楊天樞，高文科

(蘭州理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730050)

0 引言

在現(xiàn)代制造系統(tǒng)中，大多數(shù)設(shè)備或元件歷經(jīng)故障維修后其性能會(huì)有不同程度的下降，維修時(shí)間相應(yīng)增加。隨著維修次數(shù)的不斷增加，其平均故障間隔時(shí)間趨于縮短，平均故障維修時(shí)間趨于增加。根據(jù)這一事實(shí)，LIN[1]和YEH[2]提出采用幾何過程來描述可修系統(tǒng)的運(yùn)行與維修過程，同時(shí)分別建立了基于役齡和故障次數(shù)的更換策略優(yōu)化模型。由于幾何過程具有良好的數(shù)學(xué)模型，被廣泛應(yīng)用于研究多部件系統(tǒng)、貯備系統(tǒng)維修決策優(yōu)化問題，并應(yīng)用于制造系統(tǒng)、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)、軍事裝備、通訊網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)以及電力系統(tǒng)等領(lǐng)域[3-6]。

為描述不同實(shí)際對(duì)象的退化過程，幾何過程自提出以來，以制造系統(tǒng)中單部件系統(tǒng)的維修過程為研究對(duì)象，得到了不斷的完善和推廣。文獻(xiàn)[7-9]針對(duì)單部件系統(tǒng)，基于不同故障假設(shè)條件，提出了相應(yīng)的維修策略及其優(yōu)化模型;LAM[10]介紹了一種基于幾何過程的δ-沖擊維修模型，并將該模型應(yīng)用到退化系統(tǒng)和改進(jìn)系統(tǒng)，分別得到了使單位時(shí)間運(yùn)行成本最小化的最優(yōu)策略;黃傲林等[11]提出一種延遲幾何過程，對(duì)傳統(tǒng)的幾何過程進(jìn)行了改進(jìn)，建立了退化可修系統(tǒng)的成本率模型，得到了最優(yōu)的更換策略;WANG等[12]針對(duì)維修工有多重休假的可修系統(tǒng)，基于擴(kuò)展幾何過程推導(dǎo)出更換策略下的系統(tǒng)長(zhǎng)期運(yùn)行平均成本率函數(shù)，并以此得到了最優(yōu)更換策略;WANG等[13]基于幾何過程，研究了一個(gè)簡(jiǎn)單的可修系統(tǒng)的最優(yōu)維修更換問題，該系統(tǒng)的故障僅通過定期檢查來檢測(cè)。當(dāng)系統(tǒng)出現(xiàn)故障時(shí)，由修理工進(jìn)行修復(fù)，修復(fù)后的系統(tǒng)壽命呈幾何遞減，若檢測(cè)到系統(tǒng)處于工作狀態(tài)，則對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)防性維修，預(yù)防性維修使系統(tǒng)處于工作周期開始時(shí)的狀態(tài)。YUE等[14]分別考慮檢查為定期和隨機(jī)兩種情況，對(duì)同類問題作了進(jìn)一步的研究;WANG等[15]考慮到維修效果會(huì)隨著維修次數(shù)而發(fā)生改變，提出一種廣義幾何過程，并基于該過程研究了兩種維修更換模型;WU等[16]考慮到故障間隔時(shí)間之間的依賴，將幾何過程推廣到半幾何過程，并將這一新的過程與更新過程、幾何過程和廣義更新過程對(duì)比，證明了該模型優(yōu)于其他3種模型;GAO[17]根據(jù)某些可修系統(tǒng)第一次或前面多次的維修可以提高系統(tǒng)的平均故障間隔時(shí)間這一事實(shí)，提出一種帶有修復(fù)因子的拓展幾何過程，對(duì)其概率性質(zhì)進(jìn)行了分析，并研究了系統(tǒng)的兩種更換策略。

