盧佳欣 孫靜宜 劉飛峰 劉泉華 繆穎杰

（北京理工大學(xué)信息與電子學(xué)院雷達(dá)技術(shù)研究所，北京 100081）

1 引言

分布式相參雷達(dá)最近逐漸獲得關(guān)注，其最早由林肯實(shí)驗(yàn)室提出［1］，指若干機(jī)動(dòng)式單元雷達(dá)通過接收相參和發(fā)射相參等效形成大孔徑相控陣?yán)走_(dá)。針對(duì)分布式相參雷達(dá)提高信噪比的目標(biāo)，文獻(xiàn)［2-4］提出了新的思路，通過直接傳遞時(shí)鐘信號(hào)的方式實(shí)現(xiàn)多個(gè)雷達(dá)節(jié)點(diǎn)的時(shí)頻同步，通過開環(huán)發(fā)射相參以直接在目標(biāo)處實(shí)現(xiàn)相參積累，但這些方案需要對(duì)單元雷達(dá)節(jié)點(diǎn)的位置精確已知。

同時(shí)，文獻(xiàn)［5-6］提出了分布式相參雷達(dá)具有高精度測角的潛力，該模型作為統(tǒng)計(jì)MIMO 雷達(dá)的相參模式在文獻(xiàn)［7-8］中也被提出。但動(dòng)平臺(tái)雷達(dá)節(jié)點(diǎn)的位置偏差和速度偏差會(huì)對(duì)目標(biāo)測角和測速造成很大影響。

針對(duì)分布式雷達(dá)節(jié)點(diǎn)位置偏差和速度偏差，可采用校準(zhǔn)算法對(duì)偏差量進(jìn)行估計(jì)。根據(jù)文獻(xiàn)［9］可知，校準(zhǔn)算法分為有源校準(zhǔn)和自校準(zhǔn)，兩者的區(qū)別在于校準(zhǔn)點(diǎn)的位置是否精確已知。對(duì)于動(dòng)平臺(tái)分布式相參雷達(dá)系統(tǒng)，其在工作場景中較難在觀測區(qū)域安置位置精確已知的校準(zhǔn)點(diǎn)，故而自校準(zhǔn)算法在分布式相參雷達(dá)中的應(yīng)用是必要的。對(duì)于自校準(zhǔn)算法，最關(guān)心的問題是多少個(gè)校準(zhǔn)點(diǎn)可以實(shí)現(xiàn)誤差參數(shù)估計(jì)的可分辨。參數(shù)可分辨意味著具有更加精確參數(shù)估計(jì)結(jié)果的潛力，這對(duì)校準(zhǔn)問題是一個(gè)極具吸引力的性質(zhì)。［10-11］均采用混合克拉美羅界（hybrid Cramer-Rao Bound，HCRB）對(duì)參數(shù)估計(jì)的可分辨性進(jìn)行分析。而HCRB緊致性是其應(yīng)用的前提，故而本文首先對(duì)HCRB緊致性進(jìn)行分析，之后應(yīng)用HCRB推導(dǎo)了目標(biāo)角度估計(jì)精度曲線趨于水平時(shí)的精度大小的解析式。

后續(xù)內(nèi)容安排如下：文章第2節(jié)對(duì)動(dòng)平臺(tái)分布式相參雷達(dá)進(jìn)行建模，闡明待估計(jì)參數(shù)；第3節(jié)對(duì)混合克拉美羅界的緊致性和測角精度的顯性表達(dá)式進(jìn)行推導(dǎo)；第4節(jié)進(jìn)行了仿真驗(yàn)證；第5節(jié)總結(jié)全文。

2 動(dòng)平臺(tái)分布式相參雷達(dá)建模

本小節(jié)主要是對(duì)動(dòng)平臺(tái)分布式相參雷達(dá)的系統(tǒng)拓?fù)?、回波信?hào)以及誤差進(jìn)行建模。動(dòng)平臺(tái)分布式相參雷達(dá)拓?fù)淙鐖D1所示。

