楊自友，程長清，孫天宇，俞 凡，楊 明

(安徽建筑大學(xué) 土木工程學(xué)院，安徽 合肥 230601)

0 引 言

目前，水工隧洞最小覆蓋層厚度的計算準(zhǔn)則主要有水力劈裂準(zhǔn)則、初始應(yīng)力場最小主應(yīng)力準(zhǔn)則、雪山準(zhǔn)則、挪威準(zhǔn)則等，但這些計算準(zhǔn)則均不適用于深埋水工隧洞的計算。由巖體的彈塑性理論可知，當(dāng)水工隧洞內(nèi)水壓力過大時，內(nèi)部巖體會出現(xiàn)塑性變形，水工隧洞最小覆蓋層厚度可由塑性區(qū)半徑轉(zhuǎn)換得到，但該理論未考慮外水[1]、襯砌等因素對最小覆蓋層厚度的影響；榮傳新等[2]假設(shè)襯砌內(nèi)壁處滲透水壓力為0，基于流固耦合理論進行煤礦立井彈塑性力學(xué)分析，但實際上，透水的混凝土襯砌材料的內(nèi)壁處滲透水壓力往往不為0，該模型未考慮內(nèi)水壓力對塑性區(qū)的影響，同時未考慮巖體與襯砌滲透系數(shù)對塑性區(qū)分布的影響；張常光[3]提出了基于統(tǒng)一強度理論計算施工期和運行期水工隧洞應(yīng)力和位移的方法，但在計算塑性區(qū)彈性應(yīng)變時，該方法考慮彈性應(yīng)變?yōu)槌Ａ壳椅催M行最小覆蓋層厚度計算；王睢等[4]、李宗利等[5]分別采用D-P準(zhǔn)則、M-C準(zhǔn)則計算了水工隧洞的彈塑性解，但計算中未考慮襯砌、巖土體剪脹性等因素對塑性區(qū)的影響；S. K. SHARAN[6]、蔡海兵等[7]、C. CARRANZ-TORRES等[8]提出了基于廣義Hoek-Brown準(zhǔn)則的巖土體位移計算模型，分析了考慮巖土體剪脹與否的塑性區(qū)位移變化規(guī)律，但該模型也不能反映水工隧洞在不同內(nèi)水壓力下引起的圍巖塑性區(qū)變化；范浩等[9]、張常光等[10]利用統(tǒng)一強度理論分析了滲流情況下隧洞的穩(wěn)定性；漆江等[11]將外水壓力視為體積力分析了圍巖的穩(wěn)定性；趙均海等[12]、潘繼良等[13]分別基于滲流和不同強度理論分析了圍巖的穩(wěn)定性。

筆者分別采用Drucker-Prager(D-P)準(zhǔn)則和統(tǒng)一強度理論，考慮滲流[14-15]、剪脹性[16-17]、襯砌等因素，并將塑性區(qū)彈性應(yīng)變視為變量，計算了水工隧洞最小覆蓋層厚度h，分析了滲透系數(shù)k、中間主應(yīng)力[18]系數(shù)n、強度參數(shù)c、φ等對于最小覆蓋層厚度h[19]的影響。

1 統(tǒng)一強度理論與D-P準(zhǔn)則

1.1 統(tǒng)一強度理論

統(tǒng)一強度理論同時考慮了單元體上所受到的正應(yīng)力與剪應(yīng)力對材料破壞的貢獻，其數(shù)學(xué)表達式如式(1)、式(2)：

(1)

(2)

式中：b為反映中間主剪應(yīng)力及相應(yīng)面上正應(yīng)力對材料屈服或破壞影響程度的系數(shù)；c為材料的黏聚力，MPa；φ為材料的內(nèi)摩擦角，(°)；σ1、σ2、σ3分別為最大、中間、最小主應(yīng)力，MPa。

當(dāng)b=0時，統(tǒng)一強度理論可退化為Mohr-Coulomb準(zhǔn)則；當(dāng)b=1時，可退化為雙剪強度準(zhǔn)則；當(dāng)0

對于塑性巖體中的平面應(yīng)變問題，由文獻[3]可知：

(3)

于是，統(tǒng)一強度理論數(shù)學(xué)表達式可轉(zhuǎn)化為

(4)

