唐穎卓， 盧光宇， 蔡國平

（上海交通大學(xué) 海洋工程國家重點實驗室 工程力學(xué)系，上海 200240）

引 言

對地觀測是衛(wèi)星的重要功能之一，高分辨率實時觀測是人類一直追求的目標.為滿足高分辨率成像要求，近年來，大口徑太空望遠鏡技術(shù)引起了廣泛關(guān)注.若選用以鏡面折反射為原理的傳統(tǒng)太空望遠鏡，高分辨率要求望遠鏡口徑增大，而口徑的增大不僅會導(dǎo)致鏡面變形，對鏡面精度控制技術(shù)要求提高，而且重量和體積的增加也會導(dǎo)致衛(wèi)星發(fā)射困難[1-2].薄膜衍射太空望遠鏡是一種新型的太空望遠鏡，與傳統(tǒng)太空望遠鏡相比，它具有易折疊與展開、重量輕、體積小、便于發(fā)射等許多優(yōu)點，因此引起了國內(nèi)外的廣泛研究.

美國最早開始研究衍射望遠鏡成像技術(shù)，提出了“眼鏡”(eyeglass)計劃、獵鷹7 號計劃和薄膜型光學(xué)實時成像儀(MOIRE)計劃[3].Hyde 等[4]簡單介紹了“眼鏡”太空望遠鏡的基本結(jié)構(gòu)和應(yīng)用原理.MacEwen等[5]介紹了一種寬帶、高透射衍射/折射膜透鏡的研制方法，并簡要討論了膜透鏡在國防和天文學(xué)方面的應(yīng)用前景.Domber 等[6]進行了MOIRE 地面試驗，試驗臺結(jié)果表明薄膜衍射望遠鏡具有圖像捕捉功能.考慮到薄膜衍射太空望遠鏡的巨大潛力和應(yīng)用價值，眾多學(xué)者對相關(guān)技術(shù)問題開展了探索，并取得了一定成果.黃澤兵等[7]針對太空衍射望遠鏡桁架的展開過程，模擬了桁架單元鎖定對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的擾動，為衍射望遠鏡的設(shè)計提供了有效參考.鄭耀輝等[8]設(shè)計了一種空間薄膜衍射望遠鏡主鏡展開方案，并用仿真結(jié)果驗證了方案的合理性.Makarow 等[9]研究了航天器的系統(tǒng)失穩(wěn)問題，通過推導(dǎo)系統(tǒng)的運動方程和數(shù)值模擬，對環(huán)形柔性天線在展開過程中的參數(shù)進行合理選擇.Kim 等[10]提出了一種具有較高封裝效率、可平面存儲的可展開桁架結(jié)構(gòu)，研究了其展開特性，并通過展開測試驗證了該方案的可行性.楊靜靜等[11]考慮到衍射望遠鏡成像質(zhì)量受非成像級次衍射光影響的問題，提出了一種基于噪聲自適應(yīng)估計的塊匹配三維協(xié)同濾波圖像復(fù)原算法.由于大口徑Fresnel 透鏡的拼接誤差對成像質(zhì)量影響很大，Zhang 等[12]研究了三種覆蓋所有拼接誤差的Fresnel 透鏡，通過仿真模擬驗證了誤差分析理論的正確性，為透鏡拼接提供了理論指導(dǎo).然而值得在此指出的是，目前大多數(shù)對薄膜衍射望遠鏡的研究都集中在鏡面衍射成像技術(shù)和系統(tǒng)結(jié)構(gòu)展開上，少有關(guān)于振動控制的研究.薄膜衍射太空望遠鏡結(jié)構(gòu)龐大、固有頻率低且密集，衛(wèi)星調(diào)姿或受到外部擾動時結(jié)構(gòu)易發(fā)生振動，影響衛(wèi)星的對地觀測和高分辨率成像.因此，有必要對薄膜衍射太空望遠鏡的振動問題進行深入探討.空間桁架結(jié)構(gòu)的振動主動控制多采用壓電作動器，需要附加額外的控制器材，使得航天結(jié)構(gòu)的重量增加.為了保證桁架結(jié)構(gòu)的完整性、提高結(jié)構(gòu)的固有頻率，空間桁架常帶有繩索結(jié)構(gòu)，以繩索為作動器，無需額外附加控制裝置，具有簡單易行等許多優(yōu)點[13].然而，目前少有采用繩索作動器對大型空間望遠鏡進行振動主動控制的研究.

