王 濤，李正良,2，范文亮,2

(1. 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院，重慶 400045；2. 山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點實驗室(重慶大學(xué))，重慶 400045)

由于材料、荷載不可避免的隨機性，結(jié)構(gòu)可靠度分析成為結(jié)構(gòu)設(shè)計的基礎(chǔ)和重要保障。經(jīng)過長期的發(fā)展，結(jié)構(gòu)構(gòu)件可靠度方法已形成了數(shù)值近似法(如一次二階矩法[1])、隨機模擬法(如Monte Carlo 法[2])、代理模型法(如響應(yīng)面法[3]) 和數(shù)值積分法(如矩方法[4]) 四大類方法，其基本理論已經(jīng)相對成熟且能夠應(yīng)用于工程實際[1]。然而，結(jié)構(gòu)整體可靠度分析仍在發(fā)展階段。大體上，結(jié)構(gòu)整體可靠度方法可分為三類，即Monte Carlo 法[5]、失效模式識別法[5]以及等價描述方法[6-8]。Monte Carlo 法由于其計算昂貴難以應(yīng)用于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，常作為一種校準(zhǔn)法；而經(jīng)典的失效模式識別法則存在組合爆炸和相關(guān)失效問題[6]；對于復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)進行整體可靠度分析，Monte Carlo 法計算成本難以接受，失效模式識別法應(yīng)用困難，相比而言，由于等價描述方法將結(jié)構(gòu)整體可靠度用一個等價的功能函數(shù)描述，有效地避免了組合爆炸與相關(guān)失效問題，形成了一種較為實用可行的思路。

功能函數(shù)經(jīng)過等價描述后，其函數(shù)形式變得較為復(fù)雜，由于基于驗算點的方法處理函數(shù)形式復(fù)雜的功能函數(shù)會存在多驗算點問題，采用此類方法進行整體可靠度分析可能致使其計算精度不理想[9]。將等價描述后的功能函數(shù)與不依賴驗算點的方法結(jié)合進行結(jié)構(gòu)整體可靠度分析是一種行之可效的思路。矩方法是獲得結(jié)構(gòu)可靠度的一種有效途徑，既不依賴于驗算點，也無需復(fù)雜的積分計算和求導(dǎo)運算，因而得到廣泛應(yīng)用[10-15]。其主要思路是先獲取功能函數(shù)的統(tǒng)計矩，再而基于統(tǒng)計矩信息求解功能函數(shù)的概率密度函數(shù)，最后通過對功能函數(shù)的概率密度函數(shù)積分獲取失效概率或可靠指標(biāo)。

功能函數(shù)的統(tǒng)計矩估計通常通過數(shù)值積分方法實現(xiàn)，其主要包括降維近似統(tǒng)計矩點估計法[10-13]、稀疏網(wǎng)格配點法[14]以及容積積分法[15]。其中，研究者對降維近似統(tǒng)計矩點估計法進行了大量的研究，通過引入不同的降維近似模型，分別發(fā)展了單變量、雙變量和三變量降維近似統(tǒng)計矩點估計法[10-13]。對于結(jié)構(gòu)整體可靠度問題，等價功能函數(shù)蘊含了多個失效模式的相關(guān)性，變量間的交互影響一般較為復(fù)雜，采用單變量與雙變量降維近似統(tǒng)計矩點估計法往往不能達到滿意的精度[13]。研究發(fā)現(xiàn)，三變量降維近似統(tǒng)計矩點估計法能夠較為準(zhǔn)確地考慮結(jié)構(gòu)整體可靠度問題中各隨機變量的交互影響，適用于結(jié)構(gòu)整體可靠度的評估[13]。但三變量降維近似統(tǒng)計矩點估計法所需的結(jié)構(gòu)分析次數(shù)較多，如何在保證精度的前提下改善其計算效率有待進一步提高。

一般而言，在獲取功能函數(shù)的統(tǒng)計矩后，采用Pearson 分布[16]、立方正態(tài)[4]、鞍點近似[13]、移位廣義對數(shù)分布[17]以及最大熵原理[18]等方法可獲得功能函數(shù)的概率密度函數(shù)。其中，最大熵原理具有統(tǒng)一形式的最大熵概率密度函數(shù)，能夠較為精確地擬合單峰與多峰概率密度函數(shù)，被認(rèn)為是擬合概率密度函數(shù)最具有無偏估計的一類方法[18]，因而學(xué)者們將該方法廣泛應(yīng)用于工程結(jié)構(gòu)可靠度分析[18-22]。

