趙志偉, 劉 月, 熊志堅(jiān), 楊秀偉

(1.唐山學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系, 河北 唐山 063000; 2.華北理工大學(xué) 電氣工程學(xué)院, 河北 唐山 063000)

1 引 言

多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中很常見(jiàn),如電氣工程,軋制等,涉及同時(shí)優(yōu)化多個(gè)目標(biāo)[1]。由于目標(biāo)間存在沖突,多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題通常不是單一的最優(yōu)解決方案,而是一組替代解決方案,稱為帕累托集。進(jìn)化算法被認(rèn)為非常適合于解決多目標(biāo)問(wèn)題,因?yàn)樗鼈兓诜N群的特性可以在一次運(yùn)行中獲得近似的帕累托集。文獻(xiàn)[2]提出了一種共同進(jìn)化的粒子群優(yōu)化算法,該算法采用瓶頸目標(biāo)學(xué)習(xí)策略求解高維多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題,通過(guò)多個(gè)種群以分布式的方式共同進(jìn)化來(lái)保持種群多樣性。文獻(xiàn)[3]提出了改進(jìn)的雙存檔高維多目標(biāo)進(jìn)化算法,2個(gè)存檔分別采用基于指標(biāo)和基本支配的選擇機(jī)制,并設(shè)計(jì)了基于Lp范式的多樣性保持機(jī)制。文獻(xiàn)[4]提出了基于分解的高維多目標(biāo)NSGA-Ⅱ算法,該算法引入了基于分解的支配關(guān)系及基于懲罰的邊界交叉多樣性因子。文獻(xiàn)[5]提出了基于支配和分解的高維多目標(biāo)進(jìn)化算法(MOEADD), 該算法較好的平衡了收斂性和多樣性。文獻(xiàn)[6]提出了一個(gè)基于分解的高維多目標(biāo)進(jìn)化算法,通過(guò)系統(tǒng)采樣產(chǎn)生均勻分布的參考點(diǎn),并采用2個(gè)獨(dú)立的距離測(cè)量來(lái)平衡收斂性和多樣性。

在高維多目標(biāo)優(yōu)化中,平衡算法的收斂性和多樣性已成為一個(gè)挑戰(zhàn)性的研究課題,為了解決這2個(gè)問(wèn)題,本文提出一種基于多子種群和密度估計(jì)的高維多目標(biāo)優(yōu)化算法(MOEAMD)。首先,基于角度尋找一對(duì)向量角最小的個(gè)體。因?yàn)樗鼈兊乃阉鞣较蚴亲钕嗨频?故刪除其中的一個(gè)。如果它們同時(shí)存在,會(huì)浪費(fèi)大量的計(jì)算資源。為了使刪除更加合理,需要同時(shí)考慮收斂性和多樣性。其次,基于偏移的密度估計(jì)能夠同時(shí)覆蓋個(gè)體的分布信息和收斂信息,用來(lái)比較2個(gè)個(gè)體,并刪除較差的一個(gè)。通過(guò)采用上述技術(shù),本算法很好地解決了高維多目標(biāo)優(yōu)化中平衡收斂性和多樣性的難題。為了驗(yàn)證本算法的性能,采用WFG標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行了數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本算法的性能明顯優(yōu)于對(duì)比算法。最后,本文將所提算法應(yīng)用到冷軋負(fù)荷分配的高維多目標(biāo)優(yōu)化中,并取得了良好的效果。

2 MOEAMD算法

本文提出的MOEAMD算法采用了多子種群和密度估計(jì)的方法,有效地平衡了高維多目標(biāo)進(jìn)化算法的收斂性和多樣性。

2.1 基于角度的子種群劃分

2.1.1 角度向量

向量角表示2個(gè)個(gè)體x1和x2之間的空間關(guān)系:

(1)

