張立宏，劉阿鵬

(山西工程技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部，山西 陽(yáng)泉 045000)

腔量子電動(dòng)力學(xué)（Quantum Electrodynamics，QED）是實(shí)現(xiàn)量子信息處理（Quantum Information Processing，QIP）的一個(gè)重要平臺(tái)，通過(guò)其可實(shí)現(xiàn)光子與原子之間的相互作用.基于腔輔助的光子輸入輸出過(guò)程（Input-Output Process）是其中一種重要應(yīng)用，得到了廣泛地研究，許多基于此的量子信息處理方案已經(jīng)被提出，同時(shí)也取得了一些重要的實(shí)驗(yàn)進(jìn)展[1-3].在基于腔輔助光子輸入輸出過(guò)程進(jìn)行量子信息處理的方案中，有的方案是基于原子量子比特實(shí)施的，例如An 等[4]提出一種方案，在空間不同位置放置2 個(gè)腔，腔中都囚禁1個(gè)原子，通過(guò)讓1 個(gè)光子先后輸入輸出2 個(gè)腔，即可實(shí)現(xiàn)2 個(gè)原子之間的信息處理；有的方案是基于光子量子比特實(shí)施的，例如Duan 等[5]提出一種方案，將1 個(gè)原子囚禁于高精細(xì)度光腔中，讓其先后反射2 個(gè)光子，就能實(shí)現(xiàn)2 個(gè)光子之間的控制相位翻轉(zhuǎn)（controlled phase flip，CPF）門(mén)；還有方案是基于原子和光子的混合量子比特實(shí)施的，例如Wang 等[6]提出一種方案，讓囚禁1 個(gè)原子的光學(xué)腔反射1 個(gè)光子，實(shí)現(xiàn)了光子和原子之間的CNOT 門(mén)，讓分別囚禁1 個(gè)原子的2 個(gè)光學(xué)腔先后反射1 個(gè)光子，實(shí)現(xiàn)了光子、2 個(gè)原子之間的Toffoli 門(mén).

實(shí)際的量子系統(tǒng)在進(jìn)行信息處理時(shí)，不可避免會(huì)與周圍環(huán)境發(fā)生相互作用，進(jìn)而與環(huán)境自由度發(fā)生糾纏，從而使系統(tǒng)發(fā)生退相干.在很多情況下，系統(tǒng)發(fā)生退相干對(duì)于量子信息處理是不利的[7].對(duì)于量子系統(tǒng)的退相干，主要有3 種方案來(lái)解決.第1 種方案是量子糾錯(cuò)編碼（Quantum Error Correction coding）[8]，它利用輔助的量子比特來(lái)探測(cè)錯(cuò)誤，進(jìn)而主動(dòng)糾正錯(cuò)誤.第2 種方案是動(dòng)力學(xué)解耦合（Dynamical Decoupling）[9]，它通過(guò)在系統(tǒng)上施加可控的相互作用來(lái)平均退相干的環(huán)境噪聲影響.最后1 種方案則是利用無(wú)退相干子空間（Decoherence-Free Subspace，DFS）[10-13]，在多粒子系統(tǒng)中，可以利用環(huán)境和系統(tǒng)的耦合對(duì)稱性，將量子態(tài)編碼到無(wú)退相干子空間.無(wú)退相干子空間能在各種各樣的物理載體上實(shí)現(xiàn)，例如中性原子[14]、離子[15]、光子[16]、N-V 中心[17]、超導(dǎo)量子比特[18]等.基于無(wú)退相干子空間可以實(shí)現(xiàn)量子邏輯門(mén)（Quantum Logic Gate），糾纏濃縮（Entanglement Concentration），量子態(tài)轉(zhuǎn)移（Quantum State Transfer，QST），量子密鑰分發(fā)（Quantum Key Distribution，QKD）[19]等各種量子計(jì)算（Quantum Computation）和量子通信（Quantum Commu nication）任務(wù)[20-25].同時(shí)，基于不同類型集體噪聲（collective noise）的無(wú)退相干子空間中的量子信息處理方案也被提出[26-28].

