范保華, 左 樂,*, 唐 勇,2, 胡澤華

(1. 中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第二十九研究所, 四川 成都 610036; 2. 電子科技大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院, 四川 成都 611731)

0 引 言

輻射源參數(shù)估計(jì)問題在雷達(dá)、聲吶、麥克風(fēng)陣列、射電天文以及移動(dòng)通信中有廣泛應(yīng)用,因此其在陣列信號(hào)處理領(lǐng)域具有重要的研究?jī)r(jià)值[1-5]。微波測(cè)向通過在不同空間位置布置天線接收來波的電磁信號(hào)進(jìn)行。根據(jù)布置天線的方式可分為靜態(tài)陣列和時(shí)變合成陣列。靜態(tài)陣列每個(gè)單元均配有對(duì)應(yīng)的接收通道,通過不同陣元同時(shí)采集空間中來波信號(hào)的場(chǎng)分布,并通過參數(shù)估計(jì)等方法完成測(cè)向[5]。靜態(tài)陣的優(yōu)點(diǎn)是可以完成單脈沖測(cè)向,但缺點(diǎn)在于需通過較多的天線和相應(yīng)的接收通道來解模糊及高精度測(cè)向。

與同時(shí)采集來波信號(hào)場(chǎng)分布的靜態(tài)陣不同,時(shí)變陣列在測(cè)量過程中移動(dòng)采樣位置,通過時(shí)間積累和空間掃描,利用簡(jiǎn)化的采樣硬件獲取來波的空間場(chǎng)分布信息。將同時(shí)采集用分時(shí)采集替代,在處理時(shí)間與硬件資源之間進(jìn)行權(quán)衡。

無源合成陣列(passive synthetic array, PSA)既是典型的時(shí)變測(cè)向陣列。其通過較少的采樣單元數(shù)目,通過分時(shí)改變陣元位置來實(shí)現(xiàn)一維或二維場(chǎng)分布采集[6-7]。1996年,Friedlander首次將時(shí)變陣列用于測(cè)向,將靜態(tài)陣基于本征值的測(cè)向方法應(yīng)用于時(shí)變陣[6]。

無源合成陣列由于其簡(jiǎn)單的系統(tǒng)架構(gòu)和較高的測(cè)向精度被廣泛應(yīng)用,但在實(shí)際工程應(yīng)用中易遇到以下難點(diǎn):

(1) 信號(hào)分選問題。采用靜態(tài)陣測(cè)向時(shí),由于采用多通道同時(shí)采樣,可同時(shí)測(cè)量每個(gè)信號(hào)的幅度、頻率、相位等信息,并以此計(jì)算得到該信號(hào)的入射角。然而采用時(shí)變陣測(cè)向時(shí),每一次采樣僅能獲得入射場(chǎng)的幅度、相位、頻率等數(shù)據(jù),無法建立多個(gè)數(shù)據(jù)間的顯性關(guān)聯(lián)。當(dāng)多個(gè)輻射源在同一時(shí)間段內(nèi)交替輻射信號(hào)時(shí),采樣數(shù)據(jù)相互交錯(cuò),但又無法事先獲得單個(gè)采樣數(shù)據(jù)與其輻射源的對(duì)應(yīng)關(guān)系。反觀入射角的估計(jì),需首先完成信號(hào)分選,建立每個(gè)采樣信號(hào)與輻射源之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系,才能采用來自同一個(gè)輻射源的數(shù)據(jù)進(jìn)行該輻射源信號(hào)參數(shù)的精確估計(jì)。

(2) 采樣過程中信號(hào)幅度時(shí)變問題。如對(duì)于來波為波束掃描的雷達(dá)信號(hào)[7],在不同時(shí)刻收到信號(hào)幅度不同,導(dǎo)致其接收的信噪比不穩(wěn)定,而不同信噪比(signal to noise ratio, SNR)的信號(hào)置信度不完全一樣,對(duì)于高精度測(cè)向需該考慮不同質(zhì)量信號(hào)對(duì)測(cè)向結(jié)果的貢獻(xiàn)程度。

