趙小鵬，戴 磊，曹小紅

(1.渭南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 渭南 714099；2.陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 西安 710119)

1909 年,H.Weyl[1]在檢查Hermitian 算子T的譜結(jié)構(gòu)時(shí)發(fā)現(xiàn)，T的所有緊擾動(dòng)譜集的交集在其譜集中的余集恰好等于它的譜集中孤立點(diǎn)的有限重特征值.這一性質(zhì)后來(lái)被稱(chēng)為“Weyl 定理”.之后，許多數(shù)學(xué)工作者將Weyl 定理進(jìn)行了變型和推廣，定義了Browder 定理，a-Browder 定理，a-Weyl 定理，(ω)性質(zhì)等，并進(jìn)行了廣泛的研究[2-6].(R)性質(zhì)是Weyl 型定理一種新的變型，近年來(lái)得到了極大的關(guān)注[7-9].在本文中，我們繼 續(xù)討論有界線(xiàn)性算子的(R)性質(zhì)，運(yùn)用新的譜集刻畫(huà)算子及算子函數(shù)的(R1)性質(zhì)與(R)性質(zhì).

1 預(yù)備知識(shí)

在本文中，H表示無(wú)限維可分的復(fù)Hilbert 空間，B(H)表示H上的有界線(xiàn)性算子的全體.算子T∈B(H)稱(chēng)為是上半Fredholm 算子，若T的值域R(T)閉且其零空間N(T)為有限維的；若值域R(T)有有限的余維數(shù)，則稱(chēng)T∈B(H)為下半Fredholm 算子.T∈B(H)稱(chēng)為是Fredholm 算子，若T既為上半Fredholm 算子又為下半Fredholm 算子.對(duì)一個(gè)半Fredholm 算子T(上半或者下半Fredholm 算子)，令n(T)=dimN(T)，d(T)=dim(H/R(T))=codimR(T).半Fredholm 算子T∈B(H)的指標(biāo)定義為 i nd(T)=n(T)?d(T).算子T∈B(H)稱(chēng)為是Weyl 算子，若T為指標(biāo)為零的Fredholm 算子.稱(chēng)T∈B(H)為下有界算子，若T單且R(T)閉.算子T的升標(biāo)和降標(biāo)分別定義為 asc(T)=inf{n∈N:N(Tn)=N(Tn+1)}，desc(T)=inf{n∈N:R(Tn)=R(Tn+1)}(N 表示非負(fù)整數(shù)集)，若這樣的下確界不存在，則記 a sc(T)=+∞(或者 desc(T)=+∞).有有限升降標(biāo)的Fredholm算子稱(chēng)為是Browder 算子.可以證明，T是Browder 算子當(dāng)且僅當(dāng)T是Weyl 算子且 asc(T)<∞(或desc(T)<∞).同樣也可以證明，T是Browder 算子當(dāng)且僅當(dāng)T為半Fredholm 算子且當(dāng) 0<|λ| 充分小時(shí)，T?λI可逆.由定義可以看出Browder 算子一定為Weyl 算子.對(duì)T∈B(H)，其譜集 σ(T)，逼近點(diǎn)譜集 σa(T)，本質(zhì)逼近點(diǎn)譜 σea(T),Weyl 譜 σw(T)和Browder 譜 σb(T)分別定義為：σ(T)={λ ∈C:T?λI不為可逆算子}(C 為復(fù)數(shù)域)，σa(T)={λ ∈C:T?λI不是下有界算子}，σea(T)={λ ∈C:T?λI不為上半Fredholm 算子或者ind(T?λI)>0}，σw(T)={λ ∈C:T?λI不是Weyl 算子}，σb(T)={λ ∈C:T?λI不是Browder 算子}.將 σ(T)，σa(T)，σea(T)，σw(T)和 σb(T)的余集分別記作：ρ(T)=Cσ(T)，ρa(bǔ)(T)=Cσa(T)，ρea(T)=Cσea(T)，ρw(T)=C σw(T)，ρb(T)=Cσb(T).

可以看出算子值域的閉性在算子理論中是重要的，記 σc(T)={λ ∈C:R(T?λI)不閉}，令 ρc(T)=Cσc(T).另外，記 σ0(T)為算子T的所有正規(guī)特征值組成的集合，即 σ0(T)=σ(T)σb(T).若集合E為復(fù)數(shù)集 C 的子集，用 i soE和 a ccE分別表示集合E的孤立點(diǎn)的全體和聚點(diǎn)的全體，用 i ntE表示E中內(nèi)點(diǎn)的全體.

令 ρa(bǔ)b(T)={λ ∈C:T?λI為上半Fredholm 算子且 asc(T?λI)<∞}.用 σab(T)=Cρa(bǔ)b(T)表示算子T的Browder 本質(zhì)逼近點(diǎn)譜.顯然 σea(T)?σab(T).容易證明，λ ?σab(T)當(dāng)且僅當(dāng)T?λI為半Fredholm 且λ ∈[isoσa(T)∪ρa(bǔ)(T)].

則稱(chēng)T滿(mǎn)足(R1)性質(zhì).顯然，(R1)性質(zhì)是(R)性質(zhì)成立的前提.

本文的安排如下：在第2 節(jié)，利用Weyl 譜的一種變型，給出了有界線(xiàn)性算子及其函數(shù)滿(mǎn)足(R1)或者(R)性質(zhì)的充要條件；在第3 節(jié)，再次利用該譜集，研究了a-Weyl 定理和(R)性質(zhì)的關(guān)系.

2 算子及其函數(shù)的(R)性質(zhì)的判定

3 a-Weyl 定理與(R)性質(zhì)的關(guān)系