在制造系統(tǒng)中，多部件系統(tǒng)普遍存在，幾何過程也被廣泛地應(yīng)用于多部件系統(tǒng)。針對(duì)多部件貯備系統(tǒng)的研究中，面向兩部件系統(tǒng)的研究居多。WANG等[18]以兩部件串聯(lián)系統(tǒng)為研究對(duì)象，提出了以部件1的故障次數(shù)M和部件2的故障次數(shù)N為優(yōu)化變量的二元更換策略，并推導(dǎo)出單位時(shí)間運(yùn)行成本的表達(dá)式，最終得到了最優(yōu)的更換模型;JIA等[19]針對(duì)由兩相同部件組成的冷貯備系統(tǒng)，在假設(shè)工作時(shí)間和維修時(shí)間為幾何過程，等待時(shí)間為更新過程的情況下，提出了基于部件1的故障次數(shù)N的更換策略;ZHANG等[20]針對(duì)具有一個(gè)維修工和兩個(gè)不同類型部件的冷貯備退化可修系統(tǒng)，建立了部件1具有優(yōu)先使用權(quán)和維修權(quán)的維修模型，并以長(zhǎng)期運(yùn)行成本率最小化為目標(biāo)建立了最優(yōu)更換策略;ZHAO等[21]針對(duì)一種具有冷貯備部件的串聯(lián)可修系統(tǒng)，在假設(shè)每個(gè)部件的連續(xù)運(yùn)行時(shí)間構(gòu)成幾何遞減而連續(xù)維修時(shí)間構(gòu)成幾何遞增的過程中，部件1具有優(yōu)先維修權(quán)的條件下，采用基于部件1和部件2失效次數(shù)的更換策略，得到了單位時(shí)間內(nèi)長(zhǎng)期期望成本的顯性表達(dá)式，并給出了最優(yōu)的更換策略;ZHANG等[22]針對(duì)由于故障類型的不同使得系統(tǒng)或者部件維修后并不總是連續(xù)退化的現(xiàn)象，提出一種擴(kuò)展幾何維修模型，并研究了由兩個(gè)不同部件和一個(gè)修理工組成的冷貯備可修系統(tǒng)的維修更換問題;LAM等[23]以含有一個(gè)維修工的兩部件串聯(lián)系統(tǒng)為研究對(duì)象，假設(shè)每個(gè)部件連續(xù)工作次數(shù)服從遞減的幾何過程，連續(xù)維修次數(shù)服從遞增的幾何過程，更換次數(shù)構(gòu)成更新過程，最終確定了系統(tǒng)的可用性和故障發(fā)生率;ZHANG等[24]研究了一個(gè)由一個(gè)維修工和兩個(gè)不同部件組成的冷貯備系統(tǒng)，假設(shè)每個(gè)部件故障后修復(fù)延遲或未延遲，修復(fù)后的部件2“與新的一樣好”而部件1不是，但部件1在使用中具有優(yōu)先權(quán)的條件下，基于幾何過程研究了基于元件1失效次數(shù)的更換策略，并通過最小化系統(tǒng)的平均成本率確定了最佳更換策略N;G?KDERE等[25]設(shè)計(jì)了一個(gè)由兩個(gè)部件組成的退化可修系統(tǒng)，并基于幾何過程對(duì)系統(tǒng)的維修策略進(jìn)行了評(píng)估;WANG等[26]提出了一種新的冷貯備系統(tǒng)維修模型，假定部件1維修后的連續(xù)工作時(shí)間服從遞減的幾何過程，維修時(shí)間間隔為常數(shù)，部件2工作期間的故障發(fā)生服從廣義波利亞過程，其維修時(shí)間忽略不計(jì)，且部件1在使用中具有優(yōu)先權(quán)，推導(dǎo)出了系統(tǒng)長(zhǎng)期成本率函數(shù)，獲得了最優(yōu)更換策略。

