劉鵬 李云伍 梁新成

（西南大學(xué)，重慶 400715）

主題詞：鋰電池 荷電狀態(tài) 等效電路模型 無(wú)跡卡爾曼濾波

1 前言

鋰電池荷電狀態(tài)（State of Charge，SOC）是電動(dòng)汽車電池管理系統(tǒng)的核心參數(shù)之一，可為整車電池組的控制策略提供判斷依據(jù)。一般通過對(duì)鋰電池輸出電壓、負(fù)載電流和工作溫度等參數(shù)的實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)實(shí)現(xiàn)SOC估計(jì)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)鋰電池充放電控制、熱管理等功能。同時(shí)，SOC估計(jì)精確與否直接影響著鋰電池輸出特性、使用壽命和安全性能等。

目前常用的SOC 估計(jì)方法分為2 種：一是根據(jù)鋰電池輸出參數(shù)（電流、電壓）直接計(jì)算得到，如安時(shí)積分法、開路電壓法等；二是基于鋰電池模型并結(jié)合預(yù)測(cè)算法得到，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、粒子濾波算法、卡爾曼濾波算法等。安時(shí)積分法需要獲得精確的SOC初值，在初值未知的情況下估計(jì)誤差大，不適用于實(shí)際車輛；開路電壓法需要將放電后的鋰電池?cái)R置較長(zhǎng)時(shí)間，不滿足SOC估計(jì)的實(shí)時(shí)性要求；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法需要大量不同工況下鋰電池試驗(yàn)數(shù)據(jù)訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，模型精度與模型大小不可兼得，實(shí)際應(yīng)用還存在一定困難；粒子濾波算法計(jì)算復(fù)雜，對(duì)硬件性能要求高；卡爾曼濾波算法是目前比較成熟且有效的一種方法，計(jì)算簡(jiǎn)單且精度高，適用于SOC 的實(shí)時(shí)估計(jì)。因此本文在卡爾曼濾波算法的基礎(chǔ)上對(duì)鋰電池SOC估計(jì)進(jìn)行研究。

傳統(tǒng)的卡爾曼濾波算法不適用于非線性系統(tǒng)，因此許多學(xué)者提出了擴(kuò)展卡爾曼濾波（Extended Kalman Filter，EKF）和無(wú)跡卡爾曼濾波（Unscented Kalman Filter，UKF）。EKF 利用泰勒級(jí)數(shù)展開將非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為線性系統(tǒng)，忽略了高階項(xiàng)導(dǎo)致其用于高度非線性系統(tǒng)時(shí)算法精度降低且雅可比矩陣計(jì)算復(fù)雜；UKF 通過無(wú)跡變換獲得Sigma 點(diǎn)集，Sigma 點(diǎn)集通過非線性函數(shù)進(jìn)行傳遞，再利用傳遞結(jié)果更新狀態(tài)均值與系統(tǒng)協(xié)方差。UKF 在估算SOC 時(shí)，假定系統(tǒng)噪聲為恒定的高斯白噪聲。但在實(shí)際工作過程中，鋰電池系統(tǒng)噪聲特性復(fù)雜多變，具有不確定性。

針對(duì)UKF估計(jì)鋰電池SOC時(shí)對(duì)不確定系統(tǒng)噪聲估計(jì)精度低的問題，本文提出基于自適應(yīng)無(wú)跡卡爾曼濾波（Adaptive Untracked Kalman Filter，AUKF）的估計(jì)算法，在SOC 估計(jì)的同時(shí)不斷更新系統(tǒng)狀態(tài)噪聲協(xié)方差和測(cè)量噪聲協(xié)方差，以提高算法的精度和穩(wěn)定性。

2 建立等效電路模型

2.1 狀態(tài)空間方程

等效電路模型是依據(jù)鋰電池充放電試驗(yàn)數(shù)據(jù)并利用電壓源、電阻、電容等電子元件而建立的模型。等效電路模型包括內(nèi)阻等效（Rint）模型、戴維南（Thevenin）模型、新一代汽車合作伙伴計(jì)劃（Partnership for a New Generation of Vehicles，PNGV）模型、非線性等效（General Nonlinear，GNL）模型等。

綜合考慮模型參數(shù)的計(jì)算難易程度與模型精度，本文選擇Thevenin模型，并考慮到模型需要充分反映鋰電池充放電特性，在Thevenin 模型基礎(chǔ)上增加1 個(gè)RC 網(wǎng)絡(luò)以提高模型精度，等效電路模型如圖1所示。