利用腔輔助光子輸入輸出過(guò)程可以實(shí)現(xiàn)無(wú)退相干子空間的量子信息處理.例如，Chen 等[29]提出一種在低Q腔中實(shí)現(xiàn)無(wú)退相干子空間的量子信息處理方案，該方案對(duì)于集體相移噪聲（(Collective Dephasing Noise）免疫，方案將2 個(gè)置于同1 腔中的原子編碼為1 個(gè)邏輯量子比特，借助單光子輸入輸出過(guò)程實(shí)現(xiàn)了無(wú)退相干子空間中的糾纏態(tài)制備（Preparation of Entangled States）和通用量子計(jì)算門(mén).Su 等[26]提出了一種在集體旋轉(zhuǎn)無(wú)消相干子空間（Collective-Rotating Decoherence-Free Subspace）中實(shí)現(xiàn)量子信息處理的方案，方案對(duì)囚禁于同一腔中的2 個(gè)原子進(jìn)行編碼，利用光子輸入輸出過(guò)程實(shí)現(xiàn)了光子和邏輯量子比特之間的混合控制相位翻轉(zhuǎn)門(mén)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)了在無(wú)退相干子空間下的宇稱門(mén)（Parity Gate）、控制相位翻轉(zhuǎn)門(mén)等量子信息處理任務(wù).

光子是一種重要的量子信息處理載體[30].單光子可以大量制備，容易實(shí)現(xiàn)大量擴(kuò)展，將單光子的極化態(tài)作為量子比特有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，其主要障礙是實(shí)現(xiàn)光子和光子之間的量子門(mén)操作極其困難，原因在于在可獲得的材料中光子和光子之間的耦合強(qiáng)度很小[5].受An、Duan、Su 等[4-5，26]等量子信息處理方案的啟發(fā)，本文提出一種基于光子的量子信息處理方案，方案利用低Q腔的光子輸入輸出過(guò)程，將光子極化態(tài)進(jìn)行了編碼，編碼的邏輯量子比特對(duì)于集體旋轉(zhuǎn)噪聲免疫.用 |h〉 和 |v〉表示光子的水平極化態(tài)和豎直極化態(tài)，若集體旋轉(zhuǎn)噪聲對(duì)這2個(gè)極化態(tài)的影響用算符表示，則其具體表現(xiàn)為?sinθ|h〉+cosθ|v〉.由此可見(jiàn)如下2個(gè)貝爾態(tài)并不受集體旋轉(zhuǎn)噪聲的影響，定義邏輯量子比特基矢就構(gòu)成一個(gè)集體旋轉(zhuǎn)無(wú)退相干子空間.

本文的組織結(jié)構(gòu)如下：第1 部分介紹了腔輔助的單光子輸入輸出過(guò)程，第2 部分給出了原子和集體旋轉(zhuǎn)無(wú)退相干子空間中單邏輯量子比特之間的混合控制相位反轉(zhuǎn)門(mén)實(shí)現(xiàn)方案，第3 部分給出了2 個(gè)邏輯量子比特CNOT 門(mén)的實(shí)現(xiàn)方案，第4 部分給出了邏輯量子比特的糾纏制備方案，第5 部分給出了原子到邏輯量子比特的混合量子態(tài)轉(zhuǎn)移實(shí)現(xiàn)方案，第6 部分給出了必要的討論和本文的主要結(jié)論.

