楊軍峰，戴 賽，朱軍飛，李 京，李 輝，黃國(guó)棟，林星宇，唐俊杰

(1.國(guó)家電力調(diào)度控制中心，北京 100031；2.中國(guó)電力科學(xué)研究院有限公司，北京 100192；3.國(guó)網(wǎng)湖南省電力有限公司，湖南 長(zhǎng)沙 410004；4.輸配電裝備及系統(tǒng)安全與新技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(重慶大學(xué))，重慶 400044)

1 引言

可用輸電能力(Available Transfer Capability，ATC)指特定運(yùn)行狀態(tài)中的電網(wǎng)在安全約束下所剩余的傳輸容量[1]。在電力系統(tǒng)運(yùn)行中，該指標(biāo)可用于指導(dǎo)電力市場(chǎng)的交易、引導(dǎo)市場(chǎng)資源的優(yōu)化配置，且可以作為互聯(lián)系統(tǒng)安全可靠性的評(píng)估測(cè)度[2]。因此，精確而快速地計(jì)算ATC，對(duì)電力系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)、安全運(yùn)行有重大的意義。

當(dāng)前，ATC的計(jì)算方法有線性分布因子法、交流靈敏度分析法、潮流軌跡追蹤法和最優(yōu)潮流法。其中，線性分布因子法和交流靈敏度分析法均對(duì)ATC的計(jì)算模型采用了一定的近似，因此在特定狀況下其精度難以達(dá)到實(shí)際應(yīng)用需求；潮流軌跡追蹤法在計(jì)算過(guò)程中，會(huì)涉及到算法收斂性問(wèn)題以及反復(fù)求解潮流導(dǎo)致的計(jì)算量過(guò)大問(wèn)題[2,3]；而最優(yōu)潮流法除了能正常計(jì)算ATC以外，還能夠在計(jì)算過(guò)程中引入其他與發(fā)電計(jì)劃、需求響應(yīng)或市場(chǎng)因素相關(guān)的約束條件，使其在計(jì)算中能夠考慮系統(tǒng)更為復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)性和風(fēng)險(xiǎn)性[4-6]。

隨著大規(guī)模風(fēng)電的并網(wǎng)，客戶用電行為的多樣化，電力系統(tǒng)中的不確定源越來(lái)越多[7，8]。因此，在ATC的計(jì)算中，必須要考慮風(fēng)速、負(fù)荷等不確定源帶來(lái)的影響，即ATC的概率分析。用于ATC概率分析的常用方法為蒙特卡洛模擬法，其結(jié)果精確，且能獲得ATC的完整概率信息。由于蒙特卡洛法需要大量樣本才能獲取精確的結(jié)果，因此其一般作為其他概率方法的精度參考，而不直接用于ATC的實(shí)時(shí)概率分析。作為改進(jìn)，文獻(xiàn)[9]提出了基于拉丁超立方樣本的蒙特卡洛法，用于加快ATC的概率分析效率，但其1 000次的仿真計(jì)算耗時(shí)依然達(dá)到了分鐘級(jí)，不能滿足實(shí)際應(yīng)用需求。

另外，在ATC的概率分析中，文獻(xiàn)[9]考慮了風(fēng)速之間的相關(guān)性，然而基于相關(guān)性生成風(fēng)速樣本的方法并沒(méi)有在該方法中進(jìn)行強(qiáng)調(diào)。為了處理變量之間的相關(guān)性，文獻(xiàn)[10]采用Nataf變換，建立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量和原始分布變量之間的橋梁，通過(guò)生成具有相關(guān)性的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)樣本轉(zhuǎn)換得到所需分布的樣本。而這個(gè)過(guò)程中，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布域的相關(guān)系數(shù)矩陣的求解尤為復(fù)雜。對(duì)于正態(tài)分布域相關(guān)系數(shù)的求解，文獻(xiàn)[11]提出了一種基于數(shù)值積分和二分法的求解方法，但若要達(dá)到較高精度，其計(jì)算速度不能滿足實(shí)際應(yīng)用需求。

基于以上問(wèn)題，本文提出了一種基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Radial Basis Function Neural Network，RBFNN)的Nataf變換相關(guān)系數(shù)求解方法，同時(shí)使用RBFNN近似ATC計(jì)算模型，從而大幅提高ATC的概率分析速度。為測(cè)試所提方法性能，本文基于兩個(gè)相互連接的IEEE 9節(jié)點(diǎn)算例，測(cè)試了基于RBFNN的相關(guān)系數(shù)求解法的精度及其對(duì)ATC概率分析的影響，并測(cè)試了基于RBFNN的ATC求解模型在ATC概率分析中的性能。此外，本文基于IEEE 118節(jié)點(diǎn)算例，通過(guò)與極限學(xué)習(xí)機(jī)的性能對(duì)比，驗(yàn)證了本文所提方法的通用性和優(yōu)越性。

