點(diǎn)移至坐標(biāo)原點(diǎn)處：

對(duì)于映射(16), 存在一個(gè)二維的中心流形如下：

該中心流形取決于參數(shù) β=(β1,β2)，其中

展開(kāi)H有

以往對(duì)高維映射分岔的研究是通過(guò)中心流形將高維映射降階成相應(yīng)分岔的低維映射，然后再基于降階后的映射導(dǎo)出范式.這里依據(jù)文獻(xiàn)[24]的方法，直接通過(guò)推導(dǎo)中心流形將原映射降階為1∶2 共振的范式映射.利用中心流形(17)可將式(16)降階為如下的二維映射：

命題3 得證.

綜上所述，映射(16)可以降階為規(guī)范形(19), 且規(guī)范形系數(shù)可由式(22)、(23)求得，將規(guī)范形映射(19) 記為ωΓβ(ω).接下來(lái)，為了通過(guò)控制設(shè)計(jì)范式映射(19)的1∶2 共振的相應(yīng)分岔解，需要用光滑流形近似這個(gè)映射.但由于映射(19) 的線性部分有負(fù)特征值，所以選擇該映射的二次迭代來(lái)近似.

F(1)={(β1,β2):β1+O(‖β‖2)=0};

1) 仍存在pitchfork 分岔曲線

2) 存在非退化的Hopf 分岔曲線

H(1)={(β1,β2):β2+β1+O(‖β‖2)=0,β1<0},

H(2)={(β1,β2):C1(0,KNL)β2+C1(0,KNL)β1+2D1(0,KNL)β1+O(‖β‖2)=0,β1>0};

3) 存在同宿分支曲線

P={(β1,β2):5C1(0,KNL)β2+5C1(0,KNL)β1+8D1(0,KNL)β1+O(‖β‖2)=0,β1>0};

4) 存在環(huán)的折分支曲線

K={(β1,β2):C1(0,KNL)β2+C1(0,KNL)β1+2k0D1(0,KNL)β1+O(‖β‖2)=0,β1>0},

k0=0．752···.

基于系統(tǒng)(25)的流的兩種分岔情形給出如下命題.

命題4[20]通過(guò)設(shè)計(jì)非線性控制增益，可以實(shí)現(xiàn)原映射(16)的1∶2 共振點(diǎn)附近的兩種分岔情形如下.

情形3若則

1) 存在類似于pitchfork 分岔曲線F(1)的flip 分岔曲線，穿過(guò)這條曲線，映射(16) 發(fā)生倍化分岔，從平凡不動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生周期2 不動(dòng)點(diǎn)；

2) 存在類似于非退化Hopf 分岔曲線H(1)的非退化Neimark-Sacker 分岔曲線，穿過(guò)這條曲線，映射(16)發(fā)生Neimark-Sacker 分岔，從平凡不動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生一個(gè)穩(wěn)定的不變?nèi)Γ?/p>

3) 在異宿分支曲線G附 近的指數(shù)狹窄參數(shù)區(qū)域中存在一個(gè)異宿結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)導(dǎo)致不變?nèi)ο?

情形4若則

1) 仍存在類似于pitchfork 分岔曲線F(1)的flip 分岔曲線，穿過(guò)這條曲線，映射(16) 從平凡不動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生周期2 不動(dòng)點(diǎn)；

2) 除了存在對(duì)應(yīng)情形3 中H(1)分岔曲線的非退化Neimark-Sacker 分岔曲線外，還存在類似于非退化Hopf 分岔曲線H(2)的非退化Neimark-Sacker 分岔曲線，穿過(guò)H(2)這條曲線，映射(16)發(fā)生Neimark-Sacker分岔，從兩個(gè)非平凡不動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生兩個(gè)不穩(wěn)定的不變?nèi)Γ?/p>

3) 在同宿分岔曲線P附近的指數(shù)狹窄參數(shù)區(qū)域中存在一個(gè)同宿結(jié)構(gòu)；

4) 存在對(duì)應(yīng)環(huán)的折分支曲線K的分岔曲線，穿過(guò)這條曲線，映射(16)沒(méi)有不變?nèi)?