(3) 輻射信號(hào)頻率時(shí)變問題。對(duì)于頻率間隔大于信號(hào)帶寬的信號(hào),可以從頻域上將其分為多個(gè)輻射源。但對(duì)于頻率間隔小于信號(hào)帶寬的信號(hào),如跳頻信號(hào)或頻率調(diào)制信號(hào),此時(shí)信號(hào)的頻率時(shí)變特性就必須謹(jǐn)慎處理,因?yàn)槿魧⑼惠椛湓串a(chǎn)生的變頻信號(hào)分為多個(gè)輻射源進(jìn)行處理,則會(huì)造成信號(hào)分選錯(cuò)誤。不僅如此,每組信號(hào)數(shù)據(jù)量的減少還會(huì)導(dǎo)致測(cè)向精度的下降。

(4) 信號(hào)的采樣位置取決于信號(hào)到達(dá)的時(shí)間,其分布并非均勻,空間采樣位置無周期性。

在眾多的波達(dá)方向(direction of arrival, DOA)估計(jì)方法中,最大似然(maximum likelihood, ML)方法被認(rèn)為性能穩(wěn)健且統(tǒng)計(jì)效率較高[5,8-9]。同時(shí),ML方法容易結(jié)合最大期望(expectation maximization, EM)算法[10],進(jìn)行信號(hào)的分選以及多信號(hào)的參數(shù)估計(jì)。EM算法可將多信號(hào)進(jìn)行分離,其最大優(yōu)勢(shì)在于能將多目標(biāo)的優(yōu)化問題分解為幾個(gè)獨(dú)立的單目標(biāo)優(yōu)化問題,通過反復(fù)迭代將問題降維,從而實(shí)現(xiàn)運(yùn)算量的縮減。Weinstein和Feder首先將EM算法應(yīng)用于測(cè)向領(lǐng)域,實(shí)現(xiàn)多徑時(shí)延和多輻射源定位[11]。隨后,Chung和Frenkel分別將EM算法應(yīng)用于多目標(biāo)點(diǎn)頻信號(hào)位置信息的獲取[12-13]。對(duì)于寬帶信號(hào),Mada和Lu分別將EM算法應(yīng)用于信號(hào)位置參數(shù)和波形的聯(lián)合估計(jì)[14-15]。

在時(shí)變測(cè)向陣列的移動(dòng)形式方面,文獻(xiàn)[16-19]將無源合成線陣用于輻射源的測(cè)向和定位。雖然無源合成線陣通過陣列的直線移動(dòng)形成一個(gè)大的測(cè)向物理尺寸對(duì)空間來波進(jìn)行分時(shí)采集,但其存在移動(dòng)路徑的左右無法分辨、移動(dòng)姿態(tài)不易控制等問題。另一方面,由于陣列的旋轉(zhuǎn)容易控制,無源合成圓陣可通過兩傳感器的旋轉(zhuǎn)獲取各角度下的輻射源場(chǎng)分布信息,用于解算輻射源的二維入射角[20-32],并實(shí)現(xiàn)360°的全方位角覆蓋。文獻(xiàn)[21]提出采用兩天線旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)無源合成圓陣,用于地球同步軌道衛(wèi)星測(cè)向。但該方法未考慮多輻射源以及相位模糊問題,因此僅適用于單輻射源以及窄帶、小角度的測(cè)向系統(tǒng)。文獻(xiàn)[22]基于信號(hào)子空間測(cè)向方法,但要求頻率和采樣間隔固定。文獻(xiàn)[23]采用粒子群優(yōu)化算法,進(jìn)行目標(biāo)參數(shù)計(jì)算,但是由于粒子群算法采用隨機(jī)搜索策略,其全局尋優(yōu)能力并不十分可靠[24]。文獻(xiàn)[25]所采用的陣元數(shù)較大,且只適用于單信號(hào)。文獻(xiàn)[26-27]采用多假設(shè)偽線性迭代最小二乘方法,但未考慮信號(hào)分選問題,故僅能處理單輻射源情形。對(duì)于多信號(hào)問題,文獻(xiàn)[28]僅利用相位差信息,提出采用正交譜配對(duì)追蹤方法解決了多目標(biāo)問題。但由于其譜值的計(jì)算過程要求頻率固定、采樣位置均勻,因此仍無法適應(yīng)數(shù)據(jù)采集過程中信號(hào)頻率、幅度、位置間隔改變等問題。除此之外,文獻(xiàn)[29-31]雖然實(shí)現(xiàn)了多目標(biāo)二維角度的無模糊估計(jì),但均未考慮各采樣點(diǎn)信噪比各異的情況,會(huì)造成測(cè)向精度下降。