圖1 中，在t=0 時(shí)刻，以首個(gè)雷達(dá)節(jié)點(diǎn)為坐標(biāo)系原點(diǎn)，首個(gè)雷達(dá)節(jié)點(diǎn)和第二雷達(dá)節(jié)點(diǎn)的連線方向?yàn)閤軸。x軸附近的實(shí)心點(diǎn)和實(shí)線箭頭分別代表雷達(dá)節(jié)點(diǎn)的真實(shí)位置和真實(shí)速度；空心點(diǎn)和虛線箭頭分別代表雷達(dá)節(jié)點(diǎn)的理論位置和理論速度。圖中的分別代表第q個(gè)目標(biāo)的角度、距離、切向速度和徑向速度。

設(shè)分布式雷達(dá)系統(tǒng)K發(fā)L收，并設(shè)目標(biāo)個(gè)數(shù)為Q。則分別為第k個(gè)雷達(dá)節(jié)點(diǎn)發(fā)射，第q個(gè)目標(biāo)反射，第l個(gè)雷達(dá)節(jié)點(diǎn)接收的回波時(shí)延和多普勒。則第m個(gè)慢時(shí)間，第l個(gè)接收機(jī)的回波數(shù)據(jù)如下：

設(shè)第k個(gè)發(fā)射機(jī)和第l個(gè)接收機(jī)的真實(shí)位置分別為。設(shè)第k個(gè)發(fā)射機(jī)和第l個(gè)接收機(jī)的真實(shí)速度分別為和。設(shè)第q個(gè)目標(biāo)的位置和速度分別為

其中c代表光速，‖·‖2代表l2范數(shù)。

其中λ代表載頻波長。

設(shè)

此時(shí)中間待估計(jì)量所構(gòu)成的向量可被定義如下：

其中

假設(shè)動(dòng)平臺(tái)分布式相參雷達(dá)收發(fā)共址，則最終待估計(jì)參量所構(gòu)成的向量可被定義如下：

其中

設(shè)y=[y11[1]，y11[2]，…，y11[N]，…，yLM[N]]T∈CLMN×1。

3 HCRB緊致性研究及誤差對(duì)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)精度惡化性能評(píng)估

克拉美羅界的使用通常是通過緊致性來證明其合理性，即若下界是緊致的，則此下界是有效的；反之，則下界無效。緊致性表明在性能界曲線進(jìn)入漸近區(qū)時(shí)，即當(dāng)信號(hào)擁有“足夠大”的信噪比（SNR）或長時(shí)間積累時(shí)，最大似然估計(jì)器的估計(jì)精度會(huì)貼合此性能界曲線的現(xiàn)象。因而只有當(dāng)所推導(dǎo)的性能界是緊致的，該性能界才可以準(zhǔn)確表征估計(jì)器的性能。

本節(jié)是基于第2 節(jié)的建模進(jìn)行的HCRB 相關(guān)性質(zhì)推導(dǎo)，主要推導(dǎo)了HCRB 的緊致性及在不可分辨場景下目標(biāo)角度估計(jì)的最佳測角精度的顯性表達(dá)式。

3.1 HCRB的緊致性

由于待估計(jì)參數(shù)中目標(biāo)參數(shù)是非隨機(jī)參數(shù)，而定位誤差和速度誤差是隨機(jī)參數(shù)，因此根據(jù)文獻(xiàn)［12］，可以利用HCRB 工具對(duì)待估計(jì)參數(shù)的估計(jì)精度進(jìn)行建模。

HCRB的公式如下：

其中

上式中，Jγ是中間待估計(jì)參量γ的信息矩陣；P為鏈?zhǔn)椒▌t矩陣；Jr是雷達(dá)節(jié)點(diǎn)位置偏差的方差和速度偏差的方差構(gòu)成的對(duì)角矩陣。

