李曉敏

導(dǎo)數(shù)問題（極值點(diǎn)偏移問題）往往體現(xiàn)出較強(qiáng)的區(qū)分度和選拔功能，經(jīng)?？疾閷W(xué)生的推理論證能力、運(yùn)算求解能力、分類與整合能力，考查函數(shù)與方程的思想、劃歸轉(zhuǎn)化的思想。下面結(jié)合例題給出幾種不同解法及學(xué)生答題情況的分析。

例題：已知函數(shù)f（x）=x（1-lnx）.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

【問題分析】

（1）考查的知識點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，其中運(yùn)用到導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則。

解：（1）f（x）=x（x-lnx），x∈（0，+∞）

∴f′（x）=1-lnx-1=-lnx

∴x∈（0，1），f′（x）＞0，

x∈（1，+∞），f′（x）＜0，

∴f（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減.

【解法研究】

先利用導(dǎo)數(shù)公式求得導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖象解出大于零小于零的解集，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。第（1）問比較簡單，屬于送分題，而且對第（2）問有暗示。

（2）方法一：構(gòu)造對稱性函數(shù)

【問題分析】

題目（2）是極值點(diǎn)左偏問題，最常見的做法是構(gòu)造對稱性函數(shù)，考慮函數(shù)y=f（x）在極值點(diǎn)1附近的偏移情況并結(jié)合其單調(diào)性構(gòu)造不等式。

要證x1+x2＞2，即證x2＞2-x1，∵0＜x1＜1∴1＜2-x1＜x2（不易證，利用函數(shù)單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)不等式）

即證f（x2）＜f（2-x1）（盡量減少自變量的個數(shù)）

即證f（x2）＞f（e-x1），即證f（x1）＞f（e-x1）

x∈（0，x3）時，h′（x）＞0，h（x）在（0，x3）單調(diào)遞增.

x∈（x3，1）時，h′（x）＜0，h（x）在（x3，1）單調(diào)遞減.

x→0，h（0）→0，x=1時，h（1）=f（1）-f（e-1）＞0

【解法研究】

大部分學(xué)生沒有從函數(shù)角度去考慮不等式，導(dǎo)致無從下手，其實(shí)題（2）思路形成的關(guān)鍵是必修一函數(shù)單調(diào)性等價形式：若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增（減）則分考生考慮到了以上方法，不過在轉(zhuǎn)化已知條件時轉(zhuǎn)化不徹底，把已知條件轉(zhuǎn)化為新函數(shù)g這個函數(shù)與已知函數(shù)f（x）=x（1-lnx）沒有任何關(guān)系，需要重新研究函數(shù)g（x）單調(diào)性、極值，計(jì)算量增大，費(fèi)時費(fèi)力，不過也能證得結(jié)論成立。

方法二：增量法

【解法研究】

方法三：切割線放縮法

不妨設(shè)0＜x1＜1＜x2

∵在區(qū)間（0，1），f（x）=x（1-lnx）＞x

∴f（x1）＞x1

過（e，0）點(diǎn)切線斜率為k=f′（x）｜x=e=-1

切線方程為q（x）=-x+e

令V（x）=q（x）-f（x）=-x+e-x（1-lnx），x∈（1，e）

【解法研究】

切割線放縮法需要畫出函數(shù)圖象結(jié)合割線放縮、切線放縮，還要與要證的不等式相結(jié)合才能解答此題。此方法優(yōu)點(diǎn)是過程簡單計(jì)算量小，不足是思維量大，要有很強(qiáng)的數(shù)形結(jié)合能力，能較準(zhǔn)確地畫出圖象，還要有極限思想，對考生數(shù)學(xué)能力要求比較高，不容易想到。

第（2）問抽象性、綜合性較強(qiáng)，能力要求比較高，技巧性強(qiáng)，區(qū)分度較大，但只要能認(rèn)清本質(zhì)，抓住關(guān)鍵，立足通法，善于轉(zhuǎn)化，靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)及分析法就能解決本題，優(yōu)秀學(xué)生是可以拿到高分的。極值點(diǎn)偏移問題在歷年高考中反復(fù)出現(xiàn)，比如2010年天津卷、2011年遼寧卷、2013年湖南卷、2016年全國卷等，希望引起大家的重視。