為同時(shí)解決上述4個(gè)無源合成陣列測(cè)向及分選所面臨的問題,本文提出采用EM算法,同時(shí)解決頻變多輻射源的測(cè)向以及信號(hào)分選問題。據(jù)筆者所知,尚未見將EM算法應(yīng)用于無源合成陣列多目標(biāo)測(cè)向的報(bào)道。對(duì)于每個(gè)輻射源的DOA估計(jì),本文采用ML方法進(jìn)行二維測(cè)向,并考慮每個(gè)接收信號(hào)采樣位置間隔、頻率、SNR均不同的情形。但直接采用復(fù)數(shù)形式的接收信號(hào)對(duì)來波方位角及仰角的ML估計(jì)是一個(gè)非線性、多維的極值問題,需要全局多維搜索,其計(jì)算量較大。由于不同DOA產(chǎn)生的信號(hào)相位不同,相位干涉儀同樣適用于時(shí)變測(cè)向陣列。注意到接收信號(hào)的相位差與二維入射角的投影呈線性關(guān)系,本文采用相位數(shù)據(jù)推導(dǎo)了不同SNR條件下二維入射角的閉合形式解析表達(dá)式。其次,無源合成陣列與靜態(tài)陣列相同,當(dāng)涉及到采用干涉儀體制測(cè)量輻射源DOA時(shí),會(huì)出現(xiàn)相位翻轉(zhuǎn)的模糊問題。為了解相位模糊的多值問題,通常需要增加傳感器數(shù)量來排除多值,這無疑會(huì)增加系統(tǒng)和算法的復(fù)雜度。通常的相位解模糊方法根據(jù)先計(jì)算出的一個(gè)粗角度來還原相位的真實(shí)值[32]。但已報(bào)道的相位解模糊方法只適合靜態(tài)線陣[32-34],不能直接用于無源合成圓陣。為了解決相位模糊問題,本文先采用無模糊的復(fù)數(shù)形式的ML方法,進(jìn)行粗測(cè)向,以減小譜峰搜索的運(yùn)算量,再采用解模糊后的相位數(shù)據(jù)進(jìn)行入射角的解析運(yùn)算。最后,數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,本文提出的基于EM算法的能完成高精度測(cè)向,其測(cè)向誤差接近克拉米勞下限(Cramer Rao lower bound, CRLB),且測(cè)向與信號(hào)分選同時(shí)完成。

1 EM算法與模型建立

1.1 EM算法

EM算法最早于1977年由Dempster等人提出[10],其思路是將用于參數(shù)估計(jì)的數(shù)據(jù)進(jìn)行分組,然后在每組內(nèi)進(jìn)行參數(shù)的分別估計(jì),再根據(jù)新的估計(jì)參數(shù)重新進(jìn)行數(shù)據(jù)的分組,以提高參數(shù)估計(jì)的質(zhì)量,并以此交替迭代,進(jìn)行數(shù)據(jù)的分解與參數(shù)的估計(jì)。EM算法的流程如圖1所示。隨著參數(shù)似然值的增加,分組結(jié)果最終也將收斂。EM算法的的一個(gè)顯著特點(diǎn)在于多個(gè)參數(shù)的估計(jì)不通過單次處理,而是每次參數(shù)估計(jì)后,用新參數(shù)重新劃分?jǐn)?shù)據(jù),再對(duì)劃分后的數(shù)據(jù)分別進(jìn)行新一輪的參數(shù)估計(jì)。EM算法采用迭代的方式將一個(gè)高維問題分解成多個(gè)低維問題,通過降維實(shí)現(xiàn)運(yùn)算量的精簡(jiǎn)。