圖1 二階RC等效電路模型

圖1中：為鋰電池開路電壓；為歐姆內(nèi)阻；、分別為電化學(xué)極化內(nèi)阻和濃差極化內(nèi)阻；、分別為電化學(xué)極化電容和濃差極化電容；、分別為電化學(xué)極化電壓和濃差極化電壓；為輸出電壓；為負(fù)載電流。電路物理量描述為：

式中，(0)、(0)分別為初始的電化學(xué)極化電壓和初始的濃差極化電壓；=、=分別為電化學(xué)極化時(shí)間常數(shù)和濃差極化時(shí)間常數(shù)。

利用卡爾曼濾波估計(jì)SOC時(shí)，要將鋰電池系統(tǒng)模型離散化，以SOC 與2 個(gè)極化電壓作為系統(tǒng)狀態(tài)變量，電流作為輸入變量。根據(jù)安時(shí)積分法和式（1）得到鋰電池系統(tǒng)模型離散化狀態(tài)方程：

式中，為時(shí)刻鋰電池的SOC；為電流采樣周期；為庫(kù)倫效率，與鋰電池工作溫度、循環(huán)次數(shù)和放電倍率有關(guān)；為額定容量。

2.2 模型參數(shù)辨識(shí)

本文鋰電池試驗(yàn)平臺(tái)由Neware BTS8000 電池檢測(cè)設(shè)備、多功能夾具、恒溫恒濕試驗(yàn)箱和控制電腦組成。試驗(yàn)對(duì)象為N18650CK三元鋰電池，其部分性能參數(shù)如表1所示。

表1 鋰電池性能參數(shù)

為獲得鋰電池開路電壓以及等效電路模型中參數(shù)與SOC的函數(shù)關(guān)系，需對(duì)鋰電池進(jìn)行混合脈沖功率特性（Hybrid Pulse Power Characteristic，HPPC）試驗(yàn)，試驗(yàn)流程如圖2所示，部分試驗(yàn)數(shù)據(jù)如圖3所示。

圖2 鋰電池充放電試驗(yàn)流程

圖3 鋰電池部分充放電試驗(yàn)數(shù)據(jù)

根據(jù)上述試驗(yàn)，獲得不同SOC狀態(tài)下對(duì)應(yīng)的開路電壓，利用MATLAB 對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，結(jié)果如圖4所示，所得到的六階多項(xiàng)式擬合函數(shù)為：

圖4 開路電壓與SOC的函數(shù)擬合曲線

系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)中，遞推最小二乘法因編程簡(jiǎn)單、收斂速度快、計(jì)算量小等優(yōu)點(diǎn)被廣泛使用。與最小二乘法相比，遞推最小二乘法利用當(dāng)前時(shí)刻試驗(yàn)數(shù)據(jù)和上一時(shí)刻辨識(shí)參數(shù)直接對(duì)當(dāng)前時(shí)刻辨識(shí)參數(shù)進(jìn)行修正，用于在線參數(shù)辨識(shí)時(shí)可減小計(jì)算量，更適用于鋰電池SOC 的在線實(shí)時(shí)估計(jì)，但是遞推最小二乘法存在“數(shù)據(jù)飽和”問題，即舊數(shù)據(jù)的堆積導(dǎo)致遞推結(jié)果不能反映新數(shù)據(jù)的特性。故本文采用帶遺忘因子的遞推最小二乘（Forgetting Factor Recursive Least Square，F(xiàn)FRLS）算法辨識(shí)鋰電池模型中的參數(shù)。加入遺忘因子可以加強(qiáng)新數(shù)據(jù)的特性，逐漸削弱舊數(shù)據(jù)的作用，在一定程度上解決了數(shù)據(jù)飽和問題。FFRLS算法公式為：

鋰電池等效電路模型拉普拉斯方程與傳遞函數(shù)為：

式中，()為系統(tǒng)傳遞函數(shù)；為拉普拉斯算子。

雙線性變換公式為：

式中，為域變量。

利用式（7）對(duì)式（6）進(jìn)行離散化并轉(zhuǎn)化為差分方程：

式中，～為待定系數(shù)。

將()轉(zhuǎn)化為矩陣形式：

根據(jù)式（6）、式（8）可得到鋰電池模型參數(shù)計(jì)算公式：

利用上述公式和HPPC試驗(yàn)數(shù)據(jù)，可辨識(shí)出等效電路模型參數(shù)。如圖5所示為荷電狀態(tài)=1時(shí)辨識(shí)參數(shù)變化過程。

