賈宗鋒 吳國(guó)忱 李青陽 楊凌云 吳 悠

(中國(guó)石油大學(xué)(華東)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，山東青島 266580)

0 引言

地震波場(chǎng)正演模擬是研究地震波在地下傳播規(guī)律的重要手段，在地震成像、反演中起至關(guān)重要的作用[1]。有限元法[2]、有限差分法[3-5]、偽譜法[6]等多種數(shù)值模擬方法，在地震波場(chǎng)正演模擬中得到了成功應(yīng)用。其中有限差分法因計(jì)算效率快、精度高、實(shí)施過程便捷而被廣泛地應(yīng)用于波動(dòng)方程正演模擬。

然而，常規(guī)有限差分法對(duì)復(fù)雜地形的處理存在諸多問題，其中最主要的是界面的網(wǎng)格化離散。通常對(duì)模擬區(qū)域做網(wǎng)格離散時(shí)網(wǎng)格步長(zhǎng)都是固定的，這種離散方式會(huì)帶來兩個(gè)問題： 一是固定網(wǎng)格步長(zhǎng)可能導(dǎo)致真實(shí)速度界面與模型界面不重合，造成一次反射波旅行時(shí)不準(zhǔn)確； 二是當(dāng)?shù)叵陆缑孑^復(fù)雜或地表起伏(起伏界面在海洋環(huán)境更常見)時(shí)，使用規(guī)則網(wǎng)格對(duì)模型做離散時(shí)會(huì)出現(xiàn)階梯狀邊界，進(jìn)而產(chǎn)生虛假繞射波[7-9]，破壞地震波場(chǎng)數(shù)值模擬結(jié)果。為了消除虛假反射，許多學(xué)者對(duì)傳統(tǒng)有限差分法(FD)。進(jìn)行了大量研究，包括對(duì)起伏界面加密的變網(wǎng)格算法[10]、基于坐標(biāo)變換的垂向網(wǎng)格映射法[11]、貼體網(wǎng)格法[12-13]等，這些方法在一定程度上有效壓制了階梯狀繞射，但各自也存在問題。例如，變網(wǎng)格算法本質(zhì)上是采用更小網(wǎng)格步長(zhǎng)離散起伏界面，因而不能從根本上消除階梯狀繞射； 基于坐標(biāo)變換的差分方法需對(duì)波動(dòng)方程做相應(yīng)變換，實(shí)施過程較為復(fù)雜。

針對(duì)以上問題，本文將目光轉(zhuǎn)向近年興起的無網(wǎng)格算法。無網(wǎng)格算法是一種基于散點(diǎn)近似、用于求解偏微分方程問題的數(shù)值計(jì)算方法，剖分點(diǎn)隨速度模型靈活變化，能有效避免虛假反射[14-15]。不同于基于網(wǎng)格的傳統(tǒng)數(shù)值計(jì)算方法，無網(wǎng)格法的計(jì)算框架是基于散點(diǎn)，即無網(wǎng)格法使用的基本單元是離散的場(chǎng)節(jié)點(diǎn)，場(chǎng)變量的近似函數(shù)是通過預(yù)定義的散點(diǎn)信息進(jìn)行描述的[16]。

近年來，無網(wǎng)格法在地球物理正演模擬中應(yīng)用廣泛，從電磁到地震勘探領(lǐng)域均能見到無網(wǎng)格正演模擬相關(guān)文獻(xiàn)[15，17-20]。蘇洲等[17]使用移動(dòng)最小二乘近似法進(jìn)行二維大地電磁正演模擬。李俊杰等[18]詳細(xì)討論了無網(wǎng)格點(diǎn)插值法在大地電磁中的應(yīng)用，并將其與無單元Galerkin法、有限元法正演結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。何兵紅[15]研究了基于無網(wǎng)格的波動(dòng)方程地震正反演方法，并提出了速度自適應(yīng)無網(wǎng)格場(chǎng)節(jié)點(diǎn)建立方法，以此提高計(jì)算效率。劉鑫[19]討論了無網(wǎng)格有限差分法邊界條件，并將其用于頻率域正演模擬。Duan等[20]將徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法用于聲波方程正演模擬，并對(duì)頻散、穩(wěn)定性進(jìn)行了詳細(xì)地討論。