結(jié)合多目標(biāo)測(cè)向與信號(hào)問題,由于輻射源的位置在旋轉(zhuǎn)周期內(nèi)相對(duì)固定,因此可依據(jù)輻射源的入射角參數(shù)進(jìn)行觀察數(shù)據(jù)的分解,即將來自于同一輻射源的接收數(shù)據(jù)分解入一組。而接收數(shù)據(jù)與輻射源位置的關(guān)系可通過ML方法求解的二維角度參數(shù)進(jìn)行表征。基于此,首先建立接收信號(hào)的模型。

1.2 接收信號(hào)模型

設(shè)間隔為d的兩天線在與XOY面內(nèi)旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,如圖2所示。在一個(gè)采樣周期內(nèi),該合成圓陣接收到來自P個(gè)位置固定的輻射源發(fā)出的N個(gè)信號(hào)。輻射源輻射的電磁信號(hào)頻率、幅度均不相同。

由于采樣時(shí)間極短,采樣周期內(nèi)的旋轉(zhuǎn)角度可忽略不計(jì)。第p個(gè)輻射源的第n個(gè)脈沖信號(hào)的接收信號(hào)時(shí)域表達(dá)式為

Vn(t)=Anexp(jωnt+jφp(n))+en(t),n=1,2，…,N

(1)

φp(n)=kp(n)dsinθpcos(φ(tn)-φp)

(2)

式中：旋轉(zhuǎn)角度φ(tn)∈[0,2π)為旋轉(zhuǎn)臂與x軸的夾角;仰角φp∈[0,2π)為來波方向與x軸夾角;方位角θp∈[0,π)為來波方向與z軸夾角;kp(n)=ωn/c為波數(shù),c為波的傳播速度。本文假設(shè)信號(hào)頻率測(cè)量無誤差。

此時(shí),通過采樣點(diǎn)數(shù)為M的付氏變換,將時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)化為頻域信號(hào):

(3)

可得第無模糊相位測(cè)量值為

(4)

式中:ε(n)表示相位測(cè)量噪聲。由于不同采樣點(diǎn)間噪聲相互獨(dú)立,等效相位噪聲的方差[35]為

(5)

此即為頻域相位噪聲與時(shí)域高斯白噪聲的關(guān)系。其揭示了相位噪聲與信噪比的關(guān)系,即在采樣數(shù)一定的條件下,相位噪聲的方差與信噪比成反比。同時(shí),等效相位噪聲服從高斯分布[36]。

當(dāng)天線間距d大于半個(gè)工作波長(zhǎng)時(shí),會(huì)出現(xiàn)相位模糊問題。由于相位的測(cè)量值在[-π,π)之內(nèi),為相位的真實(shí)值對(duì)2π取模后的余數(shù),故為

(6)

式中:h(n)為一整數(shù),也被稱為模糊數(shù)。由此可見,相位的測(cè)量值為信號(hào)的空間相差疊加相位噪聲后,對(duì)2π取模后的余數(shù)。

當(dāng)P個(gè)輻射源在一個(gè)采樣時(shí)間內(nèi)交替輻射信號(hào),該合成圓陣的采樣信號(hào)相位為P個(gè)輻射源所產(chǎn)生的信號(hào)相位疊加,即

(7)

2 二維入射角估計(jì)

2.1 基于相位的二維測(cè)向方法

(8)

對(duì)條件概率密度函數(shù)的對(duì)數(shù)值取偏微分,并令其為零,即

(9)

和

(10)

有

(11)

及

(12)

根據(jù)三角函數(shù)的和差化積關(guān)系,以及每個(gè)相位差采樣相位誤差方差與SNR的反比關(guān)系,可得二維入射角的簡(jiǎn)潔表達(dá)式為

(13)

(14)

式中:b1和b2為矩陣b=[b1,b2]T的兩個(gè)元素,可通過下式計(jì)算得到:

b=(det(A))-1[A][c1,c2]T,

(15)

式中:det(A)為矩陣A的行列式值。矩陣A=[(a11,a12)T·(a21,a22)T]的元素為

(16)

以及

(17)

式(16)和式(17)即通過無模糊相位值計(jì)算來波二維入射角的解析表達(dá)式。為得到無模糊相位值,還需進(jìn)行模糊解算。

2.2 基于復(fù)數(shù)響應(yīng)的相位模糊解算

(18)

