韓計峰

(山東省鄒城市實驗中學(xué))

算盤是一種手動操作進(jìn)行計算的輔助工具.它起源于中國，是在長期使用算籌的基礎(chǔ)上發(fā)明的，迄今已有2600多年的歷史，是中國古代一項偉大、重要的發(fā)明，在阿拉伯?dāng)?shù)字出現(xiàn)前是全世界廣為使用的計算工具.“珠算”一詞最早見于東漢徐岳所撰的《數(shù)術(shù)記遺》，其中有云:“珠算控帶四時，經(jīng)緯三才.”北周甄鸞為此作注，大意是把木板刻為3部分，上、下兩部分是停游珠用的，中間一部分是作定位用的.借助算盤巧妙入題，創(chuàng)設(shè)創(chuàng)新情境與文化氛圍，合理融入計數(shù)原理、排列與組合、概率與統(tǒng)計等相關(guān)知識，是新高考數(shù)學(xué)試卷中比較常見的一類數(shù)學(xué)文化試題.

1 計數(shù)問題

例1算盤是中國古代的一項重要發(fā)明.現(xiàn)有一種算盤(如圖1-甲)，共兩檔，自右向左分別表示個位和十位，檔中橫以梁，梁上一珠撥下，記作數(shù)字5，梁下五珠，上撥一珠記作數(shù)字1(圖1-乙中算盤表示整數(shù)51).如果撥動圖1-甲算盤中的三枚算珠，可以表示不同整數(shù)的個數(shù)為( ).

圖1

A.16 B.15 C.12 D.10

分析分如下四種情況進(jìn)行分類討論:①個位撥動三枚;②十位撥動一枚，個位撥動兩枚;③十位撥動兩枚，個位撥動一枚;④十位撥動三枚.進(jìn)而分別列舉出每種情況下對應(yīng)的數(shù)字，利用分類加法計數(shù)原理可得出結(jié)果.

解由題意，撥動三枚算珠，有4種不同的撥法.

①個位撥動三枚，有2種結(jié)果:3，7;

②十位撥動一枚，個位撥動兩枚，有4種結(jié)果:12，16，52，56;

③十位撥動兩枚，個位撥動一枚，有4種結(jié)果:21，25，61，65;

④十位撥動三枚，有2種結(jié)果:30，70.

綜上，撥動題圖1-甲算盤中的三枚算珠，可以表示不同整數(shù)的個數(shù)為2＋4＋4＋2＝12，故選C.

點評

破解本題的關(guān)鍵是根據(jù)算盤中個位、十位不同的撥動情況進(jìn)行合理分類討論.針對算盤中梁上與梁下算珠的不同表達(dá)方式，合理分類討論，分類時要做到不重不漏.

2 排列組合問題

例2圖2是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左，分別是個位、十位、百位、…，上面一粒珠(簡稱上珠)代表5，下面一粒珠(簡稱下珠)代表1，即五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大小.現(xiàn)在從個位、十位和百位這三組中隨機(jī)選擇往下?lián)?粒上珠，且往上撥2粒下珠，則算盤表示的數(shù)的個數(shù)為( ).

圖2

A.9 B.18 C.27 D.36

分析通過算盤上珠與下珠的不同操作情況進(jìn)行分步處理，在不同珠的處理過程中進(jìn)行組合計數(shù)分析，結(jié)合分步計數(shù)原理確定算盤表示的數(shù)的個數(shù).

解根據(jù)珠算的運(yùn)算法則以及題干中描述的操作，從個位、十位、百位上珠中選1粒往下?lián)?，則可表示C13個數(shù).

下珠往上撥分兩種情況，全部來自個位或十位或百位，即可表示C13個數(shù)，或者來自個位、十位、百位中的兩個，即可表示C23個數(shù).

綜上，算盤表示的數(shù)的個數(shù)為C13(C13＋C23)＝18，故選B.

點評

本題主要考查組合計數(shù)以及分步計數(shù)原理的應(yīng)用.借助排列組合以及計數(shù)原理來確定算盤中表示數(shù)的個數(shù)問題，要對算盤各數(shù)位、上珠與下珠情況以及不同情況進(jìn)行合理分析，綜合考查邏輯推理、代數(shù)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

3 概率問題

例3 算盤是中國傳統(tǒng)的計算工具，其形長方，周為木框，內(nèi)貫直柱，俗稱“檔”，檔中橫以梁，梁上兩珠，每珠作數(shù)五，梁下五珠，每珠作數(shù)一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.如圖3所示，在十位檔撥上一顆上珠和兩顆下珠，個位檔撥上四顆下珠，則表示數(shù)字74.若在個位、十位、百位、千位檔中隨機(jī)選擇一檔撥上一顆下珠，再隨機(jī)選擇兩個不同檔位各撥一顆上珠，則所表示的數(shù)字大于300的概率為________.

圖3

分析先分析所有表示的數(shù)的種數(shù)，然后考慮所表示的數(shù)不大于300的種數(shù)，即下珠在個位、十位檔上;下珠在百位檔上.通過對立事件的概率，采用“正難則反”思想進(jìn)行分析與求解.