2 基本模型

2.1 基于最優(yōu)潮流的ATC計(jì)算模型

ATC表征了特定運(yùn)行狀態(tài)下的電力網(wǎng)絡(luò)在安全穩(wěn)定約束條件下，對(duì)受電區(qū)域所剩余的功率傳輸容量。基于這個(gè)描述，用“聯(lián)絡(luò)線”指代送端電網(wǎng)向受端電網(wǎng)傳輸電能的輸電線路，則ATC的求解包含三個(gè)步驟：①求解電網(wǎng)當(dāng)前狀態(tài)下的潮流，以求取聯(lián)絡(luò)線上實(shí)際流過(guò)的電能；②求解優(yōu)化模型(1)，以求取在約束條件下聯(lián)絡(luò)線上所能流過(guò)的最大電能；③聯(lián)絡(luò)線流過(guò)最大電能減去實(shí)際流過(guò)電能即為ATC。

(1)

式中，SetR和SetS分別為受端電網(wǎng)和送端電網(wǎng)的節(jié)點(diǎn)編號(hào)集合；SetB為全電網(wǎng)的節(jié)點(diǎn)編號(hào)集合；PL,i和PL,i,0分別為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的有功負(fù)荷和對(duì)應(yīng)的實(shí)際值；PG,i和PG,i,0分別為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的發(fā)電機(jī)有功出力和對(duì)應(yīng)的實(shí)際值；Pwind,i和Qwind,i分別為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)上的風(fēng)電有功、無(wú)功出力；Vi、Vj和θij分別為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)和第j個(gè)節(jié)點(diǎn)的電壓幅值及其相位差；QG,i和QL,i分別為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)發(fā)電機(jī)無(wú)功出力和無(wú)功負(fù)荷；Sij為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)流向第j個(gè)節(jié)點(diǎn)的視在功率；Gij和Bij分別為該電網(wǎng)節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣第i行第j列元素的實(shí)部和虛部；上標(biāo)“max”和“min”分別表示該變量的上、下限。

在考慮負(fù)荷、風(fēng)電的不確定性時(shí)，將有功負(fù)荷、風(fēng)電場(chǎng)有功出力視作模型輸入變量Xin，ATC作為最終輸出變量Y，ATC的求解過(guò)程可簡(jiǎn)化表示為式(2)，其中無(wú)功負(fù)荷根據(jù)對(duì)應(yīng)負(fù)荷功率因數(shù)不變來(lái)取值；而風(fēng)機(jī)一般消耗無(wú)功，因此風(fēng)電場(chǎng)無(wú)功出力可根據(jù)節(jié)點(diǎn)風(fēng)機(jī)臺(tái)數(shù)來(lái)處理為一個(gè)負(fù)的常數(shù)。

Y=f(Xin)

(2)

2.2 不確定源模型

本文所考慮的不確定源包括負(fù)荷和風(fēng)電場(chǎng)的風(fēng)速。不確定源種類及其邊緣分布模型見(jiàn)表1，負(fù)荷的不確定性一般使用正態(tài)分布來(lái)描述，風(fēng)速的不確定性用威布爾分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布進(jìn)行建模。

表1 不確定源種類及其邊緣分布模型

表1中，K和D為威布爾分布的形狀參數(shù)和尺度參數(shù)；μ和σ為正態(tài)分布的均值與標(biāo)準(zhǔn)差；μln和σln為對(duì)數(shù)正態(tài)分布的對(duì)數(shù)均值與對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差。

另外，需要根據(jù)式(3)將風(fēng)速轉(zhuǎn)換為單臺(tái)風(fēng)機(jī)出力。進(jìn)一步根據(jù)風(fēng)電場(chǎng)的風(fēng)機(jī)數(shù)量，通過(guò)假設(shè)每臺(tái)風(fēng)機(jī)出力相同，獲取該風(fēng)電場(chǎng)的實(shí)際出力。

(3)

式中，vwind為實(shí)際風(fēng)速，m/s；vin、vN和vout分別為風(fēng)機(jī)的切入風(fēng)速、額定風(fēng)速和切出風(fēng)速，m/s；PT為單臺(tái)風(fēng)機(jī)的實(shí)際有功出力，MW；PN為風(fēng)機(jī)的額定出力，MW。

不確定源的建模除了使用邊緣分布描述單個(gè)變量的波動(dòng)規(guī)律外，還需要對(duì)隨機(jī)變量之間的相關(guān)性進(jìn)行刻畫。對(duì)于m維隨機(jī)變量向量X=[X1,X2,…,Xm]T，本文采用皮爾森相關(guān)系數(shù)來(lái)表征變量之間的相關(guān)性。X的第i個(gè)和第j個(gè)元素Xi、Xj之間的皮爾森相關(guān)系數(shù)ρX,ij可以表示為：

(4)

式中，μij、μi和μj分別為XiXj、Xi和Xj的均值；σi和σj分別為Xi和Xj的標(biāo)準(zhǔn)差。需注意，若兩變量不同時(shí)為正態(tài)分布，那么在變量進(jìn)行單調(diào)非線性變換時(shí)，對(duì)應(yīng)變量之間的皮爾森相關(guān)系數(shù)數(shù)值會(huì)發(fā)生變化。由于這個(gè)特性，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的相關(guān)系數(shù)數(shù)值計(jì)算是Nataf變換的一個(gè)技術(shù)難點(diǎn)。

2.3 Nataf變換

在概率分析中，Nataf變換被廣泛應(yīng)用于皮爾森相關(guān)性體系下隨機(jī)變量的樣本生成。對(duì)于服從任意連續(xù)分布隨機(jī)變量向量X, Nataf變換采用等概率原則，設(shè)存在m維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量向量Z，其第i個(gè)元素Zi與Xi之間滿足以下關(guān)系：