式中:

w(n)=exp(jε(n))-1=x(n)+jz(n)

(19)

當(dāng)SNR較高時(shí),w(n)的實(shí)部和虛部根據(jù)泰勒級(jí)數(shù)展開進(jìn)行一階近似,有

(20)

z(n)=sin(ε(n))?ε(n)

(21)

因此,與式(8)相對(duì)應(yīng)的yp=[yp(1),yp(2),…,yp(N)]的條件概率密度可寫為

(22)

(23)

(24)

式中:round為四舍五入運(yùn)算。然后通過模糊數(shù)即可計(jì)算出相位真值,即

(25)

3 理論精度下限分析

采用信噪比分析時(shí)變陣對(duì)頻變目標(biāo)的測(cè)向誤差下限,作為評(píng)價(jià)時(shí)變陣測(cè)向性能的指標(biāo)。由式(1)可得關(guān)于方位角和仰角的Fisher矩陣元素為

(26)

式中：α1=θp;α2=φp;μn=cos(φp(n));νn=sin(φp(n))。再根據(jù)式(5)得Fisher矩陣的各元素為

(27)

求Fisher矩陣的逆,即可得到合成圓陣測(cè)量寬帶時(shí)變信號(hào)的方位角與仰角的克拉米勞精度下限,分別為

(28)

(29)

值得注意的是,若采樣點(diǎn)均勻,各采樣信號(hào)頻率、SNR相同,分別為k0c/2π和SNR0時(shí),可得到仰角、方位角的克拉米勞下限表達(dá)式,分別為

var(Δφp)≥(NM×SNR0)-1(k0dsinθp)-2

(30)

var(Δθp)≥(NM×SNR0)-1(k0dcosθp)-2

(31)

可見,來波入射角遠(yuǎn)離陣面法向,仰角測(cè)向誤差增加,而方位角測(cè)向誤差減小。同時(shí),測(cè)量相位的采樣點(diǎn)和場(chǎng)分布的采樣點(diǎn)數(shù)越多、SNR越高,測(cè)向誤差越小。

4 EM算法求解多信號(hào)參數(shù)

在多輻射源入射條件下,直接求解法既求下式的ML解：

(32)

式中：dis[x]=|mod(x,2π)|定義相位的距離,mod(x,2π)表示x對(duì)2π取余數(shù)運(yùn)算。注意到,在信號(hào)未分選的情況下,尚無法確定相位值與輻射源的對(duì)應(yīng)關(guān)系,以及輻射源的入射角,因此對(duì)式(32)的直接求解是一個(gè)計(jì)算復(fù)雜度為非確定性多項(xiàng)式的問題[37]。

換個(gè)角度,若已知輻射源的入射角信息,則可依據(jù)角度信息計(jì)算得到該輻射源在合成圓陣處產(chǎn)生的理論相位差,并將與該相位差最接近的采樣數(shù)據(jù)來自該輻射源,以此進(jìn)行信號(hào)分選,從而建立輻射源與采樣數(shù)據(jù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。另一方面,若已知信號(hào)分選,即已建立各接收數(shù)據(jù)與其輻射源輻的對(duì)應(yīng)關(guān)系,則該P(yáng)維問題變?yōu)镻個(gè)一維問題,通過接收數(shù)據(jù)進(jìn)行入射角解算?；诖藢⒏呔S復(fù)雜問題降維的思想,本文先將觀察數(shù)據(jù)進(jìn)行隨機(jī)分組,根據(jù)每組頻率、幅度、相位差等數(shù)據(jù)分別進(jìn)行單輻射源的入射角估計(jì),然后根據(jù)估計(jì)的入射角對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行重新歸類,并依次在估計(jì)和歸類間進(jìn)行迭代,直至算法收斂。合成陣列求解時(shí)變多目標(biāo)參數(shù)的EM算法流程如圖3所示,主要包含求期望值步驟和期望值最大化兩個(gè)步驟。

