李正農(nóng)， 趙 帝， 鐘 旻， 吳紅華， 陳 斌， 徐海杰

(1.湖南大學(xué) 建筑安全與節(jié)能教育部重點實驗室，長沙 410082；2.河北建筑工程學(xué)院 土木工程學(xué)院，河北 張家口 075000)

眾所周知，樹木不僅可以調(diào)節(jié)氣候、避免水土流失，還能夠改善自然生態(tài)環(huán)境，對城市空氣凈化和改善市容市貌等方面都能起到十分重要的作用。但樹木也是脆弱的，在強(qiáng)風(fēng)的作用下易發(fā)生折斷倒伏。1999年第14號臺風(fēng)，在登陸廈門時造成了市區(qū)行道樹的嚴(yán)重破壞，3萬株行道樹中有近75%受損，其中倒伏1.3萬株，折枝1萬株[1]，造成了巨大的經(jīng)濟(jì)損失。因此，有必要對樹木的動力特性進(jìn)行研究，作為其風(fēng)致動力響應(yīng)分析及風(fēng)災(zāi)防護(hù)研究的基礎(chǔ)。

在1962年，Sugden[2]就已經(jīng)通過有節(jié)奏的推拉，采用秒表法測量了紅松和白松的自振周期，并提出該參數(shù)與樹木的直徑和高度之比有較好的相關(guān)性。后來，Milne[3]在蘇格蘭的人工種植園里通過人工搖動6棵云杉確定了它們的自振頻率及阻尼，研究了其隨外形的變化規(guī)律，并使用一個簡單的公式來預(yù)測自振頻率。James[4]同樣通過拉拔試驗確定了一棵銀槭樹的頻率和阻尼，并逐漸去除樹枝進(jìn)行測量，最后發(fā)現(xiàn)只有當(dāng)大于80%的樹枝被去除后，才會觀察到其振動頻率和阻尼的顯著變化。在國內(nèi)，陶嗣巍[5]通過外力拉拔分別測得了毛白楊在自然狀態(tài)、根土摩擦和固端約束時的基頻，并進(jìn)行了相應(yīng)情況下的有限元模擬研究。除此之外，還有學(xué)者對自然風(fēng)作用下樹木的響應(yīng)進(jìn)行了研究。Hassinen等[6]對一棵高11.1 m的樹進(jìn)行了實際風(fēng)況下的監(jiān)測，他發(fā)現(xiàn)自然風(fēng)下樹木的運動比拉拔試驗中要復(fù)雜的多，功率譜中有著明顯的多個峰值。后來，Schindler等[7]又測量得到了樹木在自然風(fēng)下的多階振動頻率，并進(jìn)行了樹木在有葉和無葉時的頻率比較，近似得到了樹木振動的前四階振型[8]。

除了現(xiàn)場實測，數(shù)值模擬也是進(jìn)行樹木動力特性探究的重要手段，且能更好地解釋實測結(jié)果。在早期，通過建立簡化的數(shù)學(xué)模型，使用底部固支的變截面桿來模擬樹木[9]。為了考慮樹冠的質(zhì)量，Spatz等[10]在變截面桿的頂部加上了集中質(zhì)量，并和實測頻率進(jìn)行了對比。但是，樹的動態(tài)響應(yīng)涉及到樹的每個組成部分的復(fù)雜交互作用，分支的影響更像是調(diào)諧質(zhì)量阻尼器，而不是簡單的集中質(zhì)量[11]。因此，近年來有越來越多的學(xué)者開始使用有限元方法來構(gòu)建復(fù)雜的樹木模型。Moore等[12]便按實際樹干、樹枝的形狀構(gòu)建了有限元模型，探討了樹冠質(zhì)量與其自振頻率的關(guān)系。Ciftci 等[13]以糖楓樹為研究對象建立模型，并研究了分支長細(xì)比、數(shù)量等對其自振頻率的影響。

由上可知，前人已經(jīng)在樹木的動力特性研究上有了很大的進(jìn)展，但是他們一般僅聚焦于樹木基頻的研究，且未有對其振型的探討，得到的樹木動力特性并不明朗。因此，本文在前人研究的基礎(chǔ)上，對一棵柳樹進(jìn)行了力錘激勵模態(tài)實測和自然風(fēng)激勵模態(tài)實測，得到了樹木的多階振動頻率、局部振型和阻尼比，并結(jié)合有限元模擬，進(jìn)行了詳細(xì)的樹木振動特性分析。

