曹勁飛

（長安大學(xué)工程機(jī)械學(xué)院 ， 陜西 西安 710064）

齒輪機(jī)構(gòu)由于其傳動(dòng)比為常數(shù)，所以有傳動(dòng)平穩(wěn)、沖擊振動(dòng)小、噪聲低等特點(diǎn)，故在工程上有著廣泛的應(yīng)用。而針對齒輪傳動(dòng)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方面，近年來提出的新型算法應(yīng)用研究較多，對其具體結(jié)構(gòu)的適用性和可靠性的討論甚少[1]。針對相關(guān)研究的不足，筆者對實(shí)際齒輪結(jié)構(gòu)應(yīng)用混合內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法和牛頓法優(yōu)化其核心六個(gè)參數(shù)，討論算法的可靠性以及優(yōu)越性，并且將優(yōu)化之后的參數(shù)同之前進(jìn)行對比，得到優(yōu)化率。

1 模型介紹

單級(jí)減速器齒輪傳動(dòng)的示意圖如圖1所示[2]：

圖1 單級(jí)減速器齒輪傳動(dòng)示意圖

圖中，L1、L2、Lz分別為主動(dòng)軸伸出長度、從動(dòng)軸伸出長度和支承長度；d1、d2分別為主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的節(jié)圓直徑，d3、d4分別為主動(dòng)軸和從動(dòng)軸的直徑。考慮實(shí)際減速器的結(jié)構(gòu)和常用齒輪形式，因主動(dòng)輪直徑較小，故擬選用實(shí)心輪形式；從動(dòng)輪擬選用腹板式齒輪。主、從動(dòng)輪如圖2所示。

圖2 主、從動(dòng)輪示意圖

圖中的符號(hào)表示參數(shù)和計(jì)算公式如表1所示定義。

表1 符號(hào)定義

2 優(yōu)化過程分析

2.1 優(yōu)化設(shè)計(jì)理論

每個(gè)優(yōu)化問題的具體要求和約束條件各不相同，但抽象出來的數(shù)學(xué)模型通常都是由設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件構(gòu)成。而優(yōu)化設(shè)計(jì)問題通常可以歸納為：選取適當(dāng)?shù)脑O(shè)計(jì)變量，在使所有設(shè)計(jì)變量滿足所需要的約束條件情況下，選取設(shè)計(jì)變量的最優(yōu)取值，使得目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式取到可行域內(nèi)的最值。整個(gè)優(yōu)化過程利用數(shù)學(xué)模型表達(dá)和解釋如下。

選取設(shè)計(jì)變量：

使設(shè)計(jì)變量滿足所有等式約束和不等式約束條件。而約束條件又分為邊界約束和性能約束兩種。所謂邊界約束是指根據(jù)設(shè)計(jì)要求，設(shè)計(jì)變量必須滿足的幾何條件以及只對設(shè)計(jì)變量的取值范圍加以限制的約束。例如將x1變量長度限制在[Lmin,Lmax]范圍之內(nèi)，則有約束條件：

性能約束則是指根據(jù)性能要求而建立的限制條件。例如構(gòu)件的實(shí)際工作應(yīng)力σ與許用應(yīng)力[σ]之間的約束、梁撓度y與許用撓度[y]之間的要求。據(jù)此，約束條件可表述為：

在設(shè)計(jì)變量滿足所有約束條件的前提下，使得目標(biāo)函數(shù)f(X)=f(x1,x2,x3,…,xn)取得極值。因此，最終優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型為[3]：

2.2 設(shè)計(jì)變量的確定

眾所周知，在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù)越多，設(shè)計(jì)空間的維數(shù)越高，設(shè)計(jì)的自由度也越大，可供選擇的設(shè)計(jì)方案也就越多，但是隨之而來的是設(shè)計(jì)難度的陡增和計(jì)算程序的復(fù)雜化。因此，在建立優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型時(shí)，應(yīng)盡可能地只把對優(yōu)化目標(biāo)影響顯著的參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量，以減少設(shè)計(jì)變量數(shù)目，而又盡量不影響優(yōu)化效果。