由文獻(xiàn)［13］可知，當(dāng)PTJγP中不含有最終待估計(jì)參量α中的隨機(jī)參量時(shí)，

若PTJγP中不含有最終待估計(jì)參量α中的隨機(jī)參量，則

上式中，α0代表雷達(dá)節(jié)點(diǎn)偏差量均為0 的場景，即

由于式（13）僅在雷達(dá)節(jié)點(diǎn)偏差量較小時(shí)才能近似成立，故而HCRB 僅在雷達(dá)節(jié)點(diǎn)偏差量較小時(shí)才是緊致的。

3.2 目標(biāo)參數(shù)估計(jì)不可分辨情況建模及解析式推導(dǎo)

不可分辨指待估計(jì)參量的估計(jì)精度曲線隨著信噪比的提高而趨于水平，這是由于誤差的存在導(dǎo)致目標(biāo)參數(shù)和雷達(dá)誤差參數(shù)無法更加精確的估計(jì)。本小節(jié)推導(dǎo)了目標(biāo)角度估計(jì)精度曲線趨于水平時(shí)的精度大小的解析式，旨在可以直觀的分析雷達(dá)系統(tǒng)參數(shù)及拓?fù)鋮?shù)對(duì)于目標(biāo)參數(shù)估計(jì)精度的影響，有利于后續(xù)雷達(dá)系統(tǒng)硬件參數(shù)的選擇和設(shè)計(jì)。

設(shè)鏈?zhǔn)椒▌t中的矩陣

其中，R是中間待估計(jì)參量關(guān)于目標(biāo)參量的微分；S是中間待估計(jì)參量關(guān)于雷達(dá)系統(tǒng)偏差的微分。

那么

成立。其中Jγ=，k=SNR，則信息矩陣J如下所示

利用求逆公式可得目標(biāo)參數(shù)估計(jì)的性能界表達(dá)式如下

如果沒有偏差，則上式中S矩陣缺失，此時(shí)

當(dāng)k→∞時(shí)，

其中V-是V矩陣的偽逆。若采用MATLAB 代碼進(jìn)行仿真，注意對(duì)函數(shù)容差進(jìn)行人工設(shè)定；I代表單位矩陣。

4 仿真分析

為了驗(yàn)證第3 節(jié)所推導(dǎo)的顯性表達(dá)式，本節(jié)進(jìn)行了數(shù)值仿真，仿真參數(shù)表格如下表1所示。

圖2 為利用表1 的邊界條件仿真目標(biāo)角度位于雷達(dá)節(jié)點(diǎn)-45°時(shí)的目標(biāo)參數(shù)估計(jì)精度曲線圖。圖（a）是三節(jié)點(diǎn)雷達(dá)系統(tǒng)，單目標(biāo)的系統(tǒng)拓?fù)鋱D。圖（b）、（c）、（d）分別是仿真得到的目標(biāo)角度、切向速度和徑向速度估計(jì)精度曲線。其中黑色圓圈曲線為利用公式（24）求得的解析解曲線，黑色方框曲線為利用HCRB公式求得的目標(biāo)角度估計(jì)曲線，觀察得到在高信噪比情況下，圓圈曲線和方框曲線重合，印證了不可分辨情況下雷達(dá)節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)誤差影響下的目標(biāo)參數(shù)估計(jì)精度的解析解公式推導(dǎo)的正確性。

表1 仿真參數(shù)Tab.1 Simulation parameters

5 結(jié)論

本文首先對(duì)系統(tǒng)誤差下的混合克拉美羅界進(jìn)行建模，并且分析了混合克拉美羅界緊致性的條件，最后對(duì)測角精度的顯性表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算并通過數(shù)值仿真進(jìn)行驗(yàn)證。分布式相參雷達(dá)系統(tǒng)作為原理樣機(jī)最早在林肯實(shí)驗(yàn)室已經(jīng)完成了測試，但是其在實(shí)際應(yīng)用中還面臨著諸如雜波、同步等問題，這些問題的解決也是我們后續(xù)的工作方向。