張斌 姜曉偉 陳向勇張先鶴

(1.中國地質(zhì)大學(xué)(武漢)自動化學(xué)院,湖北武漢 430074;2.工業(yè)物聯(lián)網(wǎng)與網(wǎng)絡(luò)化控制教育部重點實驗室,重慶 400065;3.復(fù)雜系統(tǒng)先進(jìn)控制與智能自動化湖北省重點實驗室,湖北武漢 430074;4.地球探測智能化技術(shù)教育部工程研究中心,湖北武漢 430074;5.臨沂大學(xué)自動化與電氣工程學(xué)院,山東臨沂 276000;6.湖北師范大學(xué)電氣工程與自動化學(xué)院,湖北黃石 435002)

1 引言

由于計算機技術(shù)、控制技術(shù)和通信技術(shù)的深度融合,網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)也因此吸引了大量國內(nèi)外專家學(xué)者的注意力[1-5].最優(yōu)跟蹤是目前網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)領(lǐng)域中研究較多的問題之一[6-7].眾所周知,通常最小的跟蹤誤差取決于被控對象的非最小相位零點和不穩(wěn)定極點[8].這些結(jié)果是基于傳統(tǒng)的假設(shè),即控制器和被控對象以理想的方式進(jìn)行信息交流而得到的.近年來,人們對發(fā)生非理想數(shù)據(jù)傳輸?shù)目刂葡到y(tǒng)的研究越來越感興趣,如研究在時延、丟包、信道噪聲等通信約束條件下網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的跟蹤性能極限,經(jīng)過大量專家學(xué)者的不懈努力,已經(jīng)取得了非常豐碩的成果,例如,文獻(xiàn)[9]研究了離散時間、MIMO線性定常系統(tǒng)的最優(yōu)跟蹤性能和調(diào)節(jié)性能.文獻(xiàn)[10]研究了加性白噪聲信道下的多輸入多輸出網(wǎng)絡(luò)反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性和跟蹤性能.文獻(xiàn)[11]基于雙自由度控制器分別研究了在前饋信道和反饋信道中具有量化和丟包約束的MIMO網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的輸出跟蹤控制問題.文獻(xiàn)[12]研究了具有丟包和信道噪聲的SISO離散時間網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的最優(yōu)跟蹤性能.從上述文獻(xiàn)可知,網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的最優(yōu)跟蹤性能與被控對象的本質(zhì)特征和通訊信道中的各種網(wǎng)絡(luò)約束密切相關(guān),因此,基于通訊約束對于網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的性能限制的研究是非常有必要的.

眾所周知,網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中的時延和丟包是影響系統(tǒng)穩(wěn)定性和性能的主要因素,嚴(yán)重時,甚至導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定,而編碼器和解碼器的引入在一定程度上可以提高網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的性能,因其在信號傳輸前對其進(jìn)行編碼,在信號傳輸后對其解碼,可以有效地防止數(shù)據(jù)在傳輸過程中發(fā)生的信號失真或者錯誤.因此本文在由信道輸入能量和系統(tǒng)跟蹤誤差能量的權(quán)衡構(gòu)造的跟蹤性能指標(biāo)的基礎(chǔ)上綜合研究了在時延、丟包、編碼器和解碼器以及雙通道加性高斯白噪聲影響下的最優(yōu)跟蹤性能,在網(wǎng)絡(luò)信道構(gòu)造方面,本文較以往所建立的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)更接近于實際情況,功能性更強.

MIMO系統(tǒng)較SISO系統(tǒng)使用多個發(fā)射器和接收器來同時傳輸更多數(shù)據(jù),傳輸速率和通信質(zhì)量更高,則針對上述通訊約束,研究MIMO系統(tǒng)的最優(yōu)跟蹤性能更具有實際意義.因此,本文的主要貢獻(xiàn)有以下3個方面:首先通過提出SDOF控制方案,本文建立了MIMO系統(tǒng)在多約束影響下的最優(yōu)跟蹤控制性能的新框架;其次給出了編解碼和其他約束條件對最優(yōu)跟蹤性能影響的表達(dá)式;最后基于頻域分析方法和Youla參數(shù)化等方法得到了一個精確的表達(dá)式,揭示了系統(tǒng)跟蹤性能與被控對象的非最小相位零點和不穩(wěn)定極點(包括位置和方向)以及網(wǎng)絡(luò)通信特征密切相關(guān).

本文組織如下:第2節(jié)中介紹相關(guān)定理,第3節(jié)推導(dǎo)了具有多約束的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的跟蹤性能極限,第4節(jié)通過一個典型例子來說明文中所得到的結(jié)果,第5部分給出了本文的結(jié)論和未來的研究方向.

2 問題描述

考慮如圖1所示的在前向通道中存在噪聲約束和反饋通道中存在噪聲約束、丟包約束以及時延約束的離散時間MIMO網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng),G表示被控對象,K表示單自由度控制器,其z變換分別為G(z)與K(z),r表示系統(tǒng)參考輸入,n1表示前向通道中的加性高斯白噪聲,n2表示反饋通道中的加性高斯白噪聲,y表示系統(tǒng)輸出,u表示控制輸入,其z變換分別為和RH∞表示穩(wěn)定的、正則的、實有理傳遞函數(shù)(矩陣)集合.通信信道由4個參數(shù)表征:雙通道噪聲n1與n2、丟包dr、時延z-τ和編碼器和解碼器(假設(shè)其為非最小相位的)分別為A,A-1,參數(shù)dr表示數(shù)據(jù)包是否被丟棄.