解由題意，在個位、十位、百位、千位檔中隨機(jī)選擇一檔撥上一顆下珠，再隨機(jī)選擇兩個不同檔位各撥一顆上珠，共有C14C24＝24種.

在個位、十位檔中隨機(jī)選擇一檔撥上一顆下珠，再隨機(jī)從個位、十位兩個不同檔位各撥一顆上珠時，得到的數(shù)字不大于300，共有C12C22＝2種.

在百位檔中隨機(jī)選擇一檔撥上一顆下珠，再隨機(jī)從個位、十位兩個不同檔位各撥一顆上珠時，得到的數(shù)字不大于300，有C22＝1種.

綜上，所撥數(shù)字大于300的概率為

點評

解答本題的關(guān)鍵在于理解每個檔位上的算珠所表示的數(shù)字大小以及“正難則反”思想的運(yùn)用.破解此類創(chuàng)新概率問題往往要結(jié)合古典概型或幾何概型，利用排列組合等相關(guān)知識，綜合一些常見的數(shù)學(xué)思維，結(jié)合對立事件、互斥事件以及條件概率等合理求解.

4 綜合問題

例4(多選題)算盤是我國古代一項偉大的發(fā)明，是一種重要的計算工具.圖4是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左，分別表示個位、十位、百位、千位、…，上面一粒珠子(簡稱上珠)代表5，下面一粒珠子(簡稱下珠)代表1，五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大小.例如，個位撥動一粒上珠、十位撥動一粒下珠，表示數(shù)字15.現(xiàn)將算盤的個位、十位、百位、千位分別隨機(jī)撥動一粒珠子，設(shè)事件A:“表示的四位數(shù)能被3整除”，事件B:“表示的四位數(shù)能被5整除”，則( ).

圖4

分析只撥動一粒珠子，因此數(shù)字只表示1或5，由此可得四位數(shù)的個數(shù).而能被3整除，只能是2個1和2個5，求出四位數(shù)的個數(shù)后可得概率.而被5整除，只要個位數(shù)字是5即可.由此計數(shù)后可計算出概率，判斷各選項.

解現(xiàn)將算盤的個位、十位、百位、千位分別隨機(jī)撥動一粒珠子，基本事件總數(shù)為24＝16，事件A包含的四位數(shù)有1155，1515，1551，5511，5115，5151，共6個，則故A正確.

事件B包含的基本事件有1115，1155，1515，1555，5555，5115，5155，5515，共8個，則P(B)＝故B錯誤.

事件A∪B包含的基本事件有:1155，1515，1551，5511，5115，5151，1115，1555，5555，5155，5515，共11個，則故C正確.

事件AB包含的基本事件有1155，1515，5115，共3個，則故D正確.

綜上，選ACD.

點評

本題主要以古典概型為問題背景，結(jié)合算盤創(chuàng)新情境合理設(shè)置多選題，涉及互斥事件、獨立事件等概率知識.解題時合理計數(shù)，正確剖析，借助對應(yīng)的概率公式以及思想方法處理，巧妙判斷.

5 變式練習(xí)

1.珠算是以算盤為工具進(jìn)行數(shù)字計算的一種方法，2013年年底聯(lián)合國教科文組織將中國珠算項目列入人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.算盤的每個檔(掛珠的桿)上有7顆算珠，用梁隔開，梁上面的兩顆珠叫“上珠”，下面的5顆叫“下珠”，從最右邊兩檔的14顆算珠中任取1顆，則這一顆是上珠的概率為( ).

解析

從最右邊兩檔的14顆算珠中任取1顆，基本事件總數(shù)為14，這一顆是上珠包含的基本事件個數(shù)為4，所以這一顆是上珠的概率為故選C.

2.我國古代算盤每個檔(掛珠的桿)上有7顆算珠，用梁隔開，梁上面兩顆叫上珠，上珠每顆代表數(shù)值5，下面5顆叫下珠，下珠每顆代表數(shù)值1，現(xiàn)從某一檔的7顆算珠中任取4顆(這4顆算珠最小表示數(shù)值4，最大表示數(shù)值12)，則所取的算珠表示的數(shù)值是8的概率為( ).

解析

從某一檔的7顆算珠中任取4顆，基本事件總數(shù)為C47＝35，所取的算珠表示的數(shù)值是8包含的基本事件個數(shù)為C12C35＝20，則所取的算珠表示的數(shù)值是8的概率為故選B.

3.算盤每個檔(掛珠的桿)上有7顆算珠，用梁隔開，梁上面兩顆叫上珠，下面5顆叫下珠.若從某一檔的7顆算珠中任取3顆，至少含有一顆上珠的概率為( ).

解析

從某一檔的7顆算珠中任取3顆，基本事件總數(shù)為C37＝35，至少含有一顆上珠包含的基本事件個數(shù)為C22C15＋C12C25＝25，所以至少含有一顆上珠的概率為故選A.

借助算盤這一基本計數(shù)與運(yùn)算工具，合理創(chuàng)新問題情境，問題往往綜合融入計數(shù)原理、排列組合、概率與統(tǒng)計等相關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，綜合考查計數(shù)、排列組合、概率、統(tǒng)計以及綜合應(yīng)用.