1 試驗概況

1.1 試驗儀器

在本次試驗中，樹木的振動情況由加速度傳感器進(jìn)行測量，如圖1(a)所示，使用由江蘇東華測試有限公司所提供的 DH105E 型壓電式加速度傳感器，其量程為50 m·s2，頻率范圍0.2～1 000 Hz，靈敏度100 mV/m/s2，能較好的滿足試驗需求。相應(yīng)的數(shù)據(jù)采集設(shè)備，如圖1(b)所示，分別為武漢市優(yōu)泰軟件有限公司生產(chǎn)的UT4516 恒流源適調(diào)器、UT3332 采集器以及中國地震局工程力學(xué)研究所SP991 型16 線放大器，三者配套使用能得到較為真實精確的信號。最后使用優(yōu)泰數(shù)據(jù)采集軟件進(jìn)行采集，由于本次分析頻率在100 Hz以內(nèi)，故將采樣頻率設(shè)為256 Hz，滿足香農(nóng)采樣定理。

力錘激勵模態(tài)試驗中采用力錘作為激勵源，選用由江蘇東華測試有限公司所生產(chǎn)的LC02號力錘，如圖1(c)所示，其靈敏度為4.5 pC/N，諧振頻率超過22 kHz，量程5 000 N，錘頭選用橡膠錘頭，以提供寬帶頻率的脈沖沖擊，同樣使用前述采集系統(tǒng)進(jìn)行力信號的采集。

圖1 實測儀器Fig.1 The measurement instrument

1.2 試驗對象及方法

本次試驗于2019年11月份，在河北省張家口市河北建筑工程學(xué)院的校園內(nèi)進(jìn)行。如圖 2所示，以校園內(nèi)一棵四周較為空曠的柳樹為目標(biāo)，表1為該樹的幾何參數(shù)，能看出該棵柳樹有著較為茂密的樹冠結(jié)構(gòu)，分別對其進(jìn)行力錘激勵試驗和自然風(fēng)激勵試驗。

表1 柳樹外形幾何參數(shù)Tab.1 Geometric parameters of willow shape m

力錘激勵模態(tài)試驗選在無風(fēng)時進(jìn)行，以減少外部環(huán)境對模態(tài)試驗結(jié)果的影響。試驗采用MISO方法，即多點激勵單點響應(yīng)，而由于樹木的樹冠結(jié)構(gòu)復(fù)雜，不適宜于模態(tài)試驗，因此僅進(jìn)行了柳樹樹干處的模態(tài)測試，分別測試樹干在東西方向和南北方向的模態(tài)，現(xiàn)場試驗情況如圖3所示。實測時將加速度傳感器布置在樹干上距離地面0.9 m 的位置處且在樹干沿根部以上每間隔0.2 m 處設(shè)置一個激勵點，最高點在2.8 m處，共計14個點，依次用力錘從下到上敲擊激勵點，同時采集加速度傳感器信號和激勵力信號。

圖3 力錘激勵模態(tài)實測現(xiàn)場Fig.3 Field measurement of hammer excitation mode

柳樹的自然風(fēng)激勵試驗在力錘激勵試驗后不久進(jìn)行，激勵力為自然風(fēng)，因為試驗期間主要為西北向來風(fēng)，因此同樣將加速度傳感器布置在樹的西北向。實測情況如圖4所示，因為柳樹樹干在離地2.8 m高度處存在凸起，不宜放置加速度傳感器，故依次將加速度傳感器放置在離地0.4 m，0.8 m，1.2 m，1.6 m，2.0 m，2.4 m，2.7 m處，共計7個傳感器，采樣頻率同樣設(shè)為256 Hz，測量時同時進(jìn)行所有測點的信息采集。

圖4 自然風(fēng)激勵的模態(tài)實測現(xiàn)場Fig.4 Natural wind excitation mode field measurement

