楊如曙，楊江河

( 湖南文理學(xué)院計(jì)算機(jī)與電氣工程學(xué)院，常德 415000)

1 引 言

玻色-愛(ài)因斯坦凝聚體( BEC) 被局陷在兩束耦合激光駐波形成的光晶格勢(shì)阱中的物性研究受到了廣泛地關(guān)注，主要是研究局陷于光晶格勢(shì)阱中BEC 的性質(zhì)可為原子激光和原子干涉儀等具體應(yīng)用提供更加廣泛的市場(chǎng)［1-14］.值得一提的是，Eiermann 等［11］在局陷于光晶格勢(shì)阱的BEC 體系中實(shí)驗(yàn)觀察到了一種隙孤子( gap soliton) ，且這一隙孤子一直釘扎于光晶格的某一具體位置既不發(fā)生衰減也不會(huì)產(chǎn)生形狀等方面的改變，它為一典型的空間局域化的隙孤子( Spatially Localized Gap Soliton).由于局陷于光晶格勢(shì)阱中的BEC 類(lèi)似于局陷于晶格中的電子，因而人們常采用緊束縛近似［15，16］，正交完備Wannier 函數(shù)法［17］，有效質(zhì)量法［18］，平面波方法［19］等一些固體物理學(xué)的近似方法來(lái)研究局陷于光晶格勢(shì)阱中的BEC 的動(dòng)力學(xué)行為.已有研究表明，對(duì)于局陷于光晶格勢(shì)阱深度較淺的正s -波散射長(zhǎng)度的BEC 體系中會(huì)形成亮隙孤子; 而對(duì)于負(fù)s -波散射長(zhǎng)度的BEC 體系產(chǎn)生暗隙孤子［15-31］.盡管固體物理學(xué)中的這系列方法為研究局陷于淺光晶格勢(shì)阱中的BEC 動(dòng)力學(xué)提供了便利和可行，然而當(dāng)BEC 局陷于深光晶格勢(shì)阱時(shí)，則勢(shì)阱與勢(shì)阱之間的BEC 隧穿效應(yīng)會(huì)明顯增強(qiáng)，因而此時(shí)固體物理學(xué)的這些近似方法并不能完整地描述BEC 中的動(dòng)力學(xué)性質(zhì).所以，有必要發(fā)展新的方法來(lái)研究光晶格勢(shì)阱中BEC 的動(dòng)力學(xué)特性［20］.

事實(shí)上，局陷BEC 的光晶格勢(shì)阱的深度越深，則光晶格勢(shì)阱內(nèi)的凝聚體被束縛得越緊，而光晶格勢(shì)阱之間的凝聚體隧穿效應(yīng)會(huì)明顯增強(qiáng)［3］.當(dāng)局陷凝聚體的光晶格勢(shì)阱的深度相當(dāng)深時(shí)，實(shí)驗(yàn)上觀察到自陷隙孤子( self-trapping gap soliton)［12，13］.特別是2020 年，Oldziejewski 等［32］發(fā)現(xiàn)當(dāng)BEC 局陷于一個(gè)相當(dāng)深的光晶格勢(shì)阱內(nèi)，系統(tǒng)不僅會(huì)出現(xiàn)亮隙孤子而且還會(huì)顯示出一些強(qiáng)相關(guān)的量子液滴( strongly correlated quantum droplets).這意味當(dāng)BEC 局陷于相當(dāng)深的光晶格勢(shì)阱系統(tǒng)中可能會(huì)產(chǎn)生其他形式的隙孤子.進(jìn)一步研究局陷于深光晶格勢(shì)阱中的BEC 的孤子，對(duì)于提高原子鐘的測(cè)量精度具有重要意義［33］.

