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        有限FI代數(shù)的矩陣表示

        2022-02-17 13:51:38韋安麗趙建立丁文旭
        關(guān)鍵詞:定義

        韋安麗, 李 瑩, 趙建立, 丁文旭

        (聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院/矩陣半張量積理論與應(yīng)用研究中心, 聊城 252000)

        模糊蘊(yùn)涵代數(shù)[1],簡稱FI代數(shù),揭示了蘊(yùn)涵算子的本質(zhì)。眾多著名的模糊邏輯代數(shù)系統(tǒng),如MV代數(shù)[2]、BL代數(shù)[3]、R0代數(shù)[4]、剩余格[5]和格蘊(yùn)涵代數(shù)[6]等,都是FI代數(shù)的特殊子類代數(shù)。

        迄今為止,許多科學(xué)工作者從事這方面的研究并取得了豐碩成果[7-14]。例如,王國俊[7]證明了3種不同形式的 MV-代數(shù)刻畫的等價(jià)性,同時(shí)分析了 MV-代數(shù)、BL-代數(shù)和R0代數(shù)的邏輯背景;ZHU和XU[9]發(fā)展了一般剩余格的濾波理論;裴道武等[10]揭示了FI格與模糊邏輯中幾個(gè)重要代數(shù)系統(tǒng)之間的緊密聯(lián)系,且一些重要的模糊邏輯代數(shù)系統(tǒng)都是FI格類的子類;吳達(dá)[13]在FI代數(shù)中引進(jìn)“交換”運(yùn)算,從而得到了進(jìn)一步刻畫FI代數(shù)及HFI代數(shù)的若干結(jié)果。

        矩陣半張量積是一種新的矩陣乘積,是描述有限集上映射的強(qiáng)大工具,已成功應(yīng)用于布爾網(wǎng)絡(luò)[15]、密碼學(xué)[16]、圖著色[17]、信息安全[18]和車輛控制[19]等領(lǐng)域?;诖?本文將矩陣半張量積應(yīng)用于邏輯代數(shù)研究領(lǐng)域,給出了FI代數(shù)的若干等價(jià)刻畫:通過矩陣半張量積方法在統(tǒng)一的理論框架內(nèi)刻畫了有限FI代數(shù);利用矩陣表達(dá)式,將有限FI代數(shù)上抽象的邏輯運(yùn)算規(guī)律轉(zhuǎn)化為具體邏輯矩陣的簡單運(yùn)算;徹底解決了有限FI代數(shù)同構(gòu)的分類問題。

        1 預(yù)備知識

        定義1[20]對于矩陣A=(aij)m×n,B=(bij)p×q,定義A和B的Kronecker積為:

        定義2[20]設(shè)矩陣Am×n,Bp×q,定義A與B的半張量積為

        矩陣半張量積具有下列性質(zhì):

        引理1[20]設(shè)A,B,C是實(shí)矩陣,a,b,則

        (3)設(shè)xm,yn,則xy=x?y。

        引理 2[20]設(shè)xt,Am×n,則xA=(It?Ax。

        定義3[21]換位矩陣W[m,n]mn×mn定義為

        換位矩陣的作用是交換2個(gè)不同維的列向量因子在矩陣半張量積運(yùn)算下的順序。

        引理3[21]設(shè)xm,yn,則W[m,n]xy=yx。

        則稱這種表達(dá)為有限集的向量表達(dá)式,其對應(yīng)順序可以任意指定。

        例如,在經(jīng)典邏輯中,D={0,1},一個(gè)邏輯變量xD可以用向量形式表示:

        類似地,經(jīng)典邏輯變量的向量表達(dá)式也可以用于多值邏輯。

        例1考慮k值邏輯,定義

        基于此,有

        利用向量表達(dá)式,一個(gè)n維變量邏輯函數(shù)f:Dn→D可以表示為從Δn到Δ的一個(gè)映射。

        引理4[22]設(shè)映射f:Dn→D,利用向量表達(dá)式,有

        其中Mf2×2n是唯一的,叫做f的結(jié)構(gòu)矩陣。

        計(jì)算顯示Mc=δ2[1222]。類似地,可以得到Md=δ2[1112]和Mn=δ2[21]。

        2 有限FI代數(shù)的矩陣表示

        定義4[1]一個(gè)(2,0)型代數(shù)(X,→,0)稱為模糊蘊(yùn)涵代數(shù),簡稱為FI代數(shù),如果對任意x,y,zX,有

        其中1=0→0。

        (I1)′M→(t)(It?M→(t))=M→(t)(It?M→(t))W[t,t];

