吳舒晨，王少軍，馬漢勇，盧 紅

（1.武漢理工大學(xué)機電學(xué)院，湖北 武漢 430070；2.湖北江山重工有限責任公司，湖北 襄陽 441057）

1 引言

工件的直線度形狀誤差是衡量其形狀精度的重要指標［1，2］。隨著加工精度的不斷提高，工件的形狀誤差與機床部件的運動誤差的在線測量與實時反饋變得越來越重要。在精密加工中，工件直線度誤差的測量方法多采用掃描法。由于單傳感器掃描法需要更高精度的直線度物理基準，在實際測量過程中難以實現(xiàn)且測量精度較低，針對此問題，國內(nèi)外諸多學(xué)者展開深入研究，開發(fā)了多種基于誤差分離技術(shù)的直線度測量方法。文獻［3］提出逐次兩點法，實現(xiàn)了被測工件的平移誤差與其表面直線度的分離，但此方法中采樣間隔與傳感器的間隔距離相等，不適于測量較短的工件。1986年，文獻［4］和sato根據(jù)逐次兩點法的特性，將其擴展為逐次三點法，它不但能分離出工件垂直方向的平移誤差，且能去除工件偏擺誤差的影響。文獻［5-6］針對逐次兩點法中采樣間隔較大的問題，開發(fā)了廣義兩點法和組合兩點法，這兩種方法雖然減小了采樣間隔，但廣義兩點法丟失了周期等于傳感器間隔的頻率成分，組合兩點法則需要一段光滑的標準區(qū)域作為基準。由于時域法中存在的以上問題，文獻［7］提出了基于傅里葉變換的直線度頻域重構(gòu)方法。頻域法減小了采樣間隔，但由于諧波抑制及傳感器調(diào)零誤差的影響，造成了重構(gòu)形狀的失真。2002年，文獻［8］提出自然延拓法，解決了頻域法中的諧波抑制問題。文獻［9］總結(jié)前人經(jīng)驗，提出了雙剪切重構(gòu)頻域法和雙剪切重構(gòu)時域法，并分析了傳感器之間的調(diào)零誤差的影響。文獻［10］提出了頻域兩組兩點法，在考慮工件偏擺誤差的情況下，實現(xiàn)了工件表面直線度無理論誤差重構(gòu)，但其用于短工件測量時，仍然存在橫向分辨率不足的問題。

針對以上問題，提出了一種測量金屬條材直線度的新方法—新組合法。該方法將頻域兩組兩點法與逐次兩點法相結(jié)合，并去除傳感器之間調(diào)零誤差的影響，實現(xiàn)了工件表面直線度無理論誤差重構(gòu)。相對于傳統(tǒng)的頻域法，新組合法在測量短工件表面直線度時，具有更高的橫向分辨率。仿真與實驗證明了該方法的正確性與可靠性。

2 直線度測量方法原理

2.1 頻域兩組兩點法測量原理

頻域兩組兩點法克服了經(jīng)典頻域法中的諧波抑制問題，實現(xiàn)了工件表面直線度的無理論誤差重構(gòu)。但參數(shù)條件限制較多，且測量短工件時，橫向分辨率較低。頻域兩組兩點法的原理圖，如圖1所示。

圖1 頻域兩組兩點法原理圖Fig.1 Schematic Diagram of Spatial Frequency Domain Two Sets of 2-point Method

頻域兩組兩點法的測量系統(tǒng)組成與頻域兩點法相同，但掃描分兩次且第二次掃描時需改變傳感器間距。設(shè)f(n)為工件的直線度函數(shù)，s(n)為工件垂直方向的平移誤差，忽略工件運動時的傾角誤差。兩次掃描的傳感器間距分別為L1和L2，采樣間隔為ΔL、評價對象的離散點數(shù)N和各點所在位置保持不變，L1=m1ΔL、L2=m2ΔL，其中，m1，m2均為整數(shù)。

頻域兩點法的直線度重構(gòu)算法有四個步驟［15］：

（1）對兩個傳感器測量值進行差分計算。

由圖1可知，兩個傳感器的測量數(shù)據(jù)為：

兩式差分，去除導(dǎo)軌垂直方向的平移誤差，得：

（2）對形狀的差分值y(n)進行N點離散傅里葉變換。

（3）利用差分傳遞函數(shù)求得工件直線度函數(shù)f(n)的離散傅里葉系數(shù)。

其中，W(k)=ei2πk·m1/N-1。這表明重構(gòu)形狀f(n)的離散傅里葉系數(shù)丟失了原始形狀中的零次成分和空間頻率為1m1及它的諧波成分。

（4）離散傅里葉系數(shù)F(k)進行離散傅里葉反變換，求得重構(gòu)直線度函數(shù)f(n)。

頻域兩點法丟失了原始形狀中的零次成分和空間頻率為1m1及其諧波成分，其中零次成分不會對重構(gòu)形狀的評價產(chǎn)生影響，但空間頻率為1m1及其諧波成分的丟失會造成重構(gòu)形狀的失真。通過頻域兩組兩點法的第二次掃描數(shù)據(jù)可實現(xiàn)對離散傅里葉系數(shù)F(k)丟失頻率的補償。