1 腔輔助的單光子輸入輸出過(guò)程

如圖1(a)所示，將1 個(gè)三能級(jí)原子囚禁于1個(gè)單模單邊光學(xué)共振腔內(nèi)，1 個(gè)極化態(tài)光子入射進(jìn)入腔內(nèi)與原子發(fā)生相互作用后又從腔內(nèi)出射，PBS 代表極化光分束器，其可以透過(guò) |h〉態(tài)極化光子，反射 |v〉態(tài)極化光子，M 代表反射鏡.原子的能級(jí)結(jié)構(gòu)如圖1(b)所示，|0〉和 |1〉對(duì)應(yīng)原子的2 個(gè)基態(tài)，|e〉對(duì) 應(yīng)激發(fā)態(tài).原子在 |0〉?|e〉之間的躍遷與腔模共振.由于大失諧，態(tài) |1〉與態(tài) |e〉之間的躍遷與腔模無(wú)法耦合.由原子和腔構(gòu)成系統(tǒng)的哈密頓量為(=1)

圖1 腔輔助單光子輸入輸出過(guò)程和腔內(nèi)原子能級(jí)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagrams of cavity-assisted single photon input and output process and the configuration of atom in the cavity

其中，ω0為 |0〉和 |e〉之 間的頻率差，σ+、σ?和 σz為原子這2 個(gè)能級(jí)之間的升算符、降算符和反轉(zhuǎn)算符；ωc為 腔模頻率，a?和a分 別為腔模的產(chǎn)生算符和湮滅算符，g為原子和腔模之間的耦合系數(shù).

讓1 個(gè)頻率為 ω的光子進(jìn)入腔內(nèi).在入射光子頻率 ω的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系變換下，原子和腔模算符的量子郎之萬(wàn)方程可以表示為[4]：

其中，κ為腔模衰減率，γ為原子的自發(fā)輻射衰減率.ain為腔輸入場(chǎng)算符，滿足對(duì)易關(guān)系δ(t?t′).bin為原子所處的真空輸入場(chǎng)算符，滿足對(duì)易關(guān)系

若開(kāi)始時(shí)原子處于基態(tài)，假設(shè)腔為低Q腔，也即 κ 足夠大，腔內(nèi)場(chǎng)很弱，這時(shí)有 〈σz(t)〉≈?1.在這種情況下，并考慮到其中r(ω)為原子?腔系統(tǒng)的反射系數(shù)，則r(ω)可表示為

由圖1(a)可知，處于極化態(tài) |v〉的光子不能進(jìn)入腔內(nèi)，也即原子?腔系統(tǒng)不會(huì)影響其狀態(tài)，再結(jié)合式(6)，則經(jīng)過(guò)輸入輸出過(guò)程后，腔內(nèi)原子對(duì)光子的態(tài)影響可表示為

即當(dāng)原子處于態(tài) |0〉時(shí)，無(wú)論進(jìn)入腔之前光子處于態(tài) |h〉 還是態(tài) |v〉，從腔內(nèi)出射后光子都保持原來(lái)的狀態(tài)；當(dāng)原子處于態(tài) |1〉時(shí)，若進(jìn)入腔之前光子處于態(tài) |h〉，則從腔內(nèi)出射后光子變?yōu)閼B(tài) ?|h〉，若進(jìn)入腔之前光子處于態(tài) |v〉，則從腔內(nèi)出射后仍然處于態(tài) |v〉.

2 混合控制相位反轉(zhuǎn)門(mén)的實(shí)現(xiàn)

利用腔輔助的單光子輸入輸出過(guò)程，可以實(shí)現(xiàn)原子與邏輯量子比特之間的混合控制相位翻轉(zhuǎn)門(mén)，圖2為其原理示意圖，DL 代表光延時(shí)器，DL1用 于推遲光子2 進(jìn)入腔的時(shí)間，DL2和 DL3則是為了延緩極化態(tài)為|v〉的光子到達(dá)PBS 的時(shí)間.設(shè)初始時(shí)刻原子和邏輯量子比特分別處于如下態(tài)

圖2 實(shí)現(xiàn)混合控制相位翻轉(zhuǎn)門(mén)的原理示意圖Fig.2 Schematic diagram of hybrid controlled-phased-flip gate

則初始時(shí)刻原子，構(gòu)成邏輯量子比特的光子1、光子2 組成的系統(tǒng)處于如下復(fù)合態(tài)