式中:‖*‖表示向量的范數(shù);F(x1)和F(x1)分別為個(gè)體x1及x2在向量空間歸一化后的目標(biāo)函數(shù)值。

向量角反映了2個(gè)個(gè)體之間搜索方向的相似程度。具體來(lái)說(shuō),如果2個(gè)個(gè)體在不同的方向搜索,則它們之間的向量角較大;否則,向量角較小。如圖1所示,個(gè)體a和b的向量角θ1小于個(gè)體b和c的向量角θ2,所以說(shuō)明個(gè)體a和b有相同的搜索方向。

圖1 兩目標(biāo)空間向量角

2.1.2 子種群劃分

采用文獻(xiàn)[7]的方法來(lái)生成參考向量V,并通過(guò)參考向量V將歸一化的目標(biāo)空間中的整個(gè)種群劃分為N個(gè)子種群Sj,j∈{1,2,…,N},進(jìn)而指導(dǎo)進(jìn)化過(guò)程,保持種群的多樣性。通過(guò)式(2)計(jì)算目標(biāo)向量F(xi)與參考向量Vj的向量角θi,j來(lái)進(jìn)行關(guān)聯(lián)。

(2)

式中i=1,2,…,|Sj|,|Sj|表示Sj的基數(shù)。

個(gè)體xi的目標(biāo)向量F(x)與參考向量Vj的向量角最小時(shí),個(gè)體xi就與參考向量Vj相關(guān)聯(lián)并一起構(gòu)建子種群Sj,即:

Sj={xi|arg max cosθi,j}

(3)

如圖2所示,F(xi)為目標(biāo)向量,V1和V2為參考向量,θ1為F(xi)和V1的向量角,θ2為F(xi)和V2的向量角。因θ2<θ1,所以個(gè)體xi與參考向量V2相關(guān)聯(lián),并構(gòu)建子種群。

圖2 個(gè)體與參考向量的關(guān)聯(lián)

2.2 收斂性保持機(jī)制

當(dāng)與每個(gè)參考向量相關(guān)聯(lián)的子種群個(gè)體數(shù)量大于1時(shí),通過(guò)式(4)在歸一化目標(biāo)空間中,從每個(gè)子種群里找到最接近理想點(diǎn)的個(gè)體。

C(xi)=‖fn(xi)‖

(4)

式中fn(xi)為F(x)的第n個(gè)目標(biāo)函數(shù)。C(xi)反映了個(gè)體的收斂性,值越小說(shuō)明個(gè)體的收斂性越好。這個(gè)指標(biāo)只計(jì)算同一個(gè)參考向量下子種群中個(gè)體的收斂性。

如圖3所示,V1和V2為參考向量,與V1相關(guān)聯(lián)的3個(gè)個(gè)體為a、b和c,與V2相關(guān)聯(lián)的3個(gè)個(gè)體為d、e和f。在歸一化空間里,個(gè)體b到理想點(diǎn)的距離明顯小于a和c,所以在與參考向量V1相關(guān)聯(lián)個(gè)體中,b的收斂性最好,這個(gè)個(gè)體被保留下來(lái),a和c被刪除。同理個(gè)體d被保留,e和f被刪除。

圖3 收斂性測(cè)量示例

2.3 多樣性保持機(jī)制

在種群中,個(gè)體的密度表示個(gè)體所在區(qū)域的擁擠程度。密度計(jì)算在高維多目標(biāo)優(yōu)化過(guò)程中起著重要作用,能保證種群個(gè)體的收斂性和多樣性。通過(guò)考慮個(gè)體與種群中其他個(gè)體之間的相互位置關(guān)系來(lái)估計(jì)個(gè)體的密度。本文通過(guò)歐幾里德距離來(lái)測(cè)量個(gè)體xi在種群F中的密度:

d(xi,xj)=‖F(xiàn)(xj)-F(xi)‖

(5)

