馬君明，李 惠,2，蘭成明，劉彩平

(1. 北京科技大學國家材料服役安全科學中心，北京 100083；2. 哈爾濱工業(yè)大學土木工程學院，黑龍江，哈爾濱 150090；3. 北京科技大學土木與資源工程學院，北京 100083)

隨著社會經濟的發(fā)展，工程結構的安全性日益為人們所關注，土木工程結構可靠度研究的重點是量化結構失效事件中的不確定性[1-2]。不確定性本質上是對各類信息或認識缺失的表現，如表征材料性能、幾何參數、抗力計算模式及作用統(tǒng)計模型的隨機變量都包含不確定性[3]，隨機變量的不確定性可由樣本數據的統(tǒng)計分析進行量化，通過檢測、監(jiān)測及驗證荷載試驗等手段獲取的可減小隨機變量不確定性的額外信息一般稱為觀測信息，結合觀測信息采用Bayesian 理論對隨機變量已有信息進行更新，可以提升對隨機變量不確定性的認知[4-9]，降低不確定性的影響，實現基于觀測信息的結構可靠度更新。

基于觀測信息的可靠度更新求解算法方面，Schall 等[10]提出使用二階矩方法求解條件失效概率分母中的積分常數，但在處理多個觀測信息時，確定聯(lián)合事件域內的“設計點”存在困難，且該近似方法的求解誤差難以定量評估。對于特定荷載作用下結構未發(fā)生失效的條件失效概率，即驗證荷載下的條件失效概率，Der Kiureghian 等[11]采用隨機模擬選擇安全域內的隨機樣本實現可靠度更新，研究未獲取隨機變量后驗的分布特征。Straub 和Der Kiureghian[12-13]首 先 將Bayesian 網絡引入結構可靠度更新，通過對等式觀測信息離散化建立條件概率表進而構建Bayesian 網絡，提出節(jié)點消除算法實現基于Bayesian 網絡的結構可靠度更新。孫鴻賓等[14]在中國較早提出采用Bayesian網絡處理已知檢測信息條件下的可靠度更新，研究中未考慮隨機變量相關性對更新結果的影響。由于Bayesian 網絡在處理相關隨機變量時需要將隨機變量的聯(lián)合分布轉化為隨機變量間的條件分布，轉化過程較為復雜，因此Bayesian 網絡在處理含有相關隨機變量觀測信息的可靠度更新時計算量偏大且計算效率不高。隨機變量后驗概率密度函數分母中的積分常數是結構可靠度Bayesian更新計算的難點，而通過抽樣得到服從后驗分布的隨機樣本可以回避求解積分常數[15-17]。MCMC方法作為一般隨機抽樣方法可用于解決該問題，但是MCMC 算法存在較長的初始波動段，對于多隨機變量概率密度更新問題，其計算量隨著隨機變量數目的增加而急劇增大[18]，且進行統(tǒng)計量估計時，樣本的自相關性會影響估計值的準確性，設置采樣間隔可以降低樣本的自相關性，但計算量顯著增加。理論上拒絕抽樣算法可以很好地解決該問題，拒絕抽樣可產生服從不具有完備形式的概率密度函數(實數域上積分不為1)的隨機樣本，根據目標分布構造相應的樣本接受域，選擇符合目標分布的隨機樣本，實現隨機變量后驗概率密度函數中分子核密度的隨機抽樣[19-22]。

本文首先基于Bayesian 理論建立考慮觀測信息的結構體系失效概率更新模型，根據觀測信息事件類型分別建立不等式和等式觀測信息條件下隨機變量的似然函數并推導其后驗概率密度函數，建立不等式和等式觀測信息條件下的觀測信息域，基于觀測信息域確定隨機變量后驗樣本的拒絕抽樣策略，在理論層面將不等式觀測信息與等式觀測信息統(tǒng)一在結構體系可靠度更新模型中；其次研究拒絕抽樣算法的抽樣效率，推導更新后結構體系失效概率估計值及其標準差的計算公式，形成完整的結構體系可靠度Bayesian 更新模型及其拒絕抽樣策略。以剛架結構發(fā)生塑性破壞體系可靠度更新為例，深入研究抗力檢測值、檢測誤差及驗證荷載對隨機變量后驗概率密度與體系失效概率的影響，并與MCMC 計算結果進行對比，驗證基于拒絕抽樣的體系可靠度更新結果的準確性。

