馬立斯 何培宇 崔 敖 喻偉闖

（四川大學(xué)電子信息學(xué)院，四川成都 610065）

1 引言

自適應(yīng)波束形成是陣列信號處理中的一項基本技術(shù)，廣泛地應(yīng)用于雷達(dá)、聲吶、射電天文學(xué)和無線通信等領(lǐng)域［1-4］。在實際中，由于接收信號快拍數(shù)的限制、期望信號角度失配、以及期望信號包含在接收數(shù)據(jù)中等原因，自適應(yīng)波束形成器的性能會下降［5］。因此，增加自適應(yīng)波束形成器的魯棒性是很有必要的。

嵌套陣和互質(zhì)陣是最具代表性的兩種非均勻線陣（Nonuniform Linear Array，NLA），因為它們不僅能夠有效地增加陣列孔徑和自由度，還能夠提供計算陣元位置的閉式表達(dá)式［6-8］。然而，由于嵌套陣中包含一個密集的均勻線陣（Uniform Linear Array，ULA），對于物理陣元間的互耦效應(yīng)較為敏感［9］。互質(zhì)陣的物理陣元位置比嵌套陣更稀疏，但差分優(yōu)化陣中存在“孔洞”，導(dǎo)致差分優(yōu)化陣中連續(xù)陣元數(shù)的降低。最大陣元間距約束（Maximum Inter-element Spacing Constraint，MISC）陣列結(jié)合了互質(zhì)陣與嵌套陣的優(yōu)勢，提供更大自由度的同時，物理陣元位置更加稀疏，進(jìn)而有效的減小了互耦的影響［10］。因此，本文選擇MISC 陣列進(jìn)行自適應(yīng)波束形成器的設(shè)計。

目前的自適應(yīng)波束形成主要集中在ULA 中，對于NLA 的自適應(yīng)波束形成研究較少。文獻(xiàn)［11］中提出了一種基于互質(zhì)陣列的自適應(yīng)波束形成方法，通過互質(zhì)陣虛擬差分優(yōu)化陣的Capon 空間譜，估計入射信號的角度及功率，最后利用積分或者求和重建干擾加噪聲協(xié)方差矩陣（Interference plus Noise Covariance Matrix，INCM），進(jìn)而設(shè)計出兩種波束形成器。然而使用差分優(yōu)化陣的Capon空間譜來進(jìn)行估計并不夠準(zhǔn)確，導(dǎo)致輸出信干噪比有了一定的損失。文獻(xiàn)［12］中提出了一種基于互質(zhì)陣的自適應(yīng)波束形成算法，通過將互質(zhì)陣分解為兩個稀疏均勻子陣來進(jìn)行入射信號波達(dá)方向（Direction of Arrival，DOA）和功率的估計，然后重構(gòu)INCM。然而將互質(zhì)陣進(jìn)行分解，減少了原本陣列的自由度，可以利用的自由度受到子陣的傳感器數(shù)量的限制。文獻(xiàn)［13］中也提出了一種基于互質(zhì)陣重建INCM 的波束形成算法，但需要知道每個干擾的入射角度所在區(qū)域。文獻(xiàn)［14］通過對互質(zhì)陣虛擬差分優(yōu)化陣的協(xié)方差矩陣進(jìn)行插值，從而填補(bǔ)差分陣“孔洞”中的信息，能夠充分的利用差分優(yōu)化陣的自由度，進(jìn)而更加準(zhǔn)確地重建INCM。

然而，以上方法都是基于均勻噪聲設(shè)計的。當(dāng)每個傳感器上的噪聲功率不一樣時，會導(dǎo)致以上方法對噪聲功率估計不準(zhǔn)確。這是因為以上方法都是以協(xié)方差矩陣的最小特征值作為噪聲功率的估計，在非均勻噪聲存在的情形中，這種估計會帶來一定的誤差，從而導(dǎo)致INCM 的重建不夠準(zhǔn)確，最終影響波束形成器的性能。

因此，本文在各傳感器噪聲功率非均勻的背景下，提出了一種基于MISC 陣列的自適應(yīng)波束形成算法。通過矩陣補(bǔ)全技術(shù)得到無噪聲協(xié)方差矩陣的估計，從而確定非均勻噪聲協(xié)方差矩陣。然后，對信號的導(dǎo)向矢量和功率進(jìn)行估計，進(jìn)而重建INCM。得益于估計的非均勻噪聲協(xié)方差矩陣和MISC 陣列虛擬差分優(yōu)化陣提供的高自由度，本文算法能夠在非均勻噪聲環(huán)境下，更加準(zhǔn)確地重建INCM。仿真實驗的結(jié)果驗證了所提算法能夠優(yōu)于所有對比算法，獲得更高的輸出信干噪比。