4 數(shù)值例子

本節(jié)將通過(guò)一個(gè)實(shí)例說(shuō)明上述理論的可行性.將一個(gè)控制器施加到三維的二次Arneodo-Coullet-Tresser映射(簡(jiǎn)稱ACT 映射)[25], 得到一個(gè)如下的四維控制系統(tǒng)：

圖1 控制參數(shù)分岔圖Fig.1 The control parameter bifurcation diagram

綜上所述，命題2 中的不等式不僅可以排除參數(shù)平面上的一些不重要的參數(shù)區(qū)域，從中選出可行的參數(shù)域，還可以在不需要計(jì)算特征值模的導(dǎo)數(shù)的情況下，對(duì)橫截條件的計(jì)算進(jìn)行簡(jiǎn)化.

接著基于中心流形-范式方法來(lái)分析分岔解的類型和穩(wěn)定性，通過(guò)設(shè)計(jì)非線性控制增益來(lái)實(shí)現(xiàn)具有期望特性的分岔解.本文將根據(jù)的符號(hào)分情況討論1∶2 共振分岔點(diǎn)Q1附近局部的動(dòng)力學(xué)行為.首先，基于第3 節(jié)的內(nèi)容，通過(guò)計(jì)算給出確定分岔曲線的一些主要的表達(dá)式：

在k11=1．810 488 256 235 632和k12=?2．504 770 370 376 880處 ，固定非線性控制增益k22=1．6 和k31=1．4，以k21和k32為可調(diào)節(jié)的控制增益，通過(guò)計(jì)算得到如下的表達(dá)式：

情形5依據(jù)圖2, 取k21=1和k32=18 ， 可知,KNL)>0.利用表達(dá)式(33)～(42)得到對(duì)應(yīng)情形1 的分岔曲線如下：

圖2 0,KNL)的曲線圖Fig.2 The graph of ,KNL)

pitchfork 分岔曲線F(1)=55．518 022 97+44．129 26k11+54．062 25k12;

非退化的Hopf 分岔曲線H(1)=108．704 079 7+84．066 000 70k11+104．163 072 8k12;

異宿分支曲線G=8．192 489 252+6．470 410 056k11+7．947 670 516k12.

在1．810 44

圖3 控制系統(tǒng)(29)對(duì)應(yīng)情形5 形如式(20)的范式映射的分岔圖：(a) 時(shí)，系統(tǒng)(29)對(duì)應(yīng)的分支圖；(b) 對(duì)應(yīng)于圖3(a)分岔點(diǎn)上半部分的局部放大圖；(c) 對(duì)應(yīng)于圖3(a)分岔點(diǎn)下半部分的局部放大圖Fig.3 Bifurcation diagrams of the normal form mapping like eq.(20) of control system (29) corresponding to case 5: (a) the bifurcation diagram for system(29), (b) the local enlargement of the upper half of the bifurcation points in fig.3(a); (c) the local enlargement of the lower half of the bifurcation points in fig.3(a)

在分岔參數(shù)點(diǎn)Q1的 小鄰域內(nèi)取控制參數(shù) (k11,k12)=Q1+(?0．08,0．15)，通過(guò)控制獲得了一個(gè)唯一的穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)，其相圖如圖4(a)所示；當(dāng)穿過(guò)分岔曲線F(1)，從該不動(dòng)點(diǎn)處會(huì)產(chǎn)生兩個(gè)不穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)；當(dāng)穿過(guò)非退化的Hopf 分岔曲線H(1)時(shí)，在 (k11,k12)=Q1+(?0．1,?0．01) 處映射(29)發(fā)生Neimark-Sacker 分岔，產(chǎn)生一個(gè)如圖4(b) 中所示的穩(wěn)定的不變?nèi)?；?dāng)穿過(guò)異宿分支曲線G時(shí)(見(jiàn)圖4(c)) ，不變?nèi)ο?

圖4 對(duì)應(yīng)于圖3 所示分岔圖的相圖：(a) 在( k11,k12)=Q1+(?0．08,0．15) 處的穩(wěn)定點(diǎn)；(b) 在 ( k11,k12)=Q1+(?0．1,?0．01)處的不變?nèi)Γ?c) 異宿分支曲線G 上的異宿軌道Fig.4 Phase diagrams corresponding to the bifurcation diagrams shown in fig.3: (a) the fixed point at (k 11,k12)=Q1+(?0．08,0．15); (b) the invariable circle at ( k ,k )=Q+(?0．1,?0．01); (c) the heterotropic orbit on heterotropic curve G

情形6依據(jù)圖2, 取k21=1．3和k32=1．8， 可知<0.利用表達(dá)式(33)～(42)得到對(duì)應(yīng)情形2 的分岔曲線如下.