(5)

(6)

式中，φ(zi,zj,ρZ,ij)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的聯(lián)合概率密度函數(shù)。

通過(guò)對(duì)任意兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量之間的相關(guān)系數(shù)進(jìn)行求解，可以獲得Z的相關(guān)系數(shù)矩陣CZ。對(duì)CZ使用Cholesky分解，求得分解矩陣L，進(jìn)一步建立Z與獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量U的關(guān)系為：

Z=LU

(7)

式中，L滿足CZ=LLT；U=[U1,U2,…,Um]T，其第i個(gè)和第j個(gè)元素對(duì)應(yīng)的自變量分別為Ui和Uj。

在概率分析中，通過(guò)式(5)和式(7)，變量X的樣本便可以通過(guò)獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布樣本來(lái)獲取，而實(shí)現(xiàn)這一步驟的關(guān)鍵在于對(duì)式(6)的反復(fù)求解。經(jīng)計(jì)算，在含有m維隨機(jī)變量時(shí)，考慮到相關(guān)系數(shù)矩陣的對(duì)稱性且其主對(duì)角元素全為1，共需計(jì)算m(m-1)/2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下的相關(guān)系數(shù)數(shù)值，即需要對(duì)式(6)進(jìn)行m(m-1)/2次求解。式(6)的求解過(guò)程復(fù)雜，待求解次數(shù)多且隨變量個(gè)數(shù)平方增加，該求解過(guò)程耗時(shí)嚴(yán)重；另一方面，式(7)表明標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布域下相關(guān)系數(shù)數(shù)值會(huì)直接參與原始分布變量樣本的生成，其計(jì)算精度必須得到保證。因此需要采用合理的方法來(lái)對(duì)式(6)進(jìn)行高效且精確的求解。

2.4 徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

在電力系統(tǒng)中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)通常應(yīng)用于控制領(lǐng)域或風(fēng)速、負(fù)荷的預(yù)測(cè)領(lǐng)域，此時(shí)模型建立過(guò)程需要大量的訓(xùn)練樣本和繁瑣的訓(xùn)練過(guò)程[14-16]。本文將RBFNN用于確定性模型的近似，因此這里的RBFNN實(shí)現(xiàn)的是完全內(nèi)插值的作用。對(duì)于多輸入、單輸出的系統(tǒng)，RBFNN模型可用圖1表示。

圖1 徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

設(shè)RBFNN包含n個(gè)輸入變量，用向量表示為XRBF,in；隱藏層含有NT個(gè)神經(jīng)元，第i個(gè)神經(jīng)元的徑向基函數(shù)中心為Ti，這里Ti也是一個(gè)n維向量。此時(shí)徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)表達(dá)式可以表示為：

(8)

式中，yRBF為徑向基函數(shù)的輸出；ωi為隱藏層第i個(gè)神經(jīng)元到輸出的權(quán)重；ψ為徑向基函數(shù)。

本文在生成RBFNN時(shí)，設(shè)定隱藏層神經(jīng)元個(gè)數(shù)等于訓(xùn)練樣本數(shù)NT，每個(gè)訓(xùn)練樣本均作為徑向基函數(shù)的樣本中心。設(shè)訓(xùn)練樣本集中，輸入變量樣本為T=[T1,T2,…,TNT]，對(duì)應(yīng)的輸出變量樣本為yRBF=[yRBF,1,yRBF,2,…,yRBF,NT]T。將對(duì)應(yīng)的輸入、輸出樣本全部代入式(8)中，得到如式(9)所示的NT維線性方程組。

(9)

式(9)可用矩陣表示為：

Hω=yRBF

(10)

式中，ω=[ω1,ω2,…,ωNT]T為權(quán)重向量；H為系數(shù)矩陣，其第i行第j列元素為ψ(‖Ti-Tj‖2)。對(duì)于H矩陣，若徑向基函數(shù)是高斯函數(shù)、多元二次函數(shù)或逆多元二次函數(shù)等，且所有樣本中心互不相同時(shí)，根據(jù)Micchelli定理[17]，H矩陣是非奇異矩陣。此時(shí)權(quán)重向量ω可通過(guò)式(11)求取：

ω=H-1yRBF

(11)

此時(shí)所構(gòu)建的RBFNN又稱為正則化RBFNN，其主要包含以下兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)[18，19]：①正則化網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)通用逼近器，這表明只要有足夠多的隱藏層神經(jīng)元個(gè)數(shù)，它就能以任意精度逼近任意多元連續(xù)函數(shù)；②給定任意非線性函數(shù)，正則化網(wǎng)絡(luò)對(duì)其的逼近是最優(yōu)的，這里的“最優(yōu)”表現(xiàn)為對(duì)于樣本的誤差小和逼近曲線的平滑性兩個(gè)方面。另外，本文選擇高斯函數(shù)作為徑向基函數(shù)，其具體表達(dá)式為：

(12)

式中，d為輸入變量到該徑向基函數(shù)樣本中心的歐式距離；δ為徑向基函數(shù)的擴(kuò)展常數(shù)，其數(shù)值決定高斯函數(shù)的扁平程度。本文將δ數(shù)值設(shè)置為1，其優(yōu)勢(shì)在于若變量為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量時(shí)，RBFNN所近似的函數(shù)均值易于解析求取。