2 MISC陣列信號模型

MISC 陣列是基于給定陣元間距為任意數(shù)量的傳感器構(gòu)建的。設(shè)Pd表示最大的陣元間距，Ad表示陣元間距集，d=，λ表示入射信號的波長。則MISC 陣列傳感器的位置可以由P和A 決定。MISC陣列P和A的表達(dá)式如下［10］：

MISC 陣列的陣列結(jié)構(gòu)如圖1 所示。因此，對于任意給定的陣元數(shù)M(M≥5)，可以算出對應(yīng)的P，進(jìn)而確定陣列的SMISC。

MISC陣列的差分優(yōu)化陣位置集DMISC定義為：

假設(shè)有K+1 個非相關(guān)的遠(yuǎn)場窄帶信號入射到由M個陣元組成的MISC 陣列。其中，期望信號的入射角度為θ0，K個干擾的入射角度分別為{θk，k=1，2，…，K}。則t時刻MISC陣列的接收信號為：

式中，xs(t)=a(θ0)s0(t)，xi(t)=，以及n(t)∈CM×1分別表示統(tǒng)計獨立的期望信號成分、干擾信號成分和噪聲成分。sk(t)表示第k個入射信號，a(θk)∈CM×1表示對應(yīng)的信號導(dǎo)向矢量，n(t)=[n1(t)，n2(t)，…，nM(t)]T表示不相關(guān)的零均值復(fù)高斯噪聲矢量，即n(t)～CN(0，Q)，噪聲協(xié)方差矩陣Q為：

式中，E[·]表示求統(tǒng)計期望，(·)H表示共軛轉(zhuǎn)置，q=表示第m個陣元上的噪聲功率，diag{·}表示由括號內(nèi)元素構(gòu)成的對角矩陣。

MISC 陣列輸出信干噪比（Signal to Interference plus Noise Ratio，SINR）為：

該最小化問題的解為［15］：

3 提出算法

本文提出了一種非均勻噪聲情況下，基于MISC陣列的自適應(yīng)波束形成算法。從波束形成器權(quán)矢量表達(dá)式（9）可以看出，權(quán)矢量w取決于Ri+n和a(θ0)。在知道具體陣列結(jié)構(gòu)的前提下，a(θ0)取決于期望信號的DOA 估計θ0；根據(jù)Ri+n的計算公式（7），重建INCM 需要干擾信號的DOA 估計θk(k=1，2，…，K)，對應(yīng)的干擾功率，以及Q。

因此，本文通過估計無噪聲協(xié)方差矩陣，得到Q；然后，基于估計的無噪聲協(xié)方差矩陣，對各信號的入射角度和功率進(jìn)行估計，進(jìn)而得到期望信號的導(dǎo)向矢量，重建INCM；最后計算出波束形成器的權(quán)矢量。

3.1 無噪聲協(xié)方差矩陣的估計

陣列接收信號協(xié)方差矩陣為：

式中，R0定義為無噪聲協(xié)方差矩陣：

式中，A=[a(θ0)，a(θ1)，…，a(θK)]∈CM×(K+1)，Ps=∈R(K+1)×(K+1)分別表示陣列流形矩陣和入射信號協(xié)方差矩陣。

對于一個低秩矩陣，知道矩陣中的部分元素，可以通過矩陣補(bǔ)全精確的恢復(fù)出未知的元素［16-17］。而當(dāng)我們知道R時，就幾乎知道了R0除了對角元素以外的元素。因此，R0的估計可以看作一個矩陣補(bǔ)全問題。然而，要將R0準(zhǔn)確的從R中恢復(fù)出來，要求K+1 比M小很多。為了保證能夠準(zhǔn)確的從R中獲得R0和Q，需要滿足［18］：

根據(jù)以上分析，R0的估計可以通過求解一下秩最小優(yōu)化問題［19］：

式中，A(·)表示矩陣的所有主對角元素由0 代替，其余元素不變，rank(·)表示求括號內(nèi)矩陣的秩。由于矩陣秩的優(yōu)化問題是NP-hard 問題，通常使用核范數(shù)最小化來近似求解［16-17］。又因為R0是半正定Hermitian矩陣：

式中，‖·‖*表示矩陣的核范數(shù)，trace(·)表示矩陣的跡。同時考慮到實際中，由于快拍數(shù)的限制，通常使用采樣協(xié)方差矩陣代替R，式（13）中的等式約束難以滿足，故式（13）可以等效為［19］：