關(guān)于擬周期維修策略，GAO等[27]考慮到更換計(jì)劃的變動(dòng)和嚴(yán)重性故障對(duì)更換計(jì)劃的影響，提出一種擬周期更換策略，得到了使得維修成本最小的最優(yōu)策略;GAO等[28]考慮到隨機(jī)因素的影響，提出一種擬周期不完全預(yù)防性維修策略，并證明了最優(yōu)預(yù)防性維修策略的存在性和唯一性;高文科等[29]以同時(shí)存在Ⅰ、Ⅱ類故障相關(guān)性的兩部件并聯(lián)系統(tǒng)為研究對(duì)象，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行可靠性建模，并提出一種擬周期預(yù)防性更換策略;GAO[17]考慮到實(shí)施更換活動(dòng)會(huì)出現(xiàn)延遲的事實(shí)，提出一種新的擬周期更換策略對(duì)故障次數(shù)N和更換區(qū)間長(zhǎng)度m進(jìn)行了優(yōu)化。

綜上所述，幾何維修過程因考慮故障維修時(shí)間而普遍應(yīng)用于貯備系統(tǒng)的維修過程建模中，但是針對(duì)互異兩單元貯備系統(tǒng)的關(guān)注相對(duì)較少。同時(shí)，考慮維修過程對(duì)系統(tǒng)平均故障間隔時(shí)間的提高，進(jìn)一步拓寬了幾何維修過程的應(yīng)用。實(shí)際中，由于維修力量、生產(chǎn)任務(wù)以及外界環(huán)境等隨機(jī)因素的影響，預(yù)防性窗口普遍存在。因此，本文以互異兩單元冷貯備可修系統(tǒng)為研究對(duì)象，應(yīng)用拓展幾何過程，研究其擬周期預(yù)防性維修策略的建模和優(yōu)化問題。

1 模型定義及假設(shè)

1.1 定義

為了方便參考，首先對(duì)幾何過程和文獻(xiàn)[17]中提出的拓展幾何過程的定義簡(jiǎn)述如下：

定義1設(shè){Xk,k=1,2,…}為相互獨(dú)立的非負(fù)隨機(jī)變量序列，若Xk的分布函數(shù)為F(ak-1t)，k=1,2,…，且a>0，則稱{Xk,k=1,2,…}為一個(gè)幾何過程[1]。

定義2設(shè){Xk,k=1,2,…}為相互獨(dú)立的非負(fù)隨機(jī)變量序列，若Xk的分布函數(shù)為F(ak-d(k)t)，k=1,2,…，其中X1的分布函數(shù)為F(t)，且a>0，則稱{Xk,k=1,2,…}為一個(gè)拓展幾何過程。其中d(k)為第k次維修的修復(fù)因子[17]。

根據(jù)拓展幾何過程的定義可知：

當(dāng)a>1，0

當(dāng)0

當(dāng)a>1，d(k)>k時(shí)，{Xk,k=1,2,…}隨機(jī)遞增，即Xk≤stXk+1,k=1,2,…；

當(dāng)0k時(shí)，{Xk,k=1,2,…}隨機(jī)遞減，即Xk≥stXk+1,k=1,2,…。

根據(jù)定義2，Xk的累積分布函數(shù)以及密度函數(shù)如下：

1.2 模型假設(shè)