廣義有限差分法(Generalized finite difference method，GFDM)是眾多無網(wǎng)格法的一種。初期的廣義有限差分法是20世紀(jì)70年代由Jesen[21]、Perrone[22]和Liszka[23]等在有限差分計(jì)算框架下發(fā)展而來的，此類方法是基于網(wǎng)格應(yīng)用距離函數(shù)抓取必要的節(jié)點(diǎn)實(shí)施運(yùn)算，是早期無網(wǎng)格法的一種典型形式。本文應(yīng)用的廣義有限差分法是由Benito等[24]在經(jīng)典廣義有限差分法基礎(chǔ)上發(fā)展而來的，使用加權(quán)最小二乘法求取殘差函數(shù)極小值，引入權(quán)重函數(shù)以表征不同距離的節(jié)點(diǎn)對(duì)中心節(jié)點(diǎn)的影響程度。

廣義有限差分法基于泰勒函數(shù)展開和加權(quán)最小二乘擬合，將微分方程中未知參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)表示為相鄰節(jié)點(diǎn)函數(shù)值的線性組合，克服了傳統(tǒng)方法對(duì)網(wǎng)格的依賴性。該方法能根據(jù)不同地質(zhì)模型構(gòu)建適用的場(chǎng)節(jié)點(diǎn)分布形式，生成的節(jié)點(diǎn)與起伏地表或邊界貼合，適用于處理不規(guī)則邊界或起伏界面問題。目前，該方法已被廣泛應(yīng)用于求解多種數(shù)學(xué)和工程問題。Urea等[25]將廣義有限差分法用于彈性波方程正演模擬，并討論了規(guī)則及不規(guī)則節(jié)點(diǎn)下的頻散及穩(wěn)定性條件。Benito等[26]進(jìn)一步研究了地震波在各向異性介質(zhì)中的傳播。Wei等[27]將其用于聲介質(zhì)研究。Gu等[28]使用廣義有限差分求解工程反問題。陳劍等[29]將廣義有限差分法應(yīng)用于靜態(tài)電磁場(chǎng)模擬。大量研究結(jié)果表明廣義有限差分法在處理復(fù)雜問題上具有獨(dú)特優(yōu)勢(shì)及廣闊應(yīng)用前景[30-31]。

本文將廣義有限差分法應(yīng)用于標(biāo)量波方程正演模擬中，基于速度模型采用合適的布點(diǎn)方式，從而在常規(guī)有限差分處理起伏界面時(shí)，消除因階梯狀網(wǎng)格剖分帶來的虛假反射及反射波旅行時(shí)不準(zhǔn)確等問題； 對(duì)不同模型進(jìn)行試算，驗(yàn)證了廣義有限差分法的有效性和穩(wěn)定性。

1 基本原理

二維標(biāo)量波方程表達(dá)式為

(1)

時(shí)間上采用中心差分

(2)

本文使用廣義有限差分法求取空間偏導(dǎo)數(shù)。該方法基于泰勒函數(shù)展開及加權(quán)最小二乘法，首先對(duì)求解區(qū)域進(jìn)行節(jié)點(diǎn)離散(圖1)。對(duì)于求解域內(nèi)的某一點(diǎn)k(記作u0)，選擇其鄰近的S個(gè)點(diǎn)構(gòu)成子區(qū)域(圖1圓形區(qū)域)，將k點(diǎn)作為中心點(diǎn)，子區(qū)域內(nèi)的任一點(diǎn)i在中心點(diǎn)k處的泰勒展開式表示為

圖1 廣義有限差分法示意圖

i=1,2,…,S

(3)

式中hi=xi-x0，li=zi-z0，分別表示子區(qū)域內(nèi)節(jié)點(diǎn)i到中心節(jié)點(diǎn)的x方向和z方向距離。

此處將泰勒展開式保留到二階項(xiàng)，即二階精度； 若要提高差分精度，可將泰勒展開式保留到更高階。

定義殘差函數(shù)

(4)

式中ωi為第i點(diǎn)的權(quán)重函數(shù)[24]。

設(shè)Du為中心點(diǎn)處可能出現(xiàn)的所有偏導(dǎo)數(shù)向量

(5)

根據(jù)最小二乘原理，殘差函數(shù)Bu0對(duì)Du求偏導(dǎo)

數(shù)，并令偏導(dǎo)數(shù)值為零

(6)

