摘?要：本文主要討論導(dǎo)體接地與否對(duì)靜電感應(yīng)結(jié)果的影響，給出了一種巧妙的處理方法，即先把導(dǎo)體接地之前的原有電荷（不論是否外顯電性）全部傳輸給大地，然后根據(jù)其他帶電體對(duì)它的影響，向大地中再取回所需的電荷量，筆者將這種方法總結(jié)為“先給再取”，這種方法形象生動(dòng)，對(duì)初學(xué)者而言很有幫助。由于某些球形問(wèn)題中計(jì)算電荷量需要計(jì)算導(dǎo)體的電勢(shì)，故又給出了一種計(jì)算球形帶電體在空間中任一位置電勢(shì)的巧妙方法，經(jīng)過(guò)口算就能夠得出結(jié)果。本文給出了幾個(gè)經(jīng)典的例子，有助于加深對(duì)新方法的理解和運(yùn)用。

關(guān)鍵詞：靜電感應(yīng);靜電平衡;接地;電勢(shì);高斯定理

1?概述

早在18世紀(jì)，富蘭克林就提出了正、負(fù)電荷的概念，沿用至今，即絲綢摩擦的玻璃棒所帶的電荷叫作正電荷，由毛皮摩擦的橡膠棒所帶的電荷叫負(fù)電荷。目前，義務(wù)教育階段的教學(xué)設(shè)計(jì)，要求教師在課堂中使用絲綢、玻璃棒、毛皮、橡膠棒進(jìn)行演示實(shí)驗(yàn)[1]，給中學(xué)生打好“電磁學(xué)”的基礎(chǔ)。

“靜電感應(yīng)”是“電磁學(xué)”這門(mén)課程中的一個(gè)基本問(wèn)題，對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)，導(dǎo)體接地對(duì)感應(yīng)電荷分布的影響，還是有相當(dāng)?shù)碾y度。本文按照大學(xué)物理電磁學(xué)部分對(duì)“靜電感應(yīng)”這一節(jié)的要求，總結(jié)出一種巧妙的方法來(lái)解決接地導(dǎo)體感應(yīng)電荷量的計(jì)算問(wèn)題，具有啟發(fā)性，有助于本科學(xué)生對(duì)這一部分和后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)。

2?靜電感應(yīng)和靜電平衡

“異種電荷相互吸引，同種電荷相互排斥”是電荷間相互作用的基本原則，靜電感應(yīng)就是基于這個(gè)原則。如圖1，當(dāng)導(dǎo)體A外部有另一帶電導(dǎo)體B靠近時(shí)，A導(dǎo)體處在了B的電場(chǎng)中，從而導(dǎo)體表面電荷會(huì)重新分布，左側(cè)積累感應(yīng)電荷量q，右側(cè)積累感應(yīng)電荷量q，感應(yīng)電荷形成的感應(yīng)電場(chǎng)與B的電場(chǎng)相互抵消，達(dá)到靜電平衡狀態(tài)。靜電平衡下，實(shí)心導(dǎo)體內(nèi)部電場(chǎng)強(qiáng)度處處為0，電荷全部集中在導(dǎo)體表面[2]。這兩點(diǎn)很容易給出證明：

（1）導(dǎo)體在外電場(chǎng)的作用下達(dá)到靜電平衡狀態(tài)，這意味著導(dǎo)體上的電荷不再定向移動(dòng)，假設(shè)內(nèi)部電場(chǎng)強(qiáng)度不為0，那么電荷仍然要受到庫(kù)侖力的作用，從而定向移動(dòng)，這是矛盾的。

（2）在無(wú)限接近導(dǎo)體外表面的導(dǎo)體內(nèi)部取一貼合導(dǎo)體輪廓的高斯面，由高斯定理[2]：

可知導(dǎo)體內(nèi)部電荷的總和∑qi等于0，因此電荷全部分布在導(dǎo)體外表面，得證。

3?求解電勢(shì)的方法

3.1?定義式

電勢(shì)的求法有很多，在電場(chǎng)強(qiáng)度分布已知的情況下，可以直接按照定義積分求得[2]：

一般規(guī)定無(wú)窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)，則有：

值得注意的是，如果空間電場(chǎng)強(qiáng)度在不同區(qū)域有不同的表達(dá)形式，則應(yīng)當(dāng)綜合利用式（3.1）和式（3.2）去計(jì)算P點(diǎn)的電勢(shì)。

