陳 強(qiáng) 顧賢擁 南余榮③ 丁科新 戰(zhàn) 猛

(*浙江工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院 杭州 310023)

(**杭州科技職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院 杭州 311400)

(***一汽解放青島汽車有限公司 青島 266217)

0 引言

隨著科技的進(jìn)步和發(fā)展,機(jī)械臂在工業(yè)、國防、醫(yī)療衛(wèi)生等領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用[1-4]。與傳統(tǒng)剛性機(jī)械臂不同,柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂在關(guān)節(jié)處使用諧波齒輪減速器和力矩傳感器等柔性器件,會(huì)帶來柔性振動(dòng)、不確定性和未知干擾等問題進(jìn)而影響控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和精度[5-6]。文獻(xiàn)[7]針對(duì)柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂軌跡跟蹤控制問題,基于奇異攝動(dòng)理論,將柔性關(guān)節(jié)模型分解成快慢兩個(gè)子系統(tǒng),采用位置和速度反饋信號(hào)設(shè)計(jì)控制器,保證機(jī)械臂的軌跡跟蹤性能。文獻(xiàn)[8]提出一種基于反演法的柔性機(jī)械臂串級(jí)控制方法,所設(shè)計(jì)控制器不需要使用關(guān)節(jié)加速度信號(hào),且可以保證機(jī)械臂跟蹤誤差指數(shù)收斂到零。

機(jī)械臂系統(tǒng)本身存在模型不確定及外部干擾等問題,從而影響控制系統(tǒng)性能,甚至導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定[9]。文獻(xiàn)[10]提出一種基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的反饋線性化控制方法。通過擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器估計(jì)系統(tǒng)不確定和外部干擾,在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)反饋線性化控制器,實(shí)現(xiàn)柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂對(duì)目標(biāo)軌跡的精確跟蹤。文獻(xiàn)[11]針對(duì)帶有模型不確定和外部干擾的柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂,提出一種基于遞歸Elman 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面控制方法。通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線觀測(cè)和補(bǔ)償模型不確定及外部干擾,設(shè)計(jì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值自適應(yīng)律和動(dòng)態(tài)面控制器,保證機(jī)械臂位置跟蹤誤差和權(quán)值估計(jì)誤差最終收斂到有界緊集內(nèi)。文獻(xiàn)[12]構(gòu)造一種未知系統(tǒng)動(dòng)態(tài)觀測(cè)器,用于補(bǔ)償機(jī)械臂系統(tǒng)的未知?jiǎng)討B(tài)和外部干擾。設(shè)計(jì)滑?？刂破?保證機(jī)械臂位置跟蹤誤差和觀測(cè)器估計(jì)誤差收斂至平衡點(diǎn)附近。

上述文獻(xiàn)多關(guān)注機(jī)械臂的穩(wěn)態(tài)跟蹤精度,對(duì)瞬態(tài)響應(yīng)問題則考慮較少。針對(duì)控制系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)問題,目前主要有障礙李雅普諾夫函數(shù)[13-15]、預(yù)設(shè)性能控制[16-18]和funnel 控制[19-22]等方法。其中,funnel 控制是根據(jù)高頻增益的理念,采用可調(diào)節(jié)的時(shí)變比例增益控制一類一階或二階系統(tǒng),提高系統(tǒng)的瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能[19]。文獻(xiàn)[20]針對(duì)一類多輸入多輸出嚴(yán)格反饋系統(tǒng),提出一種基于模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的funnel 動(dòng)態(tài)面控制方法。然而,其funnel 變量在e=0 時(shí)存在不可微問題。文獻(xiàn)[21]在此基礎(chǔ)上構(gòu)造一種新型funnel 變量。但當(dāng)初始誤差較大且接近誤差邊界時(shí),該funnel 變量會(huì)導(dǎo)致較大的初始控制輸出。文獻(xiàn)[22]針對(duì)一類非仿射非線性系統(tǒng),采用模糊邏輯系統(tǒng)逼近未知函數(shù),并設(shè)計(jì)有限時(shí)間funnel控制器,保證閉環(huán)系統(tǒng)所有信號(hào)是半全局有限時(shí)間有界,且跟蹤誤差約束在設(shè)定的邊界內(nèi)。