由于差分值y(n)在[ 0，N-1]上未完全定義，故需對其進行自然延拓。根據(jù)自然延拓的采樣要求，采樣總點數(shù)N需為m1和m2的整倍數(shù)，設(shè)q1=N/m1，q2=N/m2。

當q1與q2互質(zhì)時，重構(gòu)形狀中丟失的空間頻率成分可以完全補償，從而實現(xiàn)形狀的無誤差重構(gòu)。重構(gòu)形狀的傅里葉系數(shù)為：

2.2 新組合法測量原理

頻域兩組兩點法中采樣總點數(shù)N需為距離數(shù)m1和m2的整倍數(shù)，則其最小重構(gòu)長度Lmin=ΔL·m1·m2-1。對于長度較短的精密工件，使用頻域兩組兩點法重構(gòu)的形狀函數(shù)橫向分辨率較低，無法滿足精密工件的測量要求。為解決這一問題，提出了一種新組合法，將頻域兩組兩點法與逐次兩點法兩種方法相結(jié)合，在不增加最小重構(gòu)長度的情況下，極大地提高了重構(gòu)形狀的橫向分辨率。新組合法的原理示意圖，如圖2所示。

圖2 新組合法原理圖Fig.2 Schematic Diagram of the New Combined Method

新組合法采用4個位移傳感器對工件表面直線度進行測量。傳感器之間的距離分別為L1，L2和L3，其中L3=L2+ΔLc，ΔLc為傳感器的采樣間隔。e1，e2和e3為相鄰傳感器之間的調(diào)零誤差。

新組合法的直線度重構(gòu)算法有三個步驟：

（1）將傳感器的采樣數(shù)據(jù)分為p組。

新組合法中傳感器的采樣間隔變?yōu)轭l域兩組兩點法采樣間隔的1p，將前三個傳感器的采樣數(shù)據(jù)分為p組，即采樣點1、p+1、2p+1…np+1為第一組，采樣點2、p+2、2p+2…np+2為第二組，以此類推，將所有采樣點分為p組。

（2）將p組采樣數(shù)據(jù)重構(gòu)為p條曲線

p組采樣數(shù)據(jù)通過頻域兩組兩點法重構(gòu)為p條重構(gòu)曲線，由于單組采樣數(shù)據(jù)中數(shù)據(jù)點之間的距離為ΔL=p·ΔLc，使用頻域兩組兩點法對其進行重構(gòu)，重構(gòu)最小距離不變，仍為Lmin=ΔL·m1·m2-1。

（3）計算各傳感器之間的相對調(diào)零誤差并補償

由于安裝精度等原因，即使經(jīng)過精密調(diào)整，位移傳感器之間也會存在微小的調(diào)零誤差不一致的問題。如圖2所示，傳感器之間的調(diào)零誤差分別為e1、e2、e3，三個調(diào)零誤差與相應(yīng)的傳感器之間的距離一起會導(dǎo)致每次重構(gòu)的工件直線度相對于實際的工件直線度有相應(yīng)的線性偏移，若相對調(diào)零誤差不相等，即e1/L1≠e2/L2≠e3/L3，則最終的重構(gòu)曲線會產(chǎn)生失真。為消除調(diào)零誤差對重構(gòu)曲線的影響，需計算出兩個相對調(diào)零誤差差值Δe1=e1/L1-e2/L2、Δe2=e2/L2-e3/L3，并對其進行補償。

設(shè)工件表面直線度為f(n)，頻域兩點法中調(diào)零誤差對系統(tǒng)造成的是一個線性偏差，則存在調(diào)零誤差時，第一組頻域兩點法測得的曲線為：

