彭 勇，王濤濤，梁慶榮，謝 冬

(西安石油大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，陜西 西安 710065)

引 言

行星傳動(dòng)具有結(jié)構(gòu)緊湊、體積小、質(zhì)量輕、傳動(dòng)效率高[1]等優(yōu)點(diǎn)。但是，行星傳動(dòng)與普通的齒輪傳動(dòng)相比，結(jié)構(gòu)復(fù)雜、安裝精度要求高、載荷分布不均，這些不足使得行星傳動(dòng)遲遲不能用于大功率的鉆機(jī)絞車的傳動(dòng)。隨著制造工藝的提升、均載方式的改進(jìn)，制造大功率行星齒輪箱成為了可能。近年，國(guó)內(nèi)石油裝備制造企業(yè)已成功研制出1 500HP電驅(qū)動(dòng)行星傳動(dòng)絞車[2]，對(duì)行星傳動(dòng)作為鉆機(jī)絞車傳動(dòng)進(jìn)行了有益的嘗試。行星傳動(dòng)的傳動(dòng)比大、重量輕、結(jié)構(gòu)緊湊等優(yōu)勢(shì)得以充分發(fā)揮?；? 500HP電驅(qū)動(dòng)行星傳動(dòng)絞車的基本參數(shù)，應(yīng)用粒子群法和序列二次規(guī)劃法對(duì)行星傳動(dòng)輪系參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，并對(duì)比兩種優(yōu)化方法的優(yōu)劣，為粒子群法優(yōu)化鉆機(jī)絞車行星輪系時(shí)一些重要參數(shù)的選擇給出有益建議。

1 參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)

1 500HP電驅(qū)動(dòng)行星傳動(dòng)絞車采用NGW型[3]行星傳動(dòng)，傳動(dòng)方案如圖1所示。絞車基本參數(shù)及行星傳動(dòng)基本參數(shù)見(jiàn)表1、表2。

圖1 NGW型行星傳動(dòng)

表1 JC50基本參數(shù)

表2 NGW型行星傳動(dòng)基本參數(shù)

2 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型建立

2.1 目標(biāo)函數(shù)建立及設(shè)計(jì)變量確定

2.1.1 體積目標(biāo)函數(shù)

由于行星輪系結(jié)構(gòu)復(fù)雜，受到齒廓影響，想要精準(zhǔn)得到行星輪系的體積并不容易，因此常用齒輪的分度圓直徑和齒寬近似表示一個(gè)齒輪體積。整個(gè)行星輪系的體積通常用太陽(yáng)輪體積與所有行星輪體積之和來(lái)代表。

整個(gè)行星輪系的體積等于太陽(yáng)輪體積與所有行星輪體積之和，即

(1)

行星傳動(dòng)配齒計(jì)算中的同心條件為

2Zc+Za=Zb，

(2)

(3)

根據(jù)式(1)—(3)，可得行星輪系體積目標(biāo)函數(shù)

(4)

由于行星輪系體積值數(shù)量級(jí)較大，且與傳動(dòng)效率、傳動(dòng)重合度數(shù)量級(jí)相差過(guò)大，對(duì)行星輪系體積的目標(biāo)函數(shù)作無(wú)因次處理，以原參數(shù)行星輪系的體積Vy作為分母。因此，最終行星輪系體積目標(biāo)函數(shù)為

(5)

2.1.2 傳動(dòng)效率函數(shù)

行星傳動(dòng)的傳遞效率是衡量其設(shè)計(jì)優(yōu)良程度的重要指標(biāo)之一。由于行星傳動(dòng)不同于簡(jiǎn)單的繞軸運(yùn)動(dòng)機(jī)械，需要采用機(jī)械原理中轉(zhuǎn)化機(jī)構(gòu)法[4]的基本原理來(lái)計(jì)算其傳遞效率。常見(jiàn)2K-H型周轉(zhuǎn)輪系效率計(jì)算公式見(jiàn)表3。

