張孟健，王德光，2，汪 敏，楊 靖，2*

（1.貴州大學電氣工程學院，貴陽 550025；2.貴州省互聯(lián)網(wǎng)+協(xié)同智能制造重點實驗室（貴州大學），貴陽 550025）

0 引言

典型的工程設計問題，如管柱設計、拉力/壓縮彈簧和壓力容器設計［1-2］可以用非線性規(guī)劃（NonLinear Programming，NLP）［3］來表述，其數(shù)學模型可表述如下：

其中：X表示決策變量且X=(X1，X2，…，Xn)T；f（X）表示目標函數(shù)；gi(X)表示不等式約束；lbj、ubj分別表示決策變量Xj取值的上邊界和下邊界。

對于非線性規(guī)劃問題中，包含了不等式約束問題、等式約束問題，以及混合式問題。針對解決不等式約束的工程優(yōu)化問題，粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法［4］、布谷鳥算法、灰狼優(yōu)化算法等仿生智能優(yōu)化算法取得顯著的成效。

自PSO 算法、遺傳算法（Generic Algorithm，GA）［5］、蟻群優(yōu)化（Ant Colony Optimization，ACO）算法［6］等智能優(yōu)化算法提出以來，智能優(yōu)化算法在較多的領域得到了廣泛的應用，如：工程優(yōu)化、粒子濾波、多目標優(yōu)化等。在2010—2020 年近10 年期間，許多新的仿生智能優(yōu)化算法被提出，如：蝙蝠算法（Bat Algorithm，BA）［7］、布谷鳥搜索（Cuckoo Search，CS）算法［8］、灰狼優(yōu)化（Grey Wolf Optimizer，GWO）算法［9］等。在近2018—2020 年期間，群體智能優(yōu)化算法作為人工智能領域的一個小的分支，得到了較大的發(fā)展。

本文選擇了發(fā)表于2019—2020 年間的6 種新型仿生智能優(yōu)化算法進行分析研究，即哈里斯鷹優(yōu)化（Harris Hawks Optimization，HHO）算法［10］、平衡優(yōu)化（Equilibrium Optimizer，EO）算法［11］、海洋捕食者算法（Marine Predators Algorithm，MPA）［12］、政治優(yōu)化（Political Optimizer，PO）算法［13］、黏液霉菌算法（Slime Mould Algorithm，SMA）［14］、堆陣優(yōu)化（Heap-Based Optimizer，HBO）算法［15］。首先對多個基準函數(shù)進行測試，分析它們的尋優(yōu)性能；然后將6 種優(yōu)化算法應用于3 種工程優(yōu)化問題；最后對這6 種算法未來的研究方向進行展望。

1 相關的優(yōu)化算法描述

1.1 HHO算法

HHO 算法的靈感來自哈里斯鷹探索獵物、突襲的不同攻擊策略［10］。該算法是基于種群的無梯度優(yōu)化技術，由于捕獵場景的動態(tài)性質和獵物的逃跑模式的多樣性，哈里斯鷹可以根據(jù)實際情況選擇追捕方式，即建立合理的模型，HHO算法可應用于任何最優(yōu)化問題。

在尋優(yōu)的過程中，HHO 算法主要有以下階段：探索階段（Exploration phase）、從勘探到開發(fā)的過渡階段（Transition from exploration to exploitation）、突襲階段（Exploitation phase）；獵物逃逸的能量參數(shù)E采用線性控制策略，且能量參數(shù)初始值E0的取值范圍為［-1，1］，在突襲階段，根據(jù)參數(shù)E的取值可分為：軟圍困和硬圍困兩種。即當|E|≥0.5 時，進行軟圍困；當|E|<0.5 時，進行硬圍困。

文獻［16］提出了一種改進的哈里斯鷹優(yōu)化算法，用于優(yōu)化室內(nèi)到達時差（Time Difference of Arrival，TDOA）定位問題；文獻［17］針對參數(shù)E提出了多種不同的改進策略，提高HHO 算法求解優(yōu)化問題的尋優(yōu)能力和精度。

1.2 EO算法

EO 算法是一種基于控制容積強混合型動態(tài)質量平衡，從而估計平衡狀態(tài)的物理啟發(fā)式算法［11］。EO 算法的原理可簡述為：首先，由四個最佳粒子的濃度算數(shù)平均值組成平衡池；其次，通過質量平衡方程不斷更新粒子濃度來達到尋優(yōu)的效果。在EO 算法的尋優(yōu)過程中，生成概率（Generation Probability，GP）作為調(diào)節(jié)參數(shù)來控制參與概率濃度更新的發(fā)生率。