假設(shè)系統(tǒng)由主單元和貯備單元構(gòu)成的互異兩單元冷貯備可修系統(tǒng)，預(yù)防性維修計(jì)劃在擬周期維修窗口內(nèi)隨機(jī)分布。當(dāng)主單元和貯備單元的累計(jì)運(yùn)行時(shí)間小于T時(shí)，若兩單元發(fā)生故障，對(duì)其實(shí)施故障維修，由于維修工同一時(shí)刻只能對(duì)一個(gè)單元進(jìn)行維修，當(dāng)主單元和貯備單元同時(shí)處于故障狀態(tài)時(shí)，對(duì)兩單元依次實(shí)施故障維修并且系統(tǒng)發(fā)生停機(jī)；當(dāng)主單元的累積運(yùn)行時(shí)間大于T時(shí)，對(duì)主單元和貯備單元依次實(shí)施預(yù)防性維修，但由于預(yù)防性維修活動(dòng)通常會(huì)受隨機(jī)因素的影響，預(yù)防性維修計(jì)劃T+τ常在預(yù)防性維修窗口[T,T+W]內(nèi)動(dòng)態(tài)實(shí)施。對(duì)主單元和貯備單元連續(xù)實(shí)施N-1次預(yù)防性維修后，當(dāng)主單元累計(jì)運(yùn)行時(shí)間達(dá)到預(yù)防性維修計(jì)劃時(shí)，對(duì)主單元和貯備單元進(jìn)行預(yù)防性更換。根據(jù)上述運(yùn)行與維修過程，對(duì)系統(tǒng)的維修策略建模作以下假設(shè)：

(1)系統(tǒng)由主單元和貯備單元構(gòu)成的兩單元冷貯備系統(tǒng)及一個(gè)維修工(維修臺(tái))構(gòu)成，初始運(yùn)行時(shí)兩單元均為全新狀態(tài)投入使用，系統(tǒng)初始運(yùn)行或每次預(yù)防性維修后的新階段開始時(shí)，記工作單元的運(yùn)行時(shí)間t=0，且貯備單元處于冷貯備狀態(tài)，維修工處于空閑狀態(tài)，當(dāng)主單元第一次發(fā)生故障時(shí)，維修工對(duì)其實(shí)施故障維修，貯備單元開始工作。

(3)預(yù)防性維修窗口[T,T+W]由主單元的累計(jì)工作時(shí)間確定，預(yù)防性維修計(jì)劃在維修窗口內(nèi)服從密度為1/W的均勻分布。當(dāng)累計(jì)運(yùn)行時(shí)間達(dá)到維修窗口時(shí)，若預(yù)防性維修計(jì)劃先于故障發(fā)生，則對(duì)主單元和貯備單元依次實(shí)施預(yù)防性維修，如圖1a所示；若故障先于預(yù)防性維修計(jì)劃發(fā)生，則先對(duì)主單元實(shí)施故障修復(fù)，然后對(duì)主單元和貯備單元實(shí)施預(yù)防性維修，因修復(fù)故障本次維修會(huì)產(chǎn)生附加費(fèi)用，如圖1b所示；主單元和貯備單元的預(yù)防性維修時(shí)間長(zhǎng)度均為固定時(shí)間長(zhǎng)度，分別為Tp1和Tp2。

(4)當(dāng)系統(tǒng)實(shí)施第i(i

(5)主單元和貯備單元互為貯備。當(dāng)主單元處于運(yùn)行狀態(tài)時(shí)，貯備單元處于冷貯備或維修狀態(tài)；當(dāng)主單元處于故障維修狀態(tài)時(shí)，貯備單元處于運(yùn)行或待維修狀態(tài)；當(dāng)貯備單元處于運(yùn)行狀態(tài)時(shí)，主單元處于維修或貯備狀態(tài)。當(dāng)主單元的運(yùn)行時(shí)間達(dá)到預(yù)防性維修計(jì)劃時(shí)，對(duì)主單元和貯備單元依次實(shí)施預(yù)防性維修，因此，當(dāng)主單元處于預(yù)防性維修狀態(tài)時(shí)，貯備單元處于運(yùn)行或待維修狀態(tài)；當(dāng)貯備單元處于預(yù)防性維修狀態(tài)時(shí)，主單元處于運(yùn)行狀態(tài)，為了便于建模，此時(shí)主單元的運(yùn)行狀態(tài)劃分到下一個(gè)預(yù)防性維修階段。