由于局陷于光晶格勢(shì)阱中的BEC 類(lèi)似于局陷于晶格中的電子，體系的動(dòng)力學(xué)行為可借用固體物理學(xué)中的緊束縛近似方法來(lái)描述.與此同時(shí)，局陷在各個(gè)光晶格勢(shì)阱中的凝聚體是被各個(gè)勢(shì)阱所隔開(kāi)，因而可采用準(zhǔn)離散多重尺度方法來(lái)描述其中的動(dòng)力學(xué)行為.因此，本文我們發(fā)展準(zhǔn)離散多重尺度法結(jié)合緊束縛近似研究光晶格勢(shì)阱中BEC 的動(dòng)力學(xué)行為.結(jié)果在系統(tǒng)的能隙中發(fā)現(xiàn)一種新穎內(nèi)在的局域模: 扭結(jié)包絡(luò)隙孤子，且其幅度可通過(guò)形成光晶格勢(shì)阱的晶格常數(shù)和勢(shì)阱深度這兩個(gè)重要物理參數(shù)進(jìn)行操控.

2 模型和孤子的穩(wěn)定性分析

實(shí)驗(yàn)上，局陷BEC 的光晶格勢(shì)阱是由兩束相向傳播的激光束之間的干涉所形成［11-14］.光晶格勢(shì)阱的晶格常數(shù)是通過(guò)兩束交叉耦合激光束之間的夾角來(lái)調(diào)控，其變化范圍在0.4 -1.6 μm 之間［11，12］.光晶格勢(shì)阱深度則與交叉耦合激光束的光強(qiáng)成正比，變化范圍在0 和Emax0=20Erec之間，其中Erec=π2?2/(2md2) ( 式中m 是凝聚體的冷原子質(zhì)量，d 代表光晶格勢(shì)阱的晶格常數(shù)) 為晶格反沖能量( the lattice recoil energy)［11，12］.理論上，BEC 所局陷的光晶格勢(shì)阱V 通常由兩部分組成［15，16］，即V=Vh+Vp，其第一項(xiàng)為諧振外部勢(shì)阱式中ωX和ωR分別是諧振外部勢(shì)阱的軸向和徑向諧振頻率，第二項(xiàng)為周期外部勢(shì)阱，Vp( X)=Vp( X + λ) ，其中λ 為形成光晶格勢(shì)阱的激光束波長(zhǎng).相應(yīng)地，局陷BEC 的周期性光晶格勢(shì)阱可表示為［15，16］

其中，E0和K=2π/λ 分別是BEC 所局陷的外部光晶格勢(shì)阱的勢(shì)阱深度和所形成光晶格勢(shì)阱的激光波數(shù).根據(jù)現(xiàn)有的實(shí)驗(yàn)條件［11］，我們?cè)诖丝紤]一維煙型的87Rb 原子凝聚體(87Rb 原子質(zhì)量是14×10-25kg，其s-波散射長(zhǎng)度為5.3nm) 所局陷的光晶格勢(shì)阱的軸向諧振頻率為ωX=2π ×0.5 Hz，而其徑向諧振頻率是ωR=2π ×85 Hz 的外部光晶格勢(shì)阱，并設(shè)每個(gè)光晶格勢(shì)阱約承載900 個(gè)87Rb原子凝聚體.由于ωX/ωR≈0.006 ?1 ，因而B(niǎo)EC 所局陷的外部光晶格勢(shì)阱可看作為準(zhǔn)一維的光晶格勢(shì)阱.

正如文獻(xiàn)［21，34］所討論，描述局陷于光晶格勢(shì)阱中的一維BEC 動(dòng)力學(xué)行為的無(wú)量綱Gross-Pitaevskii( GP) 方程是

為了能獲得局陷于光晶格外部勢(shì)阱中的BEC形成孤子的性質(zhì)，我們先分析該體系形成孤子的穩(wěn)定性條件.為此，體系的波函數(shù)可定義為［18］

其中，μ 是系統(tǒng)的化學(xué)勢(shì)，u0( x) 為描述體系孤子形狀的實(shí)函數(shù).將方程( 3) 代入GP 方程( 2) ，可得到