表3 常見(jiàn)2K-H型周轉(zhuǎn)輪系效率計(jì)算公式

根據(jù)表3可得行星傳動(dòng)效率函數(shù)

(6)

(7)

(8)

(9)

由式(5)—(8)可得行星傳動(dòng)效率目標(biāo)函數(shù)

(10)

2.1.3 傳動(dòng)重合度函數(shù)

一對(duì)嚙合齒輪傳動(dòng)重合度的大小直接影響傳動(dòng)的平穩(wěn)性，重合度越大，傳動(dòng)越平穩(wěn)。在行星傳動(dòng)中，影響傳動(dòng)平穩(wěn)性的主要因素是太陽(yáng)輪和行星輪之間的重合度。因此，選擇太陽(yáng)輪與行星輪之間的重合度作為目標(biāo)函數(shù)。

重合度可由[5]

(11)

計(jì)算得到。式中：αac為行星輪齒頂圓壓力角，rad；αaa為太陽(yáng)輪齒頂圓壓力角，rad；α′為節(jié)圓壓力角，rad。齒頂圓壓力角為基圓半徑與齒頂圓半徑比值的反余弦，即

(12)

由式(10)、(11)得行星傳動(dòng)重合度函數(shù)

(13)

2.1.4 行星傳動(dòng)總優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

以上分別建立了行星傳動(dòng)體積、傳動(dòng)效率和傳動(dòng)重合度的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。在上述3個(gè)目標(biāo)函數(shù)中，太陽(yáng)輪齒數(shù)Za、模數(shù)m、齒寬b、行星輪個(gè)數(shù)C以及行星排特性參數(shù)K可作為行星輪系的獨(dú)立設(shè)計(jì)變量，即

X=[x1，x2，x3，x4，x5]T=[Za，m，b，C，K]T。

(14)

總優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為3個(gè)分目標(biāo)函數(shù)的代數(shù)和。由于優(yōu)化的目標(biāo)是希望體積最小，傳動(dòng)效率和傳動(dòng)重合度大，因此體積目標(biāo)函數(shù)f1(x)取“+”號(hào)，傳動(dòng)效率函數(shù)f2(x)及傳動(dòng)重合度函數(shù)f3(x)取“-”號(hào)。行星傳動(dòng)總優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)可由

F(X)=ω1f1(x)-ω2f2(x)-ω3f3(x)

(15)

表示。式中，ω1、ω2和ω3為權(quán)重因子。

2.2 約束條件的建立

2.2.1 齒面接觸強(qiáng)度約束條件

在該行星傳動(dòng)輪系中，存在內(nèi)外兩種嚙合齒輪副，在齒輪材料都相同的情況下，內(nèi)嚙合齒輪的強(qiáng)度要比外嚙合齒輪的強(qiáng)度高，因此，在計(jì)算該輪系齒面接觸強(qiáng)度時(shí)僅僅考慮外嚙合齒輪的齒面接觸強(qiáng)度作為約束條件[6]。

根據(jù)機(jī)械設(shè)計(jì)手冊(cè)得齒輪接觸疲勞強(qiáng)度公式為

(16)

將設(shè)計(jì)變量引入式(16)，并代入相關(guān)參數(shù)具體值，得到約束條件為

(17)

2.2.2 齒根彎曲疲勞強(qiáng)度約束條件

在各齒輪材料及熱處理相同的情況下，太陽(yáng)輪的齒根彎曲強(qiáng)度最低，因此，以太陽(yáng)輪的齒根彎曲疲勞強(qiáng)度作為約束條件。

齒根彎曲疲勞強(qiáng)度計(jì)算公式為

(18)

引入設(shè)計(jì)變量，代入相關(guān)參數(shù)所得約束條件為

(19)

2.2.3 行星傳動(dòng)配齒約束條件

(1)傳動(dòng)比約束條件

在行星傳動(dòng)配齒計(jì)算時(shí)，首先應(yīng)該滿足傳動(dòng)比條件，由于給定的傳動(dòng)比不能有太大的誤差，這里以傳動(dòng)比誤差作為其約束條件，即

