李沁然 孫超 謝磊?

1) (西北工業(yè)大學(xué)航海學(xué)院,西安 710072)

2) (陜西省水下信息技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710072)

內(nèi)孤立波是一種常見(jiàn)于淺海海域的非線性?xún)?nèi)波,具有振幅大、周期短和流速?gòu)?qiáng)等特點(diǎn),它通過(guò)擾動(dòng)水體中的溫鹽分布使聲速剖面產(chǎn)生明顯的距離依賴(lài)性,進(jìn)而影響水下聲傳播特性.內(nèi)波自生成后通常以1 m/s量級(jí)的速度傳播,運(yùn)動(dòng)的內(nèi)波使聲傳播路徑上的聲波模態(tài)能量在空間和時(shí)間上劇烈起伏.本文定義模態(tài)強(qiáng)度為模態(tài)系數(shù)模值 (模態(tài)幅度) 的平方,并用其衡量各階模態(tài)所含聲能量的大小.文中基于耦合簡(jiǎn)正波理論,推導(dǎo)了內(nèi)波運(yùn)動(dòng)時(shí)聲波模態(tài)強(qiáng)度起伏的表達(dá)式,將模態(tài)強(qiáng)度表征為振蕩項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng)的線性疊加.以往的工作大多局限于單獨(dú)從時(shí)域或頻域研究?jī)?nèi)波運(yùn)動(dòng)時(shí)聲波模態(tài)強(qiáng)度的時(shí)變規(guī)律,本文則結(jié)合短時(shí)傅里葉變換在時(shí)頻平面上揭示了模態(tài)強(qiáng)度的起伏機(jī)理.理論推導(dǎo)和數(shù)值仿真均表明內(nèi)孤立波使各階聲波模態(tài)之間發(fā)生能量交換,即模態(tài)耦合.內(nèi)波的動(dòng)態(tài)傳播進(jìn)一步引起模態(tài)干涉,這種干涉效應(yīng)表現(xiàn)為模態(tài)強(qiáng)度中的振蕩項(xiàng)并使模態(tài)強(qiáng)度隨時(shí)間快速起伏.受模態(tài)剝離效應(yīng) (不同階模態(tài)之間衰減系數(shù)的差異) 的影響,趨勢(shì)項(xiàng)的幅度隨時(shí)間不斷變化,進(jìn)而對(duì)模態(tài)干涉引起的振蕩疊加了時(shí)變的偏置.模態(tài)強(qiáng)度的整體走勢(shì)和振蕩項(xiàng)中各頻率分量振幅的時(shí)變特征均與模態(tài)衰減密切相關(guān).同時(shí),本文使用深度積分聲強(qiáng)作為總接收聲場(chǎng)強(qiáng)度的度量,研究了內(nèi)波運(yùn)動(dòng)時(shí)模態(tài)強(qiáng)度起伏對(duì)接收陣位置處聲能量的影響.結(jié)果表明,能量較大且起伏劇烈的模態(tài)強(qiáng)度將主導(dǎo)總接收聲強(qiáng)的變化.

1 引言

內(nèi)波是海水內(nèi)部不同密度水體之間的波動(dòng),內(nèi)孤立波是一種常存在于淺海海域的非線性?xún)?nèi)波.正壓潮流經(jīng)起伏的海底地形可生成內(nèi)潮 (具有潮汐頻率的內(nèi)波),內(nèi)潮在傳播過(guò)程中受到某些非線性因素影響時(shí)其波形逐漸變陡,進(jìn)一步演變?yōu)閮?nèi)孤立波[1,2].淺海內(nèi)孤立波通常以其較大振幅劇烈擾動(dòng)水體中的溫鹽分布,使聲速剖面產(chǎn)生明顯的距離依賴(lài)性,導(dǎo)致能量在聲波模態(tài)之間發(fā)生轉(zhuǎn)移,即模態(tài)耦合,進(jìn)而引起聲傳播損失起伏[3,4]、聲場(chǎng)空時(shí)相關(guān)性下降[5,6]和信號(hào)到達(dá)結(jié)構(gòu)畸變[7,8].