3 徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在ATC不確定性分析中的應(yīng)用

3.1 徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在Nataf變換中的應(yīng)用

Nataf變換的技術(shù)難點(diǎn)在于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量相關(guān)系數(shù)的計(jì)算，即對(duì)式(6)的求解。其主要復(fù)雜在于兩點(diǎn)：式(6)中的積分部分計(jì)算復(fù)雜；待求解變量包含在該積分的被積函數(shù)中。

為解決以上問(wèn)題，本文擬采用RBFNN和簡(jiǎn)化牛頓法實(shí)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布域相關(guān)系數(shù)的求解。其具體實(shí)現(xiàn)方法如下。

對(duì)于式(6)中的二重積分部分，可表示為：

φ(zi,zj,ρZ,ij)dzidzj

(13)

根據(jù)3-σ法則，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量所產(chǎn)生的樣本落在[-3, 3]的概率約為99.74%。為實(shí)現(xiàn)更高精度計(jì)算結(jié)果，本文在(zi,zj)∈[-6, 6]×[-6, 6]上建立RBFNN來(lái)近似式(13)中的反函數(shù)乘積，如式(14)所示。

(14)

(15)

基于以上樣本，使用式(9)～式(11)，建立RBFNN，如式(16)所示。

(16)

式中，ωC,s為第s個(gè)高斯函數(shù)的權(quán)重系數(shù)。此時(shí)將式(16)代入式(13)，該積分表達(dá)式進(jìn)一步表示為：

(17)

其中，求和部分的第s項(xiàng)(不含系數(shù))可具體表示為：

(18)

式中，參數(shù)A、D、Bs和Es可通過(guò)式(19)計(jì)算。

(19)

從而式(6)可以近似變換為：

(20)

顯然，式(20)是一個(gè)關(guān)于ρZ,ij的非線性方程。根據(jù)實(shí)驗(yàn)，使用簡(jiǎn)化牛頓法，可對(duì)其進(jìn)行精確求解。

3.2 徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在ATC計(jì)算中的應(yīng)用

RBFNN除了可被用于近似Nataf變換中部分表達(dá)式外，還可被應(yīng)用于近似ATC的求解模型，如式(21)所示。

YRBF≈f(Xin)

(21)

該RBFNN的具體建立過(guò)程如下：對(duì)于某電力系統(tǒng)的特定運(yùn)行狀態(tài)，根據(jù)實(shí)際情況標(biāo)識(shí)出待建立模型的輸入變量，同時(shí)設(shè)定該系統(tǒng)中聯(lián)絡(luò)線的ATC為輸出變量。在本文中，由于該近似模型將應(yīng)用于隨機(jī)場(chǎng)景下ATC的計(jì)算與分析，因此本文選取具有不確定性的有功負(fù)荷以及風(fēng)電場(chǎng)有功出力作為式(21)的輸入變量。

(22)

歸一化完成后，將式(22)和代入式(2)中，得到歸一化輸入變量和ATC的確定性關(guān)系，即：

(23)

式中，“.*”表示同維度向量對(duì)應(yīng)元素相乘。

最后，根據(jù)2.4節(jié)內(nèi)容，以歸一化輸入變量為輸入，并以ATC為輸出，建立用于計(jì)算ATC的RBFNN模型。

(24)

3.3 基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的ATC概率分析

本文同時(shí)將RBFNN應(yīng)用于ATC概率分析的兩個(gè)方面：①概率建模，RBFNN用于Nataf變換中標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量相關(guān)系數(shù)的快速計(jì)算；②概率計(jì)算，RBFNN用于建立近似ATC的確定性計(jì)算模型，從而在概率計(jì)算中獲得更快的計(jì)算速度。

在概率建模中，本文充分發(fā)揮了基于高斯函數(shù)的RBFNN的數(shù)學(xué)表達(dá)式特征，直接近似地解析求取式(13)所示的二重積分表達(dá)式。在概率計(jì)算中，由于RBFNN被用于近似確定性的函數(shù)表達(dá)式，本文舍棄了其作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的學(xué)習(xí)步驟，直接使用正則化網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)對(duì)ATC計(jì)算模型的完全內(nèi)插值功能。

在實(shí)際應(yīng)用中，基于RBFNN的ATC概率分析方法流程可參照如下步驟：

(1)計(jì)算模型的建立。

1)確定電力系統(tǒng)的送電、受電區(qū)域及對(duì)應(yīng)聯(lián)絡(luò)線，建立該系統(tǒng)的ATC計(jì)算模型。根據(jù)系統(tǒng)原始負(fù)荷大小，獲得各負(fù)荷節(jié)點(diǎn)的負(fù)荷功率因素。

2)確定電力系統(tǒng)中的不確定源，包括確定不確定源的分布類型、分布參數(shù)及相關(guān)系數(shù)，確定不確定源到節(jié)點(diǎn)功率的轉(zhuǎn)換模型。

3)根據(jù)3.1節(jié)內(nèi)容，通過(guò)RBFNN，求取標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量相關(guān)系數(shù)數(shù)值，建立Nataf變換模型。需注意，此步驟需對(duì)每?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量之間執(zhí)行一次。

4)預(yù)設(shè)ATC計(jì)算模型輸入變量的取值范圍，生成歸一化向量。根據(jù)3.2節(jié)內(nèi)容，求取基于RBFNN的ATC近似計(jì)算模型。