1 結構體系可靠度更新模型

彈塑性結構體系通常以塑性鉸增加，結構轉變?yōu)闄C構定義結構體系失效[23-24]。由于結構體系失效模式數量龐大，一般通過對失效概率較大的顯著失效模式進行研究確定結構體系的失效概率，某一顯著失效模式是由失效單元(構件)組成的并聯(lián)模型，結構體系失效可視為由顯著失效模式組成的串聯(lián)模型[25]。定義第i個顯著失效模式為事件Fi，則結構體系失效事件F為其顯著失效事件Fi的并集，可表示為：

式中，k為結構形成顯著失效模式的個數。則結構體系失效概率Pf(F)可表示為：

式中：f(x) 為隨機變量X={X1,X2,···,Xn}的聯(lián)合概率密度函數； ΩF為失效域[26]。對于串聯(lián)體系，Ditlevsen 推導體系失效概率的窄界估計如下[27]：

式中，Pf(Fi) 為第i個顯著失效模式的失效概率，按降序排列。

結構服役過程中可以通過各種觀測手段獲得影響可靠度隨機變量的觀測信息，根據隨機變量聯(lián)合概率密度函數(先驗概率密度函數)f(x)及隨機變量觀測信息的似然函數L(x)，采用Bayesian理論更新隨機變量的后驗概率密度函數f′(x)[28]：

后文將根據觀測信息似然函數的表達形式將其分為不等式觀測信息和等式觀測信息逐一討論。

1.1 不等式觀測信息的似然函數

不等式觀測信息一般是指觀測到某一確定荷載工況條件下(部分隨機變量取確定值)結構某一特定功能未發(fā)生失效，即所謂“驗證荷載”。這類觀測信息的似然函數可通過功能函數g(x)進行表達，不等式觀測信息的似然函數L1(x)記為：

式中：x0表示某一確定荷載工況條件下部分隨機變量取確定值；I[·]為示性函數：

式中，g(x0)>0和g(x0)≤0分別表示在該確定荷載條件下結構特定功能未失效和失效兩種狀態(tài)。該類觀測信息的似然函數以不等式形式表示，因此稱為不等式觀測信息。

1.2 等式觀測信息的似然函數

等式觀測信息是指通過特定觀測手段獲得結構服役過程中隨機變量X或其函數h(X)的觀測值hm(x) ，獲取的信息必然存在觀測誤差 ε，這類觀測信息的似然函數采用觀測誤差 ε的概率密度函數fε(·)的等式形式表達，因此稱為等式觀測信息。等式觀測信息的似然函數L2(x)記為：

由式(6)和式(8)可以看出，觀測信息的似然函數表征觀測信息的范圍。其中，不等式觀測信息的似然函數為示性函數，提供隨機變量取值范圍的信息；等式觀測信息的似然函數為觀測誤差的概率密度函數，提供隨機變量取值的概率信息。不等式觀測信息一般用于表征荷載隨機變量的觀測信息，而等式觀測信息一般用于表征抗力隨機變量的觀測信息。

2 結構體系可靠度更新的拒絕抽樣算法

理論上，式(4)中隨機變量后驗概率密度函數分母中的積分常數難以通過解析計算獲得，為避免復雜的積分運算，可對式(4)中分子核密度函數進行隨機模擬獲得服從后驗概率密度函數的隨機樣本。通過拒絕抽樣算法獲取服從式(4)的隨機樣本的抽樣策略如下[19]：隨機樣本xˉ服從先驗概率密度函數f(x) ，存在滿足A≥max[L(x)]的任意常數A，若滿足Au≤L(xˉ) ，則隨機樣本xˉ服從后驗概率密度函數f′(x) ，其中，u為(0, 1)均勻分布的隨機數，證明如下：

顯然，常數A與后驗概率密度函數的分母共同決定拒絕抽樣算法的抽樣效率，因為，后者是常數，所以，A在滿足A≥max[L(x)]前提下，應盡可能取接近似然函數上確界的數值以提高拒絕抽樣算法獲取后驗樣本的效率。

定義式(9)中樣本選擇域為觀測信息事件域ΩZ={Au≤L(x)|x,u}，則可靠度更新可表達為觀測信息事件Z條件下的結構失效概率：

體系失效是由其顯著失效模式控制，根據式(11)可以看出，體系可靠度更新過程中假定顯著失效模式未發(fā)生變化。實際觀測信息會導致體系不同失效模式的失效概率發(fā)生變化，因此，更新過程中需要保證可靠度更新前、后所選取的顯著失效模式未發(fā)生變化。

