雒向東，趙宇杰，海 波，梁 曄

(1.蘭州城市學院 a.電子工程學院；b.信息工程學院，蘭州 730070；2.甘肅高師學報編輯部，蘭州 730070)

自Hansen首次引進矢量波函數(shù)用來解決某些電磁問題[1-3]，Stratton驗證了這些函數(shù)的有效性[4]，這些函數(shù)的使用方法進一步被Stratton、Morse[5]等有所推廣,戴振鐸[6]、宋文淼[7]、柯享玉[8]等就電磁理論中的并矢格林函數(shù)做了大量研究，使得并矢格林函數(shù)(簡稱DGF)方法被廣泛應用于電磁理論及工程的各個領域。用DGF方法解決各種電磁場工程問題，其關(guān)鍵是要求出DGF表達關(guān)系，因此DGF的求解和研究自然成為學者關(guān)注的熱點問題。國內(nèi)外學者對構(gòu)建矢量格林函數(shù)做了大量研究，如對規(guī)則形狀波導、常用坐標系等問題已有一致的結(jié)果，有些問題如圓柱腔問題報道文獻就比較少[9-13]。該研究就圓柱腔駐波波函數(shù)、圓柱波導并矢格林函數(shù)的構(gòu)建及其在圓柱腔中的應用進行探索，研究結(jié)論可為基于DGF方法解決圓柱波導及圓柱腔電磁場邊值問題等提供理論和技術(shù)支持。

1 構(gòu)建圓柱坐標系駐波矢量波函數(shù)

圖1 圓柱波導

在圓波導內(nèi)研究齊次標量亥姆霍茲方程，假設波沿z軸方向?qū)?，沿?r方向均為駐波，其基本標量波函數(shù)可表示為[14]

(1)

式(1)中，除n=0情況外，每一組分離常數(shù)對應兩種不同極化場的模式，稱為模式極化簡并。

基于圓柱坐標系中的標量波函數(shù)，定義兩類圓柱矢量波函數(shù)，它們在r=a時都滿足矢量狄里克萊邊界條件。兩類圓柱矢量波函數(shù)定義為[6]104-114

(2)

其中：

(3)

式(2)和(3)矢量波函數(shù)的完全表達式為

(4)

(5)

描述圓柱波導中的磁場，可采用的矢量波函數(shù)為

另外,矢量波函數(shù)之間還存在如下關(guān)系：

基于兩類圓柱矢量波函數(shù)，構(gòu)建兩個駐波矢量波函數(shù)，用Mμo(z)和Nλe(z)分別表示，其形式為

(6)

(7)

2 圓柱波導并矢格林函數(shù)

(8)

其中,求和指數(shù)m、n與關(guān)系式pnm=λa和qnm=μa相聯(lián)系，可簡化記為

用Nonμ(-h′)、Menλ(-h′)和Monλ(-h′)分別與式(8)作前標積，可分別得到系數(shù)為

這幾個系數(shù)可簡寫為

(9)

(10)

將式(9)和(10)代入并矢格林函數(shù)滿足的麥克斯韋方程[15]

可求出a、b系數(shù)為

(11)

將式(11)代入式(10)得

(12)

其中：

(13)

kμ、kλ表示兩組模式相應的導波函數(shù)，式(12)中上行符號對應z>z′，下行符號對應z

其中：

可推得邊界條件為

(14)

(15)

(16)

式(16)中使用了兩個單位階躍函數(shù)，它們是

進一步推得式(15)為

(17)

由廣義函數(shù)理論知

U(z-z′)=ezδ(z-z′) ，U(z′-z)=-ezδ(z-z′) 。

(18)

將式(18)代入式(17)得

(19)

利用式(14)，式(19)又可寫成

(20)

式(20)對于所有ρ，φ，z值都適用，由于δ(ρ-ρ′)δ(φ-φ′)δ(z-z′) =δ(R-R′),把式(20)代入式(15)得

(21)

將式(12)代入式(21)得圓柱波導第一類電型并矢格林函數(shù)為

(22)

式(22)中上行符號對應z>z′，下行符號對應z

3 圓柱波導并矢格林函數(shù)在圓柱腔中的應用

(23)

(24)

(25)

(26)

代入定義的相應矢量波函數(shù),由式(26)可推得

Aμ=-1。

(27)

考慮代表TM模電場的一對波函數(shù)，滿足在z=0處的狄里克萊邊界條件為

(28)

同樣代入相應矢量波函數(shù)可推得

Bλ=1。

(29)

將式(27)(29)代入式(25)得散射項為

(30)

(31)

其中:

(32)

(33)

代入式(6)和(7)駐波矢量波函數(shù)，式(32)和(33)可簡化為

(34)

(35)

還可推得

(36)

(37)

將式(34)至(37)代入式(31)得

(38)

其中:

這就是半無限長波導的第一類電型并矢格林函數(shù)表示式。

(39)

(40)

(41)

(42)

由式(41)和(42)可求出

(43)

將式(43)代入式(40)得散射項為

(44)

將式(38)(44)代入式(39)得

(45)

其中：

(46)

式(46)可化簡為

sinkμcMμ(kμ)-e-ikμcMμo(z)=Mμo(c-z)。

(47)

同理，有

(48)

式(45)中有

(49)

式(49)可化簡為

-iNλ(kλ)sinkλc-e-ikλcNλe(z)=-Nλe(c-z)。

(50)

同理，有

(51)

將式(13)(47)(48)(50)(51)代入式(45)得

(52)

這就是圓柱腔的第一類電型并矢格林函數(shù)。

當激勵頻率等于腔體諧振頻率時

kμc=nπ,n=0，1，2,…

此時圓柱腔產(chǎn)生TEnm模式電諧振。

當激勵頻率滿足下述關(guān)系時

kλc=nπ,n=0，1，2,…

此時圓柱腔產(chǎn)生TMnm模式電諧振。

4 結(jié)語

利用圓柱坐標系中矢量波函數(shù)，研究圓柱波導系統(tǒng)并矢格林函數(shù)，構(gòu)造圓柱腔駐波波函數(shù)，基于散射疊加原理推證圓柱腔第一類電型并矢格林函數(shù)關(guān)系，就諧振腔諧振問題進行研究。所得結(jié)論可為研究圓柱腔其他類型并矢格林函數(shù)以及腔內(nèi)場結(jié)構(gòu)等問題提供理論依據(jù)和技術(shù)指導。