        M→(t)(M→(t)xy)(M→(t)(M→(t)yz)(M→(t)xz))=

        (M→(t))2(It2?(M→(t))2)xy2z(M→(t)xz)=

        進(jìn)一步可得

        (M→(t))2(It2?(M→(t))2)(It4?M→(t))xy2zxz=

        則有

        (M→(t))2(It2?(M→(t))2)(It4?M→(t))x×

        從而

        (M→(t))2(It2?(M→(t))2)(It4?M→(t))×

        (M→(t))2(It2?(M→(t))2)(It4?M→(t))×

        (It?W[t,t3])PRt(It?PRt)(It2?PRt)xyz=

        由x、y、z的任意性,可得

        (M→(t))2(It2?(M→(t))2)(It4?M→(t))×

        (It?W[t,t3])PRt(It?PRt)(It2?PRt)=

        由此可知條件(I2)′等價(jià)于條件(I2)。證畢。

        例3設(shè)t=2,由于→為一個(gè)二元算子,故可設(shè)M→(2)=[m1,m2,m3,m4](miΔ,i=1,2,3,4),只有唯一的一組M→(2)滿足定理1的條件(I1)′~(I5)′,即

        例4設(shè)t=3,類比上述步驟,運(yùn)用窮舉法只得到4組滿足FI代數(shù)的定義的M→(3):

        可以在FI代數(shù)(X,→,0)上定義一個(gè)二元關(guān)系≤:

        x≤y?x→y=1 (x,yX)。

        顯然,由→誘導(dǎo)的關(guān)系≤是一個(gè)偏序。

        引理5[10]設(shè)(X,→,0)是一個(gè)FI代數(shù),對于任意x,y,zX,下列性質(zhì)成立:

        對于有限FI代數(shù),利用結(jié)構(gòu)矩陣M→(t)與矩陣半張量積,可以將引理5的(i)~(vi)由定性運(yùn)算轉(zhuǎn)化為定量運(yùn)算,給出它們的代數(shù)表達(dá)式。

        定理2設(shè)(X,→,0)是一個(gè)有限FI代數(shù),且|X|=t<∞。對于FI代數(shù)上的偏序關(guān)系進(jìn)行矩陣表示,得到

        由此二元關(guān)系可得到與引理5的(i)~(vi)等價(jià)的代數(shù)表達(dá)形式:

        證明(i)′~(vi)′的證明方法類似,這里只給出(vi)′的詳細(xì)證明。首先,可將(vi)等價(jià)表達(dá)成(y→z)→((x→y)→(x→z))=1,其矩陣表示如下:

        M→(t)(M→(t)yz)[M→(t)(M→(t)xy)(M→(t)xz)]=

        從而

        (M→(t))2(It2?(M→(t))2)yzxyM→(t)xz=

        進(jìn)一步可得

        (M→(t))2(It2?(M→(t))2)(It4?M→(t))yzxyxz=

        則有

        (M→(t))2(It2?(M→(t))2)(It4?M→(t))W[t3,t2]xyxyz2=

        (M→(t))2(It2?(M→(t))2)(It4?M→(t))W[t3,t2]×

        從而

        (M→(t))2(It2?(M→(t))2)(It4?M→(t))W[t3,t2]×

        (M→(t))2(It2?(M→(t))2)(It4?M→(t))W[t3,t2]×

        (It?W[t,t])PRt(It?PRt)(It2?PRt)xyz=

        由x,y,z的任意性,則有

        (M→(t))2(It2?(M→(t))2)(It4?M→(t))W[t3,t2]×

        (It?W[t,t])PRt(It?PRt)(It2?PRt)=

        從而,(vi)′得證。證畢。

        3 FI代數(shù)的同態(tài)與同構(gòu)

        定義5[1]設(shè)Fi=(Xi,→i,0i)(i=1,2)是2個(gè)FI代數(shù),若存在映射f:X1→X2,使得

        (i)f(x→1y)=f(x)→2f(y)(x,yX1);

        (ii)f(01)=02,

        則稱f為FI代數(shù)同態(tài)。

        f(x)=Mfx,

        其中Mfn×m是f的結(jié)構(gòu)矩陣。

        定理3設(shè)Fi=(Xi,→i,0i)(i=1,2)是2個(gè)有限FI代數(shù),且|X1|=m<∞,|X2|=n<∞,存在映射f:X1→X2,f為FI代數(shù)同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)

        (i)′MfM→(m)=M→(n)Mf(Im?Mf);

        證明利用矩陣表示易得定理3的條件(i)′、(ii)′分別等價(jià)于定義5的條件(i)、(ii)。 證明過程如下:?x,yX1,條件(i)的矩陣表示如下:

        Mf(M→(m)xy)=M→(n)(Mfx)(Mfy),

        MfM→(m)=M→(n)Mf(Im?Mf)。

        從而證得條件(ii)′與條件(ii)等價(jià)。證畢。

        定義6[1]設(shè)Fi=(Xi,→i,0i)(i=1,2)是2個(gè)FI代數(shù),且映射f:X1→X2為FI代數(shù)同態(tài),如果f是一對一且映上的,那么f稱為FI代數(shù)同構(gòu)。

        定義7[20]給定一個(gè)置換τSn,定義它的結(jié)構(gòu)矩陣Mτ如下:

        稱Mτ為置換矩陣。

        (i)T是一個(gè)置換矩陣,即存在一個(gè)置換τSn,使得T=Mτ,因此TT=T-1;

        證明由定義6知,映射f:X1→X2是一對一且映上的,則存在一個(gè)τSn,使得f(i)=τ(i)(i=1,2,…,n)。 當(dāng)x=iDn表示為向量形式時(shí),有f(i)=(〗τ(i)=)〗Mτ(x)。于是

        從而可得

        證畢。

        例5在例3中,當(dāng)n=2時(shí),沒有非平凡同構(gòu)。

        4 FI代數(shù)的導(dǎo)子

        本節(jié)利用矩陣半張量積與邏輯矩陣運(yùn)算來考慮有限FI代數(shù)上的導(dǎo)子:首先,引入(l,r)-導(dǎo)子、(r,l)-導(dǎo)子和導(dǎo)子的概念,并給出它們的一些性質(zhì);然后,利用矩陣表達(dá)式,將d、⊕、→所滿足的運(yùn)算規(guī)律轉(zhuǎn)化為具體邏輯矩陣的簡單運(yùn)算;最后,通過邏輯矩陣運(yùn)算給出FI代數(shù)關(guān)于導(dǎo)子的新性質(zhì)。

        定義8[23]設(shè)(X,→,0)是FI代數(shù),對于映射d:X→X:

        (i)若d滿足:?x,yX,有

        d(x→y)=(d(x)→y)⊕(x→d(y)),

        則稱d是X上的(l,r)-導(dǎo)子;

        (ii)若d滿足:?x,yX,有

        d(x→y)=(x→d(y))⊕(d(x)→y),

        則稱d是X上的(r,l)-導(dǎo)子;

        (iii)若d既是X上的(l,r)-導(dǎo)子,又是X上的(r,l)-導(dǎo)子,則稱d是X上的導(dǎo)子,并稱(X,d)是導(dǎo)子FI代數(shù);

        (iv)若d滿足?xX,有d(x)=1,則稱d是X上的平凡導(dǎo)子。

        利用矩陣半張量積以及矩陣表達(dá)式研究有限FI代數(shù)上的導(dǎo)子時(shí),定義一種新的二元運(yùn)算⊕:?x,yX,x⊕y=x′→y,其中x′是x的偽補(bǔ),滿足?xX,x′=x→0。Md、M⊕(t)分別是d、⊕的結(jié)構(gòu)矩陣,且由⊕所滿足的運(yùn)算規(guī)律,可以得到

        定理5設(shè)(X,→,0)是有限FI代數(shù),且|X|=t<∞,對于映射d:X→X:

        (i)′d是X上的(l,r)-導(dǎo)子當(dāng)且僅當(dāng)

        MdM→(t)=M⊕(t)M→(t)Md(It2?M→(t))×

        (It?W[t,t])PRt(It2?Md)(It?PRt);

        (ii)′d是X上的(r,l)-導(dǎo)子當(dāng)且僅當(dāng)

        MdM→(t)=M⊕(t)M→(t)(It?Md)(It2?M→(t))×

        (It2?Md)(It?W[t,t])PRt(It?PRt);

        (iii)′d是X上的導(dǎo)子當(dāng)且僅當(dāng)

        MdM→(t)=M⊕(t)M→(t)Md(It2?M→(t))×

        (It?W[t,t])PRt(It2?Md)(It?PRt),

        MdM→(t)=M⊕(t)M→(t)(It?Md)(It2?M→(t))×

        (It2?Md)(It?W[t,t])PRt(It?PRt);

        (iv)′d是X上的平凡導(dǎo)子當(dāng)且僅當(dāng)

        證明這里只提供(i)′的詳細(xì)證明,其他結(jié)論類似。定義8(i)中等式的矩陣表示如下:

        Md(M→(t)xy)=M⊕(t)(M→(t)(Mdx)y)(M→(t)x(Mdy)),

        MdM→(t)xy=M⊕(t)M→(t)Md(It2?M→(t))xyxMdy。

        進(jìn)一步可得

        MdM→(t)xy=M⊕(t)M→(t)Md(It2?M→(t))×

        (It?W[t,t])x2yMdy,

        從而

        MdM→(t)xy=M⊕(t)M→(t)Md(It2?M→(t))×

        (It?W[t,t])PRtxyMdy,

        則有

        MdM→(t)xy=M⊕(t)M→(t)Md(It2?M→(t))×

        (It?W[t,t])PRt(It2?Md)xy2,

        進(jìn)而有

        MdM→(t)xy=M⊕(t)M→(t)Md(It2?M→(t))×

        (It?W[t,t])PRt(It2?Md)(It?PRt)xy。

        由x,y的任意性,則有

        MdM→(t)=M⊕(t)M→(t)Md(It2?M→(t))×

        (It?W[t,t])PRt(It2?Md)(It?PRt)。

        故定理5(i)′的條件與定理8(i)的條件等價(jià)。證畢。

        例7設(shè)X={0,a,b,c,1},其中0

        (1)

        M→(5)=

        M⊕(5)=

        則由定理1可得(X,→,0)是FI代數(shù),再將結(jié)構(gòu)矩陣M→(5)、M⊕(5)和Md1代入定理5,滿足定理5(iii)′的條件,即d1既是X上的(l,r)-導(dǎo)子,又是X上的(r,l)-導(dǎo)子,因此,d1是X上的導(dǎo)子。

        例8設(shè)X={0,a,b,c,1},在X上定義→的運(yùn)算表和映射d2:X→X為:

        類似地,可以得到M→(5)、Md2和M⊕(5):

        M→(5)=

        M⊕(5)=

        同樣地,將M→(5)代入定理1得到(X,→,0)是FI代數(shù),將M→(5)、M⊕(5)和Md2代入定理5,可知d2是X上的(r,l)-導(dǎo)子,但不是X上的(l,r)-導(dǎo)子,從而不是X上的導(dǎo)子。

        引理6[23]設(shè)(X,→,0)是FI代數(shù)。若d是X上的(l,r)-導(dǎo)子((r,l)-導(dǎo)子或?qū)ё?,則?x,yX,有

        定理6設(shè)(X,→,0)是有限FI代數(shù),且|X|=t<∞。若d是X上的(l,r)-導(dǎo)子((r,l)-導(dǎo)子或?qū)ё?,則下列性質(zhì)成立:

        證明下面僅給出(iii)′的詳細(xì)證明。利用偏序關(guān)系,可將引理6的(iii)轉(zhuǎn)化為

        (d(x)→d(y))→d(x→y)=1。

        (2)

        M→(t)(M→(t)(Mdx)(Mdy))(Md(M→(t)xy))=

        進(jìn)一步可得

        從而

        (M→(t))2Md(It?Md)(It2?MdM→(t))×

        則有

        (M→(t))2Md(It?Md)(It2?MdM→(t))×

        由x、y的任意性,有

        (M→(t))2Md(It?Md)(It2?MdM→(t))×

        于是(iii)′得證。證畢

        定理7設(shè)(X,→,0)是有限FI代數(shù),且|X|=t<∞。若d1,d2,…,dn均是X上的導(dǎo)子,則d=d1·d2·…·dn是X上的導(dǎo)子當(dāng)且僅當(dāng)

        MdM→(t)=M⊕(t)M→(t)Md(It2?M→(t))×

        (It?W[t,t])PRt(It2?Md)(It?PRt),

        MdM→(t)=M⊕(t)M→(t)(It?Md)(It2?M→(t))×

        (It2?Md)(It?W[t,t])PRt(It?PRt),

        其中,Md=Md1·Md2·…·Mdn,Mdi(i=1,2,…,n)為di的結(jié)構(gòu)矩陣。

        證明由定理5可得d是X上的導(dǎo)子,則映射d的結(jié)構(gòu)矩陣Md滿足定理5(iii)′的條件。又因?yàn)閐是多個(gè)映射復(fù)合而成的,可得其結(jié)構(gòu)矩陣Md滿足Md=Md1·Md2·…·Mdn,即結(jié)論成立。證畢。

        5 小結(jié)

        本文基于矩陣半張量積對有限FI代數(shù)的基本性質(zhì)進(jìn)行了研究,將有限FI代數(shù)上的邏輯表達(dá)式轉(zhuǎn)化為邏輯矩陣的簡單運(yùn)算,并以此為基礎(chǔ)研究了有限FI代數(shù)上的同態(tài)與同構(gòu),徹底解決了有限FI代數(shù)同構(gòu)的分類問題。同時(shí),有限FI代數(shù)上的導(dǎo)子也被用矩陣半張量積方法進(jìn)行了分析,對于給定有限FI代數(shù)上的若干導(dǎo)子,得到了可直接驗(yàn)證各導(dǎo)子復(fù)合運(yùn)算之后是否仍為FI代數(shù)上導(dǎo)子的充要條件。

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