文獻［18］將EO 算法應用于含高比例風光新能源電網(wǎng)無功優(yōu)化問題，并取得了較好的效果；針對多級閾值處理精度差、速度慢等問題，文獻［19］提出一種自適應均衡優(yōu)化算法用于優(yōu)化多級閾值優(yōu)化。

1.3 MPA

MPA 是基于捕食Lévy 游走策略和海洋捕食者的布朗運動以及捕食者對獵物生物覓食行為的仿生智能優(yōu)化算法［12］。根據(jù)捕食者的覓食行為，MPA 的尋優(yōu)過程主要有5 個方面：1）海洋捕食者對獵物、捕食者豐富區(qū)域分別采用Lévy游走策略和布朗游走，即算法采用Lévy 策略進行初始化；2）覓食時捕食者的Lévy 和布朗游走策略的比例相同，即算法的尋優(yōu)過程；3）水域渦流或魚類聚集裝置（Fish Aggregating Devices，F(xiàn)ADs）效應會對捕食者的覓食行為產(chǎn)生影響，即算法尋優(yōu)過程的調(diào)節(jié)機制；4）捕食者與獵物運動速度不同時，捕食者會采用不同的覓食策略，即選擇不同的尋優(yōu)策略（局部搜索或全局搜索）；5）捕食者有著良好的記憶，且會提醒同類成功覓食的區(qū)域，即算法根據(jù)適應度值更新位置。文獻［20］針對水文預測預報問題中的徑流預測，提出了一種混合MPA 的自適應神經(jīng)模糊推理系統(tǒng)的預測方法；文獻［21］提出一種自適應變異策略的MPA，用于光伏參數(shù)的識別，進而提高識別精度。

1.4 PO算法

PO 算法是一種基于政治激勵的新型優(yōu)化算法［13］。PO算法的結構主要有五個階段，包括：政黨組建和選區(qū)分配（Party formation and constituency allocation）、選舉活動（Election campaign）、政黨轉換（Party switching）、政黨間選舉（Inter-party election）和議會事務（Parliamentary affairs）。在PO 算法的尋優(yōu)過程中，政黨組建和選區(qū)分配階段作為初始化，其余四個階段循環(huán)執(zhí)行至最大迭代次數(shù)或尋優(yōu)精度。

文獻［22］提出了一種基于基因表達數(shù)據(jù)的二元政治優(yōu)化器來解決特征選擇問題，并對多組生物數(shù)據(jù)進行分類。

1.5 SMA

SMA 主要是一種模擬黏菌在覓食過程中的行為和形態(tài)變化的仿生智能優(yōu)化算法［14］。在SMA 中，使用權重來模擬黏菌在覓食過程中產(chǎn)生的正負反饋，從而形成三種不同的形態(tài)，即接近食物（Approach food）、包圍食物（Wrap food）、擺動（Oscillation）。文獻［23］針對光伏電池的單二極管模型和雙二極管模型，提出了一種基于自適應策略的SMA 的參數(shù)估計方法。

1.6 HBO算法

HBO 算法是受企業(yè)中的等級結構（Corporate Rank Hierarchy，CRH）啟發(fā)而提出的一種新型優(yōu)化算法［15］。該算法的過程可分為四個步驟：1）對企業(yè)等級結構（CRH）建模；2）對下屬與直接上司之間的互動進行數(shù)學建模；3）建立同事間互動的數(shù)學模型；4）員工為完成一項任務而作出的自我貢獻。

1.7 分析小結

上述的6 種優(yōu)化算法，按其性質可以分為三類：1）基于動物、生物等覓食行為的群智能優(yōu)化算法（即HHO 算法、MPA、SMA）；2）基于社會行為的仿生智能優(yōu)化算法（即PO 算法、HBO 算法）；3）基于物理性質的仿生智能優(yōu)化算法（即EO算法）。

從6 種算法的結構上可知，HHO 算法、EO 算法和MPA 在尋優(yōu)的機制上相近，均具有記憶性能；PO 算法是根據(jù)政治選舉的特征，建立合理的模型即能達到尋優(yōu)的效果；SMA 是一種基于生物覓食行為的優(yōu)化算法，由于在尋優(yōu)時會在多個機制間轉換，增加尋優(yōu)的時間；而HBO 算法在結構上是基于企業(yè)等級結構（CRH）的建模，并不能從理論上保證該結構的優(yōu)越性。