為此，本文在結(jié)構(gòu)整體可靠度問題分類的基礎(chǔ)上給出其對應(yīng)等價功能函數(shù)的統(tǒng)一描述，進而提出了將有效維度兩步分析法與共軛無跡變換法結(jié)合的改進統(tǒng)計矩點估計法，并結(jié)合最大熵原理發(fā)展了一類兼顧精度與效率的結(jié)構(gòu)整體可靠度分析方法。

1 結(jié)構(gòu)整體可靠度問題描述

根據(jù)多失效模式產(chǎn)生的來源不同，可將結(jié)構(gòu)整體可靠度問題分為兩類：結(jié)構(gòu)經(jīng)典整體可靠度問題和結(jié)構(gòu)一般整體可靠度問題[23]。結(jié)構(gòu)經(jīng)典整體可靠度問題主要研究理想彈塑性結(jié)構(gòu)倒塌或形成可變機構(gòu)的概率，即結(jié)構(gòu)經(jīng)典整體可靠度問題的失效模式由結(jié)構(gòu)倒塌這一物理機制進行識別[7]；而結(jié)構(gòu)一般整體可靠度問題的失效模式可以由失效準(zhǔn)則直接確定。例如考察某多層結(jié)構(gòu)(層數(shù)n≥2)的可靠度問題，任意某層的位移大于某限值時即認(rèn)為結(jié)構(gòu)失效，則該結(jié)構(gòu)體系具有n個失效判別準(zhǔn)則，相應(yīng)地對應(yīng)著n個失效模式[23]。因此，結(jié)構(gòu)一般整體可靠度的多失效模式源于可靠度問題本身。

1.1 結(jié)構(gòu)經(jīng)典整體可靠度

當(dāng)理想彈塑性結(jié)構(gòu)承受完全相關(guān)的隨機荷載作用時，隨機向量Θ={ΘL,ΘS}T，其中ΘS和ΘL分別表示結(jié)構(gòu)的隨機參數(shù)和荷載的隨機參數(shù)。定義ΘL,1為參考荷載，則ΘL可表示為：

其中，r(ΘL)為荷載向量。根據(jù)非線性發(fā)展過程[24]，彈塑性結(jié)構(gòu)整體可靠度可等效為結(jié)構(gòu)的極限承載力Fmax大于所施加荷載ΘL,1的概率。因此，結(jié)構(gòu)經(jīng)典整體可靠度對應(yīng)的功能函數(shù)可等價描述為：

對于非完全相關(guān)荷載下的結(jié)構(gòu)經(jīng)典整體可靠度分析，詳見文獻[25]。

1.2 結(jié)構(gòu)一般整體可靠度

當(dāng)失效模式已知或已識別出時，此類結(jié)構(gòu)整體可靠度問題稱為結(jié)構(gòu)一般整體可靠度。對于結(jié)構(gòu)一般整體可靠度問題，其涉及的各失效模式及其邏輯關(guān)系均可根據(jù)預(yù)定的失效準(zhǔn)則直接確定。

根據(jù)等價極值事件[8]，串聯(lián)系統(tǒng)、并聯(lián)系統(tǒng)及混聯(lián)系統(tǒng)這三類邏輯關(guān)系的結(jié)構(gòu)一般整體可靠度問題的等價功能函數(shù)可表示為：

式中：Gi(·)為串聯(lián)系統(tǒng)或并聯(lián)系統(tǒng)中第i個單元的功能函數(shù)；Gij(·)為第i個串聯(lián)子系統(tǒng)中第j個單元的功能函數(shù)。

綜上，結(jié)構(gòu)經(jīng)典整體可靠度與結(jié)構(gòu)一般整體可靠度對應(yīng)的等價功能函數(shù)可統(tǒng)一表示為：

2 基于有效維度兩步分析法和共軛無跡變換法的改進統(tǒng)計矩點估計法

2.1 變量的獨立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變換

對于隨機向量Θ={Θ1, Θ2,···,ΘN}，通過引入Nataf 變換[26]，可將其轉(zhuǎn)換到獨立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間，得到新的隨機向量U={U1,U2,···,UN}。于是，兩類結(jié)構(gòu)整體可靠度問題對應(yīng)的功能函數(shù)可改寫為：