Zhou等[9]最早研究了淺海內(nèi)孤立波引起聲場(chǎng)起伏的機(jī)制,他們通過(guò)分析黃海聲學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)在某些特定頻帶內(nèi)傳播損失異常增大.后期數(shù)值仿真表明,內(nèi)孤立波使各階聲波模態(tài)之間發(fā)生能量交換,位于溫躍層以下的聲源激發(fā)的低階模態(tài)能量轉(zhuǎn)移到衰減較大的高階模態(tài)中導(dǎo)致傳播損失增大.在特定頻帶內(nèi)各階簡(jiǎn)正波之間可發(fā)生尤為顯著的能量轉(zhuǎn)移,這種具有“頻率共鳴”特性的模態(tài)耦合效應(yīng)可引起傳播損失的明顯變化.Zhou等[9]僅研究了靜止內(nèi)孤立波引起聲場(chǎng)起伏的機(jī)理,而實(shí)際上內(nèi)孤立波自生成后一般以 1 m/s 量級(jí)的速度傳播.Duda和Preisig[10]分析SWARM95實(shí)驗(yàn)[11]數(shù)據(jù)后發(fā)現(xiàn),在聲傳播路徑上運(yùn)動(dòng)的內(nèi)孤立波可使內(nèi)波后方聲能量在數(shù)分鐘內(nèi)起伏達(dá) 7 dB,進(jìn)一步研究表明到達(dá)內(nèi)波前沿的聲波模態(tài)之間的相對(duì)相位隨內(nèi)波位置的改變而快速變化,由此引起的模態(tài)干涉導(dǎo)致內(nèi)波后方模態(tài)幅度和聲能量隨時(shí)間劇烈起伏.Rouseff等[12]根據(jù)耦合簡(jiǎn)正波理論推導(dǎo)了聲波模態(tài)系數(shù)隨內(nèi)波位置變化的關(guān)系式,發(fā)現(xiàn)模態(tài)幅度起伏頻率與模態(tài)干涉長(zhǎng)度和內(nèi)波傳播速度有關(guān),數(shù)值仿真表明模態(tài)幅度振蕩曲線呈現(xiàn)出準(zhǔn)周期特征.劉進(jìn)忠等[13]和胡濤等[14]基于內(nèi)波運(yùn)動(dòng)時(shí)簡(jiǎn)正波系數(shù)起伏的表達(dá)式,從模態(tài)幅度時(shí)間序列及其頻譜中反演得到耦合矩陣和內(nèi)波傳播速度.Finette等[15]利用SWARM95實(shí)驗(yàn)中實(shí)測(cè)的水文數(shù)據(jù)計(jì)算出內(nèi)波模型所需的環(huán)境參數(shù),并基于Dnoidal模型[16]重構(gòu)了淺海波導(dǎo)中空時(shí)演化的內(nèi)波場(chǎng)及聲速剖面,他們利用接收陣位置處模態(tài)強(qiáng)度的時(shí)變特征解釋了傳播損失的起伏現(xiàn)象,發(fā)現(xiàn)不同內(nèi)波成分影響下的模態(tài)強(qiáng)度起伏程度有明顯差異.Yang[17]使用 Dyson級(jí)數(shù)展開(kāi)法求解隨機(jī)耦合模態(tài)方程[18]獲得模態(tài)系數(shù)耦合矩陣,利用該耦合矩陣推導(dǎo)出內(nèi)波運(yùn)動(dòng)時(shí)接收陣位置處模態(tài)系數(shù)和深度積分聲強(qiáng)的表達(dá)式.研究表明,模態(tài)干涉導(dǎo)致深度積分聲強(qiáng)隨內(nèi)波運(yùn)動(dòng)發(fā)生起伏,從深度積分聲強(qiáng)振蕩曲線頻譜的譜峰頻率可識(shí)別出發(fā)生干涉的模態(tài)階數(shù).秦繼興等[19]根據(jù)隨機(jī)耦合簡(jiǎn)正波理論推導(dǎo)了內(nèi)孤立波移動(dòng)時(shí)聲強(qiáng)起伏的表達(dá)式,研究了內(nèi)波引起的聲能量變化的規(guī)律.結(jié)果表明,接收器位置處聲強(qiáng)隨時(shí)間的變化表現(xiàn)出明顯的準(zhǔn)周期性,不同深度陣元上聲強(qiáng)起伏的頻譜具有明顯的垂直結(jié)構(gòu),該結(jié)構(gòu)與主導(dǎo)聲場(chǎng)起伏的簡(jiǎn)正波的模態(tài)函數(shù)形狀有關(guān).宋文華等[20]研究發(fā)現(xiàn)內(nèi)波引起的模態(tài)耦合使主導(dǎo)聲場(chǎng)的簡(jiǎn)正波成分發(fā)生變化,從而影響波導(dǎo)不變量的分布.Song等[21]之后進(jìn)一步根據(jù)耦合簡(jiǎn)正波理論給出了存在內(nèi)波時(shí)聲場(chǎng)強(qiáng)度分布的表達(dá)式,發(fā)現(xiàn)內(nèi)波引起的各階簡(jiǎn)正波之間的能量交換導(dǎo)致聲強(qiáng)中出現(xiàn)耦合成分.波導(dǎo)不變量分布中出現(xiàn)多個(gè)峰值,每個(gè)峰值的貢獻(xiàn)來(lái)自于具有相近波導(dǎo)不變量的耦合成分.內(nèi)孤立波的振幅、特征寬度和位置都會(huì)影響波導(dǎo)不變量分布中峰值的能量大小,并且內(nèi)波位置的變化對(duì)分布中峰值的位置有顯著影響.

可以看出,上述工作中多數(shù)學(xué)者僅單獨(dú)在時(shí)域或頻域研究了內(nèi)波運(yùn)動(dòng)時(shí)聲波模態(tài)強(qiáng)度 (或幅度)的變化特性.然而模態(tài)強(qiáng)度中通常包含多個(gè)頻率分量,且受到淺海環(huán)境中尤為明顯的模態(tài)衰減的影響,不同階模態(tài)干涉形成的頻率成分的時(shí)變特征也存在差異,這就導(dǎo)致單獨(dú)的時(shí)域或頻域分析均不能全面揭示內(nèi)波影響下的聲波模態(tài)強(qiáng)度起伏規(guī)律.針對(duì)以上問(wèn)題,本文將模態(tài)衰減系數(shù)引入到理論推導(dǎo)中,給出了內(nèi)孤立波運(yùn)動(dòng)時(shí)接收陣位置處聲波模態(tài)強(qiáng)度的完整表達(dá)式,將模態(tài)強(qiáng)度表征為趨勢(shì)項(xiàng)和振蕩項(xiàng)的線性疊加,揭示了聲衰減對(duì)模態(tài)強(qiáng)度起伏的調(diào)制作用.文中使用拋物方程 (parabolic equation,PE) 模型計(jì)算聲場(chǎng)分布,之后通過(guò)模態(tài)濾波提取各階模態(tài)強(qiáng)度時(shí)間序列,并使用短時(shí)傅里葉變換對(duì)模態(tài)強(qiáng)度進(jìn)行時(shí)頻分析,同時(shí)在時(shí)域和頻域研究模態(tài)強(qiáng)度起伏特性.結(jié)果表明,內(nèi)波運(yùn)動(dòng)時(shí)模態(tài)強(qiáng)度包含由模態(tài)干涉引起的多個(gè)頻率分量,不同頻率成分振幅的變化特征和模態(tài)強(qiáng)度的整體走勢(shì)與波導(dǎo)中的模態(tài)衰減有關(guān).同時(shí),能量較大且起伏劇烈的模態(tài)強(qiáng)度將主導(dǎo)總接收聲場(chǎng)強(qiáng)度的時(shí)變特性.