分析圖5 可知，F(xiàn)FRLS 在辨識(shí)開始階段，模型參數(shù)變化較大，這是因?yàn)樗O(shè)置的參數(shù)初值誤差大，隨著算法迭代次數(shù)增加，模型各參數(shù)逐漸趨于穩(wěn)定。其中<，<，表明電化學(xué)極化時(shí)間常數(shù)小于濃差極化時(shí)間常數(shù)，滿足鋰電池在放電過程中電化學(xué)極化響應(yīng)快于濃差極化響應(yīng)的特性。

圖5 SSOC=1時(shí)參數(shù)變化曲線

不同SOC 辨識(shí)結(jié)果如表2 所示，根據(jù)參數(shù)辨識(shí)結(jié)果，利用MATLAB 可擬合出各參數(shù)與SOC 的函數(shù)關(guān)系。

表2 等效電路模型參數(shù)表

2.3 模型驗(yàn)證

本文利用脈沖放電試驗(yàn)驗(yàn)證二階RC等效電路模型與參數(shù)辨識(shí)的精確度。試驗(yàn)電流與電壓曲線如圖6 所示，模型輸出電壓與試驗(yàn)電壓的誤差如圖7所示。

圖6 脈沖放電曲線

分析圖7可知，模型輸出電壓與試驗(yàn)電壓變化趨勢(shì)一致，隨著放電的進(jìn)行，模型輸出電壓誤差逐漸增大，這是放電末期等效電路模型不能很好地表征鋰電池內(nèi)部實(shí)際的電化學(xué)反應(yīng)導(dǎo)致的。計(jì)算誤差結(jié)果可知，模型輸出電壓與試驗(yàn)電壓相比，平均誤差為0.89%，最大誤差在3%以內(nèi)，所建立的模型具有較高精度，能反映鋰電池輸出特性。

圖7 試驗(yàn)電壓與模型電壓誤差曲線

3 鋰電池SOC估算

鋰電池為高度非線性系統(tǒng)，輸出特性不僅與自身狀態(tài)（放電倍率、老化程度等）有關(guān)，還與外界環(huán)境（溫度、濕度等）有關(guān)。EFK的泰勒級(jí)數(shù)展開過程中忽略了高階項(xiàng)的影響，降低了SOC估計(jì)精度。UKF通過無(wú)跡變換對(duì)非線性函數(shù)的概率分布進(jìn)行近似處理，保證了對(duì)高度非線性系統(tǒng)的預(yù)測(cè)精度。鋰電池系統(tǒng)真實(shí)狀態(tài)方程與觀測(cè)方程為：

式中，()為式（2）所述系統(tǒng)狀態(tài)變量；()為觀測(cè)變量（輸出電壓）；()為輸入變量（電流）；為鋰電池狀態(tài)方程函數(shù)；為觀測(cè)方程函數(shù)；()、()分別為狀態(tài)噪聲和觀測(cè)噪聲，均值均為零；()、()分別為()、()的協(xié)方差。

由于UKF 忽略了系統(tǒng)噪聲特性的變化，影響了估計(jì)精度，因此將UKF 與Sage-Husa 自適應(yīng)算法結(jié)合成AUKF，從而考慮系統(tǒng)噪聲協(xié)方差的變化。AUKF 估算鋰電池SOC流程如下：