2.1 不等式觀測信息條件下后驗樣本的拒絕抽樣

根據式(4)和式(6)，不等式觀測信息條件下隨機變量X的后驗概率密度函數可表示為：

從不等式觀測信息的后驗概率密度函數可以看出，先驗概率密度函數與似然函數的乘積表示以示性函數重新定義先驗概率密度函數的定義域。采用式(9)的抽樣策略時，由于似然函數為示性函數，其最大值為1，所以A取為1 時，式(9)可表示為：

2.2 等式觀測信息條件下后驗樣本的拒絕抽樣

根據式(4)和式(8)，等式觀測信息條件下隨機變量X的后驗概率密度函數可表示為：

為了獲取服從f′(x)的隨機樣本，可采用式(9)抽樣策略。其中，先驗樣本根據隨機變量的先驗概率密度函數產生，即使隨機變量間存在相關性，也無需確定隨機變量之間的條件概率分布。由于，拒絕抽樣算法需要滿足A≥max[L2(x)]，因此，需要確定似然函數上確界，若A不滿足此要求，則獲取的樣本無效。

觀測信息域 ΩZ是在隨機變量X基礎上加入均勻分布隨機變量u構成的事件域：

由式(16)可知，拒絕抽樣算法將等式觀測信息轉化為不等式觀測信息。

2.3 體系可靠度更新與誤差分析

可以看出，結構體系條件失效概率估計值的標準差是 Pr(Z)的函數，觀測信息事件數量越多，則似然函數對應的觀測信息域交集越小， Pr(Z)減小，對應的條件失效概率估計值的標準差將增大。因此，當觀測信息事件數量較大時，為降低條件失效概率估計值的標準差，需要增加服從先驗概率密度函數隨機樣本的數量。根據式(19)，可得出滿足條件失效概率估計值變異系數VP?f(F|Z)所需的先驗樣本數目ns：

顯然，當 Pr(F∩Z)處于(10-4, 10-3)時，為滿足條件失效概率估計值的變異系數不超過0.1，至少需要先驗樣本的數量達到(105, 106)個，后續(xù)拒絕抽樣隨機模擬過程中先驗樣本數量取為107個。后續(xù)計算分析中，為驗證拒絕抽樣算法模擬的準確性，進一步采用MCMC 算法中的改進Metropolis-Hastings (MH)算法對結構體系的失效概率進行更新[29]。改進MH 算法通過構造穩(wěn)態(tài)分布為目標分布的馬爾可夫鏈生成隨機樣本，其中目標分布為隨機變量的后驗分布，如式(12)和式(15)所示。為便于比較拒絕抽樣算法與改進MH 算法的計算效率，且保證更新后失效概率具有相近的精度，計算時兩種算法均獲取相同的后驗樣本數量，即調用功能函數的次數相同，根據所需抽樣樣本的數量對比拒絕抽樣算法與改進MH 算法的計算效率。

3 單層剛架體系可靠度更新

如圖1 所示某單層剛架受到水平荷載H和豎向荷載V作用，其中5 個關鍵控制截面的塑性抵抗矩Ri(i=1,2,···,5)互為相關的隨機變量，各隨機變量分布類型及參數取值在表1 中給出，具體詳見文獻[11]。

圖1 單層剛架模型及其3 種失效模式Fig. 1 Single-story planar frame and its failure mechanisms

表1 各隨機變量分布類型及分布參數Table 1 Distribution types and parameters for random variables

剛架發(fā)生塑性破壞時3 種顯著失效模式如圖1所示，體系失效是由失效單元和顯著失效模式組成的串-并聯(lián)模型，相應的功能函數及失效域為：

采用直接Monte Carlo 方法計算得到3 種顯著失效模式對應的失效概率分別為：1.016×10-2、1.755×10-3和2.342×10-2，相應結構體系發(fā)生塑性破壞的失效概率為2.644×10-2，根據式(3)估計得到失效概率的界限為(2.639×10-2, 2.647×10-2)。