2 理論推導(dǎo)與討論

2.1 模態(tài)強(qiáng)度表達(dá)式推導(dǎo)

由于內(nèi)波傳播時(shí)聲波模態(tài)能量會(huì)隨時(shí)間劇烈起伏,本文定義模態(tài)強(qiáng)度為模態(tài)系數(shù)模值的平方,并用其描述內(nèi)波運(yùn)動(dòng)時(shí)聲波模態(tài)中所含能量的變化情況.下面將從一個(gè)簡(jiǎn)單的波導(dǎo)模型出發(fā)推導(dǎo)模態(tài)強(qiáng)度起伏的表達(dá)式.本文使用的淺海波導(dǎo)模型如圖1 所示,由單頻聲源發(fā)射的聲信號(hào)穿越內(nèi)波后到達(dá)距離聲源rre處的垂直陣.假設(shè)內(nèi)波出現(xiàn)的區(qū)域范圍為r1

圖1 聲源與接收器的布放位置及內(nèi)波運(yùn)動(dòng)情況Fig.1.Locations of the source and receivers and the details of internal wave motion.

式中,是第j段內(nèi)第m階模態(tài)函數(shù),是界面rrj?1右側(cè)第m階模態(tài)系數(shù),即第j段內(nèi)初始位置處的模態(tài)系數(shù),描述了初始模態(tài)系數(shù)的相位在該距離段內(nèi)的變化情況.使用漢克爾函數(shù)的漸近形式,相位因子可表示為

如前述,垂直陣位置rre處的波導(dǎo)環(huán)境不受內(nèi)波影響,則接收陣位置處簡(jiǎn)正波的水平波數(shù)和模態(tài)函數(shù)可通過(guò)在背景聲速剖面下求解模態(tài)方程得到.為表達(dá)簡(jiǎn)潔,本文統(tǒng)一使用km,φm(z) 分別表示無(wú)內(nèi)波環(huán)境中第m階簡(jiǎn)正波的水平波數(shù)與模態(tài)函數(shù).

在內(nèi)波擾動(dòng)區(qū)域內(nèi)相鄰距離段之間的分界面上使用聲壓連續(xù)條件,得到界面rrJ右側(cè)的模態(tài)系數(shù)為

其中,矩陣Cj的元素為

式中,ρj+1(z)是第j+1段內(nèi)的密度剖面;矩Hj(r)是對(duì)角陣,其元素由(2)式給出.現(xiàn)將(4)式代入(3)式,得到垂直陣處的聲壓為

其中,Rmn是耦合矩陣R的元素.波導(dǎo)內(nèi)的模態(tài)函數(shù)滿(mǎn)足以下正交性條件[24]:

式中,和分別是某給定波導(dǎo)環(huán)境條件下的模態(tài)函數(shù)和密度剖面,δmn是 Kroneckerδ函數(shù).利用(8)式的正交性條件對(duì)垂直陣處的聲壓p(re,z)進(jìn)行模態(tài)濾波[25],提取出任一階(如第l階)模態(tài)系數(shù)

其中,ρ(z) 為本文波導(dǎo)模型中的密度剖面,并且假設(shè)其不隨時(shí)間和距離變化.

考慮到內(nèi)孤立波在海洋中的傳播過(guò)程,現(xiàn)假設(shè)內(nèi)波以速度v從垂直陣附近向聲源勻速運(yùn)動(dòng),此時(shí)內(nèi)波前沿位置rr1和后沿位置rrJ均隨時(shí)間T變化,且分別表示為

式中,表示模態(tài)衰減系數(shù).為突出接收模態(tài)系數(shù)與聲源位置處模態(tài)系數(shù)之間的關(guān)系,將rr0處的模態(tài)系數(shù)展開(kāi)為

式中,bn與第n階模態(tài)激勵(lì)[27]成正比:

其中,zzs是聲源深度.上文已假設(shè)內(nèi)孤立波僅存在于區(qū)域r1

由(14)式得到垂直陣處第l階模態(tài)強(qiáng)度為

利用歐拉公式和以下復(fù)數(shù)運(yùn)算法則:

(15) 式可進(jìn)一步整理為

式中,D1Re[(Rlnbn)(Rlsbs)?],D2Im[(Rlnbn)(Rlsbs)?] .對(duì) (17) 式繼續(xù)使用三角恒等式,則第l階接收模態(tài)強(qiáng)度最終化簡(jiǎn)為

式 中,θlnsarctan(D2/D1),?π/2≤θlns≤π/2 ;H[x]是Heaviside階躍函數(shù):

至此,得到了內(nèi)波運(yùn)動(dòng)時(shí)聲波模態(tài)強(qiáng)度的表達(dá)式,下面將圍繞(18)式做進(jìn)一步分析.

2.2分析與討論

(18)式給出的第l階接收模態(tài)強(qiáng)度可看作直流成分 DCl(t)和交流成分 ACl(t) 的線性疊加(此處的“直流成分”和“交流成分”借用了電氣工程學(xué)科中的專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)):

兩種成分的表達(dá)式分別為

其中,DCln(T)和 AClns(T) 別是直流分量和交流分量.如 (21)式和(22)式所示,它們各自組成了直流成分 DCl(T)和交流成分 ACl(T) .下面將根據(jù)理論推導(dǎo)簡(jiǎn)要討論內(nèi)波動(dòng)態(tài)傳播時(shí)聲波模態(tài)強(qiáng)度的起伏機(jī)理,以及模態(tài)強(qiáng)度中直流成分和交流成分的時(shí)變規(guī)律.

內(nèi)波出現(xiàn)在聲傳播路徑上時(shí),其擾動(dòng)區(qū)域內(nèi)相鄰距離段之間的模態(tài)函數(shù)不再滿(mǎn)足(8)式給出的正交性條件,(6)式表明此時(shí)耦合矩陣R的非對(duì)角線元素非零.從(22)式余弦函數(shù)前的模值項(xiàng)可以看出,第n,s階入射模態(tài)的部分能量轉(zhuǎn)移進(jìn)第l階接收模態(tài)中,發(fā)生模態(tài)耦合.內(nèi)波的動(dòng)態(tài)傳播引起入射模態(tài)之間相對(duì)相位φns(krn?krs)()的快速變化,從而使(22)式中的余弦項(xiàng)振蕩,發(fā)生模態(tài)干涉.模態(tài)干涉分量構(gòu)成了模態(tài)強(qiáng)度中的交流成分,也是導(dǎo)致內(nèi)波運(yùn)動(dòng)過(guò)程中聲波模態(tài)強(qiáng)度起伏的原因.