本文對薄膜衍射太空望遠鏡桁架結(jié)構(gòu)的振動主動控制進行研究，提出了一種基于繩索作動器的振動主動控制方法，采用粒子群優(yōu)化算法研究了作動器的優(yōu)化布置，研究了繩索作動器數(shù)量與結(jié)構(gòu)振動穩(wěn)定時間之間的關(guān)系.

1 動力學(xué)模型

1.1 基本結(jié)構(gòu)

本文所考慮的薄膜衍射太空望遠鏡結(jié)構(gòu)如圖1(a)所示，主要由星體、三根支撐桁架和主鏡組成，三根桁架位置關(guān)于星體中心對稱布置，每根桁架包含30 跨桁架單元，總長37.25 m.每跨桁架單元由三角框、縱梁和繩索組成，結(jié)構(gòu)如圖1(b)所示.單跨桁架單元兩側(cè)為正三角形框架，三根縱梁與兩側(cè)的三角框架固結(jié)連接，再由相鄰縱梁與三角框相連，進而構(gòu)成支撐桁架.每根桁架頂部和底部的三角框中設(shè)有剛性板，為簡化計算，可將剛性板簡化為剛性梁，每根桁架底部和頂部的三角框結(jié)構(gòu)如圖1(c)所示.底部三角框的中心設(shè)有旋轉(zhuǎn)鉸，與星體相連，用以滿足在主鏡結(jié)構(gòu)展開過程中桁架可沿某一方向發(fā)生轉(zhuǎn)動的要求.頂部三角框的中心連有一剛性梁，與主鏡結(jié)構(gòu)相連.主鏡完全展開后，與桁架結(jié)構(gòu)完全鎖定，主鏡與桁架的相對位置不再發(fā)生改變，可將主鏡簡化為三根與桁架固結(jié)連接的剛性梁，如圖1(a)所示.對結(jié)構(gòu)進行振動主動控制時，可先不考慮星體影響，桁架結(jié)構(gòu)為懸臂狀態(tài).

圖1 薄膜衍射太空望遠鏡結(jié)構(gòu)示意圖： (a) 薄膜衍射太空望遠鏡結(jié)構(gòu)圖；(b) 桁架單元結(jié)構(gòu)圖；(c) 桁架底部、頂部的三角框架結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Schematic diagram of the membrane diffraction space telescope: (a) the structure of the membrane diffraction space telescope; (b) the structure of a truss element; (c) the triangular frame structure of the truss bottom and top

本研究采用張拉繩索作為作動器，對薄膜衍射太空望遠鏡的振動進行主動控制.如圖1(b)所示，假定每跨桁架最多可布置6 根張拉繩索，布置在桁架單元三個側(cè)面的對角線上.本研究在滿足振動控制的條件下該采用多少根繩索作動器、以及將它們布置在什么位置上.

1.2 結(jié)構(gòu)動力學(xué)建模

本文采用有限元方法建立太空望遠鏡桁架結(jié)構(gòu)的動力學(xué)模型.薄膜衍射太空望遠鏡可視為空間框架結(jié)構(gòu)，依據(jù)Euler-Bernoulli 梁理論，梁單元的有限元自由振動方程可表達為

其中，Xe=[u1,u2,v1,θz1,v2,θz2,w1,θy1,w2,θy2,θx1,θx2]T為 梁單元節(jié)點的廣義坐標列陣，其中ui，vi，wi分別表示節(jié)點i在x，y，z方向上的位移， θxi， θyi， θzi分別表示節(jié)點i在x，y，z方向上的轉(zhuǎn)角；Me，Ke為梁單元的質(zhì)量陣和剛度陣，可分別表示為

其中

其中， ρ為梁單元的密度，A為 梁單元截面面積，l為梁單元長度，G為 結(jié)構(gòu)剪切模量，Iy，Iz分別為結(jié)構(gòu)沿y軸和z軸的轉(zhuǎn)動慣量，J為結(jié)構(gòu)的極慣性矩.