(20)

(2)鄰接約束條件[7]

設(shè)計(jì)行星傳動(dòng)時(shí)，為了分配功率、提高承載能力，并減小其結(jié)構(gòu)尺寸，常常在太陽(yáng)輪和內(nèi)齒廓之間均勻布置幾個(gè)行星齒輪。為了避免相鄰兩個(gè)行星輪相互碰撞，必須保證齒頂之間在其連心線上有一定的間隙，即滿足

(21)

式中：da2為行星輪齒頂圓直徑，mm；a為太陽(yáng)輪與行星輪中心距，mm。

引入設(shè)計(jì)變量并整理得約束條件為

(22)

(3)安裝約束條件

為確保幾個(gè)行星輪能夠順利地安裝，并且保證行星輪與中心輪正確嚙合而沒(méi)有錯(cuò)位現(xiàn)象，應(yīng)滿足齒數(shù)關(guān)系，即裝配條件

(23)

(4)同心約束條件

在設(shè)計(jì)行星傳動(dòng)時(shí)，為了保證行星輪與兩個(gè)中心輪同時(shí)正確嚙合，要求外嚙合齒輪的中心距等于內(nèi)嚙合齒輪的中心距。同心條件應(yīng)滿足：

(24)

式中：αac和αbc分別為對(duì)應(yīng)齒輪的嚙合角，rad。

2.2.4 其他約束條件

齒寬限制b≥10 mm，則

g7(x)=x3-10≥0。

(25)

模數(shù)限制m≥2 mm，則

g8(x)=x2-2≥0。

(26)

齒寬推薦范圍5m≤b≤17m，則

g9(x)=x3-5x2≥0；

(27)

g10(x)=17x2-x3≥0。

(28)

小齒輪不發(fā)生跟切Za≥17，則

g11(x)=x1-17≥0。

(29)

行星輪個(gè)數(shù)約束C≥2，則

g12(x)=x4-2≥0。

(30)

3 優(yōu)化模型求解

3.1 序列二次規(guī)劃法求解

根據(jù)所建模型，目標(biāo)函數(shù)和約束條件都為非線性，MATLAB優(yōu)化工具箱中序列二次規(guī)劃法(SQP)可完成求解。fmincon函數(shù)調(diào)用過(guò)程為[8]

X=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)。

其中，fun為目標(biāo)函數(shù)，x0為給定的初始值，Aeq為等式約束條件系數(shù)矩陣，beq為等式約束條件向量，如果不存在不等式約束或等式約束，需要設(shè)置對(duì)應(yīng)的矩陣和向量為[]；lb為設(shè)計(jì)變量下界；ub為設(shè)計(jì)變量上界，當(dāng)設(shè)計(jì)變量無(wú)界時(shí)可設(shè)置lb或ub=[]；nonlcon參數(shù)為非線性不等式或等式，在寫(xiě)程序過(guò)程中，可以將非線性不等式及等式獨(dú)立編寫(xiě)成自定義函數(shù)，并與主程序保存在同一文件夾下，nonlcon則為自定義函數(shù)名。編寫(xiě)M文件，得到優(yōu)化結(jié)果見(jiàn)表4。

表4 SQP程序運(yùn)行表

將SQP優(yōu)化參數(shù)圓整后與原設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)比，結(jié)果見(jiàn)表5。

表5 SQP優(yōu)化前后參數(shù)對(duì)比

3.2 粒子群法求解(PSO)

粒子群法是一種基于群體的隨機(jī)優(yōu)化方法，它們的初始解均為一組隨機(jī)解，通過(guò)迭代搜尋最優(yōu)解。在進(jìn)化過(guò)程中，PSO模擬社會(huì)，每個(gè)可能產(chǎn)生的解為社會(huì)群體中的一個(gè)微粒，每個(gè)微粒都有自己的位置向量和速度向量，以及一個(gè)由目標(biāo)函數(shù)決定的適應(yīng)度。所有微粒都具有一定的飛行速度，通過(guò)追隨當(dāng)前搜索到的最優(yōu)值來(lái)尋找全局最優(yōu)值[9]。