式中:xi和xj為種群F中的個(gè)體,且xi≠xj。

在算法的選擇過(guò)程中,個(gè)體的密度將對(duì)區(qū)分個(gè)體優(yōu)劣起到主導(dǎo)作用。因此,分布在稀疏區(qū)域的個(gè)體就會(huì)成為首選。當(dāng)同一參考向量下個(gè)體的收斂性相同時(shí)啟用密度估計(jì),保證優(yōu)秀個(gè)體得以保留。如圖4所示,與參考向量V1相關(guān)聯(lián)的個(gè)體為a、b和c,其中a和b的收斂性相同,這時(shí)通過(guò)式(5)對(duì)a和b的密度進(jìn)行計(jì)算,個(gè)體a的密度小于b的密度,個(gè)體a得以保留,提高了種群的多樣性。

圖4 密度估計(jì)示例

2.4 MOEAMD算法流程

下面給出MOEAMD算法步驟。

Step1:參數(shù)初始化,種群大小為U,函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)計(jì)數(shù)器G=0,最大函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)Gmax,交叉概率pc,變異概率pm;

Step2:初始化種群P;

Step3:生產(chǎn)參考向量V;

Step4:對(duì)種群PG進(jìn)行交叉和變異操作,并產(chǎn)生子代QG;

Step5:合并父代PG和子代QG,生成OG;

Step6:歸一化OG生成K,并根據(jù)2.1.2節(jié)對(duì)K劃分子種群;

Step7:按照第2.2節(jié)和2.3節(jié)對(duì)K進(jìn)行裁剪，生成Q;

Step8:G=G+1,PG=Q;

Step9:若G>Gmax,則輸出PG;否則轉(zhuǎn)至Step4。

3 數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證MOEAMD算法的性能,選擇4個(gè)優(yōu)秀的多目標(biāo)進(jìn)化算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)比。

3.1 測(cè)試函數(shù)

選用經(jīng)典的WFG標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)對(duì)算法進(jìn)行測(cè)試,共包含WFG1～WFG9等9個(gè)測(cè)試問(wèn)題[8]。這些測(cè)試問(wèn)題具有不同的特點(diǎn),可以測(cè)試算法的不同性能。表1列舉了測(cè)試函數(shù)的特征。

表1 WFG函數(shù)特征

3.2 性能指標(biāo)

反世代距離評(píng)價(jià)指標(biāo)(inverted generational distance,IGD)是使用最廣泛的評(píng)價(jià)指標(biāo)之一,它可以綜合表征解集的收斂性和多樣性[9]。IGD越小,解的質(zhì)量越好,能很好地近似整個(gè)帕累托前沿。

(6)

式中:P*為真實(shí)的帕累托前沿;A為由多目標(biāo)優(yōu)化算法求得的帕累托前沿近似解集;d(z*,A)為P*中點(diǎn)z*與A中最接近的鄰域點(diǎn)間的歐式距離;|P*|為P*的基數(shù)。

3.3 參數(shù)設(shè)置

選取了4個(gè)經(jīng)典多目標(biāo)進(jìn)化算法(即NSGAII[10], IBEA[11],MOEAD[12],MOEADD[5])作為對(duì)比算法,并采用原文獻(xiàn)參數(shù)設(shè)置。所有算法的種群大小均設(shè)置為100，交叉概率均為1，交叉分布指數(shù)均為20，變異概率均為1/n，變異分布指數(shù)均為20。MOEAMD算法的子種群數(shù)量N為100。

所有算法在每個(gè)測(cè)試問(wèn)題上獨(dú)立運(yùn)行20次,達(dá)到100 000次函數(shù)評(píng)價(jià)時(shí)終止。對(duì)于每個(gè)WFG測(cè)試問(wèn)題,目標(biāo)函數(shù)數(shù)量M分別選取2、4、6、8和10。為了檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)顯著性差異,采用Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn),對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行置信度為5%的顯著性水平檢驗(yàn)[13]。