光子1 先進(jìn)入腔，光延時(shí)器DL1使光子2 比光子1 延遲進(jìn)入腔.光子1 的輸入輸出過(guò)程可用式(7)表示.當(dāng)原子處于態(tài) |0〉a，不管輸入光子是處于態(tài) |h〉1還 是態(tài) |v〉1，輸出光子都維持相同的狀態(tài)；當(dāng)原子處于態(tài)|1〉a，若輸入光子為態(tài) |h〉1，則輸出光子會(huì)發(fā)生相位翻轉(zhuǎn)，變?yōu)閼B(tài) ?|h〉1，若輸入光子為態(tài) |v〉1，則輸入光子仍保持態(tài) |v〉1.光子1 從腔輸出后，原子、光子1 和光子2 構(gòu)成系統(tǒng)處于如下態(tài)

接下來(lái)，光子2 進(jìn)入腔.光子2 的輸入輸出過(guò)程和光子1 一樣.光子2 從腔內(nèi)輸出后，原子、光子1 和光子2 構(gòu)成系統(tǒng)處于如下態(tài)

圖3 2 個(gè)光子腔輔助輸入輸出過(guò)程時(shí)序控制示意圖Fig.3 The sequence control diagram of cavity-assisted input and output process for two photons

3 集體旋轉(zhuǎn)無(wú)退相干子空間下的量子計(jì)算

3.1 單邏輯量子比特操作單量子比特操作在量子計(jì)算中占據(jù)著重要的作用.同樣在集體旋轉(zhuǎn)無(wú)退相干子空間下，單邏輯量子比特操作也尤為重要.容易驗(yàn)證，幾種常用的單邏輯量子比特操作可通過(guò)對(duì)參與編碼的2 個(gè)物理量子比特進(jìn)行以下操作來(lái)實(shí)現(xiàn)

圖4 實(shí)現(xiàn)CNOT 門(mén)的原理示意圖Fig.4 Schematic diagram for the CNOT gate

對(duì)原子的狀態(tài)進(jìn)行測(cè)量，若原子處于態(tài) |0〉a，則在集體旋轉(zhuǎn)無(wú)退相干子空間實(shí)現(xiàn)了CNOT 門(mén)；若原子處于態(tài) |1〉a，則再對(duì)第1 個(gè)邏輯量子比特實(shí)施操作后，即在集體旋轉(zhuǎn)無(wú)退相干子空間實(shí)現(xiàn)了CNOT 門(mén).圖5 為上面各個(gè)操作的時(shí)序控制示意圖，其中T2為對(duì)腔內(nèi)原子執(zhí)行Hadamard 門(mén)所需時(shí)間，對(duì)邏輯量子比特執(zhí)行Hadamard 門(mén)的時(shí)間很短，圖中沒(méi)有考慮.

圖5 CNOT 門(mén)實(shí)現(xiàn)過(guò)程中各操作時(shí)序控制示意圖Fig.5 The operation sequence control diagram of the CNOT gate

4 集體旋轉(zhuǎn)無(wú)退相干子空間下的糾纏態(tài)制備

假設(shè)初始時(shí)刻腔內(nèi)原子和邏輯量子比特1 分別處于態(tài)

則初始時(shí)原子和邏輯量子比特1 構(gòu)成的系統(tǒng)處于復(fù)合態(tài)

5 混合量子態(tài)轉(zhuǎn)移

然后對(duì)原子的狀態(tài)進(jìn)行測(cè)量，若原子處于態(tài) |0〉a，邏輯量子比特坍縮到態(tài)則實(shí)現(xiàn)了從原子到邏輯量子比特的混合態(tài)轉(zhuǎn)移.若原子處于態(tài) |1〉a，邏輯量子比特坍縮到態(tài)對(duì)其實(shí)施操作后即實(shí)現(xiàn)了混合態(tài)轉(zhuǎn)移.

