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        基于改進統(tǒng)計矩點估計法和最大熵原理的結(jié)構(gòu)整體可靠度分析

        2022-03-04 06:56:32李正良范文亮
        工程力學(xué) 2022年3期
        關(guān)鍵詞:結(jié)構(gòu)功能方法

        王 濤,李正良,2,范文亮,2

        (1. 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院,重慶 400045;2. 山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點實驗室(重慶大學(xué)),重慶 400045)

        由于材料、荷載不可避免的隨機性,結(jié)構(gòu)可靠度分析成為結(jié)構(gòu)設(shè)計的基礎(chǔ)和重要保障。經(jīng)過長期的發(fā)展,結(jié)構(gòu)構(gòu)件可靠度方法已形成了數(shù)值近似法(如一次二階矩法[1])、隨機模擬法(如Monte Carlo 法[2])、代理模型法(如響應(yīng)面法[3]) 和數(shù)值積分法(如矩方法[4]) 四大類方法,其基本理論已經(jīng)相對成熟且能夠應(yīng)用于工程實際[1]。然而,結(jié)構(gòu)整體可靠度分析仍在發(fā)展階段。大體上,結(jié)構(gòu)整體可靠度方法可分為三類,即Monte Carlo 法[5]、失效模式識別法[5]以及等價描述方法[6-8]。Monte Carlo 法由于其計算昂貴難以應(yīng)用于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng),常作為一種校準(zhǔn)法;而經(jīng)典的失效模式識別法則存在組合爆炸和相關(guān)失效問題[6];對于復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)進行整體可靠度分析,Monte Carlo 法計算成本難以接受,失效模式識別法應(yīng)用困難,相比而言,由于等價描述方法將結(jié)構(gòu)整體可靠度用一個等價的功能函數(shù)描述,有效地避免了組合爆炸與相關(guān)失效問題,形成了一種較為實用可行的思路。

        功能函數(shù)經(jīng)過等價描述后,其函數(shù)形式變得較為復(fù)雜,由于基于驗算點的方法處理函數(shù)形式復(fù)雜的功能函數(shù)會存在多驗算點問題,采用此類方法進行整體可靠度分析可能致使其計算精度不理想[9]。將等價描述后的功能函數(shù)與不依賴驗算點的方法結(jié)合進行結(jié)構(gòu)整體可靠度分析是一種行之可效的思路。矩方法是獲得結(jié)構(gòu)可靠度的一種有效途徑,既不依賴于驗算點,也無需復(fù)雜的積分計算和求導(dǎo)運算,因而得到廣泛應(yīng)用[10-15]。其主要思路是先獲取功能函數(shù)的統(tǒng)計矩,再而基于統(tǒng)計矩信息求解功能函數(shù)的概率密度函數(shù),最后通過對功能函數(shù)的概率密度函數(shù)積分獲取失效概率或可靠指標(biāo)。

        功能函數(shù)的統(tǒng)計矩估計通常通過數(shù)值積分方法實現(xiàn),其主要包括降維近似統(tǒng)計矩點估計法[10-13]、稀疏網(wǎng)格配點法[14]以及容積積分法[15]。其中,研究者對降維近似統(tǒng)計矩點估計法進行了大量的研究,通過引入不同的降維近似模型,分別發(fā)展了單變量、雙變量和三變量降維近似統(tǒng)計矩點估計法[10-13]。對于結(jié)構(gòu)整體可靠度問題,等價功能函數(shù)蘊含了多個失效模式的相關(guān)性,變量間的交互影響一般較為復(fù)雜,采用單變量與雙變量降維近似統(tǒng)計矩點估計法往往不能達到滿意的精度[13]。研究發(fā)現(xiàn),三變量降維近似統(tǒng)計矩點估計法能夠較為準(zhǔn)確地考慮結(jié)構(gòu)整體可靠度問題中各隨機變量的交互影響,適用于結(jié)構(gòu)整體可靠度的評估[13]。但三變量降維近似統(tǒng)計矩點估計法所需的結(jié)構(gòu)分析次數(shù)較多,如何在保證精度的前提下改善其計算效率有待進一步提高。

