李正杰, 謝軍偉, 張浩為, 邵 雷, 陳文鈺

(空軍工程大學防空反導學院, 陜西 西安 710051)

0 引 言

集中式多輸入多輸出(multi-input and multi-output, MIMO)雷達具備良好的波形分集增益,可有效針對弱小目標進行探測跟蹤。近年來,結(jié)合認知雷達技術(shù)在接收端和發(fā)射端之間建立閉環(huán)反饋回路,實現(xiàn)發(fā)射資源自適應分配已成為MIMO雷達資源分配領(lǐng)域的重要課題[1-3]。雷達跟蹤諸如飛機、艦艇等復雜擴展目標時,不同相位散射點間的相互影響,將導致接收回波相位發(fā)生畸變產(chǎn)生角閃爍[4]。角閃爍噪聲是由角閃爍現(xiàn)象引起的固有測角噪聲,同時具備拖尾特性和非高斯特性[5]。在角閃爍噪聲下,由于跟蹤難度的提升,雷達資源分配任務面臨更大挑戰(zhàn)。

現(xiàn)有關(guān)于MIMO雷達資源分配的研究中,文獻[3]基于分布式MIMO雷達系統(tǒng),推導了關(guān)于目標定位誤差的克拉美羅下界(Cramer Rao lower bound,CRLB),并利用CRLB與發(fā)射功率的關(guān)系,設(shè)計了面向單個靜止目標定位場景的功率分配方法。文獻[6]將功率優(yōu)化模型推廣到了多個靜止目標場景,并提出了一種標準化資源分配框架。文獻[7]在文獻[1]的基礎(chǔ)上,提出增加帶寬分配,并證明了功率和帶寬聯(lián)合分配能夠進一步提高靜止目標定位精度。文獻[8]對目標跟蹤誤差的后驗CRLB(posterior CRLB,PCRLB)進行推導,并利用其可預測性建立了中心式融合框架和去中心式融合框架下的兩類目標跟蹤模型。文獻[9-10]在此基礎(chǔ)上,將研究范圍擴展到了動目標,并利用PCRLB構(gòu)建代價函數(shù)進行功率分配。文獻[11]對分布式MIMO雷達跟蹤單個目標的功率和帶寬聯(lián)合分配問題進行了研究。文獻[12-13]基于集中式MIMO雷達系統(tǒng)開展了面向多目標跟蹤的資源分配問題研究,分別針對理想探測條件和雜波條件構(gòu)建了兩類功率分配機制。上述工作為MIMO雷達資源分配研究打下了堅實的基礎(chǔ),但是還存在一些不足:① 已有文獻多關(guān)注于對發(fā)射功率進行配置,未對包含有效帶寬在內(nèi)的其他發(fā)射資源的優(yōu)化分配問題進行深入研究;② 現(xiàn)有資源分配研究大多是在理想高斯噪聲下進行的,而實際測量噪聲往往是非高斯的;③ 現(xiàn)有用于指導目標跟蹤資源分配的優(yōu)化指標通常為PCRLB,而PCRLB未與當前時刻量測信息進行關(guān)聯(lián),不能準確地反映非理想條件下的目標跟蹤性能。

對此,提出了一種針對集中式MIMO雷達在角閃爍場景下同時跟蹤多批目標的自適應發(fā)射資源分配算法。算法流程可簡述為:① 針對角閃爍噪聲特點,結(jié)合平方根容積卡爾曼濾波(square-root cubature Kalman filter, SRCKF)算法和粒子濾波(particle filter, PF)的優(yōu)勢,設(shè)計了適用于角閃爍場景的濾波算法對目標狀態(tài)進行估計[14];② 根據(jù)目標狀態(tài)估計信息,對下一時刻的條件克拉美羅下界(predicted conditional CRLB, PC-CRLB)進行預測,并構(gòu)建起關(guān)于功率和帶寬的非凸優(yōu)化模型;③ 運用凸松弛和循環(huán)最小化方法[15]將原非凸優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為一系列凸優(yōu)化問題,再結(jié)合SDP算法[16]和Frank-Wolfe可行方向法[17]進行求解,最后將求解結(jié)果反饋到雷達發(fā)射機,從而構(gòu)建起自適應資源分配機制。