分別將三角形框架、縱梁、剛性板簡化梁、連接梁、主鏡簡化梁各自的材料參數(shù)代入上述梁單元的質(zhì)量陣和剛度陣中，可以得到不同結(jié)構(gòu)單元的質(zhì)量陣和剛度陣.將其進行適當組集，并考慮到結(jié)構(gòu)的阻尼和外力影響，薄膜衍射太空望遠鏡桁架結(jié)構(gòu)的動力學(xué)方程可以表示為

其中，X(t)∈Rn為由所有節(jié)點廣義坐標所構(gòu)成的系統(tǒng)廣義坐標列陣，n為系統(tǒng)自由度；M∈Rn×n和K∈Rn×n分別為系統(tǒng)總的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣；C=αM+βK為 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)阻尼矩陣， α， β 為Rayleigh 阻尼系數(shù)；F(t)∈Rn為各繩索控制力組集得到的結(jié)構(gòu)總控制力列陣，可以寫為F(t)=(t)， 其中∈Rn×r為繩索作動器位置與作動力輸出方向矩陣，u(t)∈Rr為繩索控制力列陣，r為繩索作動器的數(shù)量，忽略繩索作動器的剛度與質(zhì)量，只考慮繩索提供的作動力.

系統(tǒng)有限元自由度n較大，無法進行控制設(shè)計與實現(xiàn)，通常的解決方法是通過對結(jié)構(gòu)少數(shù)低階模態(tài)的控制從而達到對整體結(jié)構(gòu)進行振動控制的目的.考慮對結(jié)構(gòu)的前p階模態(tài)進行主動控制，利用模態(tài)轉(zhuǎn)換：

其中， Φ=[φ1,φ2,···,φp]∈Rn×p為系統(tǒng)前p階的模態(tài)矩陣， φi∈Rn為 第i階模態(tài)列向量；q=[q1,q2,···,qp]T∈Rp為系統(tǒng)前p階的模態(tài)坐標列向量，qi為第i階模態(tài)坐標.將式(3)代入式(2)，可以得到系統(tǒng)的前p階模態(tài)振動方程為

其中

將式(4)轉(zhuǎn)化到狀態(tài)空間，可得系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

其中

2 結(jié)構(gòu)主動控制

本文采用二次線性最優(yōu)控制(LQR)設(shè)計控制器來抑制太空望遠鏡桁架結(jié)構(gòu)的振動.取性能指標函數(shù)為

其中，Q∈R2p×2p為狀態(tài)加權(quán)矩陣，為半正定矩陣；R∈R2p×2p為控制加權(quán)矩陣，為正定矩陣.根據(jù)最優(yōu)控制理論，可得最優(yōu)控制律為

其中，P∈R2p×2p為如下Riccati 矩陣代數(shù)方程的解：

本文采用繩索作動器進行結(jié)構(gòu)振動主動控制，考慮繩索的承載能力，可通過調(diào)節(jié)控制加權(quán)矩陣R來改變最優(yōu)控制u(t)的大小.

3 作動器位置優(yōu)化布置

在結(jié)構(gòu)振動主動控制中，作動器的優(yōu)化布置很關(guān)鍵，不當?shù)淖鲃悠鞑贾糜锌赡軐?dǎo)致控制效率的下降或者控制系統(tǒng)失穩(wěn).作動器的優(yōu)化布置本質(zhì)上是一優(yōu)化問題，是選擇合適的優(yōu)化算法使得某一指標函數(shù)取得全局最優(yōu).本文擬采用基于系統(tǒng)可控性的作動器位置準則，求解算法擬采用搜索效率高的離散粒子群優(yōu)化算法(PSO).將不同的作動器分布方案看作粒子群優(yōu)化算法中的個體，通過多代種群尋優(yōu)計算，得到最終的作動器位置最優(yōu)的分布結(jié)果.

3.1 優(yōu)化配置準則

本文采用Leleu 等[14]提出的作動器優(yōu)化配置準則.由該準則定義的目標函數(shù)與系統(tǒng)的可控Gram 矩陣Wc相關(guān)，目標函數(shù)值越大，則系統(tǒng)對應(yīng)的可控度越好.該準則定義的目標函數(shù)為

其中， σ (λi)是 可控Gram 矩陣Wc特征值的標準差，其作用是為了懲罰那些同時具有很大和很小特征值的位置；λi為矩陣Wc的 特征值； t r(Wc)為 矩陣Wc的跡，代表著結(jié)構(gòu)傳遞給傳感器的總能量；代表特征值的幾何平均值，d etWc為 矩陣Wc的 行列式，n為系統(tǒng)的自由度數(shù).Wc滿足如下Lyapunov 方程：