6 討論和結(jié)論

本文將光子作為量子信息載體，可以很容易實(shí)現(xiàn)量子比特的大量擴(kuò)展，這與Duan 等[5]提出的方案一致.但不同的是，他們直接將光子作為量子比特，而本文則將光子編碼為邏輯量子比特，從而使量子信息免受集體旋轉(zhuǎn)噪聲的干擾.與Chen 等[29]提出的方案相同，本文方案也是基于低Q腔，并且在無(wú)退相干子空間中進(jìn)行量子信息處理.不同的是，首先他們的方案將2 個(gè)原子編碼為1個(gè)邏輯量子比特，而本/文方案則是將2 個(gè)光子編碼為1個(gè)邏輯量子比特；其次，本文方案對(duì)g、κ、γ等參數(shù)的要求為κ 足夠大且而他們的方案則要求κ?γ，g=κ/2.對(duì)于本方案的參數(shù)要求，Turchette等[31]的實(shí)驗(yàn)參數(shù)[g,κ,γ]/2π=[20,75,2.5]MHz，Tiecke等[32]的實(shí)驗(yàn)參數(shù)以及Dayan等[3]

的實(shí)驗(yàn)參數(shù)[g,κ,γ]/2π=[70,(165±15),2.6] MHz都能滿足.腔內(nèi)原子和邏輯量子比特之間的混合控制相位翻轉(zhuǎn)門(mén)在本文提出的量子信息處理方案中起著核心作用，因此有必要討論混合控制相位翻轉(zhuǎn)門(mén)實(shí)現(xiàn)的保真度（Fidelity）.在滿足1的理想條件下，原子?腔系統(tǒng)在原子處于態(tài) |0〉a時(shí)的反射系數(shù)r0=?1，這時(shí)混合控制相位翻轉(zhuǎn)門(mén)能準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn).實(shí)際上r0是隨變化的函數(shù)，與g、κ、γ 的具體值有關(guān).定義保真度F=|〈Ψr| Ψi〉|2，其中 |Ψr〉和 |Ψi〉分別為經(jīng)過(guò)混合控制相位翻轉(zhuǎn)門(mén)以后由原子和邏輯量子比特組成系統(tǒng)的實(shí)際態(tài)和理想態(tài).保真度可以表示為

令滿足歸一化條件的2 個(gè)系數(shù) α=cosθ，β=sinθ，同樣令a=cosφ ，b=sinφ.混合控制相位翻轉(zhuǎn)門(mén)的平均保真度為

Tiecke 等通過(guò)光子和納米尺度的光子晶體腔內(nèi)的原子之間的強(qiáng)耦合作用，在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)了納米光子量子相位開(kāi)關(guān)（Quantum Phase Switch）[32].其實(shí)驗(yàn)參數(shù)為[2g,κ,γ]/2π=[(1.09±0.03)GHz,25GHz,6MHz]，利用這組參數(shù)得到的平均保真度為0.999 96.圖6為仿真給出的平均保真度隨的變化關(guān)系.可以看到在接近10 的時(shí)候，平均保真度已經(jīng)接近于1.

圖6 對(duì)混合控制相位翻轉(zhuǎn)門(mén)平均保真度的影響Fig.6 The influence of on the average fidelity of hybrid controlled-phased-flip gate

總之，本文基于低Q腔輔助的單光子輸入輸出過(guò)程，將2 個(gè)光子編碼為1 個(gè)邏輯量子比特，提出了腔內(nèi)原子和單邏輯量子比特之間的混合控制相位翻轉(zhuǎn)門(mén)，邏輯量子比特之間的CNOT 門(mén)，邏輯量子比特的糾纏態(tài)制備，原子到邏輯量子比特的量子態(tài)轉(zhuǎn)移等量子信息處理任務(wù)方案.無(wú)退相干的編碼方式使得這些方案對(duì)于集體旋轉(zhuǎn)噪聲是免疫的.計(jì)算結(jié)果說(shuō)明，在當(dāng)前實(shí)驗(yàn)條件下，方案可以以很高的保真度實(shí)現(xiàn)，這對(duì)未來(lái)的容錯(cuò)量子計(jì)算可能是有用的.