基于以上討論,本文針對(duì)帶有模型不確定和外部干擾的柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂軌跡跟蹤問題,提出一種基于未知系統(tǒng)動(dòng)態(tài)估計(jì)器的funnel 控制方法。首先,通過低通濾波器設(shè)計(jì)未知系統(tǒng)動(dòng)態(tài)估計(jì)器,用于估計(jì)模型不確定和外部干擾。該估計(jì)器結(jié)構(gòu)簡單,只需調(diào)節(jié)一個(gè)參數(shù)。為增強(qiáng)系統(tǒng)的瞬態(tài)性能,設(shè)計(jì)新型funnel 變量,通過構(gòu)造指數(shù)衰減的約束邊界,使得系統(tǒng)有較好的瞬態(tài)性能,并能夠滿足系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能要求。其次,設(shè)計(jì)跟蹤微分器逼近虛擬控制律導(dǎo)數(shù),從而避免反演法的“微分爆炸”問題。最后,設(shè)計(jì)控制器保證機(jī)械臂位置跟蹤誤差嚴(yán)格約束在預(yù)先設(shè)定的邊界內(nèi)。

1 系統(tǒng)描述

柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂模型如圖1 所示,其動(dòng)力學(xué)方程可表示為[23]

圖1 柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂模型

其中M、g 和L 分別為機(jī)械臂質(zhì)量、重力加速度和機(jī)械臂長度,q 和θ 分別為機(jī)械臂連桿和電機(jī)角度,I和J 分別為連桿和電機(jī)的慣量,K 為彈性系數(shù),τ 為控制力矩,d1和d2是包含模型不確定和外部干擾的未知系統(tǒng)動(dòng)態(tài),表達(dá)式為

其中,da和db分別為非匹配和匹配干擾。

定義系統(tǒng)狀態(tài)變量x1=q,x2=,x3=θ,x4=,則式(1)可改寫為

其中,y 為系統(tǒng)輸出。為便于控制器設(shè)計(jì),對(duì)系統(tǒng)式(1)做如下假設(shè):

假設(shè)1[24]di及其導(dǎo)數(shù)有界,即:。

本文控制目標(biāo)為針對(duì)帶有模型不確定和外部干擾的柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)式(3),設(shè)計(jì)funnel 控制器τ,使得機(jī)械臂輸出y 快速準(zhǔn)確跟蹤連續(xù)有界的期望軌跡yd。

2 未知系統(tǒng)動(dòng)態(tài)估計(jì)器設(shè)計(jì)

本節(jié)針對(duì)包含模型不確定和外部干擾的柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)式(3),設(shè)計(jì)一種基于濾波變換的未知系統(tǒng)動(dòng)態(tài)估計(jì)器,用于估計(jì)d1和d2。

令a=x1-x3,b=sin(x1)。定義x2f、x4f、af、bf和τf為x2、x4、a、b 和τ 的濾波變量,分別滿足

其中,k>0 表示濾波常數(shù)。

注1該估計(jì)器結(jié)構(gòu)簡單,只需要調(diào)節(jié)一個(gè)濾波參數(shù)k。當(dāng)k 值設(shè)置過小時(shí),估計(jì)器估計(jì)誤差較小,但會(huì)導(dǎo)致估計(jì)器對(duì)于噪聲過于敏感。而當(dāng)k 值設(shè)置過大時(shí),會(huì)造成估計(jì)器相位滯后。因此需要選取一個(gè)合適的k 值,一般選擇較小的一個(gè)常數(shù)。

3 funnel 控制器設(shè)計(jì)

本節(jié)中,針對(duì)包含模型不確定和外部干擾的柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)式(3),結(jié)合未知系統(tǒng)動(dòng)態(tài)估計(jì)器,設(shè)計(jì)funnel 控制器,提高系統(tǒng)的軌跡跟蹤性能。

3.1 funnel 變量

定義機(jī)械臂跟蹤誤差為

其中,yd是期望軌跡。

對(duì)e 求導(dǎo)可得:

設(shè)計(jì)如下形式的funnel 變量:

其中,Fφ(t)是預(yù)設(shè)性能函數(shù),表達(dá)式為

其中,F0為Fφ的初始值,F∞為t→∞時(shí)Fφ的穩(wěn)態(tài)值,a0表示Fφ收斂速度,F0>F∞>0,a0>0,誤差初始值滿足| e(0) |

對(duì)式(20)求導(dǎo)可得:

注2由式(20)和式(22)可以看出,本文設(shè)計(jì)的funnel 變量可以避免在e=0 時(shí)存在的不可微問題。文獻(xiàn)[21] 中,funnel 變量的定義為z1=,在初始誤差非常大且接近誤差邊界時(shí),funnel 變量由于分母平方后變得更小,與本文funnel 變量相比其初始控制力矩較大。

注3設(shè)計(jì)預(yù)設(shè)性能函數(shù)對(duì)跟蹤誤差進(jìn)行限制,使其能時(shí)刻保持在限定的邊界范圍之內(nèi)。為提高瞬態(tài)性能,預(yù)設(shè)性能函數(shù)Fφ(t)為指數(shù)衰減函數(shù),其中參數(shù)F0根據(jù)初始誤差| e(0) | 的大小設(shè)置,需滿足| e(0) |

3.2 控制器設(shè)計(jì)

為使柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)的輸出y 能夠快速準(zhǔn)確跟蹤期望軌跡yd,基于反演法設(shè)計(jì)funnel 控制器,具體設(shè)計(jì)步驟如下。

步驟1構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)V1,表達(dá)式為

步驟2構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)V2為

步驟3構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)V3為

步驟4構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)V4為

設(shè)計(jì)如下形式的跟蹤微分器:

注4通過式(32)、(40)和(48)逼近,不用對(duì)虛擬控制律αi求導(dǎo),從而避免反演法的“微分爆炸”問題。文獻(xiàn)[27]討論了跟蹤微分器的收斂性問題,即存在一個(gè)正常數(shù)ωi,滿足:

其中,Ttd是跟蹤微分器的調(diào)節(jié)時(shí)間。

注5由式(26)可以看出,性能函數(shù)Fφ>0,且分母不為0。此外,中也不存在分母為0 的情況,因此α1和表達(dá)式中均不存在奇異值問題。

4 穩(wěn)定性證明

引理3[28]對(duì)于初始條件有界的系統(tǒng),若存在一個(gè)C1連續(xù)且正定的Lyapunov 函數(shù)V(x)滿足‖κ1‖≤V(x)≤‖κ2‖,如≤-ρV(x) +γ,其中κ1,κ2:Rn→R 是K 類函數(shù)且ρ、γ 為正常數(shù),則系統(tǒng)的解x(t)一致最終有界。

定理2考慮柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)式(1),在虛擬控制律式(26)、(33)、(41)和控制器式(49)作用下,所有閉環(huán)信號(hào)能夠達(dá)到一致最終有界,且跟蹤誤差可被約束在邊界(-Fφ,Fφ)以內(nèi)。

證明:構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)為

由式(64)可知,系統(tǒng)跟蹤誤差e 約束在邊界(-Fφ,Fφ)以內(nèi),證畢。

注6在本文提出控制方法中,參數(shù)F0、F∞和a0需要根據(jù)約束性能要求設(shè)置且保證0

5 仿真驗(yàn)證

本節(jié)中,為了更好地體現(xiàn)出本文提出控制方法的有效性和優(yōu)越性,對(duì)以下3 種控制方法進(jìn)行仿真對(duì)比。

M1:本文提出的基于未知系統(tǒng)動(dòng)態(tài)估計(jì)器的funnel 控制方法,其中虛擬控制律表達(dá)式為式(26)、(33)和(41),控制器表達(dá)式為式(49)。

M2:文獻(xiàn)[21]中的funnel 控制方法,其中虛擬控制律和控制器分別設(shè)計(jì)為

M3:文獻(xiàn)[8]中的反步控制方法,其中虛擬控制律和控制器分別設(shè)計(jì)為

為保證對(duì)比的公平性,3 種方法的系統(tǒng)參數(shù)與控制器參數(shù)均保持一致。其中,系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置為MgL=5,I=1,J=1,K=40,未知系統(tǒng)動(dòng)態(tài)設(shè)置為

仿真實(shí)例1:期望軌跡設(shè)置為yd=0.5sin(t),系統(tǒng)初始值設(shè)置為x1(0)=0.4,xj(0)=0(j=2,3,4),虛擬控制律和控制器增益參數(shù)設(shè)置為k1=1.4,k2=5,k3=25,k4=15,濾波常數(shù)設(shè)置為k=0.01,跟蹤參數(shù)設(shè)置為ri=1(i=1,2,3),預(yù)設(shè)性能函數(shù)設(shè)置為Fφ=+0.05。