(6)故障維修成本率為Cf，主單元和貯備單元的預(yù)防性維修成本率為Cp，預(yù)防性更換成本為Cr，主單元與貯備單元的停機(jī)損失率為Cd，系統(tǒng)運(yùn)行收益率為Cw，附加費(fèi)用為Ce，以上參數(shù)均為常數(shù)。

2 系統(tǒng)維修過程建模

本章將根據(jù)假設(shè)對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)行與維修過程、更新周期的長(zhǎng)度以及長(zhǎng)期運(yùn)行的收益進(jìn)行分析，從而建立系統(tǒng)長(zhǎng)期運(yùn)行收益率模型。

根據(jù)模型假設(shè)(4)和假設(shè)(5)，第i(i

將系統(tǒng)從開始運(yùn)行到第一次更換的時(shí)間記為一個(gè)更新周期，用L表示預(yù)防性維修間隔，前N-1個(gè)預(yù)防性維修間隔為L(zhǎng)i(i

(1)

根據(jù)維修過程和模型假設(shè)，系統(tǒng)的第i個(gè)預(yù)防性維修間隔Li可以看作主單元和貯備單元運(yùn)行時(shí)間、待修(停機(jī))時(shí)間以及預(yù)防性維修時(shí)間的和，各部分計(jì)算分別如下：

主單元運(yùn)行時(shí)間：

主單元待修時(shí)間：

貯備單元運(yùn)行時(shí)間：

貯備單元待修時(shí)間：

式中χ(A)為示性函數(shù)，

為便于表達(dá)，作如下代換：

(2)

因此，第i(i

k=2,3,…。

(3)

實(shí)施N-1次預(yù)防性維修后實(shí)施預(yù)防性更換，則預(yù)防性更換間隔LN的表達(dá)式為：

k=2,3,…。

(4)

根據(jù)假設(shè)(6)可得第i個(gè)預(yù)防性維修間隔內(nèi)系統(tǒng)收益為系統(tǒng)運(yùn)行收益與系統(tǒng)運(yùn)行成本的差，各部分計(jì)算如下：

主單元維修時(shí)間總和：

貯備單元維修時(shí)間總和：

系統(tǒng)第1次預(yù)防性維修前后的運(yùn)行收益如式(5)所示：

k=2,3,…。

(5)

系統(tǒng)第1次預(yù)防性維修前后的附加費(fèi)如式(6)所示：

k=2,3,…。

(6)

系統(tǒng)的故障維修費(fèi)用為：

系統(tǒng)的停機(jī)損失為：

系統(tǒng)的預(yù)防性維修費(fèi)用為：

cp=Cp(Tp1+Tp2)。

因此，第i個(gè)預(yù)防性維修間隔內(nèi)的系統(tǒng)收益Ci為：

Ci=cwi,1+cwi,k-cei,1-cei,k-cf-cd-cp。

(7)

第N個(gè)預(yù)防性維修(預(yù)防性更換)間隔內(nèi)的系統(tǒng)收益CN為：

k=2,3,…。

(8)

對(duì)系統(tǒng)的預(yù)防性維修間隔和預(yù)防性更換間隔以及對(duì)應(yīng)的收益求期望。在此之前，為了方便表達(dá)先對(duì)示性函數(shù)的期望進(jìn)行分析:

式中G(n)表示n重卷積。

除此之外，主單元待修時(shí)間的期望為：

貯備單元待修時(shí)間的期望為：

由此可得，系統(tǒng)的第i個(gè)預(yù)防性維修間隔Li的期望如式(9)所示：

(9)

系統(tǒng)的預(yù)防性更換間隔LN的期望如式(10)所示：

(10)

系統(tǒng)的第i個(gè)預(yù)防性維修間隔內(nèi)系統(tǒng)運(yùn)行的收益Ci的期望如式(11)所示：

(11)

系統(tǒng)的預(yù)防性更換間隔內(nèi)系統(tǒng)運(yùn)行收益CN的期望如式(12)所示：

(12)

