劉邦劍 盛冬發(fā)*

（西南林業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院,云南 昆明 650224）

1 概述

壓電材料是指在壓力作用時(shí)會(huì)在兩端面間出現(xiàn)電壓的晶體材料,這一效應(yīng)被稱為壓電效應(yīng)。而某些壓電材料具有在外電場(chǎng)作用下壓電體產(chǎn)生變形的能力,這被稱為逆壓電效應(yīng)。由于這些特性的存在,可以實(shí)現(xiàn)機(jī)械能與電能之間的相互轉(zhuǎn)換,因此壓電材料被廣泛運(yùn)用于傳感器元件當(dāng)中,例如壓力傳感器、加速度傳感器和聲電傳感器等[1]。然而,壓電材料由于其特性在服役過程中不可避免的受到機(jī)械應(yīng)力以及電應(yīng)力的作用,這會(huì)使壓電材料產(chǎn)生缺陷而過早失效。因此,對(duì)壓電材料的斷裂問題進(jìn)行分析研究是十分重要的。

壓電材料的斷裂發(fā)生在多場(chǎng)耦合作用下,這為研究帶來(lái)了困難,需要優(yōu)異的數(shù)值方法來(lái)解決此類問題。邊界元法作為一種在有限元法發(fā)展起來(lái)之后一種較為精確有效的方法。以定義在邊界上的邊界積分方程為控制方程,對(duì)邊界剖分,化為代數(shù)方程組進(jìn)行求解[2]。邊界元法在一定程度上解決了積分奇異性所帶來(lái)的困難,更是對(duì)收斂性等形式進(jìn)行了數(shù)學(xué)分析,對(duì)于解決斷裂問題是十分有效的。

因此,利用邊界元法解決壓電材料中的斷裂問題是十分可靠的。本文利用邊界元法,對(duì)壓電材料矩形板上的反平面裂紋展開研究分析。提出滿足控制方程以及邊界條件的試函數(shù),根據(jù)壓電材料的基本公式推導(dǎo)出應(yīng)力強(qiáng)度因子（SIFs）的結(jié)果,考慮了尺寸效應(yīng)對(duì)結(jié)果的影響。與已有結(jié)果進(jìn)行比對(duì),并進(jìn)行了收斂性分析,證明了結(jié)果的可靠性。

2 邊界元法簡(jiǎn)介

對(duì)于邊界元法所研究的邊值問題,其控制方程和邊界條件如下所示：

式中,R,R1和R2分別代表了域Ω,邊界Γ1和Γ2的殘差。

設(shè)w 為權(quán)函數(shù),利用高斯公式,關(guān)于殘差R,R1和R2的積分公式如下所示：

對(duì)于邊界元法,式(7)可表示為殘差形式：

式中,N為配點(diǎn)數(shù)目。為了獲得精確解,N應(yīng)該遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于M。進(jìn)一步,可將邊界元法運(yùn)用于壓電材料的反平面斷裂問題。

3 壓電材料的控制方程與邊界條件

對(duì)于壓電材料,彈性- 壓電場(chǎng)耦合下的反平面彈性本構(gòu)方程：

對(duì)于反平面剪切斷裂問題,變形與x3方向無(wú)關(guān),即?3/?=0,可得用于計(jì)算的平衡方程：

采用邊界元法對(duì)壓電材料矩形板上的反平面斷裂問題進(jìn)行研究。如圖1 所示,展示了壓電材料矩形板邊裂紋的示意圖。

圖1 壓電材料矩形板裂紋示意圖

對(duì)于矩形板上邊裂紋的邊界條件如下所示：

4 壓電材料邊裂紋算例分析

為了構(gòu)建位移函數(shù),可以采用三角級(jí)數(shù)、冪函數(shù)以及樣條函數(shù)等函數(shù)作為試函數(shù)。在邊裂紋以及中心裂紋的情況下,采用冪函數(shù)作為試函數(shù)。為了滿足邊界條件,試函數(shù)可能為位移函數(shù)的實(shí)部或虛部。