第二組頻域兩點法測得的曲線為：

分別對以上兩式做傅里葉變換：

式中：N(k)—傾角45°、周期為N的鋸齒波的傅里葉變換值。

同理得：

當k≠n·q1∩k≠n·q2時，F(xiàn)1(k)=F2(k)，將式（10）減去式（11）得：

從而得到相對調(diào)零誤差差值：

使用Δe1對(k)進行補償，則補償后的重構(gòu)形狀的傅里葉系數(shù)為：

補償之后的相對調(diào)零誤差e1/L1=e2/L2，調(diào)零誤差帶對重構(gòu)形狀只造成線性偏差，不對其直線度的評價造成影響。

同理可求得Δe2，由于測量過程中，傳感器之間的相對位置不變，故相對調(diào)零誤差值在標定之后，在測量過程中不必重新測量求解。

（4）將p條曲線擬合為最終的重構(gòu)曲線

若p條重構(gòu)曲線的相對位置已知，則可以將p條曲線擬合為最終的重構(gòu)曲線。由圖2可知，傳感器3與傳感器4的測量數(shù)據(jù)為：

式中：C1和C2—未知常數(shù)，調(diào)零誤差e3=C2-C1。

兩式差分，去除導(dǎo)軌垂直方向的平移誤差，得：

上式中的調(diào)零誤差e3會對最終的重構(gòu)形狀產(chǎn)生影響，需對其進行補償，使相對調(diào)零誤差e1/L1=e2/L2=e3/L3。由于在單組采樣數(shù)據(jù)重構(gòu)中，系統(tǒng)補償了調(diào)零誤差e2，使e1/L1=e2/L2，故對調(diào)零誤差e3的補償，需使e3/L3=e1/L1，即：

通過式（18）即可得到采樣點1與采樣點m2·p+2、2m2·p+3···(p-1)m2·p+p之間的相對位置。由于采樣點m2·p+2、2m2·p+3···(p-1)m2·p+p分別在第2、3···p條曲線上，故p條重構(gòu)曲線的相對位置已知，通過擬合可得到完整的重構(gòu)曲線。重構(gòu)曲線中的線性趨勢項可通過最小二乘法去除。

3 新組合法的仿真與分析

為驗證以上算法的正確性，使用matlab軟件對其進行仿真。選擇非周期、不規(guī)則的曲線作為原始形狀，避免由于曲線的周期性導(dǎo)致仿真結(jié)果的偶然性。

假設(shè)原始形狀f(n)為：

其中，

如圖3所示為仿真的原始形狀，假設(shè)原始形狀的長度L=149mm，離散點數(shù)N=150，則采樣間隔ΔLmin=1mm。設(shè)傳感器間距L1=25mm、L2=30mm，距離數(shù)m1=5、m2=6，則使用頻域兩組兩點法所得重構(gòu)曲線的橫向分辨率ΔL=5mm，最小重構(gòu)長度Lmin=ΔL·m1·m2-1=149mm。設(shè)傳感器間距L3=31mm，則采用新組合法，重構(gòu)曲線的橫向分辨率ΔLc=L3-L2=1mm，在不改變最小重構(gòu)長度的情況下，橫向分辨率變?yōu)樵瓉淼? 5。

圖3 原始形狀Fig.3 Original Shape

首先對不存在調(diào)零誤差的情況進行分析，由于在新組合

法中橫向分辨率變?yōu)樵瓉淼?/5，故將原始形狀的離散點分為5組，并采用頻域兩組兩點法對其進行重構(gòu)，得到5條相互位置關(guān)系未知的重構(gòu)曲線，如圖4所示。

圖4 5條相互位置關(guān)系未知的重構(gòu)曲線Fig.4 Five Reconstruction Curves with Unknown Mutual Position

傳感器C與傳感器D通過逐次兩點法得到5條重構(gòu)曲線與起點之間的位置關(guān)系，從而確定5條重構(gòu)曲線相互之間的位置關(guān)系，通過擬合得到最終的重構(gòu)曲線。如圖5所示，除由于丟失了原始形狀中的零次頻率成分，造成重構(gòu)曲線與原始形狀起點不同外，兩條曲線完全相同。

圖5 原始形狀與重構(gòu)形狀對比Fig5 Contrast between Original Shape and Reconstructed Shape

在實際測量過程中，調(diào)零誤差的存在不可避免。在仿真中加入調(diào)零誤差e1=0.1mm，e2=0.2mm，e3=0.3mm。由于相對調(diào)零誤差不相等，若不對調(diào)零誤差進行補償，則重構(gòu)曲線出現(xiàn)失真，且產(chǎn)生線性偏移，如圖6所示。

圖6 相對調(diào)零誤差不相等的重構(gòu)形狀Fig.6 Reconstructed Shape with Unequal Relative Zero-Adjustment Error

計算相對調(diào)零誤差差值Δe1、Δe2，并對其值進行補償，使e1/L1=e2/L2=e3/L3。如圖7所示為補償調(diào)零誤差后的重構(gòu)形狀，由于仍存在調(diào)零誤差，重構(gòu)形狀相對原始形狀產(chǎn)生了一個線性偏移，但不影響重構(gòu)形狀的評價。去除重構(gòu)形狀中的線性偏移項，如圖7所示，重構(gòu)形狀與原始形狀除起點不同外，兩條曲線完全一致，驗證了新組合法的正確性。