3.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

5種算法在WFG測(cè)試問(wèn)題上對(duì)IGD值的比較結(jié)果如表2所示。表2顯示了所有45個(gè)WFG測(cè)試函數(shù)IGD的中值和標(biāo)準(zhǔn)差,其中最好值用灰色背景突出顯示。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出,本文所提算法(MOEAMD)的整體性能是最好的。MOEAMD算法主要在WFG2、WFG4、WFG5、WFG6和WFG7等問(wèn)題上表現(xiàn)出良好的性能。MOEAMD算法在45個(gè)測(cè)試問(wèn)題中獲得了25個(gè)最好的IGD值。IBEA算法在WFG1、WFG3和WFG9測(cè)試問(wèn)題上性能最好。在兩目標(biāo)的部分WFG測(cè)試問(wèn)題中,NSGAII算法性能表現(xiàn)突出。MOEAD和MOEADD兩個(gè)算法在以上測(cè)試中性能最差。

表2 5種算法的IGD值對(duì)比結(jié)果

從表2可以看出，這反映出基于權(quán)重向量的算法在WFG測(cè)試問(wèn)題上表現(xiàn)不佳。這是由于WFG測(cè)試問(wèn)題的帕累托前沿大多數(shù)是不規(guī)則的、中斷的或混合的。因此,均勻分布的權(quán)重向量不能保證得到的解具有良好的分布性。雖然本算法同樣使用參考向量來(lái)指導(dǎo)搜索過(guò)程,但使用角度和密度相結(jié)合的方法使得本算法取得了優(yōu)異的性能。

為了驗(yàn)證所提MOEAMD算法的多樣性并直觀地描述解的分布,圖5給出了5種算法在10目標(biāo)WFG5測(cè)試問(wèn)題上輸出解集的平行坐標(biāo)圖，如圖5所示,MOEAMD算法輸出解集在收斂性和多樣性方面都優(yōu)于其它4種比較算法。MOEAD和MOEADD算法得到的解集分布性較差。NSGAII算法輸出解集只能覆蓋部分帕累托前沿。

圖5 5種算法在10目標(biāo)WFG5上獲得的非支配前沿平行坐標(biāo)圖

4 高維多目標(biāo)冷軋負(fù)荷分配優(yōu)化

冷軋過(guò)程伴隨著機(jī)械損耗、化學(xué)損耗、熱損耗、軋輥磨損等,而采用好的負(fù)荷分配方案將會(huì)明顯降低損耗,改善產(chǎn)品質(zhì)量。隨著進(jìn)化算法的興起,很多學(xué)者采用進(jìn)化算法優(yōu)化負(fù)荷分配方案[14～17]。同樣,本文使用所提算法對(duì)冷軋負(fù)荷分配進(jìn)行高維多目標(biāo)優(yōu)化。

4.1 目標(biāo)函數(shù)

4.1.1 最小能耗目標(biāo)函數(shù)

軋制能耗取決于軋制過(guò)程中板帶材的形變,與壓下量和材料硬度存在非線性正相關(guān)關(guān)系。因此,合理的壓下量分配能減少能耗,節(jié)約資源,降低環(huán)境污染。因軋制功率與軋制能耗有直接關(guān)系,故最小能耗目標(biāo)函數(shù)為:

(7)

式中:n為精軋線機(jī)架數(shù);Ni為第i機(jī)架主電機(jī)消耗的功率。

4.1.2 軋制功率均衡目標(biāo)函數(shù)

為平衡各機(jī)架的軋制功率,避免個(gè)別機(jī)架高負(fù)荷運(yùn)轉(zhuǎn),故建立軋制功率均衡目標(biāo)函數(shù):

(8)

式中Pi為第i機(jī)架主電機(jī)的額定功率。

4.1.3 防止打滑目標(biāo)函數(shù)

在軋制過(guò)程中,經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)打滑的現(xiàn)象,造成帶材表面出現(xiàn)劃痕,這是因?yàn)檐堓伒木€速度與軋制速度不匹配造成的。由文獻(xiàn)[18]可知,打滑因子小于0.5,就可避免打滑現(xiàn)象。為此,本文通過(guò)平衡各機(jī)架打滑因子,構(gòu)建了防止打滑目標(biāo)函數(shù):