在線(xiàn)性情況下，方程(4) 正是Hill 方程［35］

根據(jù)Floquet -Bloch 定理，描述體系孤子形狀的函數(shù)u0( x) 按照光晶格勢(shì)阱周期函數(shù)Vk( x) 展開(kāi)為u0( x)=Vk( x) exp( ikx) ( 其中k 為波矢).由固體物理學(xué)中的平面波方法可知［19］，晶格與凝聚體相互作用下的μ - k 的能帶結(jié)構(gòu)對(duì)BEC 的線(xiàn)性性質(zhì)起著決定性的作用.為此，圖1 示出了局陷于光晶格勢(shì)阱的勢(shì)阱深度是V0=10 且晶格常數(shù)為d=1μm 的體系能帶結(jié)構(gòu)圖.

圖1 勢(shì)阱深度V0=10 和晶格常數(shù)d=1 μm 情況下體系的能帶結(jié)構(gòu)圖.曲線(xiàn)I -V 分別對(duì)應(yīng)于體系的前五個(gè)能帶.Fig.1 The band structure for V0=10 and d=1 μm Curves I-V correspond to the first five bands，respectively.

從能帶結(jié)構(gòu)圖1 可看出，對(duì)于處于能帶中的化學(xué)勢(shì)μ，方程( 5) 具備線(xiàn)性的周期性解，且這些能帶結(jié)構(gòu)的線(xiàn)性周期性可以判定局陷于光晶格勢(shì)阱中BEC 形成孤子的穩(wěn)定性條件［7，18］.正如文獻(xiàn)［18］所得，局陷于光晶格勢(shì)阱能隙中的凝聚體的孤子是穩(wěn)定的，而局陷于能帶內(nèi)的凝聚體的孤子由于振動(dòng)行為變得不穩(wěn)定.這一結(jié)果也可從文獻(xiàn)［7，9］獲得.因此，我們下面僅討論局陷于光晶格勢(shì)阱中凝聚體能隙中的孤子行為.

既然局陷于光晶格勢(shì)阱中的BEC 類(lèi)似于局陷于晶格中的電子，體系的動(dòng)力學(xué)行為可借用固體物理學(xué)中的緊束縛近似方法來(lái)描述.在緊束縛近似下，體系的波函數(shù)可寫(xiě)作［15，16］

其中，N 是凝聚體的原子數(shù)，φn( x) 是處于光晶格勢(shì)阱中心的最低位置的與空間相關(guān)的實(shí)函數(shù)，ψn( t) 為第n 個(gè)光晶格勢(shì)阱的凝聚體波函數(shù)，且其可與相鄰光晶格勢(shì)阱的波函數(shù)ψn±1發(fā)生弱耦合作用.

將緊束縛近似波函數(shù)方程( 6) 代入GP 方程(2) 并對(duì)整個(gè)空間積分，就可得到離散的非線(xiàn)性Schr?dinger 方程

一般情況下的非線(xiàn)性Schr?dinger 方程( 7) 是不可積的，然而當(dāng)凝聚體局陷于光晶格勢(shì)阱中時(shí)，每個(gè)勢(shì)阱中的凝聚體會(huì)局陷于各自的勢(shì)阱中，從而凝聚體被各自勢(shì)阱所隔開(kāi)，因此我們可引入準(zhǔn)離散多重尺度法［36，37］來(lái)研究體系凝聚體的動(dòng)力學(xué)行為，可設(shè)

基于離散波近似，可設(shè)

將方程(12) 代入方程(9) 中，可得En=2T.相應(yīng)的系統(tǒng)的線(xiàn)性色散關(guān)系為ω=2T［1 -cos( k′d) ］.其群速度是

隨后，將方程(12) 代入方程(10) 中，可得

其中C.C 代表共軛復(fù)數(shù).方程(14) 右邊第二項(xiàng)是久期項(xiàng)，消去久期項(xiàng)后得到λ′=2Tdsin( k′d)=Vg.從而得出待定參數(shù)λ′ 正是晶格格波的群速度.目前實(shí)驗(yàn)上［11-14］形成光晶格勢(shì)阱的激光駐波的波矢是k′=2π/λ，且駐波之間相鄰波腹之間的距離( 即光晶格的晶格常數(shù)) 是d=π/2，因此局陷于光晶格勢(shì)阱中的凝聚體的孤子是局域在初始位置并不傳播.