2 實驗與結果分析

為了分析6 種算法的尋優(yōu)能力，選擇了如表1 所示的10種基準測試函數(shù)。各算法的參數(shù)設置如表2 所示，迭代次數(shù)為1 000，維度為50，種群規(guī)模設為25，每個測試函數(shù)獨立尋優(yōu)30 次。此外，尋優(yōu)仿真測試的實驗環(huán)境：Windows 7 操作系統(tǒng)，Intel Core i5-4210U CPU @2.4 GHz，4 GB 內(nèi)存，Matlab 2018a。

表1 基準測試函數(shù)Tab.1 Benchmark functions

表2 參數(shù)設置Tab.2 Parameter setting

對6 種算法的尋優(yōu)性能及其有效性，本文設計了2 組對比實驗：1）6 種優(yōu)化算法對10 種基準測試函數(shù)（5 個單峰函數(shù)、5 個多峰函數(shù)）進行尋優(yōu)仿真；2）對3 種不等式約束的工程優(yōu)化問題進行應用比較。

2.1 算法復雜度

由于測試平臺的不同，同一優(yōu)化算法的尋優(yōu)消耗時間也會不同。因此，須對算法的結構進行分析，6 種優(yōu)化算法的計算復雜度詳見表3。表3 中：N表示算法的種群數(shù)量；T表示算法的迭代次數(shù)；D表示求解問題的維度；Cobj表示目標函數(shù)的代價。

表3 不同算法的復雜度對比Tab.3 Complexity comparison of different algorithms

2.2 尋優(yōu)結果

統(tǒng)計理論在群體智能優(yōu)化算法性能分析中有著廣泛的運用。為了驗證選擇的6 種優(yōu)化算法的性能，針對同一基準函數(shù)獨立尋優(yōu)測試30 次。尋優(yōu)結果的統(tǒng)計值包括：最優(yōu)值（Best）、最差值（Worst）、平均值（Mean）、標準差（Standard deviation，STD）、尋優(yōu)時間和中位數(shù)（Median），如表4～5 所示。表4～5 中：除尋優(yōu)時間外，加粗字體綜合考慮了對比算法的尋優(yōu)性能；尋優(yōu)時間僅考慮對比算法的搜索時間。

從表4 中可以看出，對于單峰測試函數(shù)F1～F5的尋優(yōu)仿真，除函數(shù)F1和F3外，PO 算法的尋優(yōu)結果均優(yōu)于其他5 種群智能優(yōu)化算法；對于F1和F3，SMA 雖然能和PO 算法達到同樣的尋優(yōu)值，但是尋優(yōu)時間遠遠比PO 算法長，即SMA 的收斂速度差。

表4 基準測試函數(shù)尋優(yōu)結果（單峰）Tab.4 Results of benchmark functions（unimodal）

從表5 中可以看出，針對測試函數(shù)F6的尋優(yōu)，HHO 算法均優(yōu)于其他5 種優(yōu)化算法；針對測試函數(shù)F7的尋優(yōu)，HHO 算法、PO 算法及SMA 能夠達到同樣的尋優(yōu)精度，但SMA 的尋優(yōu)時間最長，即收斂速度差；針對測試函數(shù)F8的尋優(yōu)，除HBO 算法外，其他5 種優(yōu)化算法均能達到最優(yōu)的尋優(yōu)值，EO算法的尋優(yōu)時間較短，SMA 的尋優(yōu)時間較長；針對測試函數(shù)F9和F10的尋優(yōu)，PO 算法的尋優(yōu)結果在6 種優(yōu)化算法中最佳，此外，HBO 算法的尋優(yōu)時間較短，但兩個函數(shù)均沒有達到最佳的尋優(yōu)值。

表5 基準測試函數(shù)尋優(yōu)結果（多峰）Tab.5 Results of benchmark functions（multimodal）

為了說明6 種優(yōu)化算法的收斂速度，對10 種測試函數(shù)的尋優(yōu)過程曲線如圖1～2 所示。圖1（a）～（e）分別表示對比算法對5 種單峰測試函數(shù)的尋優(yōu)曲線趨勢；圖2（a）～（e）分別表示對比算法對5 種多峰測試函數(shù)的尋優(yōu)曲線趨勢。橫坐標表示對比算法的最大迭代次數(shù)，均為1 000；縱坐標表示對測試函數(shù)的尋優(yōu)值的對數(shù)（lg）。

圖1 六種算法的尋優(yōu)曲線比較（單峰）Fig.1 Comparison of convergence curves of six algorithms（unimodal）