1 系統(tǒng)建模

1.1 雷達工作機制

假設(shè)在二維平面內(nèi),一部收發(fā)共置的MIMO雷達部署于點(x0,y0)。雷達由M個發(fā)射陣元、N個接收陣元組成,采用均勻線陣布置方式,執(zhí)行對Q(Q

令雷達在多波束機制下工作,在發(fā)射端同時發(fā)射多個相互正交的寬波束,在接收端采用數(shù)字波束形成技術(shù)(digital beam forming, DBF)合成多個獨立的窄波束從而實現(xiàn)同時跟蹤多批目標。

1.2 信號模型

假設(shè)k時刻雷達向目標q發(fā)射的信號為

(1)

經(jīng)接收機匹配濾波后得到k時刻關(guān)于目標q的回波信號為

(2)

1.3 運動及觀測模型

假設(shè)在二維平面內(nèi),存在Q個運動規(guī)律均滿足常速(constant velocity, CV)模型的運動目標。則k時刻的目標狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為

(3)

(4)

(5)

式中:Δt是采樣間隔;sq代表過程噪聲強度,用以衡量目標速度波動大小。

假設(shè)k時刻,雷達對目標q的觀測向量為

(6)

(7)

(8)

(9)

式中:βq,k和Tq,k分別代表有效帶寬和時寬;BNN為接收波束的寬度。

2 優(yōu)化模型建立

2.1 平方根容積粒子濾波算法

角閃爍噪聲具有拖尾特性,將影響雷達測角精度,在出現(xiàn)角閃爍現(xiàn)象時,基于高斯噪聲假設(shè)的傳統(tǒng)濾波算法跟蹤性能將急劇下降。粒子濾波(particle filter, PF)算法突破了卡爾曼濾波理論框架,不受線性化誤差和高斯噪聲假設(shè)約束,為解決非線性、非高斯性濾波問題提供了新思路。

針對基本粒子濾波直接從狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)中獲得重要性函數(shù),可能導致出現(xiàn)粒子退化的問題。選取計算復雜度較低且精度較高的平方根容積卡爾曼濾波[14](square-root cubature Kalman filter, SCKF)為選取重要性函數(shù)提供參考。通過充分利用當前時刻的觀測信息不斷修正粒子權(quán)值,可顯著提高濾波精度。此外,為抑制閃爍噪聲相關(guān)建模誤差帶來的觀測擾動和狀態(tài)擾動,將SCKF算法應用于PF算法框架中,從而可充分結(jié)合兩者各自優(yōu)勢,形成可應用于角閃爍場景的平方根容積粒子濾波(square-root cubature particle filter, SCPF)。濾波算法流程可歸納為:

步驟 3權(quán)值計算及歸一化。

(10)

(11)

步驟 5狀態(tài)更新。根據(jù)上述計算,對目標在k時刻的狀態(tài)和方差估計如下:

(12)

步驟 6遞歸。令k=k+1,返回步驟2。

2.2 基于PC-CRLB的優(yōu)化目標函數(shù)

(13)

(14)

(15)

但由于存在數(shù)學期望符號,常常難以獲得式(15)的解析解。文獻[21]提出了一種可獲得精確數(shù)值解的計算方法:

(16)

(17)

2.3 優(yōu)化模型的建立

鑒于目標位置的PC-CRLB與功率和帶寬均相關(guān),而PC-CRLB又為跟蹤誤差提供下界,因此可通過合理分配功率和帶寬資源實現(xiàn)減小目標跟蹤誤差的目的?？紤]跟蹤目標的整體跟蹤精度,將各目標的位置的PC-CRLB求和作為代價函數(shù),建立優(yōu)化模型如下:

(18)

至此,在角閃爍噪聲背景下,建立起了以最小化各目標距離的PC-CRLB之和為優(yōu)化準則的集中式MIMO雷達資源自適應分配模型。

3 優(yōu)化模型求解

顯然,式(18)是一個包含兩個優(yōu)化變量的非凸優(yōu)化問題。并且由于帶寬這一二次項的存在,給求解帶來了更大難度。本節(jié)利用凸松弛技術(shù),將原非凸優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一系列凸優(yōu)化問題,再通過SDP算法進行求解。為減小引入凸松弛帶來的系統(tǒng)誤差,通過循環(huán)最小化算法控制整體求解精度。求解過程如下:

步驟 1初始化,將帶寬資源均勻分配。

步驟 2固定帶寬為均勻分配后,原式(18)的優(yōu)化模型可描述為

(19)