3.1 不等式觀測信息的可靠度更新

通過驗證荷載對剛架承載能力進行檢測，已知豎向荷載V取v0=100 kN時剛架未失效，則由式(14)與式(21)可確定其不等式觀測信息事件域為ΩZ={∩gi>0|v0=100 kN},(i=1,2,3)。首 先 根據表1 給出的隨機變量分布類型及分布參數生成水平荷載H和截面塑性抵抗矩Ri(i=1,2,···,5)的先驗樣本，根據觀測信息事件域 ΩZ和式(12)計算各隨機變量的后驗概率密度函數，即滿足觀測信息事件域隨機變量的先驗樣本作為該觀測信息條件下隨機變量的后驗樣本。根據拒絕抽樣算法獲得的各截面塑性抵抗矩的先驗、后驗樣本及其概率密度函數(PDF)在圖2 中給出。

從圖2(a)～圖2(e)可以看出，各截面塑性抵抗矩R1、R2、R3、R4和R5的后驗概率密度均向右偏移，剛架在驗證荷載v0=100 kN作用下未失效，各截面塑性抵抗矩取大值的概率增加。根據觀測信息域可知，截面塑性抵抗矩R3對功能函數g2和g3的影響最大，截面塑性抵抗矩R3對驗證荷載v0最敏感，因此，截面塑性抵抗矩R3的后驗概率密度變化最大。從圖2(f)可以看出，水平荷載H的后驗概率密度略向左偏移，即在驗證荷載v0=100 kN 作用下結構未失效，水平荷載H取大值的概率降低。

圖2 不等式信息觀測條件下各隨機變量的先驗和后驗樣本及其概率密度函數Fig. 2 Prior and posterior samples and their PDFs of random variables under inequality observation information condition

由式(17)計算更新后結構體系的失效概率為2.279×10-4，此時根據后驗樣本估計顯著失效模式g1的失效概率等于0，因此采用式(3)得到結構體系失效概率的上、下界限與更新后結構體系的失效概率相同?？梢钥闯?，由于增加觀測信息，即在驗證荷載v0=100 kN作用下結構未失效，更新后結構體系的失效概率與原失效概率相比顯著減小。采用改進MH 算法對結構體系的失效概率進行更新，計算得到失效概率為2.320×10-4，兩種算法得到更新后體系失效概率較接近，但為降低MH 算法后驗樣本的自相關性并獲得與拒絕抽樣相同的后驗樣本數量，MH 算法需要抽樣樣本數量遠大于拒絕抽樣。

3.2 等式觀測信息的可靠度更新

采用相關檢測方法對截面塑性抵抗矩R4和R5進行檢測，得到R4和R5的檢測值分別為r4,m=150 kN·m和r5,m=200 kN·m ，已 知 檢 測 誤 差εRi服從正態(tài)分布 εRi～N(0,15)，i=4,5，即檢測誤差的均值為0，標準差為 15 kN·m ，且R4和R5的檢測誤差互相獨立。根據式(8)，觀測信息的似然函數表示為：

為提高后驗樣本的接受概率，常數A選取似然函數的最大值A=max[Lr4,r5(r4,r5)]=7.074×10-4。圖3 給出1000 個先驗樣本的拒絕抽樣過程，圖中全部數據點為服從先驗概率密度函數的R4、R5的隨機樣本，曲面下方為樣本選擇域：Auˉ≤Lr4,r5(rˉ4,rˉ5)，則曲面下方的數據點即為選擇得到的服從后驗概率密度函數的隨機樣本。各截面塑性抵抗矩的先驗、后驗樣本及其概率密度函數在圖4 中給出。

圖3 拒絕抽樣隨機樣本選擇示意圖Fig. 3 Schematic diagram of rejection sampling for random samples

從圖4(d)和圖4(e)中可看出，由于增加截面塑性抵抗矩R4和R5的觀測信息，因此兩者的后驗概率密度集中于相應的檢測值附近。雖然增加的觀測信息與R4和R5直接相關，但由于各截面塑性抵抗矩的先驗分布是正相關的，使得截面塑性抵抗矩R1、R2和R3的后驗概率密度也發(fā)生變化，相對于先驗概率密度向右偏移，均值略有增大，見圖4(a)～圖4(c)。由于荷載隨機變量V和H與各截面塑性抵抗矩互相獨立，因此，這兩個隨機變量的后驗概率密度不受R4和R5觀測信息的影響。

圖4 等式觀測信息條件下截面塑性抵抗矩的先驗和后驗樣本及其概率密度函數Fig. 4 Prior and posterior samples and their PDFs of resistance moments under equality observation information condition