式中，‖·‖F(xiàn)表示Frobenius 范數(shù)，⊕表示Hadamard積運算，J是一個M×M的矩陣，主對角線全為0，其余元素都是1，ξ＞0是一個常數(shù)。

式中，D(·)表示由括號內(nèi)矩陣主對角元素組成的對角矩陣。

3.2 入射信號DOA和功率的估計

式中，∑s∈C(K+1)×(K+1)和Us∈分別表示由Rv的K+1個大特征值構(gòu)成的對角矩陣和其對應(yīng)的K+1 個特征向量構(gòu)成的矩陣，∑n∈和Un∈分別表示由Rv的-K個小特征值構(gòu)成的對角矩陣和其對應(yīng)的-K個特征向量構(gòu)成的矩陣。

因此，MUSIC空間譜為：

式中，v(θ)是虛擬差分優(yōu)化陣的導(dǎo)向矢量：

因此，可以通過尋找空間譜PMUSIC的譜峰來估計入射信號的DOA。假設(shè)期望信號的入射角度位于角度范圍Θ中，而是Θ以外的所有角度區(qū)域。則Θ中的最大譜峰為期望信號的DOA 估計，而中最大的K個譜峰分別為K個干擾信號的DOA 估計。

入射信號功率的估計，可以通過求解如下的最小二乘問題：

然后，干擾加噪聲協(xié)方差矩陣可以重建為：

本文提出算法的主要步驟如下：

5）通過譜峰搜索，獲得所有信號的DOA 估計，進(jìn)而得到對應(yīng)的信號導(dǎo)向矢量。

6）求解最小二乘問題式（24），得到信號的功率估計Γ。

4 仿真實驗

本節(jié)通過輸出SINR 的比較來評估本文所提方法的性能。在所有仿真實驗中，均采用陣元數(shù)M=10 的MISC 陣列，即各物理陣元分別位于[0，1，4，10，16，22，28，30，33，35]d。假設(shè)期望信號的入射角度θ0=5°，兩個干擾信號的入射角度分別假設(shè)為θ1=-50°，θ2=-20°。噪聲在空間上是非均勻的，協(xié)方差矩陣Q=diag{q}，其中：

信噪比（signal-to-noise ratio，SNR）與干噪比（interferenceto-noise ratio，INR）分別定義為：

每個傳感器上的INR為30 dB。對于輸出SINR的比較，當(dāng)輸入SNR 變化時，快拍數(shù)固定為500；當(dāng)快拍數(shù)變化時，輸入SNR 固定為20 dB。對于情況3，輸入SNR 固定為20 dB，快拍數(shù)固定為500。每一種情況均進(jìn)行了500次蒙特卡洛實驗。

本文算法與對角加載波束形成算法［21］，基于特征子空間的波速形成算法［22］，求和重構(gòu)波束形成算法［11］，插值重構(gòu)波束形成算法［14］進(jìn)行對比。需要指出的是，雖然所有方法都使用了MISC 陣列的接收信號，但每一個對比算法還是采用它們各自的方法獲取對應(yīng)的權(quán)矢量。此外，由于DMISC沒有“孔洞”，故對于插值重構(gòu)算法，省去了插值步驟。對于本文算法與［11，14］中的算法，假設(shè)期望信號入射角度所在范圍Θ=[θ0-5°，θ0+5°]，則=[-90°，θ0-5°)∪(θ0+5°，90°]，參數(shù)ξ=1。對于對角加載算法，對角加載因子為。CVX 工具箱［20］用于求解所有算法中的優(yōu)化問題。

4.1 情況1：準(zhǔn)確知道期望信號導(dǎo)向矢量

在第一種情況中，假設(shè)準(zhǔn)確知道期望信號的導(dǎo)向矢量。每一種算法的輸出SINR 與輸入SNR 和快拍數(shù)的關(guān)系分別如圖2和圖3所示。