筆者提出水工隧洞最小覆蓋層厚度的要求，主要是為了防止內(nèi)水壓力過大導(dǎo)致上部巖體被掀起。水工隧洞在輸水運行過程中，大主應(yīng)力為環(huán)向應(yīng)力σθ，小主應(yīng)力為徑向應(yīng)力σr[5]，因此分析過程中取σ1=σθ，σ2=σr，有

σθ-Aσr=B

(5)

式中：A=[2(1+sinφ)(1+b)-b(1-sinφ)]/[(b+2)(1-

sinφ)]；B=[4ccosφ(1+b)]/[(1-sinφ)(b+2)]。

1.2 D-P準(zhǔn)則

D-P準(zhǔn)則同時考慮應(yīng)力偏張量第二不變量與應(yīng)力張量第一不變量，建立符合巖土體的圓錐形屈服曲面，其數(shù)學(xué)表達式如(6)、式(7)：

(6)

(7)

引入反映σ1、σ2、σ3之間關(guān)系的中間主應(yīng)力系數(shù)n〔n=(σ2-σ3)/(σ1-σ2)〕，由σ1≥σ2≥σ3可知：0≤n≤1，于是

σ2=nσ1+(1-n)σ3

(8)

將式(8)代入式(7)，得

I1=(1+n)σ1+(2-n)σ3

于是，D-P準(zhǔn)則可簡寫為

σθ-Cσr=D

(9)

2 基于統(tǒng)一強度理論的有壓隧洞最小覆蓋層厚度計算

2.1 基本假定

①隧洞為連續(xù)、均勻、各向同性的理想彈塑性體；

②隧洞為圓形，無限長；

③忽略隧洞影響范圍內(nèi)的巖體自重；

④原巖應(yīng)力為各向等壓狀態(tài)；

⑤襯砌為理想彈性材料。

簡化后有壓水工隧洞彈塑性區(qū)分布模型如圖1。

r0、r1分別為襯砌的內(nèi)、外半徑，m；r2為塑性區(qū)半徑，m；Rc為當(dāng)隧洞圍巖穩(wěn)定滲流的外水壓力與原始滲流外水壓力相同時的半徑，m；R0為水工隧洞中心到地面的距離，m；p0為襯砌內(nèi)水壓力，MPa；pm為r0處的滲流外水壓力，MPa；pi為原始滲流外水壓力，MPa。 圖1 有壓水工隧洞彈塑區(qū)分布Fig. 1 Elastic-plastic zone distribution of pressurized hydraulic tunnel

2.2 滲流場分析

根據(jù)地下水連續(xù)方程及達西定律，滲流微分方程如式(10)：

(10)

pw按式(11)或式(12)計算[1]：

(11)

(12)

式中：pw為滲流體積力，MPa；kc、kd分別為混凝土襯砌與圍巖的滲透系數(shù)， cm/s；其他符號同前。

2.3 圍巖應(yīng)力分析

力的平衡方程為[2]

(13)

而考慮滲流的統(tǒng)一強度理論為

(σθ+ηpw)-A(σr+ηpw)=B

(14)

將式(14)、式(12)代入式(13)，得到

(15)

求解式(15)得：

(16)

考慮邊界條件

(17)

求得

(18)

從而，得到塑性區(qū)應(yīng)力分布解析解表達式

(19)

(20)

(21)

(22)

當(dāng)r=r2時，彈性區(qū)應(yīng)力同樣滿足式(14)，考慮彈塑性界面上的應(yīng)力連續(xù)，有

(23)

(24)

2.4 圍巖塑性區(qū)位移分析

考慮圍巖的剪脹性，同時考慮塑性區(qū)彈性應(yīng)變?yōu)樽兞?，則塑性區(qū)位移為[7]

(25)

2.5 混凝土襯砌應(yīng)力分析

工程實際中，二次混凝土襯砌不允許出現(xiàn)塑性破壞，故按照完全彈性體對襯砌進行計算。

幾何方程：

(26)

本構(gòu)方程：

(27)

將式(26)代入式(27)，再聯(lián)合式(11)，一并代入式(13)，得

(28)

對式(28)進行積分，得

(29)

將式(29)代入式(26)，再代入式(27)，得

(30)

考慮邊界條件

(31)

