譚 鵬

(湖南建工交通建設有限公司， 湖南 長沙 410004)

瀝青路面結構以其良好的工作性能受到歡迎，無論是在高速公路還是其他等級公路中都得到了廣泛應用，但是在瀝青路面結構設計過程中，為了簡化設計過程忽略了瀝青混合料表現(xiàn)出的各向異性，這種情況會導致瀝青路面在使用壽命期間出現(xiàn)預期之外的路面病害。

在我國規(guī)范中將瀝青路面視為各向同性彈性多層體系，并將層間接觸狀況視為完全連續(xù)，在垂直均布靜載作用下驗證強度，這樣的形式能夠簡化設計過程，但顯然無法準確描述瀝青路面真實工作狀態(tài)下的受力情況，根本上的問題就是忽略了瀝青路面結構的各向異性，這會對其力學性質有錯誤的估計。Levenberg等[1]對瀝青混合料試件進行實驗室中的靜壓測試，結果表明瀝青混合料在豎直方向上的強度是水平方向上的1.56倍。Wang等[2]對現(xiàn)場壓實瀝青采樣研究，進行了各向同性壓縮及三軸拉伸試驗等多個測試，發(fā)現(xiàn)垂直模量是水平模量的2～5倍。鞠達[3]對AC-20混凝土從垂直和橫向兩個方向進行取芯，中粒式瀝青混凝土橫向試樣模量僅為豎向的80%。因而對瀝青路面結構設計的各向同性簡化是有缺陷的，在集料的影響下，瀝青混凝土不可能是連續(xù)均值材料，我們有必要研究清楚瀝青混凝土的各向異性，改善現(xiàn)有設計過程。

為此，本文將針對瀝青混凝土路面結構建立參數隨機場與有限元模型，模擬瀝青混合料表現(xiàn)出的各向異性。模型建立的瀝青路面回彈模量參數隨機場為對數平穩(wěn)隨機場，隨機場的數字特征不隨空間位置變化，進行有限元模型計算后將結果與均勻場進行對比，分析瀝青路面結構設計中忽略瀝青混合料各向異性對路面結構工作情況的影響。

1 平穩(wěn)隨機場參數模型

1.1 平穩(wěn)隨機場介紹

瀝青混合料的各向異性是由于集料的大小不一和不均勻排布造成的，即使集料粗細程度相同的瀝青混合料在物理力學性質上也存在差異，故其回彈模量參數是具有不確定性的，但是這種不確定性也并不是完全隨機的，瀝青路面結構參數具有空間參數相關性，因此在分析中應該考慮相關性與隨機性兩種性質。

引入隨機場理論對瀝青路面結構參數的相關性與隨機性兩種性質進行分析，平穩(wěn)隨機場參數的均值與方差不隨路面空間位置而變化，方差只與空間中兩點的相對位置有關，而與絕對位置無關，符合瀝青混合料各向異性造成的參數隨機性。目前有很多方法可以生成隨機場模型，本文采用協(xié)方差分解法建立平穩(wěn)隨機場，由數據的均值、方差及相關距離三個參數就可以用協(xié)方差分解法構建一個平穩(wěn)隨機場。協(xié)方差分解法可以高度精確地生成隨機場，而且協(xié)方差分解法可以比較容易地實現(xiàn)隨機場模型到數值的一對一單元映射，十分適合本研究中使用有限元軟件分析。

協(xié)方差分解法最重要的環(huán)節(jié)就是協(xié)方差矩陣的構建，假設xi，xj(i，j=1，2，…，n)為隨機場中的離散點，τij為任意兩點xi，xj之間的相對距離，C為n個點之間的協(xié)方差所組成的n階協(xié)方差矩陣，該矩陣為一正定矩陣，矩陣C中任一元素cij為xi，xj之間的協(xié)方差，cij=c(τij)。對協(xié)方差矩陣C進行Cholesky分解得到上三角、下三角矩陣：

C=LU=LLT

(1)

式中：L為下三角矩陣；U為上三角矩陣。設Y為由n個相互獨立且服從標準正態(tài)分布的隨機數所組成的列向量，則n階隨機場矩陣Z可以表示為：

Z=LY

(2)

隨機場矩陣Z中任意點zij服從標準正態(tài)分布，且協(xié)方差矩陣E(ZZT)=E(LYYTLT)=C，滿足相關性要求，因此矩陣Z可以作為正態(tài)平穩(wěn)隨機場的一次實現(xiàn)。對矩陣Z進行數學變換可以得到任意不同分布形態(tài)的正態(tài)和對數正態(tài)平穩(wěn)隨機場。多次隨機生成服從標準正態(tài)分布的矩陣Y，就可以形成隨機場的多次實現(xiàn)。