PSO算法步驟如下：

Step1 初始化一個(gè)規(guī)模為m的粒子群，設(shè)定初始位置和速度。

①設(shè)定群體規(guī)模m。

②對(duì)任意的i、s,在[-xmax,xmax]內(nèi)服從均勻分布產(chǎn)生xis。

③對(duì)任意的i、s,在[-vmax,vmax]內(nèi)服從均勻分布產(chǎn)生vis。

④對(duì)任意的i,設(shè)yi=xi。

Step2 計(jì)算每個(gè)粒子適應(yīng)值。

Step3 將每個(gè)粒子的適應(yīng)值與其經(jīng)歷過(guò)的最好位置pis的適應(yīng)值進(jìn)行比較，若較好，則將其作為當(dāng)前的最好位置。

Step4 將每個(gè)粒子的適應(yīng)值與全局經(jīng)歷過(guò)的最好位置pis的適應(yīng)值進(jìn)行比較，若較好，則將其作為當(dāng)前的全局最好位置。

Step5 分別對(duì)粒子的速度及位置進(jìn)行更新。粒子速度及位置更新[10-11]根據(jù)

(31)

(32)

進(jìn)行變化。

Step6 如果滿足終止條件，則輸出解；否則返回到Step 2。

基于MATLAB將上述步驟編寫(xiě)程序，程序運(yùn)行結(jié)果見(jiàn)表6。由表6得總的優(yōu)化函數(shù)適應(yīng)度曲線，如圖2所示。體積優(yōu)化函數(shù)PSO適應(yīng)度曲線、傳動(dòng)效率優(yōu)化函數(shù)PSO適應(yīng)度曲線及傳動(dòng)重合度優(yōu)化函數(shù)PSO適應(yīng)度曲線分別如圖3、圖4、圖5所示。

圖3 體積比優(yōu)化函數(shù)PSO適應(yīng)度曲

圖4 傳動(dòng)效率優(yōu)化函數(shù)PSO適應(yīng)度曲線

圖5 重合度優(yōu)化函數(shù)PSO適應(yīng)度曲線

表6 PSO程序運(yùn)行表

從圖2可以看出，粒子群法在迭代0～26次最優(yōu)值變化劇烈，大約27次開(kāi)始趨于穩(wěn)定，70次迭代后最優(yōu)值保持不變。因此，100次迭代效果良好，既有足夠的迭代次數(shù)使最優(yōu)值趨于穩(wěn)定，又使迭代次數(shù)對(duì)算法響應(yīng)時(shí)間影響較小，具有良好的魯棒性和收斂性。PSO優(yōu)化結(jié)果與原設(shè)計(jì)結(jié)果參數(shù)對(duì)比見(jiàn)表7。

表7 PSO優(yōu)化前后參數(shù)對(duì)比

圖2 總優(yōu)化函數(shù)PSO適應(yīng)度曲線

3.3 結(jié)果分析

運(yùn)用常規(guī)的序列二次規(guī)劃法及智能優(yōu)化算法粒子群法，基于MATLAB編程對(duì)鉆機(jī)絞車大功率行星傳動(dòng)進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化結(jié)果對(duì)比見(jiàn)表8。