(2)基于蒙特卡洛法的ATC概率計(jì)算與分析。

1)生成NMCS組獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布樣本，樣本維度等于系統(tǒng)隨機(jī)源個(gè)數(shù)。

2)根據(jù)式(5)和式(7)將正態(tài)分布樣本轉(zhuǎn)換到原始分布域獲取有功負(fù)荷、風(fēng)速樣本，再根據(jù)式(3)和各風(fēng)電場(chǎng)的風(fēng)機(jī)臺(tái)數(shù)，將風(fēng)速樣本轉(zhuǎn)換為風(fēng)電場(chǎng)有功出力樣本。根據(jù)以上樣本，形成基于RBFNN的ATC近似計(jì)算模型的輸入樣本矩陣。

3)將輸入樣本矩陣代入RBFNN模型中進(jìn)行計(jì)算，得到各樣本下的ATC近似計(jì)算數(shù)值。通過(guò)統(tǒng)計(jì)手段，獲取ATC的概率分布特征，以根據(jù)實(shí)際需求進(jìn)行進(jìn)一步的分析與應(yīng)用。

4 算例分析

4.1 算例介紹

本文采用經(jīng)聯(lián)絡(luò)線連接的兩個(gè)IEEE 9節(jié)點(diǎn)算例來(lái)搭建本文方法的測(cè)試場(chǎng)景。其具體拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 算例拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

相比于IEEE 9節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)算例，送端電網(wǎng)和受端電網(wǎng)的設(shè)定做如下修改。送端電網(wǎng)：①所有有功、無(wú)功負(fù)荷減少為標(biāo)準(zhǔn)算例對(duì)應(yīng)數(shù)值的50%，作為此算例的原始數(shù)值；②節(jié)點(diǎn)7、9分別接入風(fēng)電場(chǎng)，每個(gè)風(fēng)電場(chǎng)分別含100臺(tái)風(fēng)機(jī)。受端電網(wǎng)：①相對(duì)于IEEE 9節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)算例，受端電網(wǎng)節(jié)點(diǎn)編號(hào)為標(biāo)準(zhǔn)算例對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)編號(hào)數(shù)值加9；②所有有功、無(wú)功負(fù)荷增加為標(biāo)準(zhǔn)算例對(duì)應(yīng)數(shù)值的150%，作為此算例的原始數(shù)值；③原平衡節(jié)點(diǎn)修改為PV節(jié)點(diǎn)，且發(fā)電機(jī)有功出力為72.3 MW。需注意，送端電網(wǎng)和受端電網(wǎng)未提到參數(shù)均與IEEE 9節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)算例參數(shù)完全相同。

對(duì)所設(shè)的兩條聯(lián)絡(luò)線，其線路參數(shù)見(jiàn)表2，其中，r、x和b分別為線路電阻、電抗和對(duì)地電納的標(biāo)幺值，對(duì)應(yīng)的功率、電壓幅值基準(zhǔn)分別為100 MV·A和345 kV。

表2 聯(lián)絡(luò)線參數(shù)

對(duì)于風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)機(jī)參數(shù)，切入風(fēng)速、切出風(fēng)速和額定風(fēng)速分別為2 m/s、25 m/s和15 m/s，單臺(tái)風(fēng)機(jī)恒定吸收無(wú)功功率0.002 MVar。

對(duì)于隨機(jī)源，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，圖2所示系統(tǒng)中含有2個(gè)風(fēng)速對(duì)應(yīng)于兩個(gè)風(fēng)電場(chǎng)，6個(gè)負(fù)荷(送端電網(wǎng)、受端電網(wǎng)各3個(gè))。隨機(jī)變量分布類型、分布參數(shù)及相關(guān)系數(shù)均參考文獻(xiàn)[12，20]取得。具體的，所有有功負(fù)荷服從正態(tài)分布，均值為對(duì)應(yīng)原始值，標(biāo)準(zhǔn)差為均值5%；節(jié)點(diǎn)7風(fēng)速服從威布爾分布，形狀參數(shù)和尺度參數(shù)分別為1.837和7.218；節(jié)點(diǎn)9風(fēng)速服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，對(duì)數(shù)均值為1.731，對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差為0.441。

根據(jù)文獻(xiàn)[12，20]，本算例中隨機(jī)源的相關(guān)系數(shù)設(shè)置如下，兩風(fēng)速之間相關(guān)系數(shù)為0.15，送端負(fù)荷之間相關(guān)系數(shù)為0.4，送端負(fù)荷與風(fēng)速之間相關(guān)系數(shù)為0.066 7；受端負(fù)荷之間相關(guān)系數(shù)為0.4，受端負(fù)荷和送端負(fù)荷之間相關(guān)系數(shù)為0，受端負(fù)荷和送端風(fēng)速之間相關(guān)系數(shù)為0。另外，由此設(shè)定得到的相關(guān)系數(shù)矩陣設(shè)為R。

對(duì)于結(jié)果的精度描述，定義最大絕對(duì)誤差εmax和平均絕對(duì)誤差εmean表征本文方法計(jì)算求得的相關(guān)系數(shù)的精度。

(25)