3.2 優(yōu)化算法

粒子群優(yōu)化算法是一種基于群智能的演化計算方法,它源于鳥群群體運動行為的研究，由Eberhart 和Kennedy 于1995 年提出.它的一個最基本的特點是在一個群體中去選擇最優(yōu)解，通過對群體的不斷迭代、演化以最終求得全局最優(yōu)值.粒子群優(yōu)化算法用無質(zhì)量和無體積的粒子作為個體，并為每個粒子規(guī)定簡單的行為規(guī)則，從而使整個粒子群呈現(xiàn)出復(fù)雜的特性，可用來求解復(fù)雜的優(yōu)化問題.在粒子群優(yōu)化算法中，每個解都是搜索空間中的一只“鳥”，稱之為“粒子”，它代表著一次傳感器最優(yōu)位置的選擇.假設(shè)在一個D維的搜索空間中，有f個粒子組成一個群落，粒子群優(yōu)化算法初始化為一群隨機粒子，然后通過迭代、演化尋找最優(yōu)解.在每一次迭代中，粒子i通過跟蹤兩個“極值”來更新自己：第一個就是粒子本身所找到的最優(yōu)解，稱之為個體最優(yōu)解pi； 另一個極值是整個種群目前找到的最優(yōu)解，稱之為全局極值pg.每一個粒子是按照下述兩式進行變化的：

式中，i=1,2,···,f；d=1,2,···,D； 加速因子c1和c2分 別調(diào)節(jié)向pi和pg方 向飛行的最大步長，合適的c1和c2可以加快收斂且不易陷入局部最優(yōu)；r1和r2為[0,1]之間的隨機數(shù).

4 數(shù)值仿真

本節(jié)進行數(shù)值仿真，以驗證本文方法的有效性.薄膜衍射太空望遠鏡的基本結(jié)構(gòu)如圖1 所示，參考文獻[15]，結(jié)構(gòu)材料的相關(guān)參數(shù)見表1.

表1 薄膜衍射太空望遠鏡結(jié)構(gòu)的物理參數(shù)Table 1 Physical parameters of the structure of the membrane diffraction space telescope

首先計算結(jié)構(gòu)的固有頻率和模態(tài).用ANSYS 進行建模時，三角框和單跨縱梁為2 單元模型，連接梁、剛性板簡化梁和主鏡簡化梁為1 單元模型.采用本文理論模型計算所得結(jié)構(gòu)的前四階固有頻率值如表2 中所示，表中同時給出了ANSYS 軟件的計算結(jié)果，可以看出兩者結(jié)果吻合良好.圖2 為結(jié)構(gòu)的前四階模態(tài)，圖中陰影表示結(jié)構(gòu)原始狀態(tài)，實體表示結(jié)構(gòu)變形后狀態(tài).由圖2 可看出，結(jié)構(gòu)前兩階振型表現(xiàn)為彎曲、三階振型為扭轉(zhuǎn)、四階振型為彎曲.

圖2 薄膜衍射太空望遠鏡前四階模態(tài)振型：(a) 一階振型；(b) 二階振型；(c) 三階振型；(d) 四階振型Fig.2 The 1st 4 modal shapes of the membrane diffraction space telescope: (a) the 1st-order mode; (b) the 2nd-order mode;(c) the 3rd-order mode; (d) the 4th-order mode

表2 薄膜衍射太空望遠鏡的前四階固有頻率（單位：Hz）Table 2 The 1st 4 natural frequencies of the membrane diffraction space telescope (unit: Hz)

然后考慮繩索作動器的優(yōu)化位置.在采用粒子群優(yōu)化算法尋優(yōu)計算時，式(11)中常數(shù)c1，c2分別取值為10 和60，粒子的最大和最小速度限制分別取為70 和 ? 70.桁架結(jié)構(gòu)共3 根，每根桁架結(jié)構(gòu)30 跨，每跨最多可布置6 個繩索作動器，因此整個系統(tǒng)最多可布置540 個繩索作動器.本文研究1～20 個繩索作動器的最優(yōu)位置布置，計算得到的結(jié)果見表3.例如，只采用一個繩索作動器時，其最優(yōu)位置為(3, 2, 5)，其中“3”表示第三根桁架，“2”表示桁架的第二跨，“5”表示在⑤號繩索位置.桁架、桁架跨數(shù)和繩索的編號如圖1(a)、(b)所示.