1.2 相關距離計算

相關距離概念聯(lián)系的是空間相關性這一性質，即在瀝青路面結構中相距一定距離的兩點參數正好具有一定相關性，而在這兩點之外的點參數不再具有空間相關性，這個極限距離即為相關距離。

介紹相關距離必須先定義方差折減函數，如式(3)所示。

(3)

式中：Γ2(s)為方差折減函數；D(Xs(k))為均方根連續(xù)的平穩(wěn)隨機場的空間標準差；D(X(k))為標準差，D(X(k))=σ；var(Xs(k))為平穩(wěn)隨機場概率密度函數的二階距。

相關距離結合方差折減函數來看，折減是在一定范圍s之內，是一個遞減函數，隨著兩點距離的增大，折減就越快，空間相關性就越低，而當距離越趨近于正無窮時，方差折減函數就越接近0，兩點不再具有空間相關性。本研究分析空間相關性，是因為雖然兩點在收集數據過程中是離散的，但在本研究中其作為路面結構整體中的一個小部分，即使瀝青混合料中集料的不均勻排布產生參數差異性，也是有章可循的，每點之間具有一定程度空間相關性，方差折減函數正是用來表達兩點之間的參數影響。而有一點是顯而易見的，相距越遠，其相關性就會越低。

相關距離參數a，b可以通過以下步驟求解：

(1)對于收集到的離散數據，計算出其均值函數E[X(s)]以及方差σ2；

(2)先令i=2，將相近兩個數據組成一組數據，求出該組新組成數據的均值和方差D2(2)；

(4)將上一步中計算得到的數據繪入散點圖；

(5)令i=3,4,…，重復(2)～(4)步驟，繪制出較為完整的Γ2(i)曲線；

(6)將繪制成的Γ2(i)圖擬合成線，找出其趨于平穩(wěn)的點，取為計算值，按δ=sΓ2(s)(δ為兩點間的相關距離，s為此時兩點間的距離)可求解出相關距離。

圖1 相關函數曲線

再根據Γ2(i)圖中擬合得到的指數函數分析出其后續(xù)變化情況如圖2所示。

圖2 相關函數擬合曲線

可以看到大概在i取值為260后Γ2(i)變化不大，根據平穩(wěn)點計算得相關距離為24.6 m，計算過程如式(4)所示。

(4)

抑或是在擬合了相關函數后，可以根據圖中曲線選取指數型相關函數ae-b|τ|時，相關距離為16.8 m，計算過程如式(5)所示。

(5)

式中：δ為相關距離;b為相關函數中的系數。

兩個結果之間相差還是比較大的，其主要原因是因為樣本數較少，而根據擬合建立的數據樣本又可能并沒有辦法真實表述瀝青路面參數情況。前面有提到隨機場理論中相關距離的概念可以指導施工過程中的鉆芯取樣，使兩個芯樣之間間距比較合理，但在建立隨機場的過程中，鉆取芯樣越多、越密效果會越好，計算結果會更加準確。

最終根據公式計算，取相關距離為δ=16.8 m。

1.3 平穩(wěn)性檢驗及各態(tài)歷經性檢驗

要完全表達一個隨機場的分布函數簇是十分困難甚至是不可能完成的，所以可以用隨機場的統(tǒng)計特性來建立隨機場。建立一個平穩(wěn)隨機場只需要數據均值、標準差及相關距離三個統(tǒng)計特性，而為了驗證根據統(tǒng)計特性建立的隨機場是否具有代表性，建立完成之后必須進行平穩(wěn)性檢驗和各態(tài)歷經性檢驗。建立的隨機場回彈模量分布如圖3所示。

圖3 隨機場回彈模量分布

隨機場理論實際上是一種對數據的處理方法或者說一種思路，在瀝青路面參數方面，區(qū)別于其他數據處理方法的地方在于引入了相關距離這個概念，前面也提到過相關距離確實在工程中有一定指導意義，但相關距離概念更多是停留在理論階段，要結合到實際工程中，需要對隨機場進行平穩(wěn)性檢驗和各態(tài)歷經性檢驗。

圖4 數據處理前、后對比

平穩(wěn)隨機場的平穩(wěn)性體現(xiàn)在數字特征不隨空間位置的變化而變化，具體體現(xiàn)在隨機場的均值函數不會隨著數據組的改變而出現(xiàn)極大變化或規(guī)律性增加或減少。定義了集平均和深度平均的概念，面對具體數據時，任一組數據中某一行sj上隨機場數據的集平均可表示為：