可得如下矩陣方程

Au·Du=bu

(7)

其中

至此可求得空間各處偏導(dǎo)數(shù)的值

(8)

Mi表示相鄰節(jié)點(diǎn)的廣義有限差分系數(shù)。

將式(8)代入標(biāo)量波方程中，可得標(biāo)量波方程的廣義有限差分格式

(9)

式中mi、ηi為廣義有限差分系數(shù)，與節(jié)點(diǎn)間距、差分階數(shù)、權(quán)重函數(shù)等有關(guān)。

使用廣義有限差分法求解標(biāo)量波方程的過程中，只需使用離散節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)信息，對(duì)空間節(jié)點(diǎn)的連接信息無要求，使得該方法靈活多變，對(duì)復(fù)雜模型的適應(yīng)性更強(qiáng)。

2 頻散分析

2.1 理論分析

使用廣義有限差分做地震波場(chǎng)正演模擬，由于采用離散方程逼近連續(xù)方程，不可避免會(huì)出現(xiàn)數(shù)值頻散現(xiàn)象，嚴(yán)重干擾地震波場(chǎng)數(shù)值模擬結(jié)果[32-34]。對(duì)標(biāo)量波方程廣義有限差分頻散關(guān)系做理論研究，需就節(jié)點(diǎn)間距、差分階數(shù)、權(quán)重函數(shù)等因素對(duì)頻散進(jìn)行計(jì)算，得出這些因素與頻散的關(guān)系。

空間導(dǎo)數(shù)廣義有限差分為

(10)

將式(10)代入標(biāo)量波方程中，可得離散介質(zhì)標(biāo)量波方程

(11)

假設(shè)有一頻率為f的平面簡(jiǎn)諧波，其傳播方向與z軸夾角為α，波數(shù)為k，則其波函數(shù)可寫成

u(x,z,t)=exp[j(2πft-2πkxsinα-

2πkzcosα)]

(12)

將波函數(shù)代入離散介質(zhì)標(biāo)量波方程(式(11))，可得

[cos(2πkΔxisinα+2πkΔzicosα)-1

-jsin(2πkΔxisinα+2πkΔzicosα)]

(13)

將k=f/v(f)代入式(13)，可得

[1-cos(2πkΔxisinα+2πkΔzicosα)+

jsin(2πkΔxisinα+2πkΔzicosα)]

(14)

式中：v(f)為各頻率對(duì)應(yīng)的相速度； Δxi、Δzi分別表示周圍節(jié)點(diǎn)到中心節(jié)點(diǎn)的x方向和z方向距離。

無網(wǎng)格差分模板中節(jié)點(diǎn)不一定對(duì)稱，因此頻散關(guān)系式(14)中的虛數(shù)部分不為零。頻散關(guān)系式(14)中的實(shí)部和虛部分別記作

[1-cos(2πkΔxisinα+2πkΔzicosα)]

(15)

sin(2πkΔxisinα+2πkΔzicosα)

(16)

取頻散關(guān)系的模

(17)

2.2 頻散數(shù)值計(jì)算

2.2.1 節(jié)點(diǎn)間距對(duì)頻散的影響

設(shè)地層速度為1500m/s，使用四階精度計(jì)算空間導(dǎo)數(shù)，分別采用2、4、6、8、10m的節(jié)點(diǎn)間隔，計(jì)算得到圖2所示的地震波傳播速度與頻率的關(guān)系。從該圖可見，隨著節(jié)點(diǎn)間距的增大，頻散程度逐漸增強(qiáng)，尤其是高頻成分，這與規(guī)則網(wǎng)格有限差分法所得結(jié)果相一致。

圖2 不同節(jié)點(diǎn)間距的頻散關(guān)系曲線

2.2.2 差分階數(shù)對(duì)頻散的影響

設(shè)地層速度仍為1500m/s，節(jié)點(diǎn)間距為4m，分別使用二階和四階精度計(jì)算空間導(dǎo)數(shù)，得到地震波傳播速度與頻率的關(guān)系(圖3)?？梢娞岣卟罘蛛A數(shù)可顯著降低頻散程度。同為4m節(jié)點(diǎn)間距情況下，四階差分精度可保證60Hz以下頻率分量基本無頻散，而二階精度只能確保極低頻率成分無明顯頻散。