式中，Nρ為計(jì)算的相關(guān)系數(shù)個(gè)數(shù)；ρref和ρRBF分別為參考方法和本文方法計(jì)算所得的對(duì)應(yīng)的相關(guān)系數(shù)數(shù)值。定義相對(duì)誤差ζ表示基于RBFNN的ATC計(jì)算結(jié)果的精度。

(26)

式中，yref和yRBF分別為對(duì)于同一組輸入樣本，分別使用原始ATC計(jì)算模型和RBFNN求取的近似ATC計(jì)算模型計(jì)算得到的ATC數(shù)值。

對(duì)于概率潮流結(jié)果，以基于原始ATC模型的104簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的蒙特卡洛結(jié)果為參考，基于RBFNN近似ATC計(jì)算模型結(jié)果的概率分布精度用頻率直方圖相似度(Frequency Histogram Similarity Index, FHSI)來(lái)描述，其計(jì)算方法如式(27)所示，其中，要求兩頻率直方圖擁有完全相同的橫坐標(biāo)。

(27)

式中，Nb為頻率直方圖的條數(shù)；bref,i和bRBF,i分別為參考方法和待測(cè)方法的第i條頻率直方圖的頻率；Δb為頻率直方圖寬度。另外當(dāng)FHSI>0.9時(shí)，認(rèn)為待檢測(cè)的頻率直方圖所描述的概率密度是精確的。

另外，本文所有實(shí)驗(yàn)均在Matlab平臺(tái)上實(shí)現(xiàn)，所使用計(jì)算機(jī)的CPU為Intel(R)Core(TM)i7-9700 CPU @ 3.00 GHz，內(nèi)存為容量16 GB，頻率為2 400 MHz的DDR4代內(nèi)存條。

4.2 基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的相關(guān)系數(shù)計(jì)算性能

對(duì)于Nataf變換中標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布域相關(guān)系數(shù)，傳統(tǒng)方法采用基于辛普森數(shù)值積分和二分法對(duì)其進(jìn)行求解。其中，辛普森數(shù)值積分能夠以任意精度逼近積分的數(shù)值結(jié)果；而在特定情況下，二分法可以任意精度在特定區(qū)間上求解非線性方程的根。根據(jù)這些特性，傳統(tǒng)方法對(duì)該相關(guān)系數(shù)的求解結(jié)果精度非常高，因此在本節(jié)中，以精度為10-6的基于辛普森數(shù)值積分和二分法的相關(guān)系數(shù)計(jì)算法作為Nataf變換中相關(guān)系數(shù)計(jì)算結(jié)果的精度參考，記為“Nataf_ref”。本文所提相關(guān)系數(shù)計(jì)算法記為“Nataf_RBF”。

在針對(duì)每個(gè)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算中，RBFNN的參數(shù)設(shè)定完全相同，所使用的樣本數(shù)量以及神經(jīng)元數(shù)量見(jiàn)表3。

表3 Nataf變換中RBFNN的參數(shù)設(shè)置

對(duì)于4.1節(jié)中設(shè)定的相關(guān)系數(shù)矩陣R，用Rλ表示對(duì)R非對(duì)角元素乘以乘子λ后形成的新矩陣。需注意，若非對(duì)角元素乘以λ后數(shù)值大于等于0.95，則將其數(shù)值設(shè)為0.95；若該元素小于等于-0.95，則將其設(shè)為-0.95。現(xiàn)設(shè)置λ取值為-5～5之間的所有整數(shù)。對(duì)于λ所有的取值，分別使用Nataf_ref和Nataf_RBF計(jì)算矩陣Rλ對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布域相關(guān)系數(shù)，計(jì)算誤差如圖3所示。

圖3 Nataf_RBF法計(jì)算誤差

圖3結(jié)果表明，本文所提方法計(jì)算相關(guān)系數(shù)誤差小于1.2×10-4，該精度意味著轉(zhuǎn)換后的相關(guān)系數(shù)小數(shù)點(diǎn)后三位均完全精確。對(duì)于此精度下的相關(guān)系數(shù)計(jì)算結(jié)果，其誤差對(duì)最終ATC概率結(jié)果的影響會(huì)在4.4節(jié)做進(jìn)一步分析。另外，若將傳統(tǒng)方法求解精度設(shè)定為與Nataf_RBF相同，即10-3，此時(shí)，對(duì)于λ的所有取值，傳統(tǒng)方法和Nataf_RBF完全轉(zhuǎn)換一個(gè)相關(guān)系數(shù)矩陣所消耗的平均時(shí)間分別為227.1 s和0.136 3 s。顯而易見(jiàn)，Nataf_RBF消耗時(shí)間比參考方法小了三個(gè)數(shù)量級(jí)，大大加快了Nataf變換中標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布域相關(guān)系數(shù)矩陣的計(jì)算效率。

4.3 基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的ATC計(jì)算性能

根據(jù)3.2節(jié)的內(nèi)容，本算例采用100組蒙特卡洛法產(chǎn)生的隨機(jī)樣本來(lái)生成RBFNN模型用于計(jì)算圖2所示系統(tǒng)的ATC數(shù)值。另外，在本節(jié)中，用以計(jì)算ATC的最優(yōu)化模型被稱為“原始模型”，經(jīng)RBFNN建立的求取ATC模型稱為“RBFNN模型”。由此可知，在本小節(jié)中，RBFNN模型參數(shù)設(shè)定見(jiàn)表4。