1.3 實測結(jié)果及分析

對于力錘激勵試驗，分別對東西方向和南北方向的實測數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，利用MATLAB軟件得到所有測點的功率譜如圖5所示，采用雙對數(shù)坐標(biāo)的形式，橫坐標(biāo)為頻率，縱坐標(biāo)為自功率譜密度。功率譜曲線的峰值較為平緩，從中可大致識別出前七階主要振動頻率，如表2所示。接著利用和實測配套的優(yōu)泰分析軟件進(jìn)行頻響函數(shù)曲線的構(gòu)建，得到相應(yīng)自振頻率處的阻尼比(見表2)和樹干處局部振型如圖6所示。能看出柳樹東西向和南北向的頻率稍有不同，這和柳樹的結(jié)構(gòu)形態(tài)有關(guān)，因為樹木生長時會受到周圍環(huán)境影響，而并非是完全對稱的結(jié)構(gòu)，因此不同方向的振動特性會有所不同，但也能看到其差別并不大，故而也能按照同階模態(tài)處理。阻尼比通過半功率帶寬法進(jìn)行計算，類似于James和Kane等[14]的結(jié)果，柳樹的各階阻尼比也大致在10%～20%，其阻尼比相對較大。其原因可能是：首先，由于柳樹的樹冠結(jié)構(gòu)寬大，樹葉也較為茂密，所受的氣動阻尼力也相應(yīng)較大；其次，由于樹枝間的復(fù)雜交互作用，樹枝的質(zhì)量也會發(fā)揮著動力阻尼的作用，進(jìn)一步的增大了樹木的阻尼。除此之外，也能看出柳樹東西向和南北向的阻尼比結(jié)果也稍有差異，這也和Kane等的實測結(jié)果相似，同樣分析為是由于柳樹結(jié)構(gòu)東西向和南北向的結(jié)構(gòu)差異所產(chǎn)生的。

圖5 力錘激勵試驗所有測點的功率譜Fig.5 The power spectrum of all measuring points in the hammer excitation test

表2 柳樹的實測頻率和阻尼比Tab.2 The measured frequency and damping ratio of willows

圖6 力錘激勵試驗所得的前七階局部振型Fig.6 The first seven local modes obtained from the hammer excitation test

自然風(fēng)激勵試驗測量了柳樹在自然風(fēng)下的振動情況，其中，列出32 s內(nèi)在樹干2.7 m高度處加速度傳感器的響應(yīng)情況如圖7所示，能明顯看出該柳樹在風(fēng)荷載作用下存在著周期運動。利用MATLAB軟件同時對7個加速度傳感器的時程數(shù)據(jù)進(jìn)行功率譜計算，結(jié)果如圖8所示，功率譜采用雙對數(shù)坐標(biāo)顯示，橫坐標(biāo)為頻率，縱坐標(biāo)為自功率譜密度。能看出其振動能量主要處于低頻段，而高頻處的振動能量極小，相應(yīng)的高頻振動結(jié)果也較為紊亂，因此在分析時僅分析柳樹在10 Hz前的振動頻率。從中可以較為明顯的得到該棵柳樹的前五階頻率，見表2，由于加速度傳感器僅置于樹木的西北向，因此也僅能得到一個方向的振動頻率。從功率譜結(jié)果中能較明顯的看出自然風(fēng)激勵下柳樹在10 Hz前的樹干局部振型均有著懸臂梁的一階振型，這也和力錘激勵下的實測結(jié)果一致。同樣利用半功率帶寬法計算阻尼比(見表2)，發(fā)現(xiàn)第一階頻率處阻尼比要比其余階較大，這是因為樹木在自然風(fēng)中吸收的大部分能量都是通過第一階模態(tài)振動來耗散的，所以其阻尼比也會較大。另外，自然風(fēng)激勵試驗在的4.5 Hz、9 Hz處阻尼比明顯小于力錘激勵試驗相應(yīng)頻率處的阻尼比，這是因為在頻率密集的頻段，實測所識別出的頻率會存在相互耦合[15]，樹木則由于樹枝的存在其頻率分布較為密集，而力錘激勵法主要激勵的為樹干，而并不能較好的激勵出樹冠部分的動力響應(yīng)，實測所得結(jié)果可能為多個固有頻率的耦合值，使功率譜中各個峰值較為平緩，所以在使用半功率帶寬法計算其阻尼比時，所得結(jié)果會偏大；而自然風(fēng)激勵多作用于樹冠，能較好的激勵樹枝的振動，實測結(jié)果的耦合效應(yīng)較小，從而導(dǎo)致阻尼比偏小。