Pitchfork 分岔曲線F(1)=55．518 022 97+44．129 26k11+54．062 25k12;

非退化的Hopf 分岔曲線H(1)=108．704 079 7+84．066 000 70k11+104．163 072 8k12;

非退化的Hopf 分岔曲線H(2)=9．869 602 502+7．865 381 192k11+9．625 545 552k12;

同宿分支曲線P=38．530 639 71+30．728 569 23k11+37．594 004 08k12;

環(huán)的折分支曲線K=7．186 894 048+5．732 993 682k11+7．013 182 081k12.

在1．810 486

圖5 控制系統(tǒng)(29)對(duì)應(yīng)情形6 形如式(20)的范式映射的分岔圖：(a) <0 時(shí)，系統(tǒng)(29)對(duì)應(yīng)的分支圖；(b) 對(duì)應(yīng)于圖5(a)分岔點(diǎn)上半部分的局部放大圖；(c) 對(duì)應(yīng)于圖5(a)分岔點(diǎn)下半部分的局部放大圖Fig.5 Bifurcation diagrams of the normal form mapping like eq.(20) of control system (29) corresponding to case 6: (a) the bifurcation diagram of system(29), 0; (b) the local enlargement of the upper half of the bifurcation points in fig.5(a); (c) the local enlargement of the lower half of the bifurcation points in fig.5(a)

在分岔參數(shù)點(diǎn)Q1的 小鄰域內(nèi)取控制參數(shù)(k11,k12)=Q1+(?0．11,0．12)，存在一個(gè)唯一的不動(dòng)點(diǎn)，其相圖如圖6(a)所示；當(dāng)穿過(guò)非退化的Hopf 分岔曲線H(1)時(shí) ，在 (k11,k12)=Q1+(?0．1,?0．05) 處映射(29)發(fā)生Neimark-Sacker 分岔，產(chǎn)生一個(gè)如圖6(b)中所示的穩(wěn)定的不變?nèi)?；?dāng)穿過(guò)非退化的Hopf 分岔曲線H(2)時(shí)，映射(29) 發(fā)生Neimark-Sacker 分岔，產(chǎn)生兩個(gè)不穩(wěn)定的不變?nèi)Γ划?dāng)穿過(guò)同宿分支曲線P時(shí)(見(jiàn)圖6(c))，上述的其中一個(gè)不穩(wěn)定的不變?nèi)οВ⑶翌~外出現(xiàn)一個(gè)穩(wěn)定的不變?nèi)Γ划?dāng)穿過(guò)環(huán)的折分支曲線K時(shí)(見(jiàn)圖6(d))，所有不變?nèi)ο?

圖6 對(duì)應(yīng)于圖5 所示分岔圖的相圖：(a) 在 ( k11,k12)=Q1+(?0．11,0．12) 處的穩(wěn)定點(diǎn)；(b) 在 ( k11,k12)=Q1+(?0．1,?0．05) 處的不變?nèi)Γ?c) 同宿分支曲線P 上的同宿軌道；(d) 環(huán)的折分支曲線K 上的軌道Fig.6 Phase diagrams corresponding to the bifurcation diagrams shown in fig.5: (a) the fixed point at (k 11,k12)=Q1+(?0．11,0．12); (b) the invariable circle at ( k11,k12)=Q1+(?0．1,?0．05); (c) the homoclinic orbit on homoclinic curve P; (d) the orbit on the folded branch curve of ring K

5 結(jié) 論

本文提出一套完整的非線性控制策略，研究了離散動(dòng)力系統(tǒng)1∶2 共振情形下的余維二分岔的反控制問(wèn)題.針對(duì)四維離散控制系統(tǒng)(或映射), 建立了1∶2 共振分岔的顯式準(zhǔn)則，克服了傳統(tǒng)分岔準(zhǔn)則在反控制過(guò)程中需要依賴直接計(jì)算特征值帶來(lái)的困難，這將更適合含有多個(gè)控制增益的離散動(dòng)力系統(tǒng)此類余維二分岔控制的設(shè)計(jì).本文隨后推導(dǎo)獲得了1∶2 共振的中心流形，將含參數(shù)的四維映射簡(jiǎn)化為二維的范式映射，得到了控制分岔解類型和穩(wěn)定性關(guān)鍵指標(biāo)的解析表達(dá)式.基于理論分析，本文針對(duì)一個(gè)ACT 映射通過(guò)該控制策略在指定的參數(shù)位置處成功實(shí)現(xiàn)了1∶2 共振情形下的Neimark-Sacker 分岔以及更加復(fù)雜的同異宿分岔.