由文獻[12]可知,式(19)是凸優(yōu)化問題,可將其轉(zhuǎn)化為SDP問題并通過Frank-Wolfe可行方向法進行求解。具體轉(zhuǎn)化過程如下:

(20)

(21)

(22)

(23)

步驟 3.1初始化。輸入一個可行的起點x(k),設(shè)置允許誤差ε>0并且令k=1;

步驟 3.2求解如下線性規(guī)劃模型:

s.t.x∈S

然后,得到優(yōu)化解y(k);

否則進入步驟3.4;

步驟 3.4求解:

minf(x(k)+λ(y(k)-x(k)))

s.t. 0≤λ≤1

求得優(yōu)化解λ(k);

步驟 3.5令x(k+1)=x(k)+λ(k)(y(k)-x(k),并且設(shè)置k=k+1,返回步驟3.2。

步驟 4將所求得的資源分配結(jié)果代入PC-CRLB進行計算后保存結(jié)果,再跳轉(zhuǎn)至步驟2。直到前后兩次的PC-CRLB之差滿足終止條件ε后,得到最終的功率分配方案Pk,opt和帶寬分配方案βk,opt。至此,便可求解閃爍噪聲下集中式MIMO雷達的功率和帶寬聯(lián)合分配問題，具體方法見下節(jié)。

4 仿真結(jié)果及分析

(24)

表1 目標運動初態(tài)

4.1 高斯白噪聲影響場景

設(shè)置所有目標RCS值為1,且將角閃爍噪聲強度設(shè)置為0,此時量測噪聲為理想情況的高斯白噪聲。

圖2(a)和圖2(b)展示了高斯白噪聲影響場景下4種不同分配方法計算下的PC-CRLB和RMSE性能。由圖2(a)和圖2(b)可知,在距離影響場景下,功率和帶寬聯(lián)合優(yōu)化分配算法性能最佳,等功率等帶寬分配方式性能最差。圖2(c)展示了各時刻功率和帶寬的優(yōu)化分配結(jié)果,不同顏色的方塊代表對應時刻相應目標獲取的資源比率,并將其定義為

(25)

由圖2(c)可知,由于距離目標越遠目標估計誤差越大,系統(tǒng)將更多的功率和帶寬分配給了距雷達較遠的目標(如目標1)。

4.2 角閃爍噪聲影響場景

為探究角閃爍現(xiàn)象對資源分配結(jié)果的影響,設(shè)置角閃爍噪聲時變場景。在該場景下,令目標1和目標3的角閃爍噪聲強度恒定為0.1,目標2的角閃爍強度系數(shù)發(fā)生起伏如圖3所示。

圖4(a)和圖4(b)展示了角閃爍噪聲模型下各算法的PC-CRLB和RMSE性能對比,體現(xiàn)了所提優(yōu)化分配算法在角閃爍場景下的有效性。此外,隨著目標角閃爍噪聲強度的增大,跟蹤精度也受到了相應的影響,使得目標PC-CRLB值與RMSE值均出現(xiàn)波動,但算法性能結(jié)論仍與距離影響場景一致。圖4(c)展示了角閃爍噪聲影響下的各目標資源分配的結(jié)果。結(jié)果表明,由于目標2的角閃爍強度最高,因此相較場景1而言獲得了更多的發(fā)射資源。相反地,由于目標3的角閃爍噪聲強度較低且徑向距離最小,相較其余目標獲得的資源最少。

4.3 算法收斂性檢驗

由圖5可知,所提優(yōu)化算法在距離影響場景和角閃爍噪聲影響場景均有較好的收斂性能。并且隨著自適應跟蹤時間的增加,算法收斂性能有所提升。此外,從仿真結(jié)果得出,在迭代次數(shù)為40次時,算法的平均計算時間約為0.79 s,小于仿真步長1 s。因此,在配備性能較強的計算機后,所提算法完全可保證資源分配任務的穩(wěn)定性和時效性要求。

5 結(jié) 論

本文基于集中式MIMO雷達系統(tǒng),提出了一種適用于角閃爍噪聲下進行多目標跟蹤的自適應資源分配算法。該算法通過合理分配功率和帶寬資源,能夠有效提高多目標跟蹤精度。仿真結(jié)果表明,本文所提面向角閃爍噪聲的資源優(yōu)化分配算法具有良好的穩(wěn)定性和時效性。