4.1 求期望值步驟

求期望值步驟的作用是進(jìn)行信號(hào)分選,即根據(jù)輻射源入射角計(jì)算該位置在合成圓陣處產(chǎn)生的相位差,并以采樣相位差距此理論相位差最小為依據(jù)進(jìn)行接收數(shù)據(jù)的重新分組,將的采樣數(shù)據(jù)歸為一組中。根據(jù)第p個(gè)輻射源第i次入射角估計(jì)值,其在合成圓陣處所產(chǎn)生的理論相位差為

(33)

根據(jù)每個(gè)觀測(cè)相位差與理論相位差的距離,將觀測(cè)相位差與理論相位差最接近的數(shù)據(jù)分為同一組,即

(34)

最終將觀測(cè)數(shù)據(jù)分為P組。

4.2 期望值最大化步驟

此步驟采用ML法,通過分組后的觀測(cè)數(shù)據(jù)分別計(jì)算每組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的二維入射角,即將求期望值步驟中每組觀測(cè)數(shù)據(jù)分別求解下式的ML解:

(35)

5 數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)

本節(jié)通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)仿真分析無源合成圓陣的信號(hào)分選和測(cè)向性能,并驗(yàn)證求解時(shí)變多目標(biāo)信號(hào)參數(shù)的EM算法的能力。

5.1 單輻射源情形

本節(jié)主要考察測(cè)向誤差的均方根值隨入射仰角的變化情況。兩天線間距為1.2 m,旋轉(zhuǎn)一周采樣點(diǎn)數(shù)為100。信號(hào)的中心頻率為1.5 GHz,頻率變化范圍為中心頻率的13%,即從1.4～1.6 GHz范圍內(nèi)隨機(jī)變化。SNR在-10～10 dB內(nèi)隨機(jī)分布。仿真采用的每個(gè)接收信號(hào)的SNR與來波頻率如圖4所示。

仰角從5°變化到75°,方位角固定為170°,分別進(jìn)行500次獨(dú)立計(jì)算,并將測(cè)向誤差的均方根與CRLB進(jìn)行對(duì)比,重點(diǎn)考察了考慮每個(gè)接收信號(hào)SNR不同的情形。計(jì)算結(jié)果對(duì)比如圖5所示?？紤]不同采樣點(diǎn)的SNR能提高測(cè)向精度,且考慮SNR的測(cè)向精度接近理論誤差下限。同時(shí),入射仰角越大,方位角測(cè)向誤差越小,仰角測(cè)向誤差越大,與分析結(jié)論相符。

5.2 多輻射源情形

6 結(jié) 論

本文重點(diǎn)討論了采用無源合成陣列在多輻射源環(huán)境下對(duì)時(shí)變信號(hào)的參數(shù)估計(jì)問題,包括對(duì)多個(gè)輻射源的二維測(cè)向以及對(duì)其產(chǎn)生交錯(cuò)信號(hào)的分選。建立了無源合成圓陣測(cè)向的數(shù)學(xué)模型,考慮了目標(biāo)頻變、測(cè)向位置非均勻、單次測(cè)量信噪比不同等因素。提出了采用無源合成陣列進(jìn)行時(shí)變多信號(hào)參數(shù)估計(jì)與分選的EM算法。該算法通過將高維多參數(shù)估計(jì)問題分解成多個(gè)低維參數(shù)估計(jì)問題,從而降低運(yùn)算復(fù)雜度。根據(jù)基于相位數(shù)據(jù)的ML估計(jì)方法,推導(dǎo)出閉合形式且性能接近最優(yōu)估計(jì)的入射角計(jì)算解析解。此外,采用基于接收響應(yīng)復(fù)數(shù)的ML方法,利用旋轉(zhuǎn)帶來的基線多樣性實(shí)現(xiàn)了相位模糊的解算。通過兩種不同似然方法的有機(jī)結(jié)合,兼顧了入射角初值計(jì)算運(yùn)算量與最終入射角的求解精度。通過理論下限推導(dǎo),分析了無源合成圓陣的測(cè)向精度,揭示了入射仰角、陣列口徑、采樣點(diǎn)數(shù)和信噪比對(duì)二維測(cè)向精度的影響。最后通過單輻射源和多輻射源的數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了分析結(jié)論和算法的有效性。