(6)

X(sj)與X(sj+Δs)的相關函數可表示為：

(7)

式中：i為一組數據中的數據個數，模擬不同鉆孔取芯位置；j為數據組中的行數，模擬鉆孔芯樣的不同深度上的數據。根據隨機場平穩(wěn)性的定義，平穩(wěn)性檢驗步驟如下：

(1)取數據組中一行sj如j=1，再找出不同的i取值對應的回彈模量數據Xi(s1),i=1,2,…,n；還有與其間距為Δs的數據s1+Δs處的數據Xi(s1+Δs),i=1,2,…,n；

(2)利用式(6)(7)求出均值μx(sj)與相關函數RX(sj,sj+Δs)；

(3)令i=2,3,…,m，重復步驟(1)～(2)，計算出所有均值μx(sj)與相關函數RX(sj,sj+Δs)的值，并繪制成散點圖；

(4)檢驗均值μx(sj)與相關函數RX(sj,sj+Δs)的散點圖是否隨數據組編號增加而發(fā)生明顯變化，若未觀察出明顯變化則說明隨機場平穩(wěn)，否則不平穩(wěn)。

檢驗結果如圖5所示，表明所建立的瀝青路面參數隨機場模型中回彈模量與相關函數并不隨數據組變化而發(fā)生太大波動，可視作無變化，即隨機場模型的均值函數μx(sj)為常數，等于0。

圖5 平穩(wěn)性檢驗結果

瀝青路面相當于一個極其龐大的隨機過程，其中每一點的參數都是不確定的，隨機場模擬過程就是根據測到的個別點的參數來分析路面中每一點的參數。這個過程中用以建立隨機場的點在整個瀝青路面中只占極其少的一部分，那么這一小部分點就應該具有較大的代表性，能夠充分代表整個瀝青路面結構，這種代表性即為隨機場的各態(tài)歷經性。在處理具體數據時，根據定義，任一組數據中某一行sj上隨機場數據的深度平均〈Xi(s)〉可表示為：

(8)

對于一組數據，取固定Δs，則Xi(s)Xi(s+Δs)也是平穩(wěn)隨機場，則有深度平均〈Xi(s)Xi(s+Δs)〉的深度均值可表示為：

(9)

式中：i，j定義與平穩(wěn)性檢驗中相同。根據隨機場各態(tài)歷經性的定義，各態(tài)歷經性檢驗的步驟如下：

(1)取數據組中一列si如i=1，再找出不同的j取值對應的回彈模量數據X1(sj),還有與其間距為Δs的數據sj+Δs處的數據X1(sj+Δs),j=1,2,…,n；

(2)利用式(6)(7)求出均值〈μx(sj)〉與深度相關系數〈RX(sj,sj+Δs)〉；

(3)令j=2,3,…,m，重復步驟(1)(2)，計算所有均值〈μx(sj)〉與深度相關系數〈RX(sj,sj+Δs)〉的值，并繪制成散點圖；

(4)檢驗深度均值〈μx(sj)〉與深度相關系數〈RX(sj,sj+Δs)〉的散點圖是否隨數據組編號增加而發(fā)生明顯變化，若未觀察出明顯變化則說明隨機場具有各態(tài)歷經性，否則不具有各態(tài)歷經性。

檢驗結果如圖6所示，表明所建立的瀝青路面參數隨機場模型中深度平均與深度相關系數并不隨數據組變化而發(fā)生太大波動，可視作無變化，即隨機場模型具有各態(tài)歷經性。

圖6 各態(tài)歷經性檢驗結果

2 路面有限元模型建立

2.1 有限元模型

最終建立尺寸為4.5 m×4.5 m×6 m的有限元模型(x，y，z)，x為道路橫向，y為道路縱向，z為道路深度方向。均布荷載作用在模型中心區(qū)域，模型荷載使用標準軸載BZZ-100計算得來，對0.45 m×0.45 m區(qū)域施加770 MPa壓強。通過協(xié)方差分解法建立彈性模量隨機場模型，將對應彈性模量隨機場信息映射到有限元計算模型中，得到考慮瀝青混合料彈性模量隨機特征的計算模型。值得注意的是，為了有限元模型的網格能夠嵌入隨機場參數，并不在受力面層及受力區(qū)域進行加密，而是采用均勻網格。水平面橫、縱向邊具有32個結點，深度方向豎向邊具有81個結點，總共82499個節(jié)點，76880個單元。單元使用C3D8R八結點六面體線性縮減積分單元。面層模型部分邊界限制道路橫向x和縱向y的位移，基層模型部分邊界限制道路橫向、縱向和深度方向上的位移。模型尺寸、邊界條件及荷載情況如圖7所示。