        一般而言,在獲取功能函數(shù)的統(tǒng)計矩后,采用Pearson 分布[16]、立方正態(tài)[4]、鞍點近似[13]、移位廣義對數(shù)分布[17]以及最大熵原理[18]等方法可獲得功能函數(shù)的概率密度函數(shù)。其中,最大熵原理具有統(tǒng)一形式的最大熵概率密度函數(shù),能夠較為精確地擬合單峰與多峰概率密度函數(shù),被認(rèn)為是擬合概率密度函數(shù)最具有無偏估計的一類方法[18],因而學(xué)者們將該方法廣泛應(yīng)用于工程結(jié)構(gòu)可靠度分析[18-22]。

        為此,本文在結(jié)構(gòu)整體可靠度問題分類的基礎(chǔ)上給出其對應(yīng)等價功能函數(shù)的統(tǒng)一描述,進而提出了將有效維度兩步分析法與共軛無跡變換法結(jié)合的改進統(tǒng)計矩點估計法,并結(jié)合最大熵原理發(fā)展了一類兼顧精度與效率的結(jié)構(gòu)整體可靠度分析方法。

        1 結(jié)構(gòu)整體可靠度問題描述

        根據(jù)多失效模式產(chǎn)生的來源不同,可將結(jié)構(gòu)整體可靠度問題分為兩類:結(jié)構(gòu)經(jīng)典整體可靠度問題和結(jié)構(gòu)一般整體可靠度問題[23]。結(jié)構(gòu)經(jīng)典整體可靠度問題主要研究理想彈塑性結(jié)構(gòu)倒塌或形成可變機構(gòu)的概率,即結(jié)構(gòu)經(jīng)典整體可靠度問題的失效模式由結(jié)構(gòu)倒塌這一物理機制進行識別[7];而結(jié)構(gòu)一般整體可靠度問題的失效模式可以由失效準(zhǔn)則直接確定。例如考察某多層結(jié)構(gòu)(層數(shù)n≥2)的可靠度問題,任意某層的位移大于某限值時即認(rèn)為結(jié)構(gòu)失效,則該結(jié)構(gòu)體系具有n個失效判別準(zhǔn)則,相應(yīng)地對應(yīng)著n個失效模式[23]。因此,結(jié)構(gòu)一般整體可靠度的多失效模式源于可靠度問題本身。

        1.1 結(jié)構(gòu)經(jīng)典整體可靠度

        當(dāng)理想彈塑性結(jié)構(gòu)承受完全相關(guān)的隨機荷載作用時,隨機向量Θ={ΘL,ΘS}T,其中ΘS和ΘL分別表示結(jié)構(gòu)的隨機參數(shù)和荷載的隨機參數(shù)。定義ΘL,1為參考荷載,則ΘL可表示為:

        其中,r(ΘL)為荷載向量。根據(jù)非線性發(fā)展過程[24],彈塑性結(jié)構(gòu)整體可靠度可等效為結(jié)構(gòu)的極限承載力Fmax大于所施加荷載ΘL,1的概率。因此,結(jié)構(gòu)經(jīng)典整體可靠度對應(yīng)的功能函數(shù)可等價描述為:

        對于非完全相關(guān)荷載下的結(jié)構(gòu)經(jīng)典整體可靠度分析,詳見文獻[25]。

        1.2 結(jié)構(gòu)一般整體可靠度

        當(dāng)失效模式已知或已識別出時,此類結(jié)構(gòu)整體可靠度問題稱為結(jié)構(gòu)一般整體可靠度。對于結(jié)構(gòu)一般整體可靠度問題,其涉及的各失效模式及其邏輯關(guān)系均可根據(jù)預(yù)定的失效準(zhǔn)則直接確定。

        根據(jù)等價極值事件[8],串聯(lián)系統(tǒng)、并聯(lián)系統(tǒng)及混聯(lián)系統(tǒng)這三類邏輯關(guān)系的結(jié)構(gòu)一般整體可靠度問題的等價功能函數(shù)可表示為:

        式中:Gi(·)為串聯(lián)系統(tǒng)或并聯(lián)系統(tǒng)中第i個單元的功能函數(shù);Gij(·)為第i個串聯(lián)子系統(tǒng)中第j個單元的功能函數(shù)。

        綜上,結(jié)構(gòu)經(jīng)典整體可靠度與結(jié)構(gòu)一般整體可靠度對應(yīng)的等價功能函數(shù)可統(tǒng)一表示為:

        2 基于有效維度兩步分析法和共軛無跡變換法的改進統(tǒng)計矩點估計法

        2.1 變量的獨立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變換

        對于隨機向量Θ={Θ1, Θ2,···,ΘN},通過引入Nataf 變換[26],可將其轉(zhuǎn)換到獨立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間,得到新的隨機向量U={U1,U2,···,UN}。于是,兩類結(jié)構(gòu)整體可靠度問題對應(yīng)的功能函數(shù)可改寫為:

        式中,N-1(·)表示Nataf 變換的逆變換。

        2.2 傳統(tǒng)的三變量降維近似統(tǒng)計矩點估計法

        根據(jù)文獻[11],Z的原點矩MZ,k可近似計算如下:

        雖然式(7)將高維積分轉(zhuǎn)換為多個低維積分使得結(jié)構(gòu)分析次數(shù)得到縮減,但三維和二維積分所需的結(jié)構(gòu)分析次數(shù)仍較多。據(jù)此,本文提出有效維度兩步分析法,并結(jié)合共軛無跡變換法進一步提高式(7)的計算效率。

        2.3 有效維度兩步分析法

        其中,?為衡量影響程度的閾值,本文中取?=5%[15]。

        采用有效維度分析法進行交互項評估僅需2N+2 次結(jié)構(gòu)分析,具有較高的效率。然而,該方法存在交互項誤判問題[21]。鑒于此,本文首先通過有效維度分析法進行交互項預(yù)判,在此基礎(chǔ)上引入一次交叉項判別準(zhǔn)則[12]進行二次判定。定義Us和Ut的交互項判定的示性函數(shù)Qh,2(Us,Ut)為[12]:

        本文在有效維度分析法的基礎(chǔ)上引入二次判定,故將此方法稱為有效維度兩步分析法。

        2.4 改進統(tǒng)計矩點估計法

        相比于傳統(tǒng)的高斯求積公式,研究者近年來在非線性濾波領(lǐng)域發(fā)展的共軛無跡變換法具備更高的計算效率[27-29]。本文引入9 階代數(shù)精度的共軛無跡變換法進行分量函數(shù)積分計算,其基本原理與過程如下。

        其次,通過Isserlis 定理[27],可建立如下矩約束方程:

        式中:Uj為隨機變量;為求積節(jié)點的坐標(biāo);ν為隨機變量數(shù)目;κj為非負的整數(shù)且1≤κ1+κ2+···+κν≤9;n為除零點外求積節(jié)點的數(shù)量。求解式(19),可獲取縮放變量ri和權(quán)系數(shù)wi。特別的,當(dāng)ν=2 或3 時,縮放變量ri和權(quán)系數(shù)wi如表1所示。

        表1 二維及三維系統(tǒng)共軛無跡變換方法對應(yīng)的ri 和wiTable 1 ri and wi in conjugate unscented transformation method for two-dimensional and three-dimensional systems

        據(jù) 此,令ui={us,i,ut,i}或ui={us,i,ut,i,uv,i},ui與αi分別為二維或三維共軛無跡變換方法的節(jié)點與權(quán)系數(shù),則式(7)中的二維及三維積分可由下式確定:

        其中,N1=4N(N-1)(N-2)/3。

        對于式(7)中的一維積分,直接采用高斯求積公式進行計算:

        式中:uq,i和ωi分別為Gauss-Hermite 積分的求積節(jié)點和權(quán)系數(shù);本文取m=5。

        對于式(7)中的二維積分,采用下式計算:

        對于式(7)中三維積分,若Qh(Us,Ut,Uv)=1,則:

        若Qh(Us,Ut,Uv)=0,則存在如下三種情況:

        1) 當(dāng)任意一對變量的交叉項不存在,如Qh,2(Us,Ut)=0 時,經(jīng)推導(dǎo),式(7)中三維積分可簡化為:

        2) 當(dāng)任意兩對變量的交叉項不存在,如Qh,2(Us,Ut)=0 且Qh,2(Us,Uv)=0 時,經(jīng)推導(dǎo),式(7)中三維積分可簡化為:

        3) 當(dāng)三對變量的交叉項均不存在,經(jīng)推導(dǎo),式(7)中三維積分可簡化為:

        3 基于最大熵原理的結(jié)構(gòu)整體可靠度分析

        3.1 最大熵原理

        結(jié)構(gòu)響應(yīng)統(tǒng)計矩獲取后,通過最大熵原理進行結(jié)構(gòu)整體可靠度評估[18-19]。以功能函數(shù)Z的熵取最大值為目標(biāo)函數(shù),以功能函數(shù)Z的前4 階原點矩MZ,k(k=0,1,···,4)為約束條件,建立優(yōu)化模型為:

        對熵函數(shù)H引入Lagrange 乘子,構(gòu)造Lagrange函數(shù),得到:

        通過求解非線性方程可獲取Lagrange 系數(shù)λ0, λ1, ···, λ4,從而估計響應(yīng)函數(shù)Z的密度函數(shù):

        則結(jié)構(gòu)的失效概率與可靠指標(biāo)為:

        3.2 算法流程

        基于本文方法的結(jié)構(gòu)整體可靠度分析基本步驟如下:

        1) 通過式(5)將結(jié)構(gòu)整體可靠度問題的功能函數(shù)統(tǒng)一表示。

        2) 通過式(6)將任意分布轉(zhuǎn)換到標(biāo)準(zhǔn)獨立正態(tài)空間。

        3) 根據(jù)式(7)計算功能函數(shù)的前四階原點矩:

        a) 根據(jù)式(21)和式(22)分別計算單變量函數(shù)和雙變量函數(shù)的積分值;

        b) 根據(jù)Qh(Us,Ut,Uv)的結(jié)果通過式(23)~式(26)計算三變量函數(shù)的積分值;

        c) 將單變量函數(shù)、雙變量函數(shù)及三變量函數(shù)的積分值代入式(7)中,計算功能函數(shù)的前四階矩。

        4) 基于求得的功能函數(shù)前四階矩,按照式(27) ~式(30)計算結(jié)構(gòu)的失效概率和可靠指標(biāo)。

        4 算例分析

        本節(jié)通過結(jié)構(gòu)一般整體可靠度與結(jié)構(gòu)經(jīng)典整體可靠度兩個算例驗證本文方法的計算效率、精度以及適用性,分別將本文方法分別與Monte Carlo 模擬方法(MCS)、寬界限法(WBM)[30]、窄界限法(NBM)[31]、5 點Gauss-Hermite 積分的雙變量降維近似統(tǒng)計矩點估計法(BDRM)[11]及5 點Gauss-Hermite 積分的三變量降維近似統(tǒng)計矩點估計法(TDRM)[11]計算的統(tǒng)計矩及可靠度進行了對比。本文將MCS 計算結(jié)果視為標(biāo)準(zhǔn)解,其他各方法的相對誤差為:

        式中:Value為對應(yīng)方法的計算結(jié)果;MCV為Monte Carlo 方法計算的結(jié)果。

        4.1 算例1. 結(jié)構(gòu)一般整體可靠度問題

        考察一個如圖1 所示的六層鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu),框架的跨度l=7.5 m,層高h=3 m,梁與柱的截面尺寸分別為300 mm×400 mm 和500 mm×500 mm,水平荷載F可表示為:

        圖1 六層鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)Fig. 1 Six story reinforced concrete frame structure

        考慮梁柱的彈性模量Eb和Ec,豎向荷載P1和P2以及水平荷載F0為隨機變量,各隨機變量的統(tǒng)計特性如表2 所示??紤]結(jié)構(gòu)體系的最大層間位移角超過某限值為失效狀態(tài),該可靠度問題可以描述為:

        表2 算例1 中隨機變量的統(tǒng)計特征Table 2 Statistical characteristics of random variables for Example 1

        式中:Xj(j=1,2,···,6)代表第j層與第j-1 層的相對位移; φB為層間位移角限值,本文中 φB取值為1/50。

        該問題可歸類為結(jié)構(gòu)一般整體可靠度問題,根據(jù)式(6),其單一等價功能函數(shù)可以表示為:

        通過有效維度兩步分析法易知,Qh(U1,U3,U4) =Qh(U2,U3,U4) =Qh(U3,U4,U5) =Qh,2(U3,U4) =0,進而,可計算Z的前四階統(tǒng)計矩和可靠指標(biāo),其計算結(jié)果如表3 和表4 所示,表中?表示該方法與Monte Carlo 方法的相對誤差。

        表3 算例1 中極限狀態(tài)函數(shù)前四階矩結(jié)果Table 3 Results of first four order moments of limit state function for Example 1

        表4 算例1 中各類方法的可靠指標(biāo)與有限元分析次數(shù)Table 4 Reliability index and number of finite element analysis of each method for Example 1