圖8 柳樹在自然風(fēng)激勵下的功率譜Fig.8 Power spectrum of willows under natural wind excitation

從力錘激勵試驗和自然風(fēng)激勵試驗的結(jié)果來看，兩個試驗所得到的各階頻率間存在差異，但自然風(fēng)激勵試驗的第三階、第五階和力錘激勵試驗的第一階、第二階頻率極其接近。而結(jié)合其余學(xué)者的研究成果，發(fā)現(xiàn)樹木的基頻均低于2 Hz，而且該柳樹也有著較為茂盛的樹冠結(jié)構(gòu)，再結(jié)合后文中的有限元模擬結(jié)果，可認(rèn)為力錘激勵試驗得到的柳樹模態(tài)結(jié)果有所缺失。這也和賀磊盈[16]論文里的結(jié)果相同，她對一棵山核桃樹進(jìn)行了力錘激勵試驗和有限元模擬，實測結(jié)果也缺失了樹木在5 Hz以內(nèi)的振動頻率。

為分析造成這種結(jié)果的原因，同時繪制出力錘激勵試驗和自然風(fēng)激勵試驗的功率譜，如圖9所示，其中由于力錘試驗東西向和南北向結(jié)果相近，因此僅列出力錘試驗的東西向結(jié)果。從中能看出，首先在激勵力的總能量上，自然風(fēng)能量要遠(yuǎn)大于力錘沖擊力的能量，其功率譜最高處的能量(6×10-3)幾乎要比力錘激勵的最高處能量(1×10-4)大兩個量級，在實測時也易發(fā)現(xiàn)柳樹在自然風(fēng)下有著較大的運動，而在力錘激勵下柳樹僅是稍微振動。其次，從激勵力的能量分布上看，自然風(fēng)頻率主要集中于低頻(0.1 Hz以內(nèi))，主要激勵的為柳樹的低頻振動模態(tài)，從功率譜中也能看出，自然風(fēng)激勵下柳樹在0.625 Hz處有最大響應(yīng)；而本次力錘在采用橡膠錘頭時，其沖擊力雖有著較廣的帶寬，但在低頻處能量較少，使柳樹在低頻時的振動響應(yīng)較小，但也能看出其高頻響應(yīng)較大，甚至高于了樹木在自然風(fēng)激勵下的高頻響應(yīng)能量，也因此力錘激勵試驗才能激勵出柳樹的高階振動模態(tài)。

圖9 力錘激勵和自然風(fēng)激勵試驗的功率譜對比Fig.9 Comparison of power spectrum between hammer excitation and natural wind excitation

因此，綜合兩種試驗的結(jié)果來共同組成柳樹實測的前十階模態(tài)，得到前十階頻率見表2。其中，自然風(fēng)激勵試驗的第三階、第五階和力錘激勵試驗的第一階、第二階頻率極其接近，兩者相差最大僅為0.3 Hz，可認(rèn)為屬于正常的試驗誤差，仍可將其當(dāng)作同一階頻率來考慮；另外也由于力錘激勵試驗同時得到了柳樹在東西向和南北向這兩個方向的模態(tài)，結(jié)果更為全面，因此在實測的第三階、五階處選用力錘激勵試驗的結(jié)果。

2 有限元模擬

2.1 模型的構(gòu)建

有限元模擬對復(fù)雜結(jié)構(gòu)的適用性較強(qiáng)，并能幫助更好地理解、分析實測數(shù)據(jù)，逐漸成為國際上的研究趨勢。但是實際樹木擁有較多的枝條和樹葉，其復(fù)雜性遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了一般結(jié)構(gòu)。完全按照實際樹木結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模是不現(xiàn)實的，也是不必要的。國內(nèi)外眾多學(xué)者為此進(jìn)行了不同程度的簡化，本文依據(jù)前人經(jīng)驗，根據(jù)柳樹的形狀，僅保留樹木的一級分支和主要二級分支，而將其余結(jié)構(gòu)作為集中質(zhì)量加在模型的相應(yīng)位置。