求解得到C2、C3：

(32)

(33)

將式(32)、式(33)代入式(29)中，令r=r1，β=(1 + sinψ)/(1-sinψ)，聯(lián)立式(29)，可求得p1；再根據(jù)式(24)，可求得塑性區(qū)半徑r2。

最小覆蓋層厚度h按式(34)計算[19]：

h=ωr2-r1

(34)

3 基于D-P準(zhǔn)則的有壓隧洞最小覆蓋層厚度計算

(35)

(36)

(37)

(38)

4 案例分析

根據(jù)文獻[3]，某水工隧洞半徑r1=2.5 m。圍巖力學(xué)參數(shù)Ed=20 000 MPa，μd=0.3，c=0.1 MPa，φ=28°，地應(yīng)力q=1.0 MPa，剪脹系數(shù)β=1，圍巖滲透系數(shù)kd=5.0×10-4cm/s。混凝土襯砌內(nèi)半徑r0=2 m，外半徑為r1=2.5 m，襯砌相關(guān)參數(shù)為Ec=30 000 MPa，μc=0.15，混凝土襯砌滲透系數(shù)kc=1.0 × 10-7cm/s。襯砌承受內(nèi)水壓力p0=6 MPa。其他相關(guān)參數(shù)pi=1.0 MPa，pm=0.5 MPa，η=1.0，由鉆孔實驗及抽水試驗知Rc=8r1。

據(jù)分析，由統(tǒng)一強度理論求解的最小覆蓋層厚度h受β，kd/kc，b，c，φ等因素影響；由D-P準(zhǔn)則計算的最小覆蓋層厚度h受β，kd/kc，n，c，φ等因素影響。

4.1 剪脹系數(shù)對最小覆蓋層厚度影響

當(dāng)c=0.1 MPa，φ=28°，混凝土滲透系數(shù)kc不變，中間主應(yīng)力系數(shù)n=0.5時，剪脹系數(shù)β對最小覆蓋層厚度h的影響曲線如圖2。

圖2 β-h的關(guān)系曲線Fig. 2 Relationship curves of β-h

由圖2可以看出：

1)隨著β的增大，無論是采用D-P準(zhǔn)則還是統(tǒng)一強度理論，計算得到的h值均逐漸增大。

2)當(dāng)β=2.0～2.2，兩條曲線相交，說明此時兩者h值一致，在此點，剪脹系數(shù)對兩種理論計算結(jié)果的影響是一致的。

3)當(dāng)β=1.0→2.77，采用D-P準(zhǔn)則，計算的h值從2.92 m變化到5.27 m，相差2.35 m，增大了約80.5%；采用統(tǒng)一強度理論，計算的h值從3.08 m變化到5.20 m，相差2.12 m，增大了約68.8%。兩種理論計算結(jié)果均表明：剪脹系數(shù)β對最小覆蓋層厚度計算結(jié)果影響較大，且在剪脹系數(shù)增大相同時，采用D-P準(zhǔn)則計算的結(jié)果增大更快。

4.2 滲透系數(shù)比對最小覆蓋層厚度影響

當(dāng)c=0.1 MPa，φ=28°，β=2.0，n=0.5時，圍巖與混凝土襯砌滲透系數(shù)比kd/kc對最小覆蓋層厚度h的影響曲線如圖3。

圖3 kd/kc-h的關(guān)系曲線Fig. 3 Curves of kd/kc-h

由圖3可以看出：

1)在kd/kc=0→5階段，采用兩種理論計算的h值均急速減小。采用D-P準(zhǔn)則計算的h值從5.22 m變化到3.70 m，相差1.52 m，減小了29.2%；采用統(tǒng)一強度理論計算的h值從5.02 m變化到3.93 m，相差1.09 m，減小了21.7%。此階段，kd/kc越大，h值越小。

2)在kd/kc=5→500階段，h值逐漸增大。

3)在kd/kc=500→5 000階段，隨著kd/kc的增大，h值幾乎無太大變化，兩種理論計算結(jié)果約為4.60 m。

4) 當(dāng)不考慮滲流時(η=0)，采用D-P準(zhǔn)則與采用統(tǒng)一強度理論計算的最小覆蓋層厚度分別為8.92、8.42 m，比kd/kc=500→5 000階段即考慮滲流場情況下的最小覆蓋層厚度分別增大了93.91%、83.04%?？梢姴豢紤]滲流場時，巖體有效應(yīng)力增大，相當(dāng)于增大了最小覆蓋層厚度。因此在計算中不能忽略外水對最小覆蓋層厚度影響。