圖7 瀝青路面有限元模型/m

2.2 路面結構及材料參數

在有限元計算分析過程中采用四層結構組合的路面結構形式，從上往下依次是瀝青面層、水泥穩(wěn)定碎石基層、水泥穩(wěn)定土底基層及土基，各層路面結構層間連續(xù)，將瀝青面層考慮為各向異性材料，使用參數隨機場模擬其各向異性，其余部分回彈模量參數如表1所示。

表1 有限元模型材料參數

瀝青路面結構面層中單元仍然是各向同性連續(xù)單元，但每個單元的回彈模量為隨機場中參數，模擬出由于瀝青混合料中集料大小不一與分布不均勻導致瀝青混合料表現(xiàn)出模量分布的空間隨機特征，大致情況如圖8所示，圖中Ea為瀝青面層材料彈性模量，其不同顏色代表模型中彈性模量的空間分布情況。

圖8 瀝青路面面層

3 空間參數隨機特性的影響分析

3.1 確定性分析

采用有限元軟件計算瀝青路面結構模型，對計算結果主要分析計算結果的三個參數，面層層頂豎向位移、面層層底拉應變及層底拉應力，通過這三個參數可以比較好地看出，引入隨機場理論來模擬瀝青混合料各向異性后對瀝青面層工作狀況的影響，討論在結構設計、實際施工過程中考慮瀝青混合料各向異性的必要性。

提取分析有限元軟件ABAQUS的計算結果， 先從剖面分析，隨機場模型產生的面層層底最大拉應力、層底最大拉應變及層頂豎向位移如圖9～11所示。

圖9 隨機場模型瀝青面層層底拉應變

圖10 隨機場模型瀝青面層層底拉應力

圖11 隨機場模型瀝青面層層頂豎向位移

隨機場模型剖面層底拉應力、層底拉應變及層頂豎向位移均呈現(xiàn)出先增大后減小的變化，在荷載中心附近達到最大值，兩側數值較小，符合各種參數變化的規(guī)律。在整體上對比隨機場與均勻場模型中應力、應變及豎向位移最大點，分析結果如表2所示。

表2 均勻場與隨機場應力、應變及豎向位移對比

隨機場模型中最大應力比均勻場模型大0.83%，最大應變比均勻場模型大2.01%，最大豎向位移比均勻場模型大2.58%。

3.2 隨機性分析

隨機場生成過程中有生成隨機數的部分，雖然在數值上影響不大，但是必須避免隨機過程中出現(xiàn)比較極端的數據，使得研究數據不再具有代表性，導致分析出的結果出現(xiàn)偏差。所以有必要建立多個隨機場，對數據進行對比，避免所生成的隨機場參數不合理的情況，使得本研究具備更高的可靠性。隨機場模型產生的層底最大拉應力、層底最大拉應變及層頂豎向位移與均勻場對比如圖12～14所示。

圖12 面層層底應力對比

圖13 面層層底拉應變對比

圖14 面層層頂豎向位移

對受力單元層底應力參數進行分析，隨機場中最小值較均勻場小0.68%，最大值較均勻場大2.58%。由此可見，瀝青路面結構參數隨機性對瀝青路面層底應力有明顯影響。

對受力單元層底應變參數進行分析，均勻場層底應變參數在均勻場中為0.3587，隨機場中層底應變最小為0.3558，較均勻場小0.8%，最大為0.3584 mm，較均勻場大0.4%。由此可見，瀝青路面結構參數隨機性對瀝青路面層底應變有一定影響，但不顯著。

對受力單元層頂豎向位移參數進行分析，均勻場層頂豎向位移參數在均勻場中為0.2 mm，隨機場中層頂豎向位移最小為0.1938 mm，較均勻場小3.25%，最大為0.2065 mm，較均勻場大3.11%。由此可見，瀝青路面結構參數隨機性對瀝青路面層頂豎向位移有顯著影響。

4 結 論

(1)將隨機場理論運用到瀝青路面結構中，通過平穩(wěn)隨機場模擬瀝青混合料的各向異性并對結果進行分析，證明這種方法的可行性；

(2)考慮瀝青混合料各向異性，對瀝青路面結構面層層底應力影響較小，對層底應變及層頂豎向位移有一定影響；

(3)現(xiàn)行路面設計理論中，將結構層材料考慮為各向同性明顯高估了瀝青路面結構穩(wěn)定性，使瀝青路面結構更容易出現(xiàn)瀝青路面病害，應當在設計過程中考慮到瀝青混合料各向異性的影響。