式中，N-1(·)表示Nataf 變換的逆變換。

2.2 傳統(tǒng)的三變量降維近似統(tǒng)計矩點估計法

根據(jù)文獻[11]，Z的原點矩MZ,k可近似計算如下：

雖然式(7)將高維積分轉(zhuǎn)換為多個低維積分使得結(jié)構(gòu)分析次數(shù)得到縮減，但三維和二維積分所需的結(jié)構(gòu)分析次數(shù)仍較多。據(jù)此，本文提出有效維度兩步分析法，并結(jié)合共軛無跡變換法進一步提高式(7)的計算效率。

2.3 有效維度兩步分析法

其中，?為衡量影響程度的閾值，本文中取?=5%[15]。

采用有效維度分析法進行交互項評估僅需2N+2 次結(jié)構(gòu)分析，具有較高的效率。然而，該方法存在交互項誤判問題[21]。鑒于此，本文首先通過有效維度分析法進行交互項預(yù)判，在此基礎(chǔ)上引入一次交叉項判別準(zhǔn)則[12]進行二次判定。定義Us和Ut的交互項判定的示性函數(shù)Qh,2(Us,Ut)為[12]：

本文在有效維度分析法的基礎(chǔ)上引入二次判定，故將此方法稱為有效維度兩步分析法。

2.4 改進統(tǒng)計矩點估計法

相比于傳統(tǒng)的高斯求積公式，研究者近年來在非線性濾波領(lǐng)域發(fā)展的共軛無跡變換法具備更高的計算效率[27-29]。本文引入9 階代數(shù)精度的共軛無跡變換法進行分量函數(shù)積分計算，其基本原理與過程如下。

其次，通過Isserlis 定理[27]，可建立如下矩約束方程：

式中：Uj為隨機變量；為求積節(jié)點的坐標(biāo)；ν為隨機變量數(shù)目；κj為非負的整數(shù)且1≤κ1+κ2+···+κν≤9；n為除零點外求積節(jié)點的數(shù)量。求解式(19)，可獲取縮放變量ri和權(quán)系數(shù)wi。特別的，當(dāng)ν=2 或3 時，縮放變量ri和權(quán)系數(shù)wi如表1所示。

表1 二維及三維系統(tǒng)共軛無跡變換方法對應(yīng)的ri 和wiTable 1 ri and wi in conjugate unscented transformation method for two-dimensional and three-dimensional systems

據(jù) 此，令ui={us,i,ut,i}或ui={us,i,ut,i,uv,i}，ui與αi分別為二維或三維共軛無跡變換方法的節(jié)點與權(quán)系數(shù)，則式(7)中的二維及三維積分可由下式確定：

其中，N1=4N(N-1)(N-2)/3。

對于式(7)中的一維積分，直接采用高斯求積公式進行計算：

式中：uq,i和ωi分別為Gauss-Hermite 積分的求積節(jié)點和權(quán)系數(shù)；本文取m=5。

對于式(7)中的二維積分，采用下式計算：

對于式(7)中三維積分，若Qh(Us,Ut,Uv)=1，則：

若Qh(Us,Ut,Uv)=0，則存在如下三種情況：

1) 當(dāng)任意一對變量的交叉項不存在，如Qh,2(Us,Ut)=0 時，經(jīng)推導(dǎo)，式(7)中三維積分可簡化為：

2) 當(dāng)任意兩對變量的交叉項不存在，如Qh,2(Us,Ut)=0 且Qh,2(Us,Uv)=0 時，經(jīng)推導(dǎo)，式(7)中三維積分可簡化為：

3) 當(dāng)三對變量的交叉項均不存在，經(jīng)推導(dǎo)，式(7)中三維積分可簡化為：

3 基于最大熵原理的結(jié)構(gòu)整體可靠度分析

3.1 最大熵原理

結(jié)構(gòu)響應(yīng)統(tǒng)計矩獲取后，通過最大熵原理進行結(jié)構(gòu)整體可靠度評估[18-19]。以功能函數(shù)Z的熵取最大值為目標(biāo)函數(shù)，以功能函數(shù)Z的前4 階原點矩MZ,k(k=0,1,···,4)為約束條件，建立優(yōu)化模型為：