壓電材料矩形板邊裂紋：

對(duì)于矩形板邊裂紋情況[4],位移函數(shù)為：

將式（15）代入式（11）,利用黎曼- 柯西不等式,可得應(yīng)力分量：

將式（16）轉(zhuǎn)化為矩陣形式,可得：

基于邊界條件和斷裂力學(xué)理論,III 型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子可以表示為：

式中,Kτ和Kγ是應(yīng)力強(qiáng)度因子和應(yīng)變強(qiáng)度因子。Kσ和KD是彈性場(chǎng)應(yīng)力強(qiáng)度因子和壓電場(chǎng)應(yīng)力強(qiáng)度因子。Kε和KE是彈性場(chǎng)應(yīng)變強(qiáng)度因子和壓電場(chǎng)應(yīng)變強(qiáng)度因子。

將式(17)代入式(18)當(dāng)中,可得：

5 結(jié)果展示

據(jù)文獻(xiàn)[5]可知,本文用于計(jì)算壓電材料的參數(shù)如下所示：C44=3.53×1010N/m2,e15=17C/m2,λ11=151×10-10C/Vm。由于實(shí)驗(yàn)及其他客觀條件的限制,通過比較壓電材料與彈性解退化結(jié)果,對(duì)壓電材料的反平面斷裂問題進(jìn)行了驗(yàn)證。當(dāng)忽略壓電效應(yīng)時(shí),材料退化為彈性材料。

如圖2 所示,展示了壓電材料矩形板邊裂紋情況下的收斂性分析。圖2(a)表示的是求和項(xiàng)數(shù)與不同裂紋長(zhǎng)度下的歸一化應(yīng)力強(qiáng)度因子變化結(jié)果圖。當(dāng)求和項(xiàng)數(shù)的數(shù)目較少時(shí),結(jié)果變化幅度較大,而當(dāng)求和項(xiàng)數(shù)大于15 以后,結(jié)果呈現(xiàn)出了穩(wěn)定性。圖2(b)展示的是配點(diǎn)數(shù)對(duì)不同裂紋長(zhǎng)度下的歸一化應(yīng)力強(qiáng)度因子影響結(jié)果圖。與求和項(xiàng)數(shù)的規(guī)律一致,結(jié)果的收斂性說(shuō)明了所采用數(shù)值方法的可靠性。

圖2 邊裂紋情況下的收斂性分析

如圖3 所示,展示了壓電材料邊裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子結(jié)果圖。在不同的尺寸效應(yīng)下,不同裂紋所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力強(qiáng)度因子不同。圖中散點(diǎn)表示通過應(yīng)力強(qiáng)度因子手冊(cè)[6]計(jì)算彈性場(chǎng)下的結(jié)果,通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)二者具有一致性,說(shuō)明了邊界元法對(duì)壓電材料反平面斷裂問題的研究是可靠有效的。

圖3 歸一化應(yīng)力強(qiáng)度因子結(jié)果圖

6 結(jié)論

壓電材料多場(chǎng)耦合下會(huì)產(chǎn)生缺陷,有必要對(duì)其進(jìn)行研究。邊界元法作為一種優(yōu)異的數(shù)值方法,可以減少此類問題研究的自由度。根據(jù)壓電材料的本構(gòu)關(guān)系推導(dǎo)出了反平面斷裂情況下壓電材料邊裂紋的結(jié)果。邊界法的結(jié)果具有收斂性,說(shuō)明了該方法的可靠性。與應(yīng)力強(qiáng)度因子手冊(cè)結(jié)果的對(duì)比具有一致性,說(shuō)明了邊界元法對(duì)壓電材料的斷裂問題的研究結(jié)果是有效的。尺寸效應(yīng)對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子有明顯的抑制作用,故可以通過增加矩形板尺寸的方法來(lái)有效減少壓電材料裂紋能量釋放,從而抑制裂紋擴(kuò)展。