由式(17)計算得到更新后結構體系的失效概率為6.971×10-3，估計結構體系失效概率的界限為(6.967×10-3, 6.972×10-3)，采用改進的MH 算法獲得更新后結構體系的失效概率為6.900×10-3，兩種算法得到更新后體系失效概率較接近，但為降低MH 算法后驗樣本的自相關性，需要增加其采樣間隔，因此抽樣樣本數量遠大于拒絕抽樣?？梢钥闯?，由于增加觀測信息，截面塑性抵抗矩R5的后驗均值顯著增大，且R4和R5后驗變異性降低，使得更新后結構體系的失效概率顯著降低。

顯然，檢測誤差將對隨機向量后驗概率密度及失效概率產生較大影響，其他條件不變的前提下，以檢測誤差 εRi的標準差 σεR為變量，研究檢測誤差對隨機變量后驗均值、標準差及失效概率的影響，相應結果在圖5 和圖6 中給出。從圖5 中可以看出，隨著截面塑性抵抗矩檢測誤差標準差的增大，R1、R2、R3和R5的后驗均值逐漸減小，由于截面塑性抵抗矩檢測誤差的不確定性增大導致R4和R5的后驗標準差逐漸增大，使得更新后結構體系的失效概率增大(見圖6)。從圖5 可以看出R4的后驗均值隨檢測誤差標準差的增加略有增大，其原因是隨著觀測信息的不確定性增大，隨機變量相關性對其后驗分布影響增大，導致其后驗均值略有增大。從上述分析可以看出，為獲取更有價值的觀測信息更新隨機變量的后驗分布，進而更新結構體系的失效概率，必須嚴格控制相關檢測誤差的標準差，否則觀測信息不確定性增大對結構體系失效概率的更新沒有實際意義。

圖5 檢測誤差標準差對隨機變量后驗參數的影響Fig. 5 Influences of standard deviation for detection error on parameters of posterior distribution for random variables

圖6 檢測誤差標準差對更新后結構體系失效概率的影響Fig. 6 Influences of standard deviation for detection error on updated failure probabilities

4 雙層剛架體系可靠度更新

某雙層剛架計算簡圖如圖7 所示，各桿件的塑性抵抗矩M1、M2、···、M5及荷載S1、S2、···、S4均為相互獨立的正態(tài)隨機變量，相應分布參數見表2。根據文獻[30]，該雙層剛架的8 種顯著塑性失效模式的功能函數及失效域如下：

表2 各隨機變量分布參數Table 2 Parameter values of random variables

圖7 雙層剛架計算簡圖 /mFig. 7 Schematic diagram of two-story planar frame

采用直接Monte Carlo 方法計算結構體系發(fā)生塑性破壞的失效概率為3.971×10-2，相應界限估計為(3.823×10-2, 4.058×10-2)。

4.1 不等式觀測信息的可靠度更新

已知驗證荷載S1、S2和S3分別為s1,0=200 kN、s2,0=120 kN和s3,0=150 kN時剛架未失效，則其觀測信息事件域 ΩZ根據式(14)和式(23)確定，拒絕抽樣過程詳見3.1 節(jié)，拒絕抽樣算法獲得的各桿件塑性抵抗矩的先驗、后驗樣本及其PDF 在圖8中給出。從圖8 可以看出，M1、M2、M3、M4和M5的概率密度略向右偏移，而S4的概率密度向左偏移，由于在該驗證荷載條件下結構未發(fā)生失效，說明表征抗力的隨機變量取大值的概率增加，荷載S4取大值的概率降低。獲取后驗樣本后，采用拒絕抽樣算法更新后結構體系失效概率為1.761×10-3，估計結構體系失效概率的界限為(1.756×10-3, 1.768×10-3)，更新后結構體系的失效概率顯著減小。采用改進的MH 算法獲得更新后結構體系的失效概率為1.764×10-3，但為降低MH算法后驗樣本的自相關性，需要增加其采樣間隔，因此抽樣樣本數量遠大于拒絕抽樣。

圖8 不等式信息觀測條件下各隨機變量的先驗和后驗樣本及其概率密度函數Fig. 8 Prior and posterior samples and their PDFs of random variables under inequality observation information condition