單個(gè)交流分量即模態(tài)干涉分量 AClns(T) 的振蕩頻率fns|(krn?krs)v/(2π)|取決于模態(tài)干涉長(zhǎng)度L2π/(krn?krs) 和內(nèi)波傳播速度v.通過(guò)觀察(22)式中調(diào)制余弦振蕩的指數(shù)函數(shù)可以發(fā)現(xiàn),接收模態(tài)衰減系數(shù)αl與入射模態(tài)衰減系數(shù)αn,αs之和的相對(duì)大小決定了對(duì)應(yīng)的模態(tài)干涉分量AClns(T)振幅的變化特征.當(dāng)?shù)趌階接收模態(tài)衰減系數(shù)的2倍大于第n,s階入射模態(tài)衰減系數(shù)之和時(shí)(2αl>αn+αs),交流分量 AClns(T) 的振幅隨時(shí)間減小,反之則隨時(shí)間增大.

模態(tài)強(qiáng)度中的直流成分 DCl(T) 在交流成分隨時(shí)間的快速振蕩上疊加了時(shí)變的偏置,影響了模態(tài)強(qiáng)度的整體趨勢(shì).與交流分量類(lèi)似,直流分量DCln(T)的變化趨勢(shì)也取決于接收模態(tài)衰減系數(shù)αl與入射模態(tài)衰減系數(shù)αn的相對(duì)大小.從(21)式中指數(shù)函數(shù)的自變量可以看出,當(dāng)?shù)趌階接收模態(tài)衰減系數(shù)大于第n階入射模態(tài)衰減系數(shù)時(shí)(αl>αn),直流分量 DCln(T) 隨時(shí)間減小,反之則隨時(shí)間增大.

從以上討論可以看出,不同入射模態(tài)干涉形成的交流分量振蕩幅度的時(shí)變特征和振蕩頻率都有差異,并且所有直流分量的變化趨勢(shì)將共同決定模態(tài)強(qiáng)度的整體走向,以上復(fù)雜性質(zhì)決定了單從時(shí)域或頻域均無(wú)法全面揭示模態(tài)強(qiáng)度的起伏規(guī)律.本文將對(duì)仿真得到的模態(tài)強(qiáng)度時(shí)間序列進(jìn)行時(shí)頻分析,上文討論到的模態(tài)強(qiáng)度起伏特性均會(huì)體現(xiàn)在時(shí)頻平面內(nèi).

3 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

3.1 仿真環(huán)境參數(shù)

圖2(a)給出了無(wú)內(nèi)波時(shí)的背景聲速剖面(與距離r、時(shí)間T無(wú)關(guān)),其表達(dá)式為

圖2 波導(dǎo)環(huán)境聲速剖面 (a) 背景聲速剖面;(b) 內(nèi)波擾動(dòng)后的聲速剖面,白色虛線標(biāo)注了內(nèi)波波形Fig.2.Sound speed profile in the waveguide:(a) Background sound speed profile;(b) sound speed profile perturbed by internal waves,with the waveform of internal waves indicated by white dashed lines.

式 中,z00m為海面,z115m至z230m 為躍變層深度范圍,H80m 為波導(dǎo)深度.上下兩層的聲速分別為c11522m/s,c21481m/s,Δ(c1?c2)/(z1?z2)為中間躍變層聲速梯度.海底為底質(zhì)特性均勻的半空間,海底聲速為 1600 m/s,密度為1.5 g/cm3,衰減系數(shù)為0.5 dB/λ.仿真中假設(shè)一組由 3 個(gè)雙曲正割形孤子組成的內(nèi)孤立波包對(duì)區(qū)域r1

式中,孤子振幅An15,12,10 m,n1,2,3 ;特征寬度Λn100,130,160 m,n1,2,3 .相鄰孤子間距分別為d2?d1600 m,d3?d2500 m .受內(nèi)波擾動(dòng)后聲速剖面的表達(dá)式為

本文以波包中首個(gè)孤子波峰的位置表示內(nèi)波位置rp,圖2(b)給出了位于rp26 km 的內(nèi)波擾動(dòng)后的聲速剖面,白色虛線標(biāo)注了內(nèi)孤立波包波形.聲場(chǎng)計(jì)算頻率為 200Hz,聲源位于躍層以下的zs37m 深度處以充分激發(fā)衰減較小的低階模態(tài).分別使用IFDPE[28]和KRAKEN[29]軟件計(jì)算聲場(chǎng)和模態(tài)函數(shù).

下面首先探討內(nèi)孤立波引起的聲波模態(tài)耦合效應(yīng),揭示模態(tài)強(qiáng)度變化特征對(duì)內(nèi)波位置的高度敏感性.接下來(lái)再對(duì)內(nèi)波運(yùn)動(dòng)時(shí)聲波模態(tài)強(qiáng)度時(shí)間序列進(jìn)行時(shí)頻分析,同時(shí)在時(shí)域和頻域分析模態(tài)強(qiáng)度的起伏現(xiàn)象.最后使用深度積分聲強(qiáng)度量總接收聲場(chǎng)強(qiáng)度,分析模態(tài)強(qiáng)度起伏對(duì)接收陣位置處聲能量變化的影響.

3.2 模態(tài)耦合效應(yīng)及其對(duì)內(nèi)波位置的敏感性分析

從(4)式可以看出,(5)式定義的模態(tài)系數(shù)耦合矩陣表征了各階聲波模態(tài)在區(qū)域r1

式中,M8 為背景波導(dǎo)環(huán)境中傳播模態(tài)的個(gè)數(shù),其余計(jì)算參數(shù)分別為r00.2,r10.5,rJ2.7,re2.72km,重復(fù)以上步驟 1)— 3)直到耦合矩陣按列填充完畢.

