傅嬌嬌

（吉安職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江西 吉安 343000）

0 引言

當(dāng)代能源危機(jī)已成全球共識(shí)，在此背景下廢熱回收利用成為一個(gè)熱門研究方向。以汽車為例，傳統(tǒng)汽車石油燃料產(chǎn)生的能量約30%轉(zhuǎn)換成機(jī)械能來(lái)驅(qū)動(dòng)汽車行駛，另外約40%以廢氣方式排放，還有約30%在引擎冷卻過(guò)程中流失，其能源利用率極低[1-2]。研究如何回收汽車廢熱，并反之將能量回饋在汽車上利用具有重要的節(jié)能減排意義。

熱電發(fā)電裝置由冷端散熱片、熱電發(fā)電材料和熱端散熱片構(gòu)成，接著經(jīng)過(guò)后級(jí)直流變流器將熱電發(fā)電材料發(fā)出的電經(jīng)過(guò)變流器后送給尾端蓄電池充電。但熱電發(fā)電及變流裝置要得到廣泛推廣，需要建立熱電裝置的數(shù)學(xué)模型，并在理論上清楚地分析出熱電裝置的性能。到目前為止，雖然已經(jīng)建立了熱電發(fā)電裝置的電等效數(shù)學(xué)模型[3-5]，但是模型相對(duì)比較復(fù)雜，只給出了在特定條件下系統(tǒng)的特性，并不能清晰地表述模型的穩(wěn)態(tài)特性和動(dòng)態(tài)特性。

因此，本文在已建立好的熱電數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，對(duì)其進(jìn)行合理簡(jiǎn)化，得到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)、動(dòng)態(tài)特性的解析表達(dá)式，用數(shù)學(xué)工具得到其特性曲線。

1 簡(jiǎn)易熱電發(fā)電裝置結(jié)構(gòu)及完整數(shù)學(xué)模型

如圖1所示，簡(jiǎn)易熱電發(fā)電裝置由熱電發(fā)電材料、Buck-Boost變流電路、蓄電池組成。

圖1 簡(jiǎn)易熱電發(fā)電裝置結(jié)構(gòu)圖

根據(jù)Seebeck效應(yīng)[6]，熱電發(fā)電材料的輸出電壓為：

其中，α是熱電發(fā)電材料的Seebeck系數(shù)，ΔT是熱電材料的冷熱端之間的溫度差。α表征材料特性決定的值。據(jù)熱電相關(guān)定律，得到熱電發(fā)電材料的等效模型[3]，如圖2所示。

圖2 熱電裝置等效模型

圖中，θ1、θ4分別代表冷熱兩端散熱片內(nèi)阻，θ2、θ3分別代表兩端陶瓷墊片熱阻和接觸熱阻之和。T1、T2代表熱源和冷源的溫度，RO表示后端級(jí)聯(lián)電路的等效電阻，C1、C2代表冷熱端散熱片的熱容，其值為1/2的散熱片質(zhì)量與比熱容的乘積，Rm表示熱電發(fā)電材料的內(nèi)阻[3]。

2 發(fā)電裝置的簡(jiǎn)化模型

在上一節(jié)中，已得到熱電裝置的完整模型。該模型中包含六個(gè)動(dòng)態(tài)元件，屬高階系統(tǒng)，因此分析起來(lái)較為困難。在將這些元件進(jìn)行比較時(shí)課題組發(fā)現(xiàn)，熱電發(fā)電材料的熱阻、熱容值都比較大，因此，課題組保留熱電材料的參數(shù)，將值較小的散熱片熱容熱阻進(jìn)行簡(jiǎn)化，簡(jiǎn)化如下：

1）由于冷熱兩端結(jié)構(gòu)相同，因此令兩端的等效熱阻與熱容分別相等。

2）熱電發(fā)電裝置的受控電壓源：

相較主電路上的電壓十分微弱，因此忽略不計(jì)。

3）冷端與外部空氣直接接觸，因此設(shè)置其為零，即冷端接地。

綜上所述，熱電發(fā)電裝置的簡(jiǎn)化模型如圖3所示。

圖3 熱電發(fā)電裝置的簡(jiǎn)化模型

圖中Qin表示熱流量，α表示熱電材料的Seebeck系數(shù)，θm為熱電發(fā)電材料的熱阻，C1為冷熱散熱片熱容和熱電發(fā)電材料的熱容，I表示外部電路的電流，Ta、Tc為熱電發(fā)電材料兩端子的平均溫度，RO表示后級(jí)電路的等效電阻，R1、R2分別表示兩端散熱片及絕緣墊片的總熱阻，UO表示發(fā)電材料的輸出電壓。