表4 RBFNN的參數(shù)設(shè)置

基于系統(tǒng)變量的概率模型，使用蒙特卡洛法生成106組簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，分別通過(guò)原始模型和RBFNN模型計(jì)算ATC。以原始模型結(jié)果為參考，RBFNN模型得到的ATC數(shù)值的相對(duì)誤差分布情況見(jiàn)表5。

表5 RBFNN模型結(jié)果誤差分布情況

表5結(jié)果表明，該106個(gè)結(jié)果中，超過(guò)90%的結(jié)果誤差小于1%，誤差小于2%的結(jié)果已占到98.36%的比例。而106個(gè)結(jié)果中，僅有不到1%的結(jié)果誤差大于2%，且最大誤差小于7.2%?？傮w來(lái)看，由RBFNN模型計(jì)算得到的絕大部分(超過(guò)98%)ATC結(jié)果精度非常高。

就其精度來(lái)看，若以該模型作為概率計(jì)算的確定性模型，基于蒙特卡洛法，該模型能夠精確地近似ATC概率分布中超過(guò)98%的點(diǎn)，從而進(jìn)一步得到相當(dāng)精確的ATC概率分布。因此，該RBFNN模型完全可用于ATC的概率分析。

另外，關(guān)于計(jì)算時(shí)間，原始模型和RBFNN模型分別消耗27 733 s和3.535 1 s完成106次ATC的計(jì)算。此外，RBFNN模型的訓(xùn)練時(shí)間為6.615 6 s，因此基于RBFNN模型的ATC概率計(jì)算總時(shí)間為10.151 s。相比之下，在概率分析中，RBFNN模型更有效率優(yōu)勢(shì)。

4.4 基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的ATC概率分析結(jié)果

本節(jié)中，按照表6中所示方法進(jìn)行測(cè)試。其中M0是參考方法，其概率結(jié)果作為其他方法的精度基準(zhǔn)；M1用以測(cè)試RBFNN模型用于概率場(chǎng)景的性能；M2用以測(cè)試本文所提相關(guān)系數(shù)求解法精度對(duì)概率結(jié)果的影響；M3是本文所提方法，即在Nataf變換中和概率計(jì)算中均使用RBFNN技術(shù)。以M0結(jié)果為精度基準(zhǔn)，其余方法求得的ATC概率密度及其FHSI指標(biāo)如圖4所示。

表6 概率方法

圖4 ATC概率結(jié)果

從圖4結(jié)果可知，M1、M2和M3所求得的ATC概率分布的FHSI指標(biāo)數(shù)值分別為0.966 1，0.970 2和0.968 3。以0.9為精度判據(jù)，各方法計(jì)算得到的ATC概率分布精度非常高，從而說(shuō)明：①基于RBFNN求解ATC的模型完全適用于概率ATC的分析與計(jì)算；②基于RBFNN的相關(guān)系數(shù)求解法，即Nataf_RBF，其計(jì)算得到的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布域相關(guān)系數(shù)矩陣精度完全能夠滿足概率分析的要求；③本文所提方法在精度上適用于進(jìn)行ATC的概率分析。

另外，M0、M1、M2和M3的時(shí)間消耗情況見(jiàn)表7，其中主要包含Nataf變換中相關(guān)系數(shù)的計(jì)算時(shí)間(t1)和ATC模型反復(fù)計(jì)算耗時(shí)(t2)。

表7 各方法的耗時(shí)

對(duì)于M1和M3，各自還額外消耗6.615 6 s，用以生成ATC的RBFNN計(jì)算模型。若將RBFNN模型的建立時(shí)間也納入最終耗時(shí)統(tǒng)計(jì)，M1的耗時(shí)為373.65 s，M3的耗時(shí)為6.782 2 s。通過(guò)對(duì)比各種方法的耗時(shí)情況，本文提出的相關(guān)系數(shù)計(jì)算法，即Nataf_RBF法，可以大大加快相關(guān)系數(shù)的計(jì)算時(shí)間；本文提出的基于RBFNN的ATC計(jì)算模型也會(huì)大量減少概率計(jì)算的耗時(shí)。

從本節(jié)結(jié)果來(lái)看，本文所提方法的計(jì)算效率和計(jì)算精度都非常高，能夠滿足實(shí)際應(yīng)用中ATC的概率實(shí)時(shí)分析。

4.5 基于RBFNN的ATC概率分析性能對(duì)比

在工程應(yīng)用中，除了RBFNN外，極限學(xué)習(xí)機(jī)(Extreme Learning Machine，ELM)也常用于數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)或近似某確定性計(jì)算過(guò)程。而ELM的激活函數(shù)不能采用高斯函數(shù)，因此ELM不能用和3.1節(jié)類似的方法求解相關(guān)系數(shù)。本文僅用ELM獲取ATC的確定性計(jì)算模型，并與本文提出方法進(jìn)行對(duì)比。其中標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布域的相關(guān)系數(shù)數(shù)值均采用3.1節(jié)方法進(jìn)行求取。