表8 3種設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)比

序列二次規(guī)劃法優(yōu)化結(jié)果使得太陽(yáng)輪齒數(shù)減小，模數(shù)相比常規(guī)設(shè)計(jì)略小，齒寬大大減小，行星輪個(gè)數(shù)減少，行星排特性參數(shù)減小，行星傳動(dòng)輪系體積相比常規(guī)設(shè)計(jì)減小67.0%，傳動(dòng)效率由原來(lái)的96.0%提高到97.6%，傳動(dòng)重合度也有所增大，優(yōu)化效果良好。粒子群法優(yōu)化模數(shù)和行星輪個(gè)數(shù)與序列二次規(guī)劃法優(yōu)化結(jié)果相同，但是，粒子群法相比序列二次規(guī)劃法優(yōu)化的齒寬和行星排特性參數(shù)減小，而齒輪體積更小。粒子群法相比常規(guī)設(shè)計(jì)優(yōu)化后的行星傳動(dòng)輪系體積減小75.0%，傳動(dòng)效率提高到97.3%，傳動(dòng)重合度增大到1.42，優(yōu)化結(jié)果明顯優(yōu)于序列二次規(guī)劃法。

上述兩種優(yōu)化方法都大幅度減小了行星輪系的體積，傳動(dòng)效率及傳動(dòng)重合度雖然有所優(yōu)化，但優(yōu)化效果不顯著，除了常規(guī)設(shè)計(jì)的傳動(dòng)效率及傳動(dòng)重合度都較高，縮小了優(yōu)化空間，一個(gè)重要原因是在構(gòu)建多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)時(shí)，對(duì)各權(quán)重因子分配不一的結(jié)果，上述分析為體積函數(shù)分配了較大的權(quán)重因子，因此出現(xiàn)這種結(jié)果。不同權(quán)重因子的優(yōu)化結(jié)果見(jiàn)表9。

表9 PSO優(yōu)化時(shí)不同權(quán)重因子設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)比

由表9可知，隨著體積優(yōu)化函數(shù)權(quán)重因子的不斷減小，所得到的最優(yōu)體積不斷增大；隨著傳動(dòng)重合度權(quán)重因子的增大，傳動(dòng)重合度不斷增大；傳動(dòng)效率及其權(quán)重因子也呈現(xiàn)此規(guī)律。因此，在設(shè)置多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)的權(quán)重因子時(shí)，應(yīng)該將比較重要的優(yōu)化目標(biāo)分配較大的權(quán)重因子，相對(duì)次要或優(yōu)化空間較小的優(yōu)化目標(biāo)設(shè)置較小的權(quán)重因子。

粒子群法在求解過(guò)程中，初始解都是隨機(jī)的，所以粒子群法對(duì)同一問(wèn)題的優(yōu)化結(jié)果不盡相同。粒子群算法中的各參數(shù)取值至關(guān)重要，粒子群法優(yōu)化鉆機(jī)絞車行星輪系時(shí)給出一些重要參數(shù)的取值建議，見(jiàn)表10。

表10 粒子群法優(yōu)化鉆機(jī)絞車行星輪系時(shí)重要參數(shù)的取值

4 結(jié) 論

(1)鉆機(jī)絞車行星傳動(dòng)輪系粒子群優(yōu)化算法綜合優(yōu)化結(jié)果優(yōu)于序列二次規(guī)劃法優(yōu)化結(jié)果。兩種方法的優(yōu)化結(jié)果表明，行星傳動(dòng)輪系的體積明顯減小，其中，粒子群法使行星傳動(dòng)輪系的體積減小75%，序列二次規(guī)劃法使行星傳動(dòng)輪系的體積減小59%；粒子群法優(yōu)化使傳動(dòng)效率提高多少了1.3%，序列二次規(guī)劃優(yōu)化使傳動(dòng)效率提高1.6%；兩種優(yōu)化算法都使得傳動(dòng)重合度提高0.02。

(2)粒子群法優(yōu)化算法的成功與否往往取決于學(xué)習(xí)因子c1、c2及慣性權(quán)重ω的取值，學(xué)習(xí)因子取值范圍為0～4，本文取值c1=c2=1.494 45，并設(shè)置ω=0.8。

(3)在進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化時(shí)，權(quán)重因子的分配影響各分目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化結(jié)果，但影響不顯著。權(quán)重因子變化分析表明，行星傳動(dòng)輪系的體積分別減小了77%、75%、74%、73%、63%、58%；傳動(dòng)效率提高了1.7%；傳動(dòng)重合度提高了0.03。