如表1所示，在單級(jí)齒輪傳動(dòng)中，包括主動(dòng)輪、主動(dòng)軸、從動(dòng)輪和從動(dòng)軸的多個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)。需要選取其中的核心設(shè)計(jì)參數(shù)。基于輕量化的目的，首先，確定齒輪的質(zhì)量需要齒寬、齒數(shù)和齒輪模數(shù)，所以此處選取主動(dòng)輪的齒寬、齒數(shù)和模數(shù)作為三個(gè)核心設(shè)計(jì)參數(shù)[4]。根據(jù)傳動(dòng)比、正確嚙合條件和選取齒輪的形式，便可以計(jì)算出從動(dòng)輪的設(shè)計(jì)參數(shù)和兩個(gè)齒輪的質(zhì)量。正確嚙合條件如下所示。

1）嚙合齒輪的模數(shù)必須相等并且等于標(biāo)準(zhǔn)模數(shù)[5]。2）嚙合齒輪的壓力角必須相等并且等于標(biāo)準(zhǔn)壓力角。3）主、從動(dòng)軸設(shè)計(jì)參數(shù)的確定。每根軸的長度都可以分為兩個(gè)部分，分別是減速器內(nèi)軸的支撐長度和減速器外軸的附屬長度。由于兩根軸的附屬長度往往由上級(jí)傳動(dòng)和下級(jí)傳動(dòng)確定，所以不必選為設(shè)計(jì)參數(shù)；又由于主、從動(dòng)軸的支撐長度相等，所以只需將支撐長度設(shè)為一個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)即可。支撐部分質(zhì)量還需要兩根軸的直徑才能確定，所以又選取主動(dòng)軸直徑和從動(dòng)軸直徑作為設(shè)計(jì)參數(shù)。

綜上所述，確定了六個(gè)核心參數(shù)，減速器的質(zhì)量可以完全確定。將這六個(gè)參數(shù)設(shè)置為設(shè)計(jì)變量，有：

2.3 目標(biāo)函數(shù)的確定

由上述可知，對于減速器來說，在保證約束條件要求的情況下，降低減速器質(zhì)量成為本次優(yōu)化設(shè)計(jì)要求的目標(biāo)。所以，將減速器總質(zhì)量最小作為目標(biāo)函數(shù)，如式（8）～（11）所示。

其中，M1、M2分別為主、從動(dòng)輪質(zhì)量計(jì)算公式，M3為主、從動(dòng)軸質(zhì)量計(jì)算公式。此處假設(shè)主、從動(dòng)軸和齒輪使用同樣的結(jié)構(gòu)鋼進(jìn)行制作，所以材料密度相等，故目標(biāo)函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為體積最小化。

2.4 約束條件的建立

2.4.1 齒輪模數(shù)約束

減速器中主動(dòng)輪和從動(dòng)輪均為傳力齒輪，用來傳遞動(dòng)力的齒輪模數(shù)不宜過小，模數(shù)取值一般以超過2 mm的標(biāo)準(zhǔn)模數(shù)為優(yōu)，如式（12）所示：

2.4.2 齒輪齒數(shù)約束

在模數(shù)和傳動(dòng)比已經(jīng)確定的情況下，主動(dòng)輪的齒數(shù)越少，從動(dòng)輪的齒數(shù)也越少，齒輪機(jī)構(gòu)的中心距、尺寸和質(zhì)量也會(huì)減小。但是對于漸開線標(biāo)準(zhǔn)齒輪，其最少齒數(shù)是有限制的，齒頂線不應(yīng)該超過嚙合線的極限點(diǎn)。若超過頂點(diǎn)，超過部分不僅不能展開成漸開線齒廓，還會(huì)將根部已加工出的漸開線切去一小部分，這種現(xiàn)象稱為根切。為了避免根切，查閱設(shè)計(jì)手冊[6]，對于壓力角取20°和齒頂高系數(shù)取1的正常齒制標(biāo)準(zhǔn)漸開線齒輪，其最少齒數(shù)為17，故可以轉(zhuǎn)化為如式（13）：

2.4.3 齒輪齒寬系數(shù)約束

約束主動(dòng)輪的齒數(shù)和模數(shù)之后，確定齒輪結(jié)構(gòu)還需要約束其齒寬系數(shù)，如式（14）所示：

式中d為大齒輪直徑，此式常用來確定大齒輪齒寬，小齒輪齒寬在大齒輪齒寬的基礎(chǔ)上加上5 mm ~10 mm即可。齒寬系數(shù)的范圍通過查閱文獻(xiàn)獲得。本研究中齒輪屬于非對稱布置，并且對于減速器中齒輪一般選用閉式軟齒面齒輪傳動(dòng)。故對齒寬系數(shù)的約束如式（15）～（16）所示：