樹木的材料特性復(fù)雜，其本身為非均質(zhì)、各項異性材料，但為了研究方便一般視為各向同性。受含水率和生長周期影響，同棵樹木不同位置的彈性模量和密度也存在差別，但密度的變化相對較小，而彈性模量的變化較大[17-18]。因此本次建模時假設(shè)整棵柳樹的密度為常數(shù)，而將樹干和樹枝的彈性模量取不同的數(shù)值，大致取樹枝彈性模量為樹干的0.8倍。其中，由于柳樹在離地2.8 m高度處出現(xiàn)分化，因此將2.8 m高度以上結(jié)構(gòu)均視為樹枝材料。另外，根部約束若按固定端約束考慮，可能會有較大誤差，而彈簧約束則更符合樹木的實際受力情況[19]，因此本文也使用彈簧約束，設(shè)置為柳樹模型根部沿X向和Y向的旋轉(zhuǎn)彈簧。參考Jonsson等[20]在論文中所得到的樹木胸徑和根部錨固剛度的關(guān)系，并結(jié)合實測得到的柳樹振型結(jié)果，綜合取根部錨固剛度為1 000 kN·m/rad。

實際建模中，使用ANSYS有限元軟件，按照實際柳樹結(jié)構(gòu)來進(jìn)行模型的構(gòu)建，以東西方向作為X軸，以南北方向作為Y軸，模型結(jié)果如圖10所示。其中，樹木樹干的尺寸及樹枝的基部尺寸均由卷尺測得，而較高處則通過樹木實際圖像進(jìn)行測定，建模時使用beam188梁單元，共計1 505個單元；樹枝上集中質(zhì)量由估算得到，使用38個mass21單元進(jìn)行建模；最后使用兩個combin14單元模擬柳樹根部沿X向和Y向的抗彎剛度，而完全約束根部其余方向的自由度。具體材料設(shè)置如表3所示，密度由《世界主要樹種木材科學(xué)特性》[21]一書大致確定，而彈性模量由于受生長齡期影響較大[22]，文獻(xiàn)中柳樹木材的彈性模量取值和實測柳樹彈性模量會有較大差別，因此需根據(jù)實測結(jié)果進(jìn)行調(diào)整。根據(jù)前人研究，樹木整體泊松比取為0.38[23]。

圖10 柳樹有限元模型Fig.10 Finite element model of willow tree

表3 柳樹模型材料參數(shù)Tab.3 Material parameters of willow model

2.2 有限元模型結(jié)果分析

在有限元軟件中，使用Block Lanczos方法進(jìn)行模態(tài)分析，得到各階頻率及擴(kuò)展模態(tài)結(jié)果。由于柳樹結(jié)構(gòu)樹枝數(shù)量多，導(dǎo)致模態(tài)分析中得到的有限元階數(shù)過多，然而其中大多數(shù)頻率僅為部分樹枝振動所產(chǎn)生的，為局部模態(tài)，而非柳樹的主要模態(tài)。但是現(xiàn)場實測所得結(jié)果應(yīng)為樹木的主要模態(tài)。因此，為了和柳樹實測結(jié)果相對應(yīng)，須先對有限元模型結(jié)果進(jìn)行分析，來剔除模型中的局部模態(tài)，確定模型的各階主要模態(tài)。在本次分析中，首先確定模型的各階頻率范圍，然后確定每階頻率范圍內(nèi)的主要頻率，如此便能得到模型的各階主要頻率和振型。

2.2.1 模型的各階頻率范圍確定

不同于懸臂梁結(jié)構(gòu)，樹木的自振頻率受到各個樹枝的相互作用影響，故而其頻率的分布較為密集。而相對于細(xì)小的樹枝，粗大的樹枝對樹木頻率的影響較大。為了探究大樹枝對樹木頻率的影響，本文也進(jìn)行了簡單的簡化模型的構(gòu)建， 如圖11所示。該簡化模型在原模型的基礎(chǔ)上僅完全保留樹干和1號枝(1號枝是該柳樹最長、最粗的一根樹枝，見圖10)，而將其余樹枝的質(zhì)量全部置于樹干的頂部，使該簡化模型和原模型的總質(zhì)量相同，其余參數(shù)也完全相同。