(9)

式中ψi為第i機(jī)架的打滑因子。

4.1.4 板凸度良好目標(biāo)函數(shù)

在軋制過(guò)程中,板凸度是一個(gè)重要的質(zhì)量指標(biāo)。為獲得良好的板凸度,本文建立了板凸度良好目標(biāo)函數(shù):

(10)

式中:Hc,i為第i機(jī)架出口板凸度;hi為第i機(jī)架出口厚度。

4.1.5 板形良好目標(biāo)函數(shù)

板形同樣是重要的質(zhì)量指標(biāo)。為改善板形,常用的方法是調(diào)整末機(jī)架軋制力。本文建立了末機(jī)架板形良好目標(biāo)函數(shù):

(11)

式中:Fn為末機(jī)架軋制力;Fsh為末機(jī)架保持良好板形的軋制力。

4.2 約束條件

4.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

以某冷連軋精軋機(jī)線為例,該精軋線有5個(gè)機(jī)架,各機(jī)架電機(jī)額定總功率均為18 000 kW,軋輥半徑均為300 mm。帶鋼型號(hào)Q235,原始厚度5 mm,原始寬度1 250 mm,末機(jī)架出口厚度1 mm。本文使用MOEAD和MOEAMD算法對(duì)冷軋負(fù)荷分配進(jìn)行5個(gè)目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化,2種算法的初始種群規(guī)模設(shè)置均為100,函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)設(shè)置均為100 000次。優(yōu)化前對(duì)5個(gè)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行歸一化處理。表3中列出了該精軋線原始負(fù)荷分配方案,及MOEAD和MOEAMD算法優(yōu)化后的負(fù)荷分配方案。

表3 原始負(fù)荷分配方案和優(yōu)化后負(fù)荷分配方案的對(duì)比

3種負(fù)荷分配方案的軋制總功率如圖6所示,顯然MOEAMD算法優(yōu)化后的軋制總功率最小。圖7顯示了3種方案的各機(jī)架軋制功率與額定功率的百分比,其中MOEAD和MOEAMD算法優(yōu)化后的軋制功率百分比波動(dòng)較小,但MOEAD算法優(yōu)化后的末機(jī)架軋制功率百分比較第4機(jī)架增加,不利于末機(jī)架的板形控制。而MOEAMD算法優(yōu)化后的第3、4、5機(jī)架的軋制功率百分比逐漸下降,有利于板形控制。從表3中不難看出，MOEAMD算法優(yōu)化后的各機(jī)架打滑因子變化較小,有效地避免了板帶材表面的劃痕。

圖6 軋制總功率對(duì)比

圖7 各機(jī)架軋制功率百分比

5 結(jié) 論

本文提出了一種基于多子種群和密度估計(jì)的高維多目標(biāo)進(jìn)化算法(MOEAMD)。該算法通過(guò)計(jì)算個(gè)體與參考向量的角度劃分子種群及個(gè)體密度估計(jì)來(lái)引導(dǎo)進(jìn)化方向,從而改善種群的多樣性。此外,MOEAMD算法借助收斂性保持機(jī)制改善算法的收斂性。本文采用WFG標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)對(duì)MOEAMD算法及對(duì)比算法進(jìn)行數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明MOEAMD算法的收斂性和多樣性均優(yōu)于對(duì)比算法。最后,本文構(gòu)建了最小能耗、軋制功率均衡、防止打滑、板凸度良好、板形良好等5個(gè)目標(biāo)函數(shù),使用MOEAMD算法對(duì)冷軋負(fù)荷分配進(jìn)行高維多目標(biāo)優(yōu)化。優(yōu)化后的負(fù)荷分配方案能有效降低軋制能耗、平衡各機(jī)架負(fù)載、減少打滑、改善板凸度和板形,提高產(chǎn)品質(zhì)量。