從而，方程(14) 式的解具有如下形式

當(dāng)僅僅考慮幅度最低階A 的關(guān)系時(shí)，可設(shè)B0( ξn)=0.從而，將方程(15) 代入方程(14) ，然后通過(guò)求解此線(xiàn)性微分方程，有

隨后，將方程(12) 和(15) 代入方程(11) ，則方程(11) 可化為

類(lèi)似地，消除方程(16) 右邊的久期項(xiàng)，可得

式中，P=2Td2cos( k′d) ，Q=-3U.利用初始變換關(guān)系A(chǔ)0=ψ0/ε，A=ψ/ε，ξn=ε( nd -Vgt)=εXn和τ=ε2t，方程(17) 和(18) 分別被化為

顯然，只要求出方程(19) 和(20) 的解，就可以獲得局陷于光晶格勢(shì)阱的BEC 的孤子動(dòng)力學(xué)行為.

3 光晶格勢(shì)阱中BEC 孤子性質(zhì)

在此，我們選取正s -波散射長(zhǎng)度的87Rb 原子凝聚體［11］局陷于光晶格勢(shì)阱的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)性質(zhì)作為一個(gè)典型事例來(lái)說(shuō)明光晶格勢(shì)阱中BEC 的孤子性質(zhì).由方程(18) 可得物理參數(shù)U ＞0 ，T ＜0 ; 且在這情況下cos( k′d) ＞0.相應(yīng)地，由方程(18) 所得出P 和Q 的乘積表達(dá)式是PQ=-6UTd2cos( ~kd) ，因此，對(duì)于正s-波散射長(zhǎng)度的87Rb 原子凝聚體局陷于光晶格勢(shì)阱中后，PQ ＞0.相應(yīng)地非線(xiàn)性Schr?dinger 方程( 20) 的單孤子解為［38］

式中，積分常數(shù)n0代表系統(tǒng)形成孤子后孤子的初始中心位置，積分常數(shù)k0和φ0分別表示體系形成孤子后孤子的初始幅度和初始相位.

隨后，分析方程(19) 右邊兩項(xiàng)的數(shù)值大小發(fā)現(xiàn)，其第一項(xiàng)總是比第二項(xiàng)小得多，這主要是因?yàn)閺姆匠?12) 可得出物理參數(shù)和| ψ|2屬于同一數(shù)量級(jí)的參數(shù).相應(yīng)地，將方程(21) 代入方程(19) 然后積分可得ψ0的近似解為

式中C 為一任意積分常數(shù).因此，局陷于光晶格勢(shì)阱中的第n 個(gè)光晶格勢(shì)阱的波函數(shù)是

根據(jù)目前實(shí)驗(yàn)所實(shí)現(xiàn)光晶格勢(shì)阱的條件［11，12］，可選擇的物理參數(shù)分別為d=0.11，U=0.2，En=- 1.0，k′=5.0/d，C=1.0，k0=1.0，n0=50，t=0 和φ0=0.當(dāng)BEC 所局陷的光晶格勢(shì)阱較淺時(shí)，勢(shì)阱之間的BEC 所發(fā)生的隧穿效應(yīng)相當(dāng)弱［3］，圖2 示出了T=0 時(shí)凝聚體的概率密度分布.從圖可看出，局陷于淺光晶格勢(shì)阱中的正s 波散射長(zhǎng)度BEC 在能隙中所觀察到的是對(duì)稱(chēng)的包絡(luò)隙孤子，且包絡(luò)隙孤子的局陷中心位置為n=n0處.這是一種典型的內(nèi)在局域模，局域在初始位置后進(jìn)而擾動(dòng)最終演化為一個(gè)包絡(luò)孤子和一個(gè)色散的高斯尾巴.這是由于BEC 所局陷的光晶格勢(shì)阱較淺，光晶格勢(shì)阱的勢(shì)阱深度較小，相鄰光晶格勢(shì)阱中的BEC 隧穿效應(yīng)相當(dāng)弱，系統(tǒng)所能觀察到的是一種穩(wěn)定的對(duì)稱(chēng)包絡(luò)隙孤子.