圖11 簡化模型Fig.11 Simplified model

由于該簡化模型大致為懸臂梁結(jié)構(gòu)，可以很簡單明了的得到前十階頻率如表 4所示，并且因為其X向和Y向頻率極其相近，為了簡便故在此將其合并為一個頻率，不做區(qū)分。從表4中能看出，簡化模型的前十階頻率和表2中實測柳樹各階頻率有著大致的對應(yīng)，并且其相應(yīng)位置處的局部振型和實測結(jié)果也極其相似(MAC 值均在0.96以上，MAC計算公式見下文)，但由于篇幅限制并不在文中列出。因此，能看出在僅保留1號枝的形狀時，簡化模型便能基本保有柳樹結(jié)構(gòu)的主要頻率，故而能認(rèn)為1號枝對柳樹的各階主要振動頻率有著較大的影響效應(yīng)。進(jìn)而可推斷出，柳樹結(jié)構(gòu)在主要頻率處振動時，柳樹整體和1號大樹枝應(yīng)做同階振動。

表4 簡化模型模型的前十階頻率Tab.4 The first ten frequencies of the simplified model

綜合以上分析，可將原模型中1號大樹枝的階數(shù)(指由1號樹枝和樹干組成的結(jié)構(gòu)的階數(shù)，后文同理)作為劃分柳樹模型頻率范圍的標(biāo)準(zhǔn)。比如，認(rèn)為所有的1號枝具有第一階振型的頻率，共同組成了柳樹模型的第一階頻率范圍。因此，根據(jù)柳樹有限元模型(特指原模型)的各階振型中1號枝的振動情況，依次劃分模型的前十階頻率范圍，如圖 12所示，其中，X軸為該頻率在有限元模型中的階數(shù)，Y軸為該頻率的具體數(shù)值。從圖中能看出，在低頻處，樹木頻率的分布更為密集，有50階頻率均在10 Hz以內(nèi)。

圖12 柳樹有限元模型的前十階頻率范圍劃分Fig.12 The first ten frequency range division of willow finite element model

2.2.2 模型各階模態(tài)的確定和結(jié)果分析

在確定了各階頻率范圍后，需結(jié)合振型參與系數(shù)，來確定每階頻率范圍內(nèi)的主要振動頻率，進(jìn)而得到各階振型。由于振型參與系數(shù)為每個質(zhì)點質(zhì)量與其在某一振型中相應(yīng)坐標(biāo)乘積之和與該振型的模態(tài)質(zhì)量之比，一般來說，振型參與系數(shù)越大，該階模態(tài)的動力響應(yīng)也就越大。因此，在每階的頻率范圍內(nèi)分別選取X向、Y向振型參與系數(shù)最大的模態(tài)，作為有限元模型在該階的X向、Y向振動模態(tài)。得到模型各階頻率如表5所示，相應(yīng)的各階振型如圖13所示。

圖13 柳樹有限元模型的前十階振型Fig.13 The first ten modes of vibration of willow finite element model

表5 柳樹有限元模型的前十階頻率Tab.5 The first ten frequencies of willow finite element model

分析所得的各階振型結(jié)果，發(fā)現(xiàn)在柳樹模型的各階模態(tài)振型處，主要振動的均為樹枝結(jié)構(gòu)，而樹干的振動則相對較小。這和柳樹的結(jié)構(gòu)形式有關(guān)，樹枝結(jié)構(gòu)相比于樹干較為輕柔，剛度較小，所以振動時便會有著相對較大的位移。特別的，在柳樹模型的第一階模態(tài)振型處，樹干更是只有極小的振動(該模態(tài)處，樹干最大振動位移僅為樹枝最大振動位移的1.5%)。分析主要為柳樹樹枝的基礎(chǔ)頻率(此處僅指樹枝桿件，如柳樹1號枝的基頻0.70 Hz，計算基頻時僅保留1號枝，且樹枝底部當(dāng)作固接)要遠(yuǎn)低于樹干的基礎(chǔ)頻率(僅指樹干桿件，如柳樹樹干結(jié)構(gòu)，計算時僅保留樹干，且將樹干底部當(dāng)作固接，得到其基頻為7.9 Hz)，因此在柳樹的第一階模態(tài)(0.654 Hz)處，產(chǎn)生共振的為樹枝結(jié)構(gòu)，而樹干還遠(yuǎn)未達(dá)到其共振頻率，故而只是微微振動。這也和Ciftci等的研究結(jié)果類似，樹枝的存在才是產(chǎn)生了柳樹第一階模態(tài)的主要因素。但是隨著柳樹振動頻率的增加，在逐漸達(dá)到樹干的自振頻率時，樹干會逐漸的達(dá)到自振，其振動幅度也會越來越大。而這可能也是力錘激勵試驗缺失部分主要模態(tài)的一個原因，因為在這些模態(tài)處，樹干的振動是極其微小的。