        由表3 可以發(fā)現(xiàn),TDRM 和本文方法估計的前四階矩均具有較高的精度,其最大相對誤差低于2%;雖然BDRM 亦能精確地估計前兩階矩,然而其估計的三階矩具有6.32%的相對誤差。就可靠指標(biāo)的計算精度與效率而言,由表4 易知:采用經(jīng)典的WBM 僅能給出較大的可靠指標(biāo)界限值,其上、下界限可靠指標(biāo)均具有較大的相對誤差;雖然NBM 計算的可靠指標(biāo)的界限值較窄,但其仍難以定量評估結(jié)構(gòu)整體可靠度;通過BDRM估計的可靠指標(biāo)相對誤差達到12.5%,亦難以精確評估結(jié)構(gòu)整體可靠度;幸運的是,本文方法和TDRM 能夠精確地估計可靠指標(biāo),其最大誤差低于1%,但本文方法所需的有限元分析次數(shù)為650 次,相較于TDRM 所需的1528 次有限元分析,本文方法計算效率提高2.35 倍左右。綜合計算精度與效率,推薦采用本文方法進行結(jié)構(gòu)一般整體可靠度的評估。

        4.2 算例2. 結(jié)構(gòu)經(jīng)典整體可靠度問題

        考察如圖2 所示的理想彈塑性單層單跨鋼框架結(jié)構(gòu)的整體可靠度問題,其中,材料的彈性模量E為2.0×105MPa,各構(gòu)件截面積均為0.09 m2??紤]節(jié)點荷載F0以及各構(gòu)件截面抗彎承載力M1、M2和M3為相互獨立的隨機變量,其統(tǒng)計特性如表5 所示。當(dāng)鋼框架結(jié)構(gòu)變成可變機構(gòu)時認(rèn)為結(jié)構(gòu)失效。

        圖2 單層單跨的理想彈塑性鋼框架結(jié)構(gòu) /mFig. 2 One-story and one-bay perfectly elastoplastic steel frame structure

        表5 算例2 中隨機變量的統(tǒng)計特征Table 5 Statistical characteristics of random variables for Example 2

        根據(jù)問題描述可知,該問題為結(jié)構(gòu)經(jīng)典整體可靠度問題。根據(jù)式(6),該問題的單一等價功能函數(shù)可表示為:

        通過有效維度兩步分析法可得,Qh(U1,U2,U3) =Qh(U1,U3,U4) =Qh,2(U1,U3) = 0,進而,采用各類方法計算出Z的前四階統(tǒng)計矩和可靠指標(biāo)如表6 和表7 所示。

        表6 算例2 中極限狀態(tài)函數(shù)前四階矩結(jié)果Table 6 Results of first four order moments of limit state function for Example 2

        表7 算例2 中各類方法的可靠指標(biāo)與有限元分析次數(shù)Table 7 Reliability index and number of finite element analysis of each method for Example 2

        通過表6 和表7 可以看出,采用BDRM 估計的三階矩和可靠指標(biāo)的相對誤差均較大,其三階矩的相對誤差高達38.97%;采用經(jīng)典的WBM 和NBM 僅能給出可靠指標(biāo)的界限值難以精確量化,且需進行結(jié)構(gòu)失效模式識別步驟;而采用TDRM及本文方法估計的統(tǒng)計矩和可靠指標(biāo)均能夠得到較為精確的結(jié)果,其相對誤差均小于2%,但本文方法的計算效率較TDRM 提升2.5 倍多,效果顯著。

        5 結(jié)論

        結(jié)構(gòu)整體可靠度的定量評估是可靠度領(lǐng)域的基本問題之一。本文結(jié)合有效維度兩步分析法和共軛無跡變換法,發(fā)展了高效的改進統(tǒng)計矩點估計法;進而,結(jié)合最大熵原理和結(jié)構(gòu)整體可靠度等價描述法,提出了適用于結(jié)構(gòu)經(jīng)典和一般整體可靠度的分析方法。結(jié)果表明:

        (1) 本文方法對兩類結(jié)構(gòu)整體可靠度問題均表現(xiàn)出較高的精度水平。

        (2) 相比于傳統(tǒng)的三變量降維近似統(tǒng)計矩點估計法,本文方法能在保證精度的前提下具有更高的效率;

        (3) 雙變量降維近似統(tǒng)計矩點估計法對于兩類整體可靠度問題均具有較高的相對誤差,難以對結(jié)構(gòu)整體可靠度問題進行精確評估。

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