對熵函數(shù)H引入Lagrange 乘子，構(gòu)造Lagrange函數(shù)，得到：

通過求解非線性方程可獲取Lagrange 系數(shù)λ0, λ1, ···, λ4，從而估計響應(yīng)函數(shù)Z的密度函數(shù)：

則結(jié)構(gòu)的失效概率與可靠指標(biāo)為：

3.2 算法流程

基于本文方法的結(jié)構(gòu)整體可靠度分析基本步驟如下：

1) 通過式(5)將結(jié)構(gòu)整體可靠度問題的功能函數(shù)統(tǒng)一表示。

2) 通過式(6)將任意分布轉(zhuǎn)換到標(biāo)準(zhǔn)獨立正態(tài)空間。

3) 根據(jù)式(7)計算功能函數(shù)的前四階原點矩：

a) 根據(jù)式(21)和式(22)分別計算單變量函數(shù)和雙變量函數(shù)的積分值；

b) 根據(jù)Qh(Us,Ut,Uv)的結(jié)果通過式(23)～式(26)計算三變量函數(shù)的積分值；

c) 將單變量函數(shù)、雙變量函數(shù)及三變量函數(shù)的積分值代入式(7)中，計算功能函數(shù)的前四階矩。

4) 基于求得的功能函數(shù)前四階矩，按照式(27) ～式(30)計算結(jié)構(gòu)的失效概率和可靠指標(biāo)。

4 算例分析

本節(jié)通過結(jié)構(gòu)一般整體可靠度與結(jié)構(gòu)經(jīng)典整體可靠度兩個算例驗證本文方法的計算效率、精度以及適用性，分別將本文方法分別與Monte Carlo 模擬方法(MCS)、寬界限法(WBM)[30]、窄界限法(NBM)[31]、5 點Gauss-Hermite 積分的雙變量降維近似統(tǒng)計矩點估計法(BDRM)[11]及5 點Gauss-Hermite 積分的三變量降維近似統(tǒng)計矩點估計法(TDRM)[11]計算的統(tǒng)計矩及可靠度進行了對比。本文將MCS 計算結(jié)果視為標(biāo)準(zhǔn)解，其他各方法的相對誤差為：

式中：Value為對應(yīng)方法的計算結(jié)果；MCV為Monte Carlo 方法計算的結(jié)果。

4.1 算例1. 結(jié)構(gòu)一般整體可靠度問題

考察一個如圖1 所示的六層鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)，框架的跨度l=7.5 m，層高h=3 m，梁與柱的截面尺寸分別為300 mm×400 mm 和500 mm×500 mm，水平荷載F可表示為：

圖1 六層鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)Fig. 1 Six story reinforced concrete frame structure

考慮梁柱的彈性模量Eb和Ec，豎向荷載P1和P2以及水平荷載F0為隨機變量，各隨機變量的統(tǒng)計特性如表2 所示?？紤]結(jié)構(gòu)體系的最大層間位移角超過某限值為失效狀態(tài)，該可靠度問題可以描述為：

表2 算例1 中隨機變量的統(tǒng)計特征Table 2 Statistical characteristics of random variables for Example 1

式中：Xj(j=1,2,···,6)代表第j層與第j-1 層的相對位移； φB為層間位移角限值，本文中 φB取值為1/50。

該問題可歸類為結(jié)構(gòu)一般整體可靠度問題，根據(jù)式(6)，其單一等價功能函數(shù)可以表示為：

通過有效維度兩步分析法易知，Qh(U1,U3,U4) =Qh(U2,U3,U4) =Qh(U3,U4,U5) =Qh,2(U3,U4) =0，進而，可計算Z的前四階統(tǒng)計矩和可靠指標(biāo)，其計算結(jié)果如表3 和表4 所示，表中?表示該方法與Monte Carlo 方法的相對誤差。

表3 算例1 中極限狀態(tài)函數(shù)前四階矩結(jié)果Table 3 Results of first four order moments of limit state function for Example 1

表4 算例1 中各類方法的可靠指標(biāo)與有限元分析次數(shù)Table 4 Reliability index and number of finite element analysis of each method for Example 1