3 簡(jiǎn)化模型分析

3.1 穩(wěn)態(tài)情況下的簡(jiǎn)化模型

穩(wěn)態(tài)時(shí)，根據(jù)實(shí)際情況，所有的熱電容等效成開路，穩(wěn)態(tài)下的簡(jiǎn)化模型如圖4所示。

圖4 穩(wěn)態(tài)下簡(jiǎn)化模型

電壓UO為熱電材料的輸出電壓。由電路中可知：

為熱電材料的輸出功率，整理得：

因電壓為正值，所以解得端電壓UO的表達(dá)式為：

可得輸出功率的表達(dá)式：

得到電壓UO與PO的表達(dá)式后，查找熱電材料實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，得出公式中各參數(shù)值。

本文參照熱電發(fā)電材料HZ-14中的數(shù)據(jù)，可得：

其中熱電發(fā)生器包含49個(gè)熱電偶，中間含有無(wú)效部分，因此它的發(fā)電面積更小，測(cè)得有效面積A=35.67 cm2。

任意令輸入熱量Qin為340 W代入其中。

將以上數(shù)據(jù)代入式（7）中得：

根據(jù)公式（8）可得輸出電壓隨輸出電阻的變化曲線，如圖5所示。

圖5 輸出電壓特性曲線圖

如圖可知，將UO變化情況劃分為以下4個(gè)區(qū)域：

當(dāng)RO阻值在0~0.5 Ω時(shí)，UO呈直線上升趨勢(shì)。

當(dāng)RO阻值在0.5 Ω~2.5 Ω時(shí)，UO隨著R的增加緩慢上升，斜率接近為1。

當(dāng)RO阻值在2.5 Ω~10 Ω時(shí)，UO隨著R的增加繼續(xù)上升，但速度放緩，斜率接近0.2。

當(dāng)RO阻值在10 Ω~30 Ω時(shí)，UO增量非常小，在15 Ω之后幾乎沒(méi)有變化。

同理將公式（10）中各項(xiàng)參數(shù)代入式（9），可得：

根據(jù)公式（12）可得輸出功率隨輸出電壓變化曲線，如圖6所示。

圖6 輸出功率隨輸出電壓變化曲線圖

由圖6可知，最大功率點(diǎn)并不是在空載電壓的中心點(diǎn)處，最大功率點(diǎn)時(shí)，電阻為0.746 6Ω，并不等于熱電器件的內(nèi)阻，課題組把圖片反映出來(lái)的情況稱為最大功率點(diǎn)偏移。

3.2 動(dòng)態(tài)情況下的簡(jiǎn)化模型

為得到熱電模型的準(zhǔn)確變化規(guī)律，對(duì)其模型進(jìn)行簡(jiǎn)化。簡(jiǎn)化部分如下：

1）根據(jù)熱學(xué)與電學(xué)中熱流量和電流的轉(zhuǎn)換，將電路中的反饋功率等效為電流的反饋，可通過(guò)在熱阻兩端等效并聯(lián)兩個(gè)電阻實(shí)現(xiàn)，圖7中的內(nèi)阻和輸出電阻均為等效值。為原值的α的比例關(guān)系。

2）為得到其確切數(shù)據(jù)，將熱端與冷端等效為一個(gè)電阻和電容。

3）最后得到的模型中，因?yàn)闊嶙枧c熱流量等效電流源串聯(lián)，熱阻的作用被忽略。

4）因?yàn)槔錈醿啥说纳崞Y(jié)構(gòu)相同，因此可以進(jìn)一步做簡(jiǎn)化，假設(shè)

綜上所述，熱電裝置動(dòng)態(tài)簡(jiǎn)化模型如圖7所示。

圖7 動(dòng)態(tài)情況下的簡(jiǎn)化模型

分析電路的結(jié)構(gòu)，其傳遞函數(shù)如下：

4 結(jié)論

本文在已知熱電發(fā)電模塊完整模型的基礎(chǔ)上，對(duì)該模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，簡(jiǎn)化模型分析簡(jiǎn)便。之后根據(jù)實(shí)際情況，在簡(jiǎn)化模型的基礎(chǔ)上分別得出穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)情況下的深度簡(jiǎn)化模型[7-10]。穩(wěn)態(tài)模型下，輸出電壓隨輸出電阻的增大而增大，在RO為10 Ω后，輸出電壓趨于穩(wěn)定。輸出功率跟隨輸出電壓的增大呈拋物線變化，最大功率點(diǎn)并不是在電壓中心點(diǎn)，由此可知，最大功率點(diǎn)發(fā)生偏移。動(dòng)態(tài)模型下，得出該模型發(fā)生動(dòng)態(tài)切換時(shí)的穩(wěn)定時(shí)間公式。為驗(yàn)證模型分析的有效性，研究后期需要搭建熱電發(fā)電裝置的實(shí)體電路，得出實(shí)驗(yàn)條件下的UO、PO曲線圖，并做動(dòng)態(tài)切換實(shí)驗(yàn)，得出裝置的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定時(shí)間。