3.2?口算法

值得一提的是，對(duì)于“球”這一特殊的形狀，電勢(shì)的求法有一個(gè)很實(shí)用的方法，對(duì)于導(dǎo)體球（含有電介質(zhì)的情況不適用，應(yīng)當(dāng)按照定義來(lái)計(jì)算）在空間任一點(diǎn)的電勢(shì)是可以口算求得的，詳述如下：對(duì)于某一點(diǎn)P，它的電勢(shì)由這些部分組成：①如果在某個(gè)界面的外部，就可以將這個(gè)界面視為集中在其球心處的一個(gè)點(diǎn)電荷，這個(gè)點(diǎn)電荷的在P處的電勢(shì)決定于P到球心的距離r[3];②P點(diǎn)在某個(gè)界面上時(shí)，可以歸為上述①的情況，只不過(guò)r等于界面的半徑Rα，α是指這一表面;③如果P點(diǎn)在某個(gè)界面的內(nèi)部，可以認(rèn)為P點(diǎn)與界面等電勢(shì)，就可以把P點(diǎn)轉(zhuǎn)化在界面上（但并不在界面上，只是為了計(jì)算方便），化為第②種情況。

4?幾個(gè)典型例子

通過(guò)幾個(gè)典型的例子，將“先給再取”的方法運(yùn)用在“實(shí)戰(zhàn)”中。

4.1?一般實(shí)心導(dǎo)體

不接地的情況，與圖1一致。

4.1.1?右側(cè)接地

按照“先給后取”的思想，最終A導(dǎo)體上左側(cè)應(yīng)帶上電荷量q，這是初學(xué)者普遍接受的結(jié)果。

4.1.2?左側(cè)接地

同樣地，先把電荷全部傳給大地，然后根據(jù)靜電感應(yīng)的需要再取q，剩下的問(wèn)題就在于這些電荷應(yīng)分布在表面的何處，很顯然，依然是在導(dǎo)體左側(cè)，這是“異種電荷相互吸引”的本質(zhì)使然。

由此可見(jiàn)，在同一表面上的不同位置接地，對(duì)電荷分布的影響效果相同。

4.2?同心導(dǎo)體球和導(dǎo)體球殼

現(xiàn)有一個(gè)半徑為R1的導(dǎo)體球，帶有電荷q，球外面放置一個(gè)內(nèi)半徑為R2、外半徑為R2的同球心導(dǎo)體球殼，球殼上帶有電荷Q，如圖2所示。

4.2.1?不接地

靜電感應(yīng)的結(jié)果，使得球殼內(nèi)側(cè)會(huì)帶上電荷q，根據(jù)球殼電荷守恒，球殼外側(cè)會(huì)帶上電荷Q+q，兩個(gè)導(dǎo)體最終都處于靜電平衡。

繼續(xù)討論空間各處的電場(chǎng)強(qiáng)度E。根據(jù)高斯定理，式（2.1），可以很容易的得到空間各部分的電場(chǎng)強(qiáng)度：

其中r表示P點(diǎn)到球心的距離。

為了下面討論接地對(duì)電荷分布的影響，需要計(jì)算導(dǎo)體的電勢(shì)。

（1）利用“定義法”。

（2）利用“口算法”。

a.r=R1，P點(diǎn)在界面1上，又在界面2、3內(nèi)，故有：

b.r=R3，P點(diǎn)在界面3上，又在界面1、2外，故有：

上述兩種方法，得到的結(jié)果是完全一致的，讀者可以選擇適合自己的方法在以后的計(jì)算中使用。

4.2.2?接地

（1）導(dǎo)體球殼接地。如圖3（a），按照“先給”的思想，使得導(dǎo)體球殼所有的電荷全部傳輸?shù)酱蟮?，然后考慮其內(nèi)部有一個(gè)帶q電的導(dǎo)體球，由于靜電感應(yīng)，球殼內(nèi)側(cè)需要帶上電荷q，故向大地“再取”電荷q。因?yàn)閷?dǎo)體球只有一個(gè)面（外表面），全部的電荷量q集中在表面，因而可以確定球殼內(nèi)側(cè)面上的電荷量為q，外側(cè)面不帶電荷。這種現(xiàn)象叫作靜電屏蔽，導(dǎo)體外殼能夠避免內(nèi)部帶電體影響外界，同時(shí)保護(hù)內(nèi)部不受外部電場(chǎng)的影響[2]。