圖7 重構(gòu)形狀與原始形狀對比Fig.7 Contrast between Reconstructed Shape and Original Shape

4 直線度測量系統(tǒng)的搭建及實驗驗證

為了驗證新組合法的正確性與可靠性，搭建了測量系統(tǒng)并對LG系列直線導(dǎo)軌的表面直線度進行了測量。如圖8所示，實驗在ROSE-JZ50型精密數(shù)控矯直機上進行，位移傳感器采用4個精度為1um，量程為5mm的電渦流傳感器，數(shù)據(jù)采集卡使用NI公司的PXIe4492同步采集卡，主控制器的型號為PXIe8135。被測直線導(dǎo)軌在輸送裝置的帶動下勻速經(jīng)過位移傳感器表面。

圖8 測量實驗結(jié)構(gòu)示意圖Fig.8 Schematic Diagram of Measurement Experiment

圖9 測量實驗實物圖Fig.9 Physical Diagram of Measurement Experiment

由于電渦流傳感器在工作時其頭部周圍會產(chǎn)生交變電磁場，因此需注意相鄰傳感器之間的安裝距離，否則兩傳感器之間會產(chǎn)生電磁干擾，影響測量結(jié)果。實驗采用的電渦流傳感器直徑為8mm，平行安裝的最小距離為40.6mm。

根據(jù)安裝距離的要求，設(shè)置傳感器之間距離分別為L1=48mm，L2=42mm，L3=43mm，單組重構(gòu)曲線的數(shù)據(jù)點之間的距離ΔL=6mm，采樣間隔ΔLc=1mm，最小重構(gòu)長度Lmin=L1/ΔL·L2/ΔL·ΔL-1=335mm。由以上參數(shù)可知，在直線度重構(gòu)長度相同的情況下，新組合法的橫向分辨率為1mm，而頻域兩組兩點法的橫向分辨率為6mm。

實驗首先通過測量長度為1850mm的直線導(dǎo)軌確定傳感器之間的相對調(diào)零誤差Δe1、Δe2，通過多次測量求平均值的方法減少隨機誤差對測量數(shù)據(jù)的影響，相對調(diào)零誤差的測量數(shù)據(jù)，取Δe1=5.6×10-4、Δe2=-8.1×10-4，如圖10所示。

圖10 相對調(diào)零誤差測量數(shù)據(jù)Fig.10 Measurement Data of Relative Zero-Adjustment Error

在確定傳感器之間的相對調(diào)零誤差之后，對長度為335mm的直線導(dǎo)軌進行測量，4個電渦流位移傳感器的測量數(shù)據(jù)，如圖11所示。

圖11 電渦流傳感器測量數(shù)據(jù)Fig.11 Measurement Data of Eddy Current Sensor

對采集到的數(shù)據(jù)通過新組合法進行處理，得到直線導(dǎo)軌表面直線度的重構(gòu)曲線，如圖12中的實線和虛線分別為補償和未補償調(diào)零誤差的重構(gòu)曲線，未補償調(diào)零誤差的重構(gòu)曲線出現(xiàn)明顯失真。

圖12 重構(gòu)曲線Fig.12 Reconstruction Curve

為驗證測量系統(tǒng)的測量精度，選用型號為Global Performance1287的三坐標測量儀對同一實驗導(dǎo)軌進行測量，測量所選用的探頭型號為TIP4BY20MM，測量精度為0.1um。直線度測量系統(tǒng)與三坐標測量儀的測量數(shù)據(jù)差值，如圖13所示。由圖13可知，新組合法的重構(gòu)曲線與三坐標測量儀的測量數(shù)據(jù)的最大差值為2.8um，標準差為0.6um。雖然兩組數(shù)據(jù)存在一定誤差，但考慮到位移傳感器本身精度和隨機誤差的影響，因此該測量數(shù)據(jù)基本可以證明新組合法的實用性和有效性。

圖13 測量數(shù)據(jù)差值Fig.13 The Difference of Measurement Data

5 結(jié)論

提出了一種測量金屬條材直線度的新方法-新組合法。該方法將頻域兩組兩點法與逐次兩點法相結(jié)合，并考慮了傳感器之間的調(diào)零誤差對重構(gòu)結(jié)果的影響，在實現(xiàn)直線度無理論誤差重構(gòu)的同時，解決了傳統(tǒng)頻域法重構(gòu)短工件時橫向分辨率低的問題。通過在精密數(shù)控矯直機上對直線導(dǎo)軌進行多次測量實驗，并對比三坐標測量儀對同一直線導(dǎo)軌的測量數(shù)據(jù)，證明了該方法的正確性與可靠性。