圖3(a)和圖3(b)分別給出了區(qū)域r1

圖3 模態(tài)系數(shù)耦合矩陣的模值 |R| (a) 無(wú)內(nèi)波;(b) 有內(nèi)波Fig.3.Modulus of the coupling matrix |R| :(a) Internal waves are not present in the waveguide;(b) internal waves are present in the waveguide.

2.2 節(jié)中討論到入射模態(tài)之間的相對(duì)相位φns(krn?krs)()在內(nèi)波運(yùn)動(dòng)過(guò)程中快速變化,從而使交流成分中的余弦項(xiàng)振蕩,這種模態(tài)干涉效應(yīng)導(dǎo)致內(nèi)波后方的模態(tài)強(qiáng)度出現(xiàn)起伏.所以模態(tài)耦合的最終結(jié)果不僅取決于耦合矩陣,還與內(nèi)波位置密切相關(guān).在整個(gè)聲傳播過(guò)程中,耦合矩陣可以看作是內(nèi)孤立波在當(dāng)前波導(dǎo)環(huán)境中所固有的聲學(xué)效應(yīng),該矩陣表征了各階模態(tài)之間的能量轉(zhuǎn)移關(guān)系.耦合矩陣中非對(duì)角元素的出現(xiàn)表明聲能量可以從入射模態(tài)轉(zhuǎn)移進(jìn)接收模態(tài),模態(tài)干涉則進(jìn)一步影響接收模態(tài)所分配到的能量大小.從(22)式可以看出,當(dāng)?shù)趎,s階入射模態(tài)發(fā)生相長(zhǎng)干涉時(shí),第l階接收模態(tài)強(qiáng)度出現(xiàn)極大值;反之當(dāng)入射模態(tài)發(fā)生相消干涉時(shí),接收模態(tài)強(qiáng)度出現(xiàn)極小值,所以模態(tài)干涉也將影響模態(tài)耦合過(guò)程的最終結(jié)果,即內(nèi)波后方聲能量在各階模態(tài)中的分布情況.

圖4、圖5、圖6分別給出了無(wú)內(nèi)波、內(nèi)波位于rp3km和內(nèi)波位于rp2.8 km 時(shí)的內(nèi)波波形(分別見(jiàn)圖4—圖6的子圖 (a))以及前 5 階模態(tài)強(qiáng)度隨距離的變化 (分別見(jiàn)圖4—圖6的子圖 (b),幾何擴(kuò)展效應(yīng)已從結(jié)果中移除).由于圖4是無(wú)內(nèi)波的情況,圖4(a)中內(nèi)波幅度恒為η0 m.圖5(b)和圖6(b)中陰影覆蓋的區(qū)域是內(nèi)波出現(xiàn)的范圍.圖4(b)表明無(wú)內(nèi)波時(shí)各階模態(tài)絕熱傳播,大部分聲能量集中在第1,2階模態(tài)中,這是因?yàn)槲挥谲S層下方的聲源充分激發(fā)了低階模態(tài),且高階模態(tài)傳播時(shí)受到較大衰減.對(duì)比圖4(b)、圖5(b)和圖6(b)可以看出,在內(nèi)波擾動(dòng)的區(qū)域內(nèi)發(fā)生了模態(tài)耦合,模態(tài)強(qiáng)度在內(nèi)波波形斜率較大(聲速剖面的距離依賴(lài)性較強(qiáng))的區(qū)域變化劇烈,在內(nèi)波波峰和波谷(聲速剖面的距離依賴(lài)性較弱)附近變化平緩,經(jīng)過(guò)內(nèi)波后聲能量在各階模態(tài)之間重新分配.對(duì)比圖5(b)和圖6(b)還可以發(fā)現(xiàn),內(nèi)波分別位于rp3km和rp2.8 km時(shí)的模態(tài)強(qiáng)度變化情況有很大差異.如內(nèi)波位于rp3 km時(shí),與圖4(b)所示的絕熱傳播情況相比,第 3—5 階模態(tài)經(jīng)過(guò)內(nèi)波后能量明顯上升,并且第1,3階和第4階模態(tài)強(qiáng)度相近;內(nèi)波位于rp2.8 km時(shí),第4階模態(tài)經(jīng)過(guò)內(nèi)波后其能量與無(wú)內(nèi)波情況基本持平,但此時(shí)遠(yuǎn)低于第1,3階模態(tài)強(qiáng)度.

圖4 無(wú)內(nèi)波時(shí)模態(tài)強(qiáng)度隨距離的變化 (a) 內(nèi)波波形;(b) 模態(tài)強(qiáng)度變化Fig.4.Modal intensity variation with range when internal waves are not present in the waveguide:(a) Waveform of internal waves;(b) modal intensity variation.

圖5 內(nèi)波位于 rp=3km 時(shí)模態(tài)強(qiáng)度隨距離的變化 (a) 內(nèi)波波形;(b) 模態(tài)強(qiáng)度變化Fig.5.Modal intensity variation with range when internal waves are at rp=3km :(a) Waveform of internal waves;(b) modal intensity variation.

圖6 內(nèi)波 位于 rp=2.8km 時(shí)模態(tài)強(qiáng) 度隨距離的 變化(a) 內(nèi)波波形;(b) 模態(tài)強(qiáng)度變化Fig.6.Modal intensity variation with range when internal waves are at rp=2.8km :(a) Waveform of internal waves;(b) modal intensity variation.

從以上對(duì)模態(tài)耦合效應(yīng)的分析可知,模態(tài)強(qiáng)度的距離變化特征對(duì)內(nèi)波位置的改變高度敏感,因此有必要深入研究?jī)?nèi)波運(yùn)動(dòng)時(shí)模態(tài)強(qiáng)度的起伏規(guī)律.