由于大齒輪選用腹板式齒輪，小齒輪選擇實(shí)心式齒輪，故對兩者的齒頂圓直徑都有相應(yīng)的約束。查閱設(shè)計(jì)手冊，對于腹板式齒輪結(jié)構(gòu)，其齒頂圓直徑一般小于等于500 mm；對于實(shí)心式齒輪，其齒頂圓直徑一般小于等于160 mm?？梢赞D(zhuǎn)化為式（17）～（18）：

齒輪的主要邊界約束條件基本得到約束，繼續(xù)列寫主動(dòng)軸和從動(dòng)軸的邊界約束條件。按設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，單機(jī)圓柱齒輪減速器的主動(dòng)軸和從動(dòng)軸的取值范圍一般為[100,150]和[130,200]，如式（19）～（22）所示：

對于傳動(dòng)軸來說，其直徑應(yīng)該小于齒輪的齒根圓直徑。所以對于兩根軸還有如式（23）～（24）的約束：

在齒輪的設(shè)計(jì)計(jì)算方法中，針對本研究中選擇的閉式軟齒面齒輪傳動(dòng)，齒面接觸強(qiáng)度較弱，先按齒面接觸強(qiáng)度進(jìn)行設(shè)計(jì)計(jì)算，然后校核齒根彎曲疲勞強(qiáng)度[7]。故在此需要對兩個(gè)齒輪的齒面接觸強(qiáng)度和齒根彎曲疲勞強(qiáng)度進(jìn)行約束。小齒輪的材料選用40MnB調(diào)質(zhì)，大齒輪采用ZG35SiMn調(diào)質(zhì)。則小齒輪的齒面接觸強(qiáng)度和齒根彎曲疲勞強(qiáng)度分別為720 MPa和595 MPa；大齒輪的分別為615 MPa和510 MPa，最小安全系數(shù)SH和SF分別取1.1和1.25[8]。許用應(yīng)力如式（25）～（28）：

齒輪的齒面接觸強(qiáng)度和齒根彎曲疲勞強(qiáng)度計(jì)算公式如式（29）～（30）：

式中K稱為載荷系數(shù)，由于減速器的原動(dòng)機(jī)為電動(dòng)機(jī)而且工作室載荷特性較為均勻，故K取1；系數(shù)ZE稱為彈性系數(shù)，根據(jù)本文中齒輪所選材料參數(shù)，取189.8；T為主動(dòng)軸上輸入扭矩，取2.674×106N·mm；YFa、YSa分別為外齒輪的齒形系數(shù)和外齒輪的應(yīng)力修正系數(shù)，其取值應(yīng)該根據(jù)齒數(shù)而定，在此根據(jù)減速器未經(jīng)優(yōu)化的數(shù)據(jù)進(jìn)行取值。對于小齒輪分別為2.9和1.5；對于大齒輪分別為2.2和1.8。確定了公式和其中參數(shù)的取值之后便可以依據(jù)式（31）寫出約束[9]：

尋找傳動(dòng)軸的性能約束。強(qiáng)度約束條件表述的是在承受載荷時(shí)軸的結(jié)構(gòu)不至于失效；剛度約束條件表述的是在承受載荷時(shí)軸的實(shí)際撓度、轉(zhuǎn)角和扭角不應(yīng)該超過許用撓度、轉(zhuǎn)角和扭角。

主動(dòng)軸的受力情況為彎扭組合情況，所以應(yīng)該按彎扭合成強(qiáng)度理論計(jì)算，具體可以采用第三強(qiáng)度理論來進(jìn)行計(jì)算。危險(xiǎn)截面上當(dāng)量應(yīng)力計(jì)算如式（36）：

使其小于主動(dòng)軸許用的彎曲應(yīng)力。許用應(yīng)力應(yīng)取靜應(yīng)力狀態(tài)下，鑄鋼的許用彎曲應(yīng)力，此處取40 MPa，約束條件如式（37）：