（2）導(dǎo)體球接地。如圖3（b），把導(dǎo)體球上的所有電荷“先給”大地，再取電荷e，然而導(dǎo)體球殼有兩個(gè)面，難以判斷內(nèi)、外面各帶多少電荷，故確定e的大小需要借助接地后U1=0來(lái)確定。

導(dǎo)體球帶電e，那么導(dǎo)體球殼內(nèi)側(cè)帶電e，外側(cè)帶電Q+e，利用“口算法”可得：

結(jié)果是，導(dǎo)體球表面帶電e，導(dǎo)體球殼內(nèi)表面帶電e、外表面帶電Q+e。

由此可見(jiàn)，靜電感應(yīng)情況下，導(dǎo)體接地后，其表面上的電荷并不一定與另一帶電導(dǎo)體所帶電荷等量異號(hào)，這是大部分初學(xué)者的思維誤區(qū)。

4.3?平板型導(dǎo)體

4.3.1?不接地

如圖4，有兩個(gè)平板型導(dǎo)體A、B，表面電荷面密度分別為σA、σB。二者靠近時(shí)，電荷會(huì)重新分布，導(dǎo)體A、B各自的兩個(gè)表面的電荷面密度會(huì)改變。在計(jì)算電荷分布時(shí)，要牢牢抓住靜電平衡的特點(diǎn)。

首先把這兩個(gè)導(dǎo)體看做是四個(gè)帶電面，在界面2和界面3之間做一個(gè)圓柱形高斯面，由高斯定理得：

4.3.2?導(dǎo)體A接地

把A中的電荷“先給”大地，考慮到B的電荷面密度為σB，故要向大地“再取”電荷面密度-σB，這里把板型導(dǎo)體和4.1小節(jié)的一般實(shí)心導(dǎo)體做了類(lèi)比。

同樣地，按照按照上面的過(guò)程，可以得到：

這使得兩個(gè)板型導(dǎo)體構(gòu)成了平行板電容器，其間的勻強(qiáng)電場(chǎng)強(qiáng)度為σBε0。

結(jié)語(yǔ)

靜電感應(yīng)會(huì)引起帶電導(dǎo)體電荷的重新分布，達(dá)到靜電平衡時(shí)，導(dǎo)體內(nèi)各處電場(chǎng)強(qiáng)度處處為0，這既是靜電平衡的條件又是結(jié)果。

除了上面討論到的情況外，仍需注意的是，如果把單獨(dú)存在的帶電導(dǎo)體A接地，則其上的電荷會(huì)全部傳輸?shù)酱蟮?，這也是“先給”思想的靈感所在。

上述的三個(gè)典型例題，準(zhǔn)確闡述了導(dǎo)體接地前后感應(yīng)電荷量的變化，“先給再取”的思想貫穿其中，即先把電荷量移去，再取所需。解題過(guò)程如魚(yú)得水，把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，同時(shí)也能夠引發(fā)讀者思考。

參考文獻(xiàn)：

[1]陸挺.淺析初中物理教材中《靜電現(xiàn)象》實(shí)驗(yàn)的改進(jìn)[J].物理教學(xué)探討，2011，29（09）：1718.

[2]趙凱華，陳熙謀.電磁學(xué)（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2019.

[3]馬文蔚.物理學(xué)（第六版）習(xí)題分析與解答[M].北京：高度等教育，2015.

作者簡(jiǎn)介：耿乙淇（2000—?），男，漢族，江蘇徐州人，本科在讀，研究方向：理論物理和中學(xué)學(xué)科物理。