圖3 兩種差分階數(shù)的頻散關(guān)系曲線

2.2.3 權(quán)重函數(shù)對(duì)頻散的影響

前已述及，廣義有限差分法基于泰勒函數(shù)展開和加權(quán)最小二乘法，計(jì)算域內(nèi)任一點(diǎn)的空間偏導(dǎo)數(shù)值可表示為相鄰一組節(jié)點(diǎn)函數(shù)值的加權(quán)和，且距離中心節(jié)點(diǎn)越近，權(quán)值越大。如式(14)中的系數(shù)m和η的取值受權(quán)函數(shù)影響。

設(shè)置相同的地層速度和節(jié)點(diǎn)間距，以四階精度計(jì)算空間導(dǎo)數(shù)，使用下列不同的權(quán)函數(shù)

(18)

求解系數(shù)矩陣，得到地震波傳播速度與頻率的關(guān)系(圖4)。式中：di為子區(qū)域內(nèi)其他節(jié)點(diǎn)到中心節(jié)點(diǎn)的距離；dm為di的最大值：Dx、Dz分別為橫向和縱向單位節(jié)點(diǎn)間距。可見使用不同的權(quán)重函數(shù)得到的頻散曲線在中高頻部分的頻散程度是不同的，通常指數(shù)函數(shù)得到的結(jié)果最佳。

圖4 不同權(quán)函數(shù)的頻散關(guān)系曲線

3 數(shù)值模擬

3.1 節(jié)點(diǎn)生成算法

廣義有限差分法是一種無網(wǎng)格方法，計(jì)算過程中需用到節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)信息，因此整個(gè)計(jì)算區(qū)域節(jié)點(diǎn)生成的質(zhì)量對(duì)模擬結(jié)果的精度有重要影響。盡管作為一種無網(wǎng)格類方法，廣義有限差分法具有節(jié)點(diǎn)布置的任意性，可在求解區(qū)域內(nèi)隨機(jī)撒點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，但大量的數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，在節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)相同的情況下，整個(gè)計(jì)算區(qū)域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)布置越均勻，所獲得的模擬結(jié)果精度越高[35]。為了使整體的數(shù)值計(jì)算結(jié)果達(dá)到最佳，應(yīng)盡可能地使數(shù)據(jù)點(diǎn)均勻地充滿計(jì)算空間，在均勻介質(zhì)模型下，節(jié)點(diǎn)可完全規(guī)則分布。需說明的是，雖然數(shù)據(jù)點(diǎn)呈網(wǎng)格狀規(guī)則分布，但彼此之間并無關(guān)聯(lián)，這也正是廣義有限差分法同有限差分法的區(qū)別。

當(dāng)模擬區(qū)域較復(fù)雜時(shí)，如崎嶇海底界面、起伏地表等，規(guī)則分布的節(jié)點(diǎn)無法準(zhǔn)確描述界面位置，會(huì)造成一次反射波旅行時(shí)不準(zhǔn)確，且產(chǎn)生階梯狀繞射。因此，需根據(jù)實(shí)際地形情況調(diào)整節(jié)點(diǎn)位置，使生成的節(jié)點(diǎn)貼合起伏地形形態(tài)。但從整體上看節(jié)點(diǎn)是類似均勻分布的，從而避免了由于節(jié)點(diǎn)的不規(guī)則帶來的計(jì)算誤差，獲得最佳正演模擬效果。

基于以上考慮，本文采用一種沿層位布置節(jié)點(diǎn)的方案[11]，即根據(jù)界面形態(tài)確定節(jié)點(diǎn)位置，使生成的節(jié)點(diǎn)與界面貼合(圖5)。該方法生成的節(jié)點(diǎn)可很好地描繪界面，同時(shí)避免了“階梯狀網(wǎng)格”的出現(xiàn)，有效壓制了階梯狀繞射。

圖5 節(jié)點(diǎn)離散示意圖

該方法總共分為三個(gè)步驟：

(1)通過速度模型拾取界面位置，并獲取界面高程(若高程直接由函數(shù)給出，則直接進(jìn)行步驟(3)；

(2)對(duì)高程做平滑處理；

(3)根據(jù)每一層界面的位置進(jìn)行布點(diǎn)，求取節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的公式為

(19)