3.3 內(nèi)波傳播過(guò)程中模態(tài)強(qiáng)度起伏特性的時(shí)頻分析

3.3.1 交流成分起伏分析

以下仿真中假設(shè)內(nèi)孤立波包從起點(diǎn)rp26 km以v1m/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)rp1 km,對(duì)波導(dǎo)環(huán)境觀測(cè)的快拍間隔為5 s,共產(chǎn)生5001個(gè)環(huán)境快拍.然后使用每組快拍下的聲速分布進(jìn)行聲場(chǎng)計(jì)算,接下來(lái)對(duì)位于re30 km處垂直陣上的聲壓進(jìn)行模態(tài)濾波得到模態(tài)強(qiáng)度時(shí)間序列,最后對(duì)該時(shí)間序列進(jìn)行短時(shí)傅里葉變換得到其時(shí)頻圖.圖7和圖8分別給出了第1,3階接收模態(tài)強(qiáng)度的時(shí)頻分析結(jié)果,子圖(a),(b)和(c)分別是歸一化的模態(tài)強(qiáng)度時(shí)間序列、模態(tài)強(qiáng)度時(shí)頻圖和模態(tài)強(qiáng)度頻譜,由第n,s階入射模態(tài)干涉形成的頻率分量對(duì)應(yīng)的譜峰在圖中標(biāo)注為“Moden&s”.

從圖7(a)和圖8(a)可以看出,內(nèi)波在聲傳播路徑上運(yùn)動(dòng)時(shí),接收陣處的聲波模態(tài)能量劇烈起伏,模態(tài)強(qiáng)度振蕩曲線中包含多組頻率分量.(22) 式表明交流分量AClns(t) 的振蕩頻率為

結(jié)合(27)式和圖7(c)、圖8(c)中各譜峰的位置不難發(fā)現(xiàn),由階數(shù)間隔較大的第n,s階入射模態(tài)干涉形成的交流分量AClns(t) 具有較高頻率.從(22)式還可以看出,影響頻譜中各譜峰幅度的因素十分復(fù)雜,包括受聲源深度影響的模態(tài)激勵(lì)(體現(xiàn)在|bn|,|bs|中)、由有損海底導(dǎo)致的模態(tài)衰減(體現(xiàn)在exp(?αn),exp(?αs) 中)、由內(nèi)孤立波引起的模態(tài)耦合(體現(xiàn)在|Rln|,|Rls|中)和指數(shù)函數(shù)對(duì)各頻率成分在時(shí)間上的調(diào)制.對(duì)比圖7(a)和圖8(a)可以發(fā)現(xiàn),不同階模態(tài)強(qiáng)度的起伏程度存在顯著差異,這具體表現(xiàn)為第1階模態(tài)強(qiáng)度起伏程度隨時(shí)間增大而第3階模態(tài)強(qiáng)度的振蕩幅度隨時(shí)間減小.3.2節(jié)中討論到模態(tài)衰減系數(shù)隨著模態(tài)階數(shù)升高而單調(diào)增大,則對(duì)于第l1 階接收模態(tài),條件2αl|l=1<αn+αs對(duì)所有入射模態(tài)(第n,s階模態(tài))均成立,由(22)式可知此時(shí)第1階接收模態(tài)強(qiáng)度中的所有交流分量的振幅均隨時(shí)間增大.從圖7(b)的時(shí)頻平面中也可以看出,各頻率分量的能量隨時(shí)間增強(qiáng),這最終導(dǎo)致第1階模態(tài)強(qiáng)度的起伏程度逐漸增大.對(duì)于第l3 階接收模態(tài),條件2αl|l=3>αn+αs對(duì)圖8(c)中標(biāo)注的入射模態(tài)(即第n1,s2階、第n2,s3階、第n1,s3階、第n2,s4階和第n1,s4階入射模態(tài))均成立.從圖8(b)的時(shí)頻圖中可以看出,以上入射模態(tài)干涉形成的頻率分量的能量隨時(shí)間減小,在時(shí)域中則體現(xiàn)為這些交流分量的振幅逐漸減小.注意到圖8(c)中標(biāo)注的這些頻率分量的能量遠(yuǎn)大于其他頻率成分,從而將主導(dǎo)模態(tài)強(qiáng)度的變化特征,導(dǎo)致第3階模態(tài)強(qiáng)度的起伏程度變?nèi)?

圖7 第 1 階接收模態(tài)強(qiáng)度時(shí)頻分析結(jié)果 (a) 時(shí)間序列;(b) 時(shí)頻圖;(c) 頻譜Fig.7.Time-frequency analysis results of the first received mode:(a) Time series;(b) time-frequency plot;(c) frequency spectrum.

圖8 第 3 階接收模態(tài)強(qiáng)度時(shí)頻分析結(jié)果 (a) 時(shí)間序列;(b) 時(shí)頻圖;(c) 頻譜Fig.8.Time-frequency analysis results of the third received mode:(a) Time series;(b) time-frequency plot;(c) frequency spectrum.

3.3.2 直流成分變化分析

對(duì)比圖7(a)和圖8(a)可以看出,第1階和第3階模態(tài)強(qiáng)度的整體走勢(shì)也存在顯著差異,第1階模態(tài)強(qiáng)度曲線隨時(shí)間略微向上偏移,而第3階模態(tài)強(qiáng)度曲線明顯向零值偏移.圖9中的藍(lán)色、紅色曲線分別給出了從第1,3階模態(tài)強(qiáng)度時(shí)頻圖的 0 Hz處提取出的值,圖9反映出的直流成分時(shí)變特征與上述現(xiàn)象相符.如前文所述,模態(tài)強(qiáng)度中振蕩的交流成分會(huì)被疊加上時(shí)變的直流偏置,(21)式表明模態(tài)剝離(不同階模態(tài)之間衰減系數(shù)的差異)是這種偏置具有時(shí)變特征的原因.對(duì)于第l1 階接收模態(tài),條αl|l=1<αn對(duì)除第1階以外的所有入射模態(tài)(第n2—8 階模態(tài))均成立,由(21)式可知這些入射模態(tài)對(duì)應(yīng)的直流分量 DCln(T)|l=1,n=2—8均隨時(shí)間增大.第1階入射模態(tài)對(duì)應(yīng)的直流分量DCln(T)|l=1,n=1為常數(shù),從而對(duì)直流成分的時(shí)變特征沒(méi)有貢獻(xiàn).以上原因?qū)е轮绷鞒煞?DCl(T)|l=1呈上升趨勢(shì),第1階接收模態(tài)強(qiáng)度向上偏移.