仿真效果圖如圖2～4 所示,圖2 和圖3 分別為柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂關(guān)節(jié)角位置跟蹤及跟蹤誤差效果圖。由圖2 可以看出,3 種控制方法均可以跟蹤上期望軌跡。由圖3 可以看出,相較于其他方法,本文所提出的M1 方法有更好的瞬態(tài)、穩(wěn)態(tài)性能和魯棒性。此外,M3 方法的跟蹤誤差會(huì)越過邊界Fφ。圖4為控制器輸出效果圖,可以看出3 種方法的控制輸出接近。未知系統(tǒng)動(dòng)態(tài)估計(jì)器式(12)的估計(jì)效果如圖5 和圖6 所示,可以看出估計(jì)器能夠準(zhǔn)確估計(jì)模型不確定和外部干擾。

圖2 關(guān)節(jié)角位置跟蹤

圖3 關(guān)節(jié)角位置跟蹤誤差

圖4 控制器輸出

圖5 未知系統(tǒng)動(dòng)態(tài)d1 估計(jì)

圖6 未知系統(tǒng)動(dòng)態(tài)d2 估計(jì)

為了比較3 種控制方法的跟蹤性能,表1 給出以下性能指標(biāo)。其中,IAE=∫| e(t) | dt,表示系統(tǒng)跟蹤性能。ISDE=∫(e(t) -e0)2dt,表示跟蹤誤差的平滑度,其中e0表示跟蹤誤差的平均值。IAU=∫| u(t) | dt,反映控制力矩的整體大小。

由表1 可以看出,本文所提出的M1 方法的IAE、ISDE 和IAU 3 種性能指標(biāo)最小,表明M1 方法具有較好的跟蹤性能,且整體的控制力矩較小。

表1 3 種控制方法性能指標(biāo)

仿真實(shí)例2:為了進(jìn)一步對(duì)比3 種控制方法的瞬態(tài)性能,選擇階躍信號(hào)作為期望軌跡。系統(tǒng)初始狀態(tài)設(shè)置為x1(0)=0,xj(0)=0(j=2,3,4),虛擬控制律和控制器增益參數(shù)設(shè)置為k1=1.4,k2=6,k3=25,k4=10,濾波常數(shù)設(shè)置為k=0.01,跟蹤參數(shù)設(shè)置為ri=1 (i=1,2,3),預(yù)設(shè)性能函數(shù)設(shè)置為Fφ=+0.05。

圖7～圖9 分別描述了柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂關(guān)節(jié)角位置跟蹤性能、角位置跟蹤誤差以及控制器輸出信號(hào)。由圖7 可以看出,與M2 和M3 方法相比,本文提出的M1方法能夠保證較好的瞬態(tài)性能。如圖8所示,M3 方法的跟蹤誤差會(huì)越過邊界Fφ,M1 和M2方法的跟蹤誤差則始終約束在邊界內(nèi),且能夠通過預(yù)先設(shè)定Fφ的參數(shù),保證機(jī)械臂具有良好的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)跟蹤性能。

圖7 關(guān)節(jié)角位置跟蹤

圖8 關(guān)節(jié)角位置跟蹤誤差

圖9 控制器輸出

綜上,相較于M2 和M3 方法,本文提出的M1方法能夠保證系統(tǒng)有更好的瞬態(tài)、穩(wěn)態(tài)性能及魯棒性,實(shí)現(xiàn)柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)輸出對(duì)期望軌跡的快速準(zhǔn)確跟蹤。

6 結(jié)論

本文針對(duì)帶有模型不確定和外部干擾的柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng),提出一種基于未知系統(tǒng)動(dòng)態(tài)估計(jì)器的funnel 控制方法。為估計(jì)模型不確定和外部干擾,設(shè)計(jì)基于低通濾波器的未知系統(tǒng)動(dòng)態(tài)估計(jì)器,提高系統(tǒng)魯棒性。同時(shí),設(shè)計(jì)新型funnel 變量,構(gòu)造指數(shù)衰減的預(yù)設(shè)性能函數(shù),通過預(yù)先設(shè)置性能函數(shù)的相關(guān)參數(shù),保證系統(tǒng)輸出的瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能要求。最后,設(shè)計(jì)控制器實(shí)現(xiàn)柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)輸出對(duì)期望軌跡的快速準(zhǔn)確跟蹤,并通過對(duì)比仿真結(jié)果驗(yàn)證了該方法的有效性。后續(xù)研究工作的重點(diǎn)是在機(jī)械臂實(shí)際系統(tǒng)中驗(yàn)證所提控制方法的有效性。