式中：G(x)、P(x)分別表示兩個(gè)界面的高程函數(shù)；g(1)、p(1)表示計(jì)算域兩個(gè)界面的位置，決定了兩個(gè)界面之間的節(jié)點(diǎn)數(shù)量。

3.2 模型驗(yàn)證

3.2.1 均勻介質(zhì)模型

為了驗(yàn)證廣義有限差分的正確性，首先選取一個(gè)2000m×2000m的二維均勻介質(zhì)模型做正演模擬，節(jié)點(diǎn)間距為5m，時(shí)間步長(zhǎng)為0.8ms，地震波速度為2000m/s，采用主頻為20Hz的雷克子波，震源位于模型中心。分別采用廣義有限差分法(圖6a)和常規(guī)有限差分法(圖6b)做正演模擬，得到400ms時(shí)刻的地震波場(chǎng)，可見兩種方法都能得到較好結(jié)果，對(duì)比抽取的中心道地震記錄(圖7)，二者基本相符。

圖6 廣義有限差分法(a)和規(guī)則網(wǎng)格有限差分法(b)的400ms時(shí)刻波場(chǎng)快照

圖7 均勻介質(zhì)模型的兩種算法模擬的中心道記錄

3.2.2 層狀模型

常規(guī)有限差分正演模擬采用的網(wǎng)格步長(zhǎng)是固定的，會(huì)造成一次反射波旅行時(shí)不準(zhǔn)確，下面通過一個(gè)簡(jiǎn)單的兩層模型驗(yàn)證廣義有限差分法對(duì)于旅行時(shí)模擬的準(zhǔn)確性。模型上、下層速度分別為2500、4000m/s，模型尺寸為1000m×1000m，節(jié)點(diǎn)間距(網(wǎng)格步長(zhǎng))為5m，時(shí)間步長(zhǎng)為0.4ms，采用主頻為30Hz的雷克子波，震源位于(500m，5m)處。

對(duì)該模型離散時(shí)，常規(guī)有限差分采用5m固定網(wǎng)格步長(zhǎng)，故只有當(dāng)界面處于5的整數(shù)倍位置(如界面位于400m)時(shí)，網(wǎng)格點(diǎn)才能準(zhǔn)確地描述界面。但當(dāng)界面處于400.0～405.0m時(shí)，采用常規(guī)有限差分所得剖分結(jié)果都是相同的，正演得到的反射波旅行時(shí)也不會(huì)發(fā)生任何變化。而采用廣義有限差分法離散模型時(shí)，可對(duì)節(jié)點(diǎn)位置進(jìn)行調(diào)整，節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)隨真實(shí)界面位置而變化，因此可得到更準(zhǔn)確的反射波旅行時(shí)信息。分別選取界面位于401.5、403.0、404.5m三處做廣義有限差分正演，以說明真實(shí)界面與模型界面不一致時(shí)，采用常規(guī)有限差分與廣義有限差分正演模擬得到的反射波旅行時(shí)信息的差異。圖8中黑色和紅色虛線分別表示界面深度為400.0、405.0m時(shí)使用常規(guī)有限差分法正演模擬得到的地震記錄，品紅色、綠色和藍(lán)色實(shí)線對(duì)應(yīng)表示界面深度為401.5、403.0、404.5m時(shí)使用廣義有限差分法正演模擬得到的地震記錄。對(duì)比兩種算法情況下反射波信息可知，在400.0～405.0m深度區(qū)間內(nèi)，廣義有限差分法與常規(guī)有限差分法的振幅值基本不隨深度變化。但從旅行時(shí)信息可見，當(dāng)界面深度為401.5、403.0、404.5m時(shí)，由于界面不在整網(wǎng)格點(diǎn)上，常規(guī)有限差分法只能得到400.0m和405.0m的整網(wǎng)格記錄，而使用廣義有限差分法的三條記錄時(shí)間偏移量隨深度增加而增加，與實(shí)際情況相符。

圖8 不同界面深度地震記錄

3.2.3 起伏界面模型

常規(guī)有限差分法處理起伏界面時(shí)存在階梯狀散射問題，這些散射波嚴(yán)重影響了正演模擬的精度，給后續(xù)反演帶來很大誤差。使用廣義有限差分法做正演模擬可通過建立合適的場(chǎng)節(jié)點(diǎn)離散形式壓制散射波。圖9所示的含起伏界面的三層速度模型中，上、中、下層的速度分別為2000、3000、3500m/s，模型尺寸為2500m×1500m，節(jié)點(diǎn)間距為5m，時(shí)間采樣間隔為0.4ms，震源采用主頻為30Hz的雷克子波，位于(1250m，5m)處。