由上述分析和更新報(bào)酬定理，系統(tǒng)長(zhǎng)期運(yùn)行收益率如式(13)所示：

(13)

本文建立的模型g(T,N,W)是關(guān)于預(yù)防性維修周期T，預(yù)防性維修次數(shù)N和維修窗口W的三元函數(shù)，需要找到使得系統(tǒng)長(zhǎng)期運(yùn)行收益率最大化的(T*,N*,W*)。由于系統(tǒng)長(zhǎng)期收益率g(T,N,W)的表達(dá)式過于復(fù)雜，很難通過解析法得到最優(yōu)解(T*,N*,W*)。因此，使用Hooke-Jeeves直接搜索算法得到最優(yōu)解。

3 案例研究

3.1 實(shí)際案例

文獻(xiàn)[17]以某型號(hào)機(jī)載空調(diào)設(shè)備的故障間隔時(shí)間數(shù)據(jù)集為例，得到了提出的拓展幾何過程模型相關(guān)參數(shù)的估計(jì)值。根據(jù)預(yù)防性維修模型故障強(qiáng)度的一般假設(shè)，本文假設(shè)第i個(gè)預(yù)防性維修區(qū)間內(nèi)，即系統(tǒng)在第(i-1)次到第i次預(yù)防性維修期間，第(i-1)次預(yù)防性維修的修復(fù)因子θi>0，滿足θi=θ-α(i-1)，其中α為常數(shù)。維修成本的其他參數(shù)假設(shè)為一般常數(shù)，模型參數(shù)如表1所示。

表1 模型參數(shù)

根據(jù)上述參數(shù)，利用本文建立的長(zhǎng)期運(yùn)行收益率模型，獲得最優(yōu)的T*，N*和W*，計(jì)算得到的部分g(T,N,W)如表2所示。優(yōu)化結(jié)果：gmax=0.786 23，W*=2.5，N*=12，T*=25。通過實(shí)際案例分析，最優(yōu)的預(yù)防性維修策略(T*,N*,W*)的存在具有唯一性，即主空調(diào)設(shè)備的累積運(yùn)行時(shí)間在最優(yōu)的預(yù)防性維修區(qū)間[25,27.5]內(nèi)，維修工對(duì)主空調(diào)設(shè)備和貯備空調(diào)設(shè)備依次實(shí)施預(yù)防性維修活動(dòng)，并且在第12次預(yù)防性維修計(jì)劃到達(dá)時(shí)對(duì)主空調(diào)設(shè)備和貯備空調(diào)設(shè)備實(shí)施更換，在這種策略下，系統(tǒng)的收益率最大。

表2 系統(tǒng)長(zhǎng)期運(yùn)行收益率

3.2 參數(shù)敏感性分析

實(shí)際案例說明了基于拓展幾何維修過程的維修策略的建模與優(yōu)化過程。在該模型中，θi為拓展幾何過程中引入的恢復(fù)因子d(k)中的重要參數(shù)，根據(jù)θi的假設(shè)，其變化取決于α的取值，并會(huì)對(duì)最優(yōu)維修策略產(chǎn)生影響。除此之外，成本的大小也對(duì)最優(yōu)維修策略產(chǎn)生一定的影響。因此，本節(jié)主要選取α以及故障成本率Cf做敏感性分析，即分析α和Cf在某一范圍內(nèi)變化時(shí)，系統(tǒng)長(zhǎng)期運(yùn)行收益率g、最優(yōu)的預(yù)防性維修窗口長(zhǎng)度W、預(yù)防性維修次數(shù)N以及預(yù)防性維修周期T的變化趨勢(shì)。經(jīng)計(jì)算，α取不同值時(shí)，系統(tǒng)的長(zhǎng)期運(yùn)行收益率最大值以及最優(yōu)維修策略如表3所示。