圖2 無(wú)隧穿( T=0) 情況下，局陷于光晶格中凝聚體的概率密度分布.圖中所使用的其他無(wú)量綱的物理參數(shù)分別是: d=0.11，U=0.2，En=-1.0，k=5.0/d，C=1.0，k=1.0，n0=50，t=0，φ=0.Fig.2 The density distribution of the condensate trapped in optical lattices with the T=0.The parameters used are d=0.11，U=0.2，En=-1.0，k=5.0/d，C=1.0，k=1.0，n0=50，t=0，and φ=0.All parameters used are in dimensionless units.

當(dāng)BEC 所局陷的光晶格勢(shì)阱較深時(shí)，相鄰光晶格勢(shì)阱中的BEC 的隧穿效應(yīng)就會(huì)相應(yīng)地增強(qiáng)［3］.因此，隨后探討光晶格勢(shì)阱的晶格常數(shù)和勢(shì)阱深度對(duì)局陷于光晶格勢(shì)阱中的凝聚體隙孤子的影響.為此，我們數(shù)值模擬出不同的隧穿強(qiáng)度T 和不同的晶格常數(shù)d 下，局陷于光晶格勢(shì)阱中的凝聚體的概率密度分布，如圖3 所示.從圖3( a) 可看出，當(dāng)BEC 所局陷的光晶格勢(shì)阱較深，且相鄰光晶格勢(shì)阱中的凝聚體發(fā)生隧穿的強(qiáng)度為T(mén)=-0.5 時(shí)，能在局陷于光晶格勢(shì)阱的凝聚體中的能隙中觀察一個(gè)包絡(luò)隙孤子和一個(gè)扭結(jié)孤子疊加而成的新型的扭結(jié)包絡(luò)隙孤子.這說(shuō)明局陷于深光晶格勢(shì)阱中的BEC 能在其能隙中觀察一種新型的非線(xiàn)性元激發(fā): 扭結(jié)包絡(luò)隙孤子; 且這種典型的非線(xiàn)性元激發(fā)是一種典型的內(nèi)在局域模.

圖3 不同晶格常數(shù)和隧穿強(qiáng)度( a) d=0.11，T=-0.5，( b) d=0.11，T=-0.9，和( c) d=0.15，T=-0.9，情況下，凝聚體的概率密度分布.圖中所使用的其他物理參數(shù)與圖2 一致.Fig.3 The density distribution of the condensate with different parameters ( a) d=0.11，T=-0.5，( b) d=0.11，T=-0.9，and ( c) ( c) d=0.15，T=-0.9.The other parameters used are the same as those of figure 2.

隨著局陷于BEC 的光晶格勢(shì)阱深度的進(jìn)一步增加，從方程( 7) 可得出相鄰光晶格勢(shì)阱中的BEC 發(fā)生的隧穿強(qiáng)度會(huì)作相應(yīng)地增加.因此在圖3( b) 中我們保持其他物理參量均不變，僅僅使相鄰之間的隧穿強(qiáng)度變化為T(mén)=-0.9 情況下的凝聚體局陷于深光晶格勢(shì)阱中的凝聚體概率密度的分布.通過(guò)對(duì)比圖3( b) 和( a) 發(fā)現(xiàn)，局陷于深光晶格勢(shì)阱中的BEC 在其能隙中所觀察到的隙孤子仍然為扭結(jié)包絡(luò)隙孤子，但扭結(jié)包絡(luò)隙孤子的幅度隨著所局陷BEC 的光晶格勢(shì)阱深度的增加有所增加.最后，我們分析局限于BEC 的光晶格勢(shì)阱的晶格常數(shù)對(duì)體系隙孤子的影響，因而在圖3( c) 中我們保持其他物理參量不變，僅僅使局陷BEC 的光晶格勢(shì)阱的晶格常數(shù)增加到0.15，可看到扭結(jié)包絡(luò)隙孤子的幅度隨著所局陷BEC 的光晶格勢(shì)阱的晶格常數(shù)的增加而進(jìn)一步增加.