4.3 強度參數(shù)對最小覆蓋層厚度影響

當(dāng)滲透系數(shù)比kd/kc不變，中間主應(yīng)力系數(shù)n=0.5，剪脹系數(shù)β=2，其他參數(shù)不變時，巖石強度參數(shù)與最小覆蓋層厚度h的關(guān)系曲線如圖4。

圖4 h-c、h-φ的關(guān)系曲線Fig. 4 Relationship curves of h-c, h-φ

由圖4可以看出：

1) 隨著c的增大，兩種理論計算的h值均呈現(xiàn)線性減小趨勢。

2) 當(dāng)φ=22° → 40°時，采用統(tǒng)一強度理論計算，h=4.61 m→ 4.74 m，增長率為2.82%；采用D-P準(zhǔn)則計算，h值先減小后增大，曲線呈現(xiàn)下凹的特點，當(dāng)φ=26°時，h值達到最小。

綜上，在設(shè)計中，應(yīng)選取c值較大而φ≈26°的巖層，這樣能夠有效地減小最小覆蓋層厚度。

4.4 中間主應(yīng)力系數(shù)對最小覆蓋層厚度影響

當(dāng)c=0.1 MPa，φ=28°，滲透系數(shù)比kd/kc不變，剪脹系數(shù)β=2時，中間主應(yīng)力系數(shù)n與最小覆蓋層厚度h的關(guān)系曲線如圖5。由圖5可以看出：

1)隨著中間主應(yīng)力系數(shù)n的增大，統(tǒng)一強度理論計算的h值逐漸增大。

2)D-P準(zhǔn)則計算的h值先減小后增大，表明D-P準(zhǔn)則計算結(jié)果更符合實際情況。曲線在中間主應(yīng)力系數(shù)n=0.3、0.7附近出現(xiàn)拐點，體現(xiàn)了中間主應(yīng)力的區(qū)間性。

圖5 h-n的關(guān)系曲線Fig. 5 Relationship curves of h-n

5 結(jié) 論

1) 分別推導(dǎo)了采用統(tǒng)一強度理論和D-P準(zhǔn)則，考慮滲流、襯砌模型的最小覆蓋層厚度計算公式。由統(tǒng)一強度理論求得的理論解可以衍生出許多其他解：當(dāng)b=0時，統(tǒng)一強度理論可退化為M-C準(zhǔn)則計算結(jié)果；當(dāng)b=1時，可退化為雙剪強度準(zhǔn)則計算結(jié)果；當(dāng)b=0～1時，可得到一系列新解答；當(dāng)η=0時，可得到不考慮滲流的計算結(jié)果；當(dāng)β=1.0時，可得到不考慮巖體剪脹性的解答。

2) 隨著巖體內(nèi)摩擦角φ的增大，采用統(tǒng)一強度理論計算的h值逐漸增大，采用D-P準(zhǔn)則計算的h值先減小后增大；隨著黏聚力c的增大，無論采用D-P準(zhǔn)則還是統(tǒng)一強度理論計算，h值均逐漸減小。因此，設(shè)計中應(yīng)盡量取c較大而φ≈ 26°的巖體。

3) 隨著剪脹系數(shù)β的增大，兩種理論計算的h值均逐漸增大；當(dāng)β=2.0～2.5時，兩種理論計算的h值較為接近；隨著中間主應(yīng)力系數(shù)n的增大，采用統(tǒng)一強度理論計算的h值增大，而采用D-P準(zhǔn)則計算的h值出現(xiàn)波動，體現(xiàn)了中間主應(yīng)力的區(qū)間效應(yīng)。

4) 當(dāng)巖體與襯砌滲透系數(shù)的比kd/kc相差較大時，最小覆蓋層厚度無太大變化；當(dāng)不考慮滲流時，最小覆蓋層厚度較考慮滲流時出現(xiàn)較大的波動。因此，設(shè)計中宜控制kd/kc≈500。