為表明本文所提方法的通用性，本小節(jié)將在改進(jìn)的IEEE 118節(jié)點(diǎn)算例中搭建實(shí)施場(chǎng)景，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖5所示。另外，118節(jié)點(diǎn)算例線路容量從文獻(xiàn)[21]中獲取，而此時(shí)計(jì)算ATC會(huì)發(fā)生越限，因此首先將該算例所有有功、無(wú)功負(fù)荷以及發(fā)電機(jī)出力減半，作為算例基礎(chǔ)數(shù)據(jù)?；跍p半后的數(shù)據(jù)，算例中隨機(jī)負(fù)荷設(shè)定方式與4.1節(jié)中完全相同。另外，送端20節(jié)點(diǎn)和48節(jié)點(diǎn)處風(fēng)速服從威布爾分布，60節(jié)點(diǎn)和67節(jié)點(diǎn)風(fēng)速服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，分布參數(shù)及風(fēng)機(jī)參數(shù)同樣與4.1節(jié)中完全相同。在這樣的設(shè)定下，該算例一共含有103個(gè)隨機(jī)變量，即99個(gè)有功負(fù)荷和4個(gè)風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速。

圖5 118節(jié)點(diǎn)算例結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

在圖5所示系統(tǒng)中，分別使用RBFNN和ELM建立ATC計(jì)算模型。為公平比較兩者性能，兩方法的神經(jīng)元數(shù)量、訓(xùn)練樣本數(shù)均完全相同，具體設(shè)定見(jiàn)表8。另外，極限學(xué)習(xí)機(jī)輸入層到中間層的權(quán)重在-1～1之間隨機(jī)生成，偏置系數(shù)在0～1之間隨機(jī)生成，中間層神經(jīng)元用sigmoid函數(shù)作為激活函數(shù)，如式(28)所示。

表8 RBFNN和ELM的參數(shù)設(shè)置

(28)

式中，fsig(x)為激活函數(shù)；e為自然常數(shù)。

基于以上設(shè)定獲取的ATC計(jì)算模型，使用蒙特卡洛仿真法求取ATC的概率密度如圖6所示。其中，參考方法使用Nataf_ref計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣，以式(2)作為ATC的計(jì)算模型，使用基于106個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的蒙特卡洛仿真法進(jìn)行概率計(jì)算(記為M_ref)；待測(cè)方法均使用104個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，分別記作M_RBFNN和M_ELM。

圖6 ATC概率結(jié)果

從圖6結(jié)果可看出，M_RBFNN和M_ELM計(jì)算得到的ATC概率密度的FHSI指標(biāo)分別為0.964 0和0.864 1。顯然無(wú)論是從概率密度圖像上看，還是從FHSI的數(shù)值上看，在118節(jié)點(diǎn)算例中，M_RBFNN的結(jié)果非常精確。這在一定程度上證明了基于RBFNN的概率ATC計(jì)算模型的通用性。

另外，通過(guò)對(duì)比M_RBFNN和M_ELM的結(jié)果，M_RBFNN的FHSI數(shù)值更大，結(jié)果明顯更為精確。單看M_ELM的概率密度圖形不難發(fā)現(xiàn)，在圖形繪制范圍的邊界處，其圖形出現(xiàn)了較大的沖擊量。這表明通過(guò)ELM得到的計(jì)算模型用以計(jì)算ATC時(shí)會(huì)出現(xiàn)較多的極端數(shù)據(jù)，這通常是由于該近似模型局部區(qū)域精度極低所導(dǎo)致。

在計(jì)算效率方面，M_RBFNN和M_ELM均消耗約85 s獲得ATC近似計(jì)算模型，而基于104個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的概率計(jì)算分別耗時(shí)0.533 0 s和0.315 9 s?？梢园l(fā)現(xiàn)，相比模型建立時(shí)間，其概率計(jì)算時(shí)間可以忽略不計(jì)，因此兩方法效率幾乎相同。另外，若認(rèn)為每次求解ATC原始模型的計(jì)算時(shí)間相同，則通過(guò)M_ref的耗時(shí)可以估算出使用104個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本且基于ATC原始模型進(jìn)行求解的計(jì)算時(shí)間約為820 s。相比之下，本文所提方法計(jì)算效率非常高。

5 結(jié)論

為加快含概率不確定源的ATC實(shí)時(shí)分析，本文將徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于概率建模和概率計(jì)算中，具體為：本文使用基于高斯函數(shù)的徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求取Nataf變換中標(biāo)準(zhǔn)高斯分布域的相關(guān)系數(shù)，同時(shí)使用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)近似了ATC計(jì)算模型，從兩方面分別實(shí)現(xiàn)了ATC概率分析的提速。通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)試，本文的結(jié)論如下：

(1)本文提出的基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的相關(guān)系數(shù)計(jì)算方法能夠快速實(shí)現(xiàn)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算，大大加快了概率分析的速度。經(jīng)實(shí)驗(yàn)檢測(cè)，該方法計(jì)算的相關(guān)系數(shù)精度能夠滿足概率分析的需求。

(2)本文使用基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的ATC計(jì)算模型精度高、速度快。通過(guò)與基于極限學(xué)習(xí)機(jī)的ATC計(jì)算模型對(duì)比，相同效率下本文方法精度具有明顯優(yōu)勢(shì)。

(3)本文充分挖掘徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的性質(zhì)，將其應(yīng)用在Nataf變換中的相關(guān)系數(shù)計(jì)算以及用以近似確定性ATC計(jì)算模型。在雙重改進(jìn)的情況下，實(shí)現(xiàn)了精確而快速的ATC概率實(shí)時(shí)分析。