最后考慮太空望遠鏡桁架結(jié)構(gòu)的振動主動控制.本文對結(jié)構(gòu)的前四階模態(tài)進行控制，因此方程(3)中p=4.太空望遠鏡在太空軌道上的運行速度一般約為10 km/s 左右，每隔一段時間望遠鏡對地成像一次.為了對地成像，航天器需要不斷調(diào)整姿態(tài)以使望遠鏡對準地面目標，因此望遠鏡結(jié)構(gòu)的振動表現(xiàn)為航天器調(diào)姿所引發(fā)的自由振動.成像時，望遠鏡對振動量級有要求，只有當結(jié)構(gòu)振動小于某一閾值時才能正常成像.本文采用均方根來描述這一閾值，假定太空望遠鏡所有桁架節(jié)點位移的均方根δRMS≤0.01 m 時望遠鏡能夠?qū)Φ爻上?為模擬結(jié)構(gòu)自由振動，本文假定在結(jié)構(gòu)的P點施加100 N 的外力，如圖1(a)所示，使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生初始位移，可以計算得知在該外力作用下結(jié)構(gòu)的最大位移為0.131 2 m.若不對結(jié)構(gòu)施加控制，去掉外力后，結(jié)構(gòu)產(chǎn)生自由振動，結(jié)構(gòu)重新穩(wěn)定(所有桁架節(jié)點位移均方根δRMS≤0.01 m)所需時間為137.02 s.以下采用本文控制方法對結(jié)構(gòu)的自由振動進行控制.考慮到繩索承載力有限，參考文獻[16]，本文假定繩索能承受的最大力為260 N.控制設(shè)計時，取方程(6)中狀態(tài)加權(quán)矩陣Q的值為diag(104, 10, 103, 10, 102, 10, 102,10)，調(diào)整控制加權(quán)矩陣R，使得繩索的最大控制力盡可能地接近260 N.繩索作動器的數(shù)量以及對應(yīng)的結(jié)構(gòu)重新達到穩(wěn)定所需時間見表3，將其繪制成曲線圖，如圖3 所示.分析表3 和圖3 可知，薄膜衍射太空望遠鏡系統(tǒng)重新穩(wěn)定所需時間隨繩索作動器數(shù)量的增加而減少，且時間減少的速率隨繩索作動器數(shù)量的增加而降低，到18 個左右時若繼續(xù)增加作動器，時間幾乎不再減少.實際中，可以根據(jù)表3 結(jié)果選擇繩索作動器的最小數(shù)量與位置，例如，當要求太空望遠鏡每間隔25 s 進行成像一次時，由表3 可知至少需要17 個繩索作動器.

表3 繩索作動器的數(shù)量、最優(yōu)位置與結(jié)構(gòu)穩(wěn)定所需時間Table 3 Number of cable actuators, optimal positions and reqiured time for structural stabilization

圖3 繩索作動器數(shù)量與系統(tǒng)穩(wěn)定所需時間關(guān)系曲線Fig.3 The correlation curve between the number of cable actuators and the time required for system stabilization

圖4 給出了桁架結(jié)構(gòu)上P點在無控制和有17 個繩索作動器控制條件下的位移響應(yīng)曲線，可以看出施加控制后結(jié)構(gòu)響應(yīng)得到了有效控制.

圖4 桁架結(jié)構(gòu)上 P 點豎直方向的位移響應(yīng)曲線Fig.4 The displacement response curve of point P in the vertical direction of the truss structure

5 結(jié) 論

本文提出了一種基于繩索作動器的大型薄膜衍射太空望遠鏡桁架結(jié)構(gòu)的振動主動控制方法，研究了繩索作動器的優(yōu)化布置以及作動器數(shù)量與結(jié)構(gòu)振動穩(wěn)定時間之間的關(guān)系.研究得到了如下結(jié)論：

1) 采用繩索做作動器對太空望遠鏡桁架結(jié)構(gòu)進行振動控制是可行的，繩索作動器能夠有效地抑制結(jié)構(gòu)的振動；

2) 本文所建立的薄膜衍射太空望遠鏡桁架結(jié)構(gòu)的動力學(xué)模型，能夠取得和ANSYS 軟件相同的數(shù)值結(jié)果，表明理論模型是正確的；

3) 繩索作動器到達一定數(shù)量后，繼續(xù)增加作動器數(shù)量對控制效果增加有限；

4) 本文通過數(shù)值仿真給出了繩索作動器數(shù)量與望遠鏡桁架結(jié)構(gòu)振動穩(wěn)定時間之間的對應(yīng)關(guān)系，這對實際工程應(yīng)用具有參考價值.