接下來列寫剛度約束。軸的許用變形量可以根據(jù)機(jī)械設(shè)計(jì)手冊查詢，本文中，僅對軸的許用撓度進(jìn)行約束即可。對于一般用途的軸而言，許用撓度一般為軸長度的0.000 3~0.000 5倍，在此取0.000 4，故主動(dòng)軸剛度約束條件為：

到此，已經(jīng)成功地將優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。

3 有約束單目標(biāo)優(yōu)化問題方案的選取

經(jīng)過分析可知本文為一個(gè)有約束單目標(biāo)優(yōu)化問題，選用內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法進(jìn)行求解[10]。

內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法屬于罰函數(shù)法的一種。罰函數(shù)法的基本思想就是用所有的約束條件構(gòu)造一個(gè)制約函數(shù)，當(dāng)約束條件不滿足時(shí)，該函數(shù)就會(huì)受到制約。反之，當(dāng)約束條件滿足時(shí)，則不受到制約。內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法要求迭代過程均在可行域內(nèi)進(jìn)行，在可行域的邊界上設(shè)置制約，使得迭代點(diǎn)靠近邊界時(shí)給出的函數(shù)值很大；距離邊界較遠(yuǎn)的可行域內(nèi)，約束函數(shù)幾乎不起作用。因此，懲罰函數(shù)法構(gòu)造的形式如下所示：

可以看出當(dāng)函數(shù)接近邊界點(diǎn)上時(shí)，罰函數(shù)接近無窮大，相當(dāng)于在邊界上設(shè)置了一道障礙，使得迭代過程不得超越出去，所以內(nèi)點(diǎn)法也稱障礙函數(shù)法[11-12]。

式中的rk稱為懲罰因子，是遞減的正數(shù)序列。由此可見，在迭代過程中懲罰因子逐漸減小，相當(dāng)于目標(biāo)函數(shù)中的懲罰項(xiàng)的作用越來越小，函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)也會(huì)逐漸靠近可行域的邊界，當(dāng)懲罰因子等于0時(shí)，就得到原問題的最優(yōu)解。

此處，利用Matlab編寫相應(yīng)內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法的迭代程序，并且進(jìn)行求解。初始點(diǎn)應(yīng)用原本減速器的六個(gè)設(shè)計(jì)變量取值，分別為[100 32 6 420 120 160]；c取0.5；ε取10-4；r0取1。將數(shù)據(jù)帶入Matlab程序中進(jìn)行計(jì)算。在對構(gòu)造得到的內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)進(jìn)行無約束優(yōu)化時(shí)發(fā)現(xiàn)，若利用罰函數(shù)分別對六個(gè)設(shè)計(jì)變量求一階導(dǎo)數(shù)再聯(lián)立方程組求解時(shí)間花費(fèi)較長，運(yùn)行一次r值大約需要1.5 h時(shí)間；故在此處選用牛頓法進(jìn)行罰函數(shù)的無約束優(yōu)化的最優(yōu)點(diǎn)求解[13]。

經(jīng)過大致1 h，結(jié)果矩陣求解得到。將六個(gè)設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)值和改進(jìn)率計(jì)算，結(jié)果如表2所示。

表2 內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法和牛頓法優(yōu)化結(jié)果矩陣

對于數(shù)學(xué)模型的優(yōu)化部分，已經(jīng)得到了在上述分析的約束條件中的最優(yōu)解。但是對于齒輪的實(shí)際參數(shù)，還需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行圓整才能使用。查閱標(biāo)準(zhǔn)模數(shù)，并將六個(gè)參數(shù)進(jìn)行圓整，得到最終結(jié)果如表3所示。

表3 齒輪優(yōu)化前后參數(shù)對比

4 結(jié)論

經(jīng)過對減速器輪系參數(shù)優(yōu)化之后，可以得到滿足齒輪和傳動(dòng)軸強(qiáng)度、剛度要求的新設(shè)計(jì)參數(shù)。從表3中可以看出，與之前設(shè)計(jì)的減速器來說，優(yōu)化后減速器的體積優(yōu)化率達(dá)到了20.17%，從而導(dǎo)致質(zhì)量也降低了20.17%，達(dá)到了節(jié)省材料和結(jié)構(gòu)輕量化的目的，具有良好的工程意義。