從圖1 中可以看出，對于單峰函數(shù)F1～F5的尋優(yōu)，除F4外，PO 算法分別在400 次、850 次、450 次和50 次迭代附近達到了理論最優(yōu)值；而SMA 可以在800 次迭代附近搜索到函數(shù)F1和F3的理論最優(yōu)值。從圖2 中可以看出，PO 算法對函數(shù)F8和F10的尋優(yōu)均在100 次迭代內(nèi)達到理論最優(yōu)值。對于F8的尋優(yōu)，HHO 算法、EO 算法、MPA、PO 算法和SMA 均可以搜索到理論最優(yōu)值；對于函數(shù)F9的尋優(yōu)，SMA 和PO 算法均在800 次迭代達到了最優(yōu)值?？偟膩碚f，從測試函數(shù)的統(tǒng)計結果和尋優(yōu)收斂曲線均可以看出，PO 算法在6 種對比算法中的性能較佳，HBO 算法的尋優(yōu)精度較低，可以進一步地改進研究。

圖2 六種算法的尋優(yōu)曲線比較（多峰）Fig.2 Comparison of convergence curves of six algorithms（multimodal）

2.3 分析小結

從基準測試函數(shù)的仿真結果來看，PO 算法能夠達到測試函數(shù)的理論最優(yōu)值，且尋優(yōu)時間較短，即PO 算法的尋優(yōu)精度整體上優(yōu)于其他5 種算法，且收斂速度較快，穩(wěn)定性較好。針對10 種基準測試函數(shù)的尋優(yōu)結果，在不考慮尋優(yōu)時間的情況下，6 種優(yōu)化算法進行排名：PO >SMA >HHO >EO >MPA >HBO；結合表3 的各個算法的計算復雜度來看，SMA的收斂速度較差，在確保尋優(yōu)精度的前提下對SMA 進行改進。由于HBO 算法的尋優(yōu)精度低，需要進一步地改進來增加尋優(yōu)精度。

此外，各優(yōu)化算法的理論性研究不足，需要從理論上對提出的算法進行收斂性分析［24］。對于優(yōu)化算法的改進，建議如下：算法的種群可以采用混沌理論來提高其遍歷性；控制參數(shù)同樣可以運用混沌映射或非線性策略進行調(diào)節(jié)，提高算法的尋優(yōu)性能；混合不同的優(yōu)化算法優(yōu)點來提高被改進算法的尋優(yōu)精度等［25］。

3 工程約束問題的應用對比

為進一步分析6 種優(yōu)化算法的性能，選擇了工程中3 種非線性約束優(yōu)化問題：工字梁設計問題、三桿桁架設計問題和減速器設計問題。這3 種工程優(yōu)化問題的具體描述詳見文獻［2］。6 種算法的種群數(shù)量設置為25（其他參數(shù)設置詳見表2）；迭代次數(shù)設為1 000；對求解每個工程約束優(yōu)化問題分別獨立運行30 次；并分析其尋優(yōu)結果的統(tǒng)計值：最優(yōu)值、最差值、平均值、標準差、尋優(yōu)時間。

3.1 工字梁設計問題

工字梁設計問題［2］的目標是在承受最小的工字梁的垂直擾度，同時滿足給定載荷下的截面面積和應力約束。當梁長L=200 cm，彈性模量H=2×104kN/cm2，最大彎曲力P=600 kN 和Q=50 kN 時，垂直撓度f（x）=PL3/48HI最小（單位為cm），其中：I為使用材料的截面慣矩（單位為cm4）。

該問題的目標函數(shù)及約束條件表述如下：

其中：決策變量（x1，x2，x3，x4）分別對應工字梁設計的上、下梁的寬度（b）、上梁和下梁底部之間的高度（h）、銜接梁的寬度（tw），以及上、下梁的厚度（tf）。各變量的取值范圍為：10≤b≤50，10≤h≤80，0.9≤tw≤5，0.9≤tf≤5。

根據(jù)該問題的目標函數(shù)及約束條件，6 種算法的計算結果如表6～7 所示。

表6 工字梁設計的最優(yōu)結果對比Tab.6 Comparison of best results of I-beam design

表7 工字梁設計的統(tǒng)計結果對比Tab.7 Comparison of the statistical results of I-beam design

對于工字梁設計問題，從表6～7 可知：6 種算法的均值（Mean）排名為：EO=MPA=SMA >HHO >PO >HBO；對應的標準差（STD）可以看出MPA 的穩(wěn)定性優(yōu)于EO 算法，EO 算法優(yōu)于SMA；然而在尋優(yōu)結果相近的情況下，EO 算法的尋優(yōu)時間比MPA 和SMA 的尋優(yōu)時間短。