由表3 可以發(fā)現(xiàn)，TDRM 和本文方法估計的前四階矩均具有較高的精度，其最大相對誤差低于2%；雖然BDRM 亦能精確地估計前兩階矩，然而其估計的三階矩具有6.32%的相對誤差。就可靠指標(biāo)的計算精度與效率而言，由表4 易知：采用經(jīng)典的WBM 僅能給出較大的可靠指標(biāo)界限值，其上、下界限可靠指標(biāo)均具有較大的相對誤差；雖然NBM 計算的可靠指標(biāo)的界限值較窄，但其仍難以定量評估結(jié)構(gòu)整體可靠度；通過BDRM估計的可靠指標(biāo)相對誤差達到12.5%，亦難以精確評估結(jié)構(gòu)整體可靠度；幸運的是，本文方法和TDRM 能夠精確地估計可靠指標(biāo)，其最大誤差低于1%，但本文方法所需的有限元分析次數(shù)為650 次，相較于TDRM 所需的1528 次有限元分析，本文方法計算效率提高2.35 倍左右。綜合計算精度與效率，推薦采用本文方法進行結(jié)構(gòu)一般整體可靠度的評估。

4.2 算例2. 結(jié)構(gòu)經(jīng)典整體可靠度問題

考察如圖2 所示的理想彈塑性單層單跨鋼框架結(jié)構(gòu)的整體可靠度問題，其中，材料的彈性模量E為2.0×105MPa，各構(gòu)件截面積均為0.09 m2?？紤]節(jié)點荷載F0以及各構(gòu)件截面抗彎承載力M1、M2和M3為相互獨立的隨機變量，其統(tǒng)計特性如表5 所示。當(dāng)鋼框架結(jié)構(gòu)變成可變機構(gòu)時認(rèn)為結(jié)構(gòu)失效。

圖2 單層單跨的理想彈塑性鋼框架結(jié)構(gòu) /mFig. 2 One-story and one-bay perfectly elastoplastic steel frame structure

表5 算例2 中隨機變量的統(tǒng)計特征Table 5 Statistical characteristics of random variables for Example 2

根據(jù)問題描述可知，該問題為結(jié)構(gòu)經(jīng)典整體可靠度問題。根據(jù)式(6)，該問題的單一等價功能函數(shù)可表示為：

通過有效維度兩步分析法可得，Qh(U1,U2,U3) =Qh(U1,U3,U4) =Qh,2(U1,U3) = 0，進而，采用各類方法計算出Z的前四階統(tǒng)計矩和可靠指標(biāo)如表6 和表7 所示。

表6 算例2 中極限狀態(tài)函數(shù)前四階矩結(jié)果Table 6 Results of first four order moments of limit state function for Example 2

表7 算例2 中各類方法的可靠指標(biāo)與有限元分析次數(shù)Table 7 Reliability index and number of finite element analysis of each method for Example 2

通過表6 和表7 可以看出，采用BDRM 估計的三階矩和可靠指標(biāo)的相對誤差均較大，其三階矩的相對誤差高達38.97%；采用經(jīng)典的WBM 和NBM 僅能給出可靠指標(biāo)的界限值難以精確量化，且需進行結(jié)構(gòu)失效模式識別步驟；而采用TDRM及本文方法估計的統(tǒng)計矩和可靠指標(biāo)均能夠得到較為精確的結(jié)果，其相對誤差均小于2%，但本文方法的計算效率較TDRM 提升2.5 倍多，效果顯著。

5 結(jié)論

結(jié)構(gòu)整體可靠度的定量評估是可靠度領(lǐng)域的基本問題之一。本文結(jié)合有效維度兩步分析法和共軛無跡變換法，發(fā)展了高效的改進統(tǒng)計矩點估計法；進而，結(jié)合最大熵原理和結(jié)構(gòu)整體可靠度等價描述法，提出了適用于結(jié)構(gòu)經(jīng)典和一般整體可靠度的分析方法。結(jié)果表明：

(1) 本文方法對兩類結(jié)構(gòu)整體可靠度問題均表現(xiàn)出較高的精度水平。

(2) 相比于傳統(tǒng)的三變量降維近似統(tǒng)計矩點估計法，本文方法能在保證精度的前提下具有更高的效率；

(3) 雙變量降維近似統(tǒng)計矩點估計法對于兩類整體可靠度問題均具有較高的相對誤差，難以對結(jié)構(gòu)整體可靠度問題進行精確評估。