觀察模型的前十階模態(tài)，發(fā)現(xiàn)在前兩階模態(tài)處，所有樹枝均做同階振動(指由各樹枝和樹干分別組成的結(jié)構(gòu)的階數(shù))；而在之后，各個樹枝的振動則逐漸出現(xiàn)分化：首先在模型第三階模態(tài)處，當(dāng)其余枝均做第三階振動時，最短的3根枝卻仍是第二階振動；再隨著模型模態(tài)頻率的逐漸增大，長樹枝和短樹枝的階數(shù)差別越來越大。分析認(rèn)為，是不同樹枝的各階固有頻率的不同所導(dǎo)致的。在柳樹中，長枝的高階固有頻率低于短枝的相應(yīng)階，使柳樹在某一高階模態(tài)頻率處振動時，短枝的振動階數(shù)要小于長枝。而也正是不同固有頻率的樹枝間的相互作用，才造成了復(fù)雜的樹木整體振動情況。特別的，當(dāng)柳樹多數(shù)樹枝的固有頻率間出現(xiàn)重疊時，也就產(chǎn)生了柳樹的主要振動模態(tài)。

3 模擬結(jié)果和實測結(jié)果的對比

3.1 頻率對比

在1.3節(jié)中已經(jīng)明確了實測的前十階頻率見表2，并得到了有限元模型的前十階頻率見表5。其中，為定量分析，使用相對誤差來進(jìn)行模型結(jié)果和實測結(jié)果的各階頻率對比，其計算公式為

(1)

式中：fm為有限元模擬所得頻率；fs為柳樹實測各階頻率。各階的相對誤差計算結(jié)果如表6所示，從表6中可看出，其中大多數(shù)階頻率的相對誤差值均小于10%，實測和模擬的相對誤差在第二階頻率處最大，但也未超過15%，這說明有限元模型和實測的前十階頻率有著較好的相互對應(yīng)關(guān)系。

表6 柳樹實測和模型前十階頻率的相對誤差Tab.6 The relative errors of the first ten frequencies of willow tree measurement and model %

3.2 振型對比

由于僅力錘激勵試驗得到了樹木X向(東西向)和Y向(南北向)實測振型，即實測的第三、第五、第六、第七、第八、第九、第十階。因此，可在該七階頻率處，進(jìn)行有限元模型和實測的局部振型對比分析。有限元模型的各階整體振型已在圖13中列出，現(xiàn)提取模型在樹干處的各階局部振型，保證提取的各點高度和實測測點的高度一一對應(yīng)，并進(jìn)行振型歸一化處理，得到振型對比結(jié)果如圖 14所示。

圖14 有限元模型和力錘激勵實測結(jié)果的柳樹局部振型對比Fig.14 The comparison of local vibration pattern between finite element model and measured results of hammer excitation

利用 MAC方法(模態(tài)置信準(zhǔn)則)判斷模型與實測振型的相似度，其具體為振型φa和φb的相似度可以應(yīng)用以式(2)來計算

(2)

計算結(jié)果如表7所示，其中 MAC 值越接近1，便說明兩個振型越相似。從表中能看出，所有MAC值均在0.96以上，這說明有限元模型和力錘激勵試驗的各階局部振型結(jié)果極其相似。

表7 利用MAC方法計算得到的振型相似度Tab.7 The MAC method is used to calculate the mode similarity

因此，綜合來看，柳樹有限元模型的模擬結(jié)果能較好的對應(yīng)于柳樹實測得到的各階頻率和振型，這說明構(gòu)建的柳樹有限元模型是準(zhǔn)確的，也說明實測得到的前十階模態(tài)便是柳樹結(jié)構(gòu)的前十階主要振動模態(tài)。在這些模態(tài)處，柳樹結(jié)構(gòu)為整體振動，其各個部分均參與振動。