a.初始化狀態(tài)變量均值與協(xié)方差：

b.產(chǎn)生Sigma點(diǎn)：

c.計(jì)算Sigma點(diǎn)的權(quán)值：

d.預(yù)測(cè)Sigma點(diǎn)：

式中，X(+1|)為(2+1)個(gè)預(yù)測(cè)Sigma點(diǎn)。

e.預(yù)測(cè)系統(tǒng)狀態(tài)變量及協(xié)方差：

f.再次進(jìn)行無(wú)跡變換，產(chǎn)生新的Sigma點(diǎn)：

g.預(yù)測(cè)觀測(cè)變量及其均值：

h.計(jì)算卡爾曼增益：

i.更新狀態(tài)變量與變量協(xié)方差：

j.更新狀態(tài)噪聲協(xié)方差與觀測(cè)噪聲：

式中，()為自適應(yīng)因子；()為殘差；為遺忘因子，通常0.95≤≤1，本文取=0.97。

式（21）可以保證AUKF估計(jì)SOC時(shí)，實(shí)時(shí)更新鋰電池系統(tǒng)狀態(tài)噪聲與觀測(cè)噪聲特性，進(jìn)而提高算法估計(jì)精度和穩(wěn)定性。但如果狀態(tài)變量協(xié)方差為非對(duì)稱正定矩陣，則無(wú)法進(jìn)行楚列斯基（Cholesky）分解，導(dǎo)致算法無(wú)法估計(jì)，考慮到狀態(tài)噪聲協(xié)方差和觀測(cè)噪聲協(xié)方差會(huì)影響系統(tǒng)狀態(tài)協(xié)方差且兩者都為互不相關(guān)的高斯白噪聲，協(xié)方差矩陣均為對(duì)角矩陣，因此對(duì)狀態(tài)噪聲協(xié)方差與觀測(cè)噪聲協(xié)方差進(jìn)行修正：

4 結(jié)果驗(yàn)證與分析

將FFRLS 辨識(shí)所得參數(shù)分別結(jié)合UKF 和AUKF 估計(jì)鋰電池SOC，其主要步驟如圖8所示。鋰電池在實(shí)際使用過程中，工作情況復(fù)雜，因此使用美國(guó)城市循環(huán)（Urban Dynamometer Driving Schedule，UDDS）工況對(duì)算法進(jìn)行驗(yàn)證。本文所用鋰電池最大放電電流為9 A，最大充電電流為3 A，將工況電流縮放到鋰電池安全適用范圍內(nèi)。考慮到過度放電會(huì)損傷鋰電池甚至使其直接報(bào)廢，因此將UDDS 工況循環(huán)13 次后停止放電，假設(shè)放電電流方向?yàn)檎?，仿真電流如圖9所示。

圖8 鋰電池SOC估計(jì)流程

圖9 仿真電流數(shù)據(jù)

實(shí)際情況下SOC 初值未知，本文將算法的SOC 初值設(shè)置為0.8，將安時(shí)積分法計(jì)算所得SOC 設(shè)為參考值。UKF和AUKF的SOC估計(jì)結(jié)果如圖10所示，SOC估計(jì)誤差如圖11 所示。分析圖10、圖11 可知，UKF 和AUKF對(duì)鋰電池UDDS放電工況下的SOC估計(jì)都有著很好的跟蹤效果，在初值不準(zhǔn)確的情況下，均能快速收斂于參考值并且AUKF 的波動(dòng)情況明顯小于UKF。這是因?yàn)閁KF忽略了系統(tǒng)噪聲特性的變化，而AUKF能實(shí)時(shí)更新系統(tǒng)噪聲特性并利用噪聲協(xié)方差的估計(jì)結(jié)果修正SOC估計(jì)值，從而減小了估計(jì)誤差。

圖10 參考曲線與算法估計(jì)曲線

圖11 算法估計(jì)誤差曲線

本文利用最大相對(duì)誤差和均方根誤差對(duì)比UKF和AUKF 的算法性能，最大相對(duì)誤差和均方根誤差越小，代表算法對(duì)SOC估計(jì)效果越好。不考慮前800 s算法收斂過程，兩者的誤差計(jì)算結(jié)果如表3所示。

表3 UKF和AUKF誤差計(jì)算結(jié)果

分析表3 可知，AUKF 的最大相對(duì)誤差與均方根誤差均小于UKF。相比于UKF，AUKF最大相對(duì)誤差減小了1.62 百分點(diǎn)，均方根誤差減小了0.001 3，AUKF 算法對(duì)鋰電池SOC估計(jì)結(jié)果更好。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文基于鋰電池二階RC 等效電路模型，采用FFRLS參數(shù)辨識(shí)的方法得到鋰電池模型中的各參數(shù)，利用MATLAB將UKF與AUKF進(jìn)行對(duì)比仿真。結(jié)果表明，鋰電池在噪聲復(fù)雜工況下工作時(shí)，相比于UKF，AUKF的最大相對(duì)誤差減小了1.62百分點(diǎn)，均方根誤差減小了0.001 3。AUKF能實(shí)時(shí)調(diào)整系統(tǒng)噪聲統(tǒng)計(jì)特性，因此具有更高的精度和更好的穩(wěn)定性。