余俊偉，陸明杰，徐瑋瑋

(南京信息工程大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，江蘇 南京 210044)

矩陣優(yōu)化問題在數(shù)據(jù)科學(xué)、控制理論、電子結(jié)構(gòu)計算和特征值計算等問題中有著非常重要的應(yīng)用[1-12].本文我們將考慮如下的矩陣優(yōu)化問題：

其中 Γk，?k，Hk分別是m×n，n×t，t×m復(fù)對角矩陣，k=1,2;c是復(fù)數(shù)，tr(·)表示矩陣跡函數(shù)，Im是m×m單位矩陣.

這類酉約束矩陣跡函數(shù)最大值問題有著比較重要的理論和應(yīng)用意義.比如對于信號重構(gòu)，我們在重構(gòu)空間中會獲得不同方向上具有不同頻帶能量的信號.現(xiàn)有方法基于奇異值進(jìn)行相空間重構(gòu)，得到反映突變信息的信號分量.由于信號比較復(fù)雜，不利于提取局部突變信息，可以利用奇異值特征完成對信號的重構(gòu)，同時將其與背景信號分離來獲得故障信號的一些信息.[13-14]

對于故障診斷，假設(shè)機械系統(tǒng)的測試信號是以下數(shù)值序列：xi,i=1,2,···,2n?1，同時令重構(gòu)矩陣D為

假設(shè)設(shè)備正常工作，我們用x(t)表示傳感器的測試信號，其中包括已確定的信號s(t)，高斯白噪聲n(t).則x(t)=s(t)+n(t),其中信號s(t)與噪聲n(t)不相關(guān).同時，測試信號x(t)的重構(gòu)矩陣Dx是信號s(t)的重構(gòu)矩陣Ds和噪聲n(t)的重構(gòu)矩陣Dx的疊加，即Dx=Ds+Dn.此外，假設(shè)在一段時間后，新的測試信號y(t)添加了一個新的故障信號，例如碰撞部件d(t),則有y(t)=s(t)+n(t)+d(t).新測試信號y(t)的對應(yīng)重構(gòu)矩陣為Dy為Dy=Ds+Dd+Dn,其中Dd為d(t)的重構(gòu)矩陣，Dd=Dy?Dx[14-15].我們使用矩陣Dd的奇異值和來估計故障信號d(t)的能量，分別用N和表示樣本數(shù)和閾值，其中f是故障前的信號時頻窗函數(shù)，mi是頻帶.由此來重構(gòu)矩陣：

可見振蕩主要出現(xiàn)在尾端.在數(shù)據(jù)處理過程中，尾端點部分可以適當(dāng)擴展，當(dāng)數(shù)據(jù)處理完成后，擴展部分將被丟棄，碰撞摩擦信號的特征頻率可以從重構(gòu)的分解信號中再現(xiàn).

假設(shè)B∈Cn×n是Hermitian 半正定矩陣，且

其中c是實數(shù)，Aj是n階復(fù)矩陣，σi(Aj)表示Aj的奇異值并且 σ1(Aj)≥σ2(Aj)≥···≥σn(Aj)≥0 ，j=1,···,m.這 些問題可應(yīng)用于基因表達(dá)水平分析，機械系統(tǒng)的信號測試與航空發(fā)動機故障診斷等領(lǐng)域[1].

1 準(zhǔn)備知識

在本文中，令 C，N+，Un，R 和 Cm×n分別表示復(fù)數(shù)集、正整數(shù)集、n階酉矩陣集、實數(shù)集、m×n復(fù)矩陣集.σi(A)代表矩陣A的第i個奇異值，tr(·)表示矩陣跡函數(shù)，Om×n表示m×n零矩陣，In表示n階單位矩陣，設(shè)x為復(fù)數(shù)，|x| 表示x的模，Re(x)表示x的實部.

引理 1[1]如果A1,···,Am∈Cn×n，c∈R，σ1(Aj),···,σn(Aj)是Aj的奇異值，并且 σ1(Aj)≥σ2(Aj)≥ ···≥σn(Aj)≥0 ，j=1,···,m.則

2 主要結(jié)論

在本節(jié)中，我們考慮(1)中的一類酉約束矩陣跡函數(shù)的最大值問題.

由（7），（8），（9）式可知定理1 得證.證畢.

注1 定理1 將(3)中Aj從同維復(fù)矩陣推廣到不同維復(fù)矩陣，c從實數(shù)推廣到復(fù)數(shù).因此，定理1 改進(jìn)了 引理1 的結(jié)果.

3 數(shù)值算例

本節(jié)我們將給出一個隨機算例來驗證定理1 的有效性.

算例 1結(jié)合前面應(yīng)用背景(2)，令

其中B1=diag(2,7,14,23,44,21,62,79,98,7,3,167,194,8,254,287,6,359,112,221),使用隨機酉矩陣U1和U2計算 | tr(20×I20+U1BU2A)| 得圖1.

圖1 對于不同隨機酉矩陣 U1 和 U2 計算|tr(20×I20+Fig.1 Computing |tr(20×I20+U1BU2A)| for different random unitary materices U1 and U2

同時結(jié)合(2)可得

因此，數(shù)值算例1 的結(jié)論驗證了定理1 的有效性.

4 總結(jié)

本文我們研究了一類酉約束矩陣跡函數(shù)最大值問題的解析解：