圖9 起伏界面速度模型

規(guī)則網(wǎng)格有限差分法的網(wǎng)格與廣義有限差分法的局部節(jié)點(diǎn)劃分如圖10所示。

圖10 規(guī)則網(wǎng)格有限差分法(a)和廣義有限差分法(b)的局部網(wǎng)格(節(jié)點(diǎn))分布

分別采用常規(guī)有限差分法和廣義有限差分法進(jìn)行正演模擬，其中廣義有限差分法采用3.1節(jié)所述布點(diǎn)方式。從所得相應(yīng)地震記錄可見，常規(guī)有限差分正演記錄(圖11a)中一次反射波后面存在大量散射波，而廣義有限差分正演記錄(圖11b)上則基本看不到散射波。

圖11 規(guī)則網(wǎng)格有限差分法(a)和廣義有限差分法(b)模擬的地震記錄

抽取兩種方法模擬記錄的中心道(圖12)進(jìn)行對(duì)比，可見常規(guī)有限差分記錄(紅線)的一次反射波后跟隨著強(qiáng)烈震蕩，而廣義有限差分模擬記錄(藍(lán)線)則沒有震蕩現(xiàn)象。該處理結(jié)果表明廣義有限差分法正演模擬對(duì)階梯狀繞射具有顯著壓制作用，適用于含起伏界面地層的正演模擬。

圖12 起伏界面模型兩種算法模擬的中心道記錄對(duì)比

3.2.4 復(fù)雜模型

最后，設(shè)計(jì)劇烈起伏模型以驗(yàn)證本文算法對(duì)復(fù)雜模型的適應(yīng)性。圖13所示模型共有五層，尺寸為2500m×1500m，平均節(jié)點(diǎn)間距約為5m，時(shí)間采樣間隔為0.4ms，震源采用主頻為20Hz的雷克子波，位于(1250m，5m)處。應(yīng)用本文算法正演模擬，得到400ms(圖14a)和600ms(圖14b)時(shí)刻的波場(chǎng)快照。從應(yīng)用本文算法正演模擬得到的地震記錄(圖15)，可清晰看到來自地下不同界面的反射波，且在起伏界面處未產(chǎn)生階梯狀反射，表明本文算法對(duì)復(fù)雜模型具有一定適應(yīng)性。

圖13 具有劇烈起伏界面的復(fù)雜模型

圖14 400ms(a)和600ms(b)時(shí)刻的波場(chǎng)快照

圖15 本文復(fù)雜模型的正演模擬地震記錄

4 結(jié)論

本文將廣義有限差分法應(yīng)用于標(biāo)量波方程正演模擬，通過理論分析與數(shù)值計(jì)算，取得了如下認(rèn)識(shí)與結(jié)論：

(1)廣義有限差分法是一種無網(wǎng)格數(shù)值計(jì)算方法，它基于散點(diǎn)近似，克服了傳統(tǒng)方法對(duì)網(wǎng)格的依賴，可在模擬區(qū)域靈活布設(shè)節(jié)點(diǎn)，適用于高維復(fù)雜模型的正演模擬。

(2)使用廣義有限差分法進(jìn)行正演模擬時(shí)，通過建立合適的場(chǎng)節(jié)點(diǎn)分布形式，使模型節(jié)點(diǎn)與真實(shí)速度界面相一致，可準(zhǔn)確地描繪速度界面，避免了常規(guī)有限差分正演中網(wǎng)格與速度界面無法對(duì)齊的情形，從而消除了階梯狀繞射，且能得到更準(zhǔn)確的旅行時(shí)信息。

(3)廣義有限差分正演模擬中的一個(gè)主要問題是如何進(jìn)行節(jié)點(diǎn)離散，本文使用的節(jié)點(diǎn)離散方案適用于含起伏界面的層狀模型，有效地壓制了階梯狀反射，能獲得很好的正演效果。對(duì)于橫向速度變化劇烈，或含有斷層之類的模型，其模擬效果較差，因此還需探尋更穩(wěn)定、更適用的節(jié)點(diǎn)離散方案。