基于上述理論研究現(xiàn)象，我們可提出一套調(diào)控局陷于光晶格外部勢(shì)阱中的BEC 體系的隙孤子的幅度的實(shí)驗(yàn)方案為: 首先，讓兩束激光光強(qiáng)較弱的相向傳播的光束產(chǎn)生干涉現(xiàn)象構(gòu)成一個(gè)光晶格外部勢(shì)阱［11-14］; 隨后將87Rb 原子凝聚體注入上述光晶格外部勢(shì)阱中，結(jié)果會(huì)在整個(gè)裝置中觀察到一對(duì)稱(chēng)的局域包絡(luò)隙孤子; 然后，將形成光晶格勢(shì)阱的兩束激光的光強(qiáng)增加，人們會(huì)觀察到原來(lái)體系所形成的局域包絡(luò)隙孤子轉(zhuǎn)變?yōu)榕そY(jié)包絡(luò)隙孤子; 最后，進(jìn)一步增加形成光晶格勢(shì)阱的兩束激光的光強(qiáng)，會(huì)發(fā)現(xiàn)扭結(jié)包絡(luò)隙孤子的幅度增加.當(dāng)然進(jìn)一步使構(gòu)成光晶格外部勢(shì)阱的兩束激光之間的夾角增加，也會(huì)發(fā)現(xiàn)扭結(jié)包絡(luò)隙孤子的幅度將會(huì)進(jìn)一步增加.

4 結(jié) 論

總之，通過(guò)發(fā)展準(zhǔn)離散多重尺度方法結(jié)合緊束縛近似，我們解析地研究了局陷于光晶格勢(shì)阱的BEC 的孤子動(dòng)力學(xué)行為.首先，我們探討了局陷于光晶格勢(shì)阱中的BEC 系統(tǒng)形成孤子的線(xiàn)性范疇，結(jié)果發(fā)現(xiàn)局陷在體系能隙中的孤子是穩(wěn)定的，而處于體系能帶中的孤子會(huì)出現(xiàn)振動(dòng)行為而不穩(wěn)定.與此同時(shí)，我們得到系統(tǒng)能隙中所形成的孤子是局陷在初始位置并不傳播.隨后，我們將87Rb原子凝聚體注入光晶格勢(shì)阱深度較淺的光晶格外部勢(shì)阱中，體系會(huì)產(chǎn)生穩(wěn)定的對(duì)稱(chēng)的包絡(luò)隙孤子.當(dāng)BEC 所局陷的光晶格外部勢(shì)阱的勢(shì)阱深度增加時(shí)，體系會(huì)產(chǎn)生一種新型的非線(xiàn)性元激發(fā):扭結(jié)包絡(luò)隙孤子.最后，通過(guò)數(shù)值計(jì)算發(fā)現(xiàn)體系的扭結(jié)包絡(luò)隙孤子的幅度可通過(guò)BEC 所局陷的光晶格勢(shì)阱的晶格常數(shù)和勢(shì)阱深度來(lái)調(diào)控.相應(yīng)地，我們提出了一套實(shí)驗(yàn)方案去操控局陷于光晶格勢(shì)阱中BEC 隙孤子幅度的方法是通過(guò)增加構(gòu)成光晶格外部勢(shì)阱的兩束激光激光強(qiáng)度和( 或) 使這兩束激光之間的夾角增加來(lái)增加扭結(jié)包絡(luò)隙孤子的幅度.