圖9 第1階 (藍(lán)色曲線) 和第3階 (紅色曲線) 接收模態(tài)強(qiáng)度時(shí)頻圖中0 Hz成分隨時(shí)間的變化Fig.9.Variation of the 0 Hz-component in the time-frequency plane of the first (blue line) and the third (red line)modal intensity.

第l3 階接收模態(tài)的情況則比較復(fù)雜,因?yàn)闂l件αl|l=3>αn僅對(duì)第n1,2 階入射模態(tài)成立,對(duì)第n4—8階入射模態(tài)則有αl|l=3<αn,這意味著直流分量 DCln(T)|l=3,n=1,2隨時(shí)間減小,而直流分量 DCln(T)|l=3,n=4—8隨時(shí)間增大,但圖8(a)和圖9表明第3階模態(tài)強(qiáng)度中的直流成分DCl(T)|l=3整體仍表現(xiàn)出下降趨勢(shì).由于直流成分中的各直流分量無(wú)法像交流分量一樣被分解到時(shí)頻平面上,下面將通過(guò)考察第3階模態(tài)強(qiáng)度中直流分量的時(shí)不變幅度來(lái)衡量各分量在直流成分中的貢獻(xiàn).因?yàn)?21)式表明第3階入射模態(tài)(n3)對(duì)應(yīng)的直流分量 DCln(T)|l=3,n=3為常數(shù),其對(duì)直流成分的時(shí)變特征沒(méi)有貢獻(xiàn),故下文將不再討論該分量的影響.從(21)式得到單個(gè)直流分量 DCln(T)|l=3的時(shí)不變幅度為

從(28)式可以看出,直流分量的時(shí)不變幅度與模態(tài)激勵(lì)(體現(xiàn)在|bn|中)、模態(tài)耦合(體現(xiàn)在|Rln|l=3中)和模態(tài)衰減(體現(xiàn)在exp(?2αn)中)這3種效應(yīng)有關(guān).耦合矩陣模值已在圖3(b)中給出,圖10(a)和 圖10(b) 分別給出了各階模態(tài)歸一化的激勵(lì)程度和衰減系數(shù).從圖10(a)可以看出,聲源處各階傳播模態(tài)均受到充分激發(fā),并且第1,2階模態(tài)的激勵(lì)程度大于其余模態(tài).圖3(b)表明矩陣元素|Rln|l=3,n=1,|Rln|l=3,n=2,|Rln|l=3,n=4的值大于同行中其他元素,則經(jīng)過(guò)內(nèi)波后第1,2階和第4階模態(tài)的能量更容易轉(zhuǎn)移進(jìn)第3階模態(tài).從圖10(b)可以看出,模態(tài)衰減系數(shù)隨模態(tài)階數(shù)升高而單調(diào)增加,高階模態(tài)(第 4—8 階模態(tài))在傳播過(guò)程中比低階模態(tài)(第1,2階模態(tài))受到更大衰減.以上現(xiàn)象說(shuō)明,雖然聲波在穿越過(guò)內(nèi)波后會(huì)有部分能量從第1,2階和第4階模態(tài)耦合進(jìn)第3階模態(tài),但受模態(tài)衰減影響,(28)式表明第n4—8 階入射模態(tài)對(duì)應(yīng)的直流分量 DCln(T)|l=3,n=4—8在直流成分中的貢獻(xiàn)將小于第n1,2 階入射模態(tài)對(duì)應(yīng)的直流分量 DCln(T)|l=3,n=1,2.

圖10 各階傳播模態(tài)歸一化的激勵(lì)程度和衰減系數(shù):(a) 模態(tài)激勵(lì);(b) 模態(tài)衰減Fig.10.Normalized excitation and attenuation of each propagating mode:(a) Modal excitation;(b) modal attenuation.

圖11(a)給出了第l3 階接收模態(tài)強(qiáng)度中直流分量的歸一化時(shí)不變幅度Bln|l=3.可以明顯看出,第n1,2 階入射模態(tài)對(duì)應(yīng)的直流分量時(shí)不變幅度遠(yuǎn)大于其余分量的幅度,這與上文得到的結(jié)論一致.直流分量 DCln(T)|l=3,n=1,2將主導(dǎo)直流成分DCl(T)|l=3的變化趨勢(shì),即該直流成分的幅度將隨時(shí)間減小.圖11(b)給出了利用(21)式重構(gòu)出的第3階模態(tài)強(qiáng)度的直流成分 DCl(T)|l=3,可以看出基于理論公式得到的直流成分確實(shí)呈下降趨勢(shì),符合上文的推測(cè).

圖11(a) 第 l=3 階接收模態(tài)強(qiáng)度中各直流分量的歸一化時(shí)不變幅度 Bln|l=3;(b) 第 l=3 階接收模態(tài)強(qiáng)度中歸一化的直流成分Fig.11.(a) Normalized time-invariant amplitude of each DC component in the third modal intensity;(b) normalized DC part in the third modal intensity.

3.4 聲波模態(tài)強(qiáng)度起伏對(duì)總接收聲強(qiáng)的影響

上文同時(shí)在時(shí)域和頻域分析了內(nèi)波傳播過(guò)程中聲波模態(tài)強(qiáng)度的起伏特性,而與模態(tài)強(qiáng)度相比,聲場(chǎng)強(qiáng)度在實(shí)際中受到更廣泛的關(guān)注,下面將研究動(dòng)態(tài)內(nèi)波場(chǎng)中聲波模態(tài)強(qiáng)度起伏對(duì)接收陣位置處聲強(qiáng)的影響.