表3 不同α下的系統(tǒng)長(zhǎng)期運(yùn)行收益率及最優(yōu)維修策略

由表3中的數(shù)據(jù)可以看出，隨著α值的增大，系統(tǒng)長(zhǎng)期運(yùn)行收益率逐漸減小，這也就意味著，為保持系統(tǒng)的收益率較大，應(yīng)盡可能提高系統(tǒng)預(yù)防性維修的效率。α值的增大使得最優(yōu)的預(yù)防性維修周期T、預(yù)防性維修次數(shù)N和預(yù)防性維修窗口長(zhǎng)度W均有遞減的趨勢(shì)。因此，當(dāng)α值增大時(shí)，會(huì)整體縮減系統(tǒng)的運(yùn)行時(shí)間。

該模型中成本率參數(shù)較多，從模型結(jié)構(gòu)可知，各成本率參數(shù)對(duì)系統(tǒng)收益率影響的趨勢(shì)類似。故本文僅以故障維修成本率Cf為例，分析其取不同值時(shí)系統(tǒng)長(zhǎng)期運(yùn)行收益率最大值以及最優(yōu)維修策略的變化趨勢(shì)，來說明成本率對(duì)系統(tǒng)最優(yōu)維修策略的影響，具體如表4所示。

表4 不同Cf下的系統(tǒng)長(zhǎng)期運(yùn)行收益率及最優(yōu)維修策略

由表4可以看出，隨著Cf的增大，系統(tǒng)長(zhǎng)期運(yùn)行收益率逐漸減小。因此，在故障維修時(shí)，要通過控制成本率來獲得系統(tǒng)收益最大化。對(duì)于最優(yōu)維修策略來說，預(yù)防性維修窗口長(zhǎng)度W的敏感性不明顯，預(yù)防性維修間隔T呈遞減趨勢(shì)，預(yù)防性維修次數(shù)N有增加的趨勢(shì)。

由于其他成本率的變化對(duì)系統(tǒng)最大收益率和最優(yōu)維修策略的影響與Cf類似，本文將不再贅述。

4 結(jié)束語

本文針對(duì)互異兩單元冷貯備可修系統(tǒng)，考慮生產(chǎn)任務(wù)波動(dòng)、維修力量以及外界環(huán)境等隨機(jī)因素的影響，采用擬周期預(yù)防性維修策略，建立了系統(tǒng)長(zhǎng)期運(yùn)行收益率模型，以系統(tǒng)長(zhǎng)期運(yùn)行收益率最大化為優(yōu)化目標(biāo)，獲得系統(tǒng)的最優(yōu)預(yù)防性維修策略。通過實(shí)際案例來說明系統(tǒng)的建模與最優(yōu)預(yù)防性維修策略的優(yōu)化過程，同時(shí)分析了參數(shù)α和Cf對(duì)最優(yōu)預(yù)防性維修策略的影響。實(shí)例分析結(jié)果表明，恢復(fù)速率α以及故障維修成本率Cf的改變會(huì)對(duì)系統(tǒng)長(zhǎng)期運(yùn)行收益率和最優(yōu)維修策略產(chǎn)生顯著影響。因此，對(duì)于滿足本文所提的拓展幾何維修過程的冷貯備可修系統(tǒng)，最優(yōu)的維修策略(T*，N*，W*)是存在的，生產(chǎn)中根據(jù)經(jīng)驗(yàn)設(shè)定的維修窗口需要進(jìn)一步優(yōu)化以獲得最大的收益率。同時(shí)，提高預(yù)防性維修效果和降低維修成本率是獲得最大收益率的根本途徑。

在實(shí)際工程應(yīng)用中，復(fù)雜多單元系統(tǒng)與多態(tài)系統(tǒng)普遍存在，針對(duì)這些系統(tǒng)建立有效的可靠性與維修模型是下一步的研究重點(diǎn)。除此之外，研究具有普適性的維修模型并將其應(yīng)用到不同的工程領(lǐng)域也尤為重要。