圖1 多通信約束的單自由度控制系統(tǒng)Fig.1 SDOF control system with multiple communication constraints

其中:P{dr(k)0}q,P{dr(k)1}1-q,q為數(shù)據(jù)包丟包概率.參考輸入r是階躍信號的矢量形式,

其中:v為常數(shù)酉向量,n1,n2分別表示前向通道和反饋通道的加性高斯白噪聲,對于信道i(i1,2,...,m),其功率譜密度分別為并假設(shè)上述信號是相互獨立的.定義誤差信號以及系統(tǒng)的跟蹤性能指標(biāo)為

其中:Γ為預(yù)先給定的信道輸入能量的約束值,且,λ是跟蹤誤差與信道輸入能量約束之間的權(quán)衡因子,由此,本文研究的問題為:在所有使得系統(tǒng)穩(wěn)定的控制器集合中,設(shè)計出一個能使得式(3)的性能指標(biāo)函數(shù)取得最小值的最優(yōu)控制器,即

其中κ表示所有穩(wěn)定的控制器集合.對于有理傳遞函數(shù)矩陣(1-q)G,設(shè)它的互質(zhì)分解為如下形式:

這里N(z),M(z),?M(z),?N(z)H∞,并且滿足雙Bezout等式

所有能使得多輸入多輸出系統(tǒng)穩(wěn)定的控制器K都屬于這樣的一個集合κ

其中Q是自由設(shè)計的參數(shù)矩陣,對應(yīng)不同的控制器.假設(shè)被控對象P是右可逆的.存在如下形式的左右互質(zhì)分解:

其中:Lz,Bp和Az為全通因子,Nm,Mm和Om為最小相位因子,Lz包含了被控對象所有的非最小相位零點,Bp包含了被控對象所有的不穩(wěn)定極點,Az包含了編碼器所有的非最小相位零點,并且全通因子Lz和Bp可以分解為以下形式:

3 最優(yōu)性能分析

由圖1可得

則有

其中:

由式(4)-(6)可得

則由式(3)(9)-(13)得

其中:Vdiag{β1,β2,...,βn},Wdiag{γ1,γ2,...,γn}.

定理1考慮如圖1所示的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng),假設(shè)被控對象有不穩(wěn)定極點pi,i1,2,...,Np,其極點方向為ηi;非最小相位零點si,i1,2,...,Nz,其零點方向為ωi,并且參考輸入和性能指標(biāo)如定義式(1)和(3)所示,那么該系統(tǒng)的跟蹤性能極限為

其中:

為了計算J*,做出如下定義:

顯而易見,可以選擇一個合適的Q使得

則

由柯西定理,有

則

證畢.

4 數(shù)值仿真

本節(jié)給出了一個仿真實例來證明該方法的準(zhǔn)確性.考慮離散多輸入多輸出被控對象,其傳遞函數(shù)矩陣為

在給定的被控對象中,含有一個非最小相位零點zk(|k|＞1),其輸出零點方向為ω(1 0)T,被控對象含有不穩(wěn)定極點p2,其極點方向為η(0 1)T,定義輸入向量為

選擇

有

當(dāng)τ分別為0.2,0.5和0.8時,多輸入多輸出離散網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的跟蹤性能極限如圖2所示,從圖2可以看出,多輸入多輸出網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)反饋通道中時延參數(shù)越大,離散多輸入多輸出網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的性能越差,從圖2中還可以看出,當(dāng)被控對象的非最小零點和不穩(wěn)定極點充分接近時,離散多輸入多輸出網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的跟蹤性能會急劇惡化.從圖3中可以看出,隨著分組丟失概率的增加,跟蹤性能變得更差.

圖2 不同時延下的跟蹤性能極限Fig.2 Tracking performance limits with different time delays

圖3 數(shù)據(jù)包丟失的概率qFig.3 The probability of packet loss q

5 結(jié)論

本文研究了在信道輸入功率約束下,具有丟包、時延和雙通道噪聲的最優(yōu)跟蹤性能問題.考慮網(wǎng)絡(luò)中的限制是分組丟失、雙通道噪聲、時延以及編碼和解碼.通過采用單自由度控制器結(jié)構(gòu),并且借助全通分解和互質(zhì)分解等工具推導(dǎo)得到了該系統(tǒng)最優(yōu)跟蹤性能的顯式表達(dá)式.結(jié)果表明,最優(yōu)跟蹤性能可以用兩部分之和來描述,一部分依賴于給定對象的非最小相位零點和參考輸入信號,另一部分依賴于給定對象的非最小相位零點和不穩(wěn)定極點,以及丟包率、信道噪聲、時延和編解碼.結(jié)果表明,通信信道的丟包概率、時延和信道噪聲會從根本上制約控制系統(tǒng)的跟蹤能力.這項工作未來可能的擴展研究包括更一般的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)配置,如前饋和反饋路徑中的非理想通信信道,以及更一般的信道模型,如帶寬有限、信噪比約束的通信信道,并可將其推廣網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中被控對象包含多重零極點的情況中去.