式中,p(re,z;T) 為T(mén)時(shí)刻下垂直陣接收到的聲壓.利用聲場(chǎng)的簡(jiǎn)正波表達(dá)式

(28) 式可展開(kāi)為

海底中的聲衰減使得聲波模態(tài)函數(shù)φ(z) 為復(fù)函數(shù).本文僅考慮在遠(yuǎn)場(chǎng)有主要貢獻(xiàn)的傳播模態(tài),這些簡(jiǎn)正波衰減系數(shù)較小,其模態(tài)函數(shù)的虛部相比于實(shí)部可被忽略[26],故在(31)式中使用了近似條件φ(z)φ?(z).根據(jù)(8)式給出的正交性條件,(31)式最終化簡(jiǎn)為

(32)式表明接收陣處的深度積分聲強(qiáng)可表示為到達(dá)該基陣的各階聲波模態(tài)強(qiáng)度之和.

為考察各階模態(tài)強(qiáng)度對(duì)深度積分聲強(qiáng)的貢獻(xiàn),圖12(a)和圖12(b)分別給出了接收陣位置處所有傳播模態(tài)的強(qiáng)度和深度積分聲強(qiáng)隨時(shí)間的變化情況(幾何擴(kuò)展已從結(jié)果中移除),表1總結(jié)了圖12中模態(tài)強(qiáng)度和深度積分聲強(qiáng)起伏的均值和標(biāo)準(zhǔn)差.表1中的均值反映了各聲學(xué)量的平均水平,結(jié)合圖12(a)可以看出,第1,2階模態(tài)強(qiáng)度遠(yuǎn)高于其余(第 3—8 階)模態(tài),從而在接收陣位置處的總聲強(qiáng)中占比最大.表1中的標(biāo)準(zhǔn)差反映了各項(xiàng)聲學(xué)量的起伏程度,第1,2階模態(tài)強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)差分別高達(dá)0.0144,0.0079,且明顯高于其余模態(tài)強(qiáng)度.圖12(a)也表明第1階模態(tài)強(qiáng)度起伏最為劇烈,而第2階模態(tài)強(qiáng)度次之.由于第1階模態(tài)的能量在總接收聲強(qiáng)中占比最大且起伏最為顯著,因此其將主導(dǎo)深度積分聲強(qiáng)的變化特征.對(duì)比圖12(a)和圖12(b)可以看出,深度積分聲強(qiáng)變化與第1階模態(tài)強(qiáng)度起伏呈現(xiàn)高度正相關(guān),并且經(jīng)計(jì)算,兩者的相關(guān)系數(shù)高達(dá)0.87.從以上討論可以看出,深度積分聲強(qiáng)的變化由各階模態(tài)強(qiáng)度控制,能量最大且起伏最為劇烈的模態(tài)將主導(dǎo)總接收聲強(qiáng)的變化.

圖12(a) 各階傳播模態(tài)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化;(b) 深度積分聲強(qiáng)隨時(shí)間的變化Fig.12.(a) Temporal variations of modal intensities of propagating modes;(b) temporal variation of the depth-integrated intensity.

表1 深度積分聲強(qiáng)和各階模態(tài)強(qiáng)度起伏的均值和標(biāo)準(zhǔn)差Table 1.Mean values and the standard deviations of the depth-integrated intensity and the modal intensities.

4 結(jié)論

本文基于耦合簡(jiǎn)正波理論,推導(dǎo)了內(nèi)孤立波運(yùn)動(dòng)時(shí)聲波模態(tài)強(qiáng)度的表達(dá)式,并結(jié)合短時(shí)傅里葉變換同時(shí)在時(shí)域和頻域研究了聲波模態(tài)強(qiáng)度的時(shí)變特性.研究表明:1)內(nèi)孤立波可引起顯著的模態(tài)耦合效應(yīng),聲波在穿越內(nèi)波時(shí)各階模態(tài)之間發(fā)生能量交換.內(nèi)孤立波的動(dòng)態(tài)傳播導(dǎo)致模態(tài)干涉,從而使內(nèi)波后方模態(tài)強(qiáng)度隨時(shí)間起伏;2)模態(tài)強(qiáng)度由交流成分和直流成分線性疊加組成,交流成分由模態(tài)干涉引起,表現(xiàn)為模態(tài)強(qiáng)度中隨時(shí)間快速振蕩的部分.直流成分對(duì)這種振蕩疊加了時(shí)變的偏置,這種時(shí)變特征由模態(tài)剝離(不同階模態(tài)之間衰減系數(shù)的差異)引起;3)模態(tài)強(qiáng)度中各交流分量的頻率取決于模態(tài)干涉長(zhǎng)度和內(nèi)波傳播速度,各頻率分量的振幅隨時(shí)間的變化趨勢(shì)取決于對(duì)應(yīng)入射模態(tài)(到達(dá)內(nèi)波前沿的聲波模態(tài))和接收模態(tài)(到達(dá)接收陣的聲波模態(tài))之間衰減系數(shù)的差異.具體來(lái)說(shuō),當(dāng)接收模態(tài)衰減系數(shù)的2倍大于入射模態(tài)衰減系數(shù)之和時(shí),由入射模態(tài)干涉形成的頻率分量的振幅隨時(shí)間減小,反之則隨時(shí)間增大;4)與模態(tài)干涉形成的頻率分量類(lèi)似,當(dāng)接收模態(tài)衰減系數(shù)大于入射模態(tài)衰減系數(shù)時(shí),對(duì)應(yīng)的直流分量幅度隨時(shí)間減小,反之則隨時(shí)間增大;5)聲波模態(tài)強(qiáng)度起伏對(duì)總接收聲場(chǎng)強(qiáng)度的變化有明顯影響.深度積分聲強(qiáng)(總接收聲強(qiáng)的度量)可表示為接收陣位置處各階模態(tài)強(qiáng)度的線性疊加,能量較大且起伏劇烈的模態(tài)強(qiáng)度將主導(dǎo)深度積分聲強(qiáng)的時(shí)變特征.