通過有限元模擬結(jié)果和力錘激勵試驗、自然風(fēng)激勵試驗結(jié)果間的相互對比驗證，能明確看出，力錘激勵試驗結(jié)果缺失了多階低頻振動模態(tài)，但是也能看出力錘激勵試驗可較好的激勵出樹木的高頻模態(tài)，其得到的后六階模態(tài)便是實際柳樹結(jié)構(gòu)的第五階～第十階主要振動模態(tài)，在有限元模型的構(gòu)建和后續(xù)的結(jié)果驗證中均有著較大的作用。

通過圖13和圖14，結(jié)合柳樹的樹干局部振型和整體振型的關(guān)系，能看出雖然樹干的振型一直處于懸臂梁的一階振型～二階振型，但實際的柳樹結(jié)構(gòu)其實處于一階～十階振動，此時發(fā)生較大階數(shù)變動的主要為樹枝結(jié)構(gòu)，這說明柳樹的樹冠結(jié)構(gòu)才是使柳樹產(chǎn)生了這十階振動模態(tài)的主要因素，樹冠對柳樹的動力特性起控制作用。這也和柳樹的結(jié)構(gòu)形式有關(guān)，柳樹的樹冠結(jié)構(gòu)較為高大、輕柔，樹枝的剛度較小，而樹干的剛度則較大，也就使在同階模態(tài)振動時，樹干的振動階數(shù)要遠(yuǎn)小于樹枝的振動階數(shù)。

4 結(jié) 論

本文以一棵實際的柳樹為研究對象，進(jìn)行了動力特性實測。之后利用有限元方法進(jìn)行了柳樹的數(shù)值分析模型構(gòu)建，深入研究了該柳樹的動力特性，具體結(jié)論有：

(1)力錘激勵試驗難以激發(fā)出柳樹全部的主要振動模態(tài)，所得結(jié)果缺失了部分低頻振動模態(tài)，但是其能較好的激勵出柳樹的高階模態(tài)，對柳樹有限元模型的構(gòu)建起著至關(guān)重要的作用；而自然風(fēng)激勵試驗則能激勵出柳樹的低頻模態(tài)，所得的五階模態(tài)便是柳樹的前五階主要振動模態(tài)，能對力錘激勵試驗結(jié)果有著較好的補足。分析造成這兩種試驗結(jié)果不同的原因，主要為：首先，力錘沖擊力的能量要遠(yuǎn)低于自然風(fēng)激勵能量，力錘造成樹木的振動響應(yīng)較小；其次，在能量分布上，自然風(fēng)頻率主要集中于低頻，而本次試驗的力錘沖擊力雖有著較廣的帶寬，但在低頻時的能量分布較少，故而并不能很好的激勵柳樹的低頻模態(tài)；最后，力錘沖擊力主要作用于樹干，難以激發(fā)樹冠部分的動力響應(yīng)，因此會缺失以樹冠部分振動為主的模態(tài)。

(2)按照實際的柳樹結(jié)構(gòu)進(jìn)行了有限元模型的構(gòu)建，發(fā)現(xiàn)大樹枝對柳樹的動力特性有較大影響，提出了使用模型中大樹枝的階數(shù)來劃分柳樹有限元模型各階頻率范圍的方法，進(jìn)而提取出了柳樹的前十階主要振動頻率和振型。通過振型結(jié)果分析，發(fā)現(xiàn)在柳樹的各階模態(tài)振型處，樹干的振動相比于樹枝均較小；特別在第一階模態(tài)振型處，柳樹以樹枝振動為主，而樹干的振動量極小。

(3)柳樹有限元分析結(jié)果和實測結(jié)果有著較好的對應(yīng)，說明構(gòu)建的有限元模型是準(zhǔn)確的，也說明實測得到的前十階模態(tài)便是柳樹結(jié)構(gòu)的前十階主要振動模態(tài)。通過樹干局部振型變化和樹木整體振型變化的比較，發(fā)現(xiàn)柳樹的樹冠結(jié)構(gòu)對柳樹動力特性有著巨大的影響，柳樹整體振動階數(shù)的變化主要由柳樹樹枝結(jié)構(gòu)的振動階數(shù)變化所產(chǎn)生。