3.2 三桿桁架設計問題

三桿桁架設計問題［2］的目標是在靜壓下桁架的體積應盡量減小，且滿足每個桁架構件上受應力（σ）約束。該問題可轉化為最佳橫截面積（A1，A2）問題，其目標函數(shù)及約束條件表述如下：

針對三桿桁架設計問題的目標函數(shù)及約束條件，6 種算法的計算結果詳見表8～9。

表8 三桿桁架設計的最優(yōu)結果對比Tab.8 Comparison of best results of three-bar truss design

表9 三桿桁架設計的統(tǒng)計結果對比Tab.9 Comparison of the statistical results of three-bar truss design

對于三桿桁架設計問題，從表8～9 可知：6 種算法的均值（Mean）排名為：EO=MPA >HHO=HBO >PO >SMA；對應的標準差（STD）可得EO 算法的穩(wěn)定性優(yōu)于HBO 算法；然而HBO 算法的尋優(yōu)時間比EO 算法的尋優(yōu)時間短。

3.3 減速器設計問題

減速器設計問題［2］是典型的機械方面的優(yōu)化問題，其目標是使減速器的總重量最小。該問題包括面的寬度（x1），齒的模量（x2），小齒輪上的齒數(shù)（x3），軸承之間的軸1 的長度（x4），軸承之間的軸2 的長度（x5），軸1 的直徑（x6），軸2 的直徑（x7）。約束條件主要有：齒輪齒的彎曲應力、表面應力、軸1 和2 的橫向偏轉傳遞的力、軸1 和2 之間的應力等。

該問題的目標函數(shù)及約束條件表述如下：

其中：2.6≤x1≤3.6，0.7≤x2≤0.8，17≤x3≤28，7.3≤x4≤8.3，7.8≤x5≤8.3，2.9≤x6≤3.9，5≤x7≤5.5。

針對減速器設計問題的目標函數(shù)及約束條件，6 種算法的計算結果如表10～11 所示。

表10 減速器設計的最優(yōu)結果對比Tab.10 Comparison of best results of speed reducer design

表11 減速器設計的統(tǒng)計結果對比Tab.11 Comparison of the statistical results of speed reducer design

對于減速器設計問題，從表10～11 可知：6 種算法的均值（Mean）排名為：EO=MPA=HBO >SMA >PO >HHO；對應的標準差（STD）可以看出EO 的穩(wěn)定性優(yōu)于HBO 算法，EO 算法優(yōu)于MPA；然而在尋優(yōu)結果相近的情況下，HBO 算法的尋優(yōu)時間比EO 算法和MPA 的尋優(yōu)時間短。

4 結語

針對近兩年來提出的6 種新型智能優(yōu)化算法在求解工程約束問題上的應用：首先，基于對基準測試函數(shù)的仿真實驗，分析了6 種算法的收斂速度、尋優(yōu)精度和穩(wěn)定性等性能；然后，將6 種算法用于求解3 種典型的非線性約束工程優(yōu)化問題并分析性能。

基準測試函數(shù)的尋優(yōu)結果表明：PO 算法的尋優(yōu)精度整體上優(yōu)于其他5 種算法，且收斂速度較快、穩(wěn)定性較好；在不考慮尋優(yōu)時間的情況下，6 種優(yōu)化算法進行排名：PO>SMA>HHO>EO>MPA>HBO；結合各算法的計算復雜度和尋優(yōu)的消耗時間，SMA 的收斂速度較差，在確保尋優(yōu)精度的前提下對SMA 進行改進。由于HBO 算法的尋優(yōu)精度低，需要進一步地改進來提升尋優(yōu)精度；從尋優(yōu)的結果來看，其他的算法亦存在收斂精度較低、收斂速度較慢、穩(wěn)定性差等問題，因此需要進一步地改進研究。改進的方法可采用反向學習策略、非線性控制策略、混沌映射理論、混合算法等。從工程優(yōu)化問題的求解來看，不同的優(yōu)化算法對于不同的工程問題，其尋優(yōu)的性能存在差異，即符合“No free lunch”理論［26］。

在未來的研究中，可以將收斂性能較好的算法應用于不同的實際問題，如：參數(shù)估計、特征選擇與分類、非線性規(guī)劃等工程問題；鑒于新型智能優(yōu)化算法的理論性研究不足，需要進一步從理論上去分析和證明提出的智能優(yōu)化算法的收斂性。