從圖2可以看出，所有算法的輸出SINR 均隨著輸入SNR 的增加而增加，但對角加載算法和特征子空間算法在高SNR 時輸出SINR 逐漸趨向平緩，這是由于算法所采用的采樣協(xié)方差矩陣中包含有期望信號成分，出現(xiàn)了信號自相消現(xiàn)象，導(dǎo)致輸出SINR 有了一定的損失，并且隨著輸入SNR 的增加，輸出SINR 的損失變得更加明顯。剩下的三種算法基于重建的思想，去除了INCM 中的期望信號成分，所以能夠有效的克服信號自相消問題，即使在高SNR 時也能獲得較好的結(jié)果。相較于求和重構(gòu)算法和插值重構(gòu)算法，本文算法由于通過矩陣補(bǔ)全算法對非均勻噪聲的功率進(jìn)行了準(zhǔn)確的估計，以及MISC陣列虛擬差分優(yōu)化陣提供了高自由度，能夠更加準(zhǔn)確地重建INCM，所以能夠在整個輸入SNR 變化范圍內(nèi)得到最優(yōu)的結(jié)果。從圖3 可以看出，當(dāng)快拍數(shù)在100 到1000 之間時，本文算法能夠優(yōu)于其他所有對比算法，輸出SINR更高。

4.2 情況2：觀測方向存在隨機(jī)誤差

在第二種情況中，假設(shè)所有入射信號的觀測方向誤差在[-4°，4°]中均勻分布。期望信號的真實入射角度為[1°，9°]中的任意值，兩個干擾信號的真實入射角度分別為[-54°，-46°]和[-24°，-16°]中的任意值。信號的入射角度在不同的蒙特卡洛實驗中變化，但在每一次蒙特卡洛實驗中固定不變。每一種算法的輸出SINR 與輸入SNR 和快拍數(shù)的關(guān)系分別如圖4和圖5所示。

從圖4 可以看出，由于采樣協(xié)方差矩陣中的期望信號成分，以及信號觀測方向存在的誤差，對角加載算法和特征子空間算法在高信噪比時產(chǎn)生了較大的性能損失。由于MISC 陣列虛擬差分優(yōu)化陣提供了更高的自由度，本文算法能夠更加準(zhǔn)確地估計信號導(dǎo)向矢量和功率；同時，還對非均勻噪聲的協(xié)方差矩陣進(jìn)行了準(zhǔn)確估計，從而能夠更加準(zhǔn)確地重建INCM。因此，本文算法所得結(jié)果優(yōu)于求和重構(gòu)算法和插值重構(gòu)算法。從圖5 可以看出，當(dāng)快拍數(shù)在100 到1000 之間時，本文算法能夠優(yōu)于其他所有對比算法。

4.3 情況3：非均勻噪聲環(huán)境的影響

在情況3中，比較了不同非均勻噪聲環(huán)境下，各算法的輸出性能。定義最差噪聲功率比WNPR=，其中分別表示各傳感器中的最大和最小噪聲功率。假設(shè)各傳感器上的噪聲功率從1 到線性增加，即第m個傳感器上的噪聲功率，隨著從1 到100 變化，WNPR 也從1 到100 變化，當(dāng)=1時，陣列上的噪聲功率相等。準(zhǔn)確知道期望信號導(dǎo)向矢量、觀測方向存在[-4°，4°]隨機(jī)誤差兩種情況下，每一種算法的輸出SINR 與WNPR 的關(guān)系分別如圖6（a）和（b）所示。

從圖6（a）和（b）可以看出，對于這兩種情況，由于通過矩陣補(bǔ)全估計了噪聲協(xié)方差矩陣，準(zhǔn)確估計了非均勻噪聲的功率，同時MISC 陣列虛擬差分優(yōu)化陣提供了更高的自由度，對入射信號的DOA 與功率估計更加準(zhǔn)確，本文算法能夠在非均勻噪聲情形中更加準(zhǔn)確地重建INCM。因此，從圖中能夠看到，當(dāng)1＜WNPR≤100 時，本文算法能夠獲得比其他對比算法更好的結(jié)果。

5 結(jié)論

本文在非均勻噪聲背景下，提出了一種基于MISC 陣列的自適應(yīng)波束形成算法。由于通過矩陣補(bǔ)全技術(shù)，對非均勻噪聲功率進(jìn)行了準(zhǔn)確的估計，以及MISC 陣列虛擬差分優(yōu)化陣提供的更高自由度，本文算法能夠在非均勻噪聲情形中更加準(zhǔn)確地重建干擾加噪聲協(xié)方差矩陣。仿真實驗也驗證了本文所提算法能夠在存在非均勻噪聲和信號觀測方向隨機(jī)誤差時，優(yōu)于對比算法，輸出SINR 更高。然而，本文算法引入矩陣補(bǔ)全技術(shù)估計噪聲功率，限制了入射信號的個數(shù)，當(dāng)入射信號個數(shù)多于陣元個數(shù)的一半時，估計性能將有所下降。如何在入射信號較多時，準(zhǔn)確地估計出非均勻噪聲的功率還有待未來進(jìn)一步的研究。