4.2 等式觀測信息的可靠度更新

采用相關檢測方法對桿件塑性抵抗矩M1和M3進行檢測，得到M1和M3的檢測值分別為m1,m=120 kN·m和m3,m=110 kN·m，已知檢測方法的檢測誤差 εMi服從正態(tài)分布 εMi～N(0,10)，且檢測誤差互相獨立，則觀測信息的似然函數與式(22)類似。根據拒絕抽樣算法獲得M1和M3的先驗、后驗樣本及其概率密度函數在圖9 中給出，由于各隨機變量相互獨立，因此觀測信息僅影響M1和M3的后驗概率密度，同時M1和M3的先驗概率密度相同，而M1的檢測值比M3的檢測值大，在相同檢測誤差條件下，M1的后驗概率密度相比于M3更趨向取大值，從圖9 中可以清晰看到這點。采用拒絕抽樣算法更新后結構體系的失效概率為3.862×10-3，相應上、下界限為(3.662×10-3, 3.956×10-3)。采用改進MH 算法獲得更新后結構體系的失效概率為3.899×10-3，兩種算法得到的更新后體系失效概率較接近。僅改變抗力檢測誤差的標準差 σεM，隨機變量后驗均值和標準差隨檢測誤差標準差的變化曲線在圖10 中給出，相應更新后結構體系失效概率及其界限估計在圖11中給出。

圖9 等式觀測信息條件下隨機變量的先驗和后驗樣本及其概率密度函數Fig. 9 Prior and posterior samples and their PDFs of random variables under equality observation information condition

從圖10 可以看出，隨著檢測誤差的標準差增大，M1和M3的后驗均值逐漸減小，后驗標準差逐漸增大，這是由于檢測誤差的標準差增大，觀測信息的不確定性增大，M1和M3先驗信息的影響增大，其后驗分布逐漸趨向先驗分布。顯然，M1和M3的后驗均值減小且標準差增大，導致更新后的失效概率逐漸增大(如圖11 所示)。由于隨機變量M1和M3的先驗分布及似然函數均為正態(tài)分布，且相互獨立，根據共軛性質可知其后驗分布依然服從正態(tài)分布，其后驗標準差 σ′M是 σM和 σεM的函數[31]：

圖10 檢測誤差的標準差對隨機變量后驗參數的影響Fig. 10 Influences of standard deviation for detection error on parameters of posterior distribution for random variables

圖11 抗力檢測誤差標準差對結構體系失效概率的影響Fig. 11 Influences of standard deviation for detection error on updated failure probability

已知M1和M3的先驗標準差 σM相同，檢測誤差的標準差 σεM亦相同，由式(24)得出M1和M3后驗標準差也應該相同。圖10 采用拒絕抽樣得到的M1和M3后驗標準差幾乎完全相同，進一步驗證了拒絕抽樣算法的準確性。

5 結論

本文著重研究基于觀測信息的結構體系可靠度更新模型及其拒絕抽樣算法?；贐ayesian 理論建立結構體系可靠度更新模型，進一步根據觀測信息事件類型建立不等式和等式觀測信息的隨機變量似然函數及其后驗概率密度函數，確定觀測信息域及后驗樣本的拒絕抽樣策略，估計拒絕抽樣算法的抽樣效率，推導更新后結構體系失效概率估計值及其標準差的表達式。以剛架結構塑性失效為例研究不同觀測信息對隨機變量后驗概率密度及體系失效概率的影響。得到如下主要結論：

(1) 不等式與等式觀測信息的區(qū)別在于觀測信息似然函數的形式不同，不等式觀測信息對應的是示性函數，提供隨機變量取值范圍信息，而等式觀測信息對應的似然函數是概率密度函數，提供隨機變量取值的概率信息，拒絕抽樣算法最終將等式觀測信息轉化為不等式觀測信息進行處理，根據先驗樣本滿足相應觀測事件域實現后驗樣本的抽樣。

(2) 為提高等式觀測信息后驗樣本的接受率，需要控制拒絕抽樣算法中常數A盡可能取等大于觀測信息似然函數上確界的某一小值。

(3) 拒絕抽樣算法與改進MH 算法計算得到的更新后結構體系失效概率較為接近，但拒絕抽樣無需考慮后驗樣本的自相關性，可以顯著提高抽樣效率。

(4) 與抗力相關的隨機變量檢測值提高可以降低更新后結構體系的失效概率，但需要降低檢測誤差的標準差，以減小隨機變量后驗分布的變異性，否則觀測信息不確定性增大導致失效概率的更新沒有實際意義。

(5) 驗證荷載值增加可以顯著降低更新后結構體系的失效概率，此時與相應驗證荷載較敏感的表征抗力的隨機變量后驗概率密度變化較顯著。