王丁丁，李 偉，羅玉祥，張 濤，張慶志

(1.山東航天電子技術(shù)研究所，山東 煙臺(tái) 264000;2.裝備發(fā)展部裝備采購服務(wù)中心，北京 100142)

0 引言

隨著航天技術(shù)的快速發(fā)展，航天器結(jié)構(gòu)的輕量化已經(jīng)成為現(xiàn)代飛行器設(shè)計(jì)的一個(gè)要點(diǎn)。桁架結(jié)構(gòu)具有凈空間值高、承受集中載荷效率高、空間擴(kuò)展性強(qiáng)、設(shè)計(jì)靈活、易于組裝等優(yōu)點(diǎn)[1-4]，因此其在航天器上有著廣泛的應(yīng)用。大型空間桁架結(jié)構(gòu)在航天器上既可以作為探測(cè)器、相機(jī)、天線等有效載荷的支撐結(jié)構(gòu)，也可以作為空間站等大型航天器的主體機(jī)構(gòu)[5]。美國“奮進(jìn)號(hào)”航天飛機(jī)的SRTM(Shuttle radar topography mission)結(jié)構(gòu)采用了60米長(zhǎng)的大型空間桁架以提供主天線和外側(cè)天線之間的基線距離，其桁架結(jié)構(gòu)在地面展開后的形狀如圖1所示。國際空間站采用了大型主桁架結(jié)構(gòu)作為骨架來安裝各種艙段和設(shè)備，采用了可展桁架來展開和支撐太陽能電池板。此外，空間望遠(yuǎn)鏡支架、光學(xué)攝像機(jī)支架、天線反射面等結(jié)構(gòu)也大量采用桁架結(jié)構(gòu)[6]。中國空間技術(shù)研究院已將復(fù)合材料桁架結(jié)構(gòu)應(yīng)用于航天器的主結(jié)構(gòu)、高精度剛性支撐結(jié)構(gòu)、空間可展開結(jié)構(gòu)機(jī)構(gòu)以及大跨度的剛性連接結(jié)構(gòu)[7-8]。

圖1 美國“奮進(jìn)號(hào)”航天飛機(jī)SRTM系統(tǒng)上的60 m長(zhǎng)大型空間桁架結(jié)構(gòu)

航天器上的大型桁架結(jié)構(gòu)具有跨度大、質(zhì)量輕、剛度低、阻尼弱的特點(diǎn)，在受到擾動(dòng)時(shí)可能產(chǎn)生低頻、大幅度振動(dòng)和變形且很難短時(shí)間自行衰減。這種振動(dòng)、變形與航天器主體的運(yùn)動(dòng)發(fā)生耦合時(shí)還會(huì)影響到航天器的指向精度和姿態(tài)穩(wěn)定，甚至危害到航天器的安全[9]。因此對(duì)于航天器上大型桁架結(jié)構(gòu)變形的監(jiān)測(cè)對(duì)于保障航天器安全有重要意義。

桁架結(jié)構(gòu)的變形監(jiān)測(cè)方法包括激光跟蹤儀、激光雷達(dá)、攝影測(cè)量、數(shù)字散斑、三坐標(biāo)測(cè)量等[8]。這些方法基本為非接觸測(cè)量法，適用于地面環(huán)境中測(cè)量結(jié)構(gòu)的變形，應(yīng)用在航天器上存在整體設(shè)備重、光學(xué)測(cè)量存在遮擋盲區(qū)、難以實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)測(cè)量等問題。近年來利用接觸式傳感器監(jiān)測(cè)結(jié)構(gòu)的變形受到了研究人員的高度重視，這類方法利用粘貼或埋入結(jié)構(gòu)的傳感器獲取結(jié)構(gòu)體的應(yīng)變，并且結(jié)合應(yīng)變到形變的重構(gòu)算法來反演結(jié)構(gòu)的形變。

工程中常見的應(yīng)變測(cè)量傳感器有電阻應(yīng)變片和光纖應(yīng)變傳感器。相對(duì)于電阻類傳感器，光纖傳感器具有質(zhì)量輕、尺寸小、抗電磁干擾等特點(diǎn)[10]，在航天領(lǐng)域有獨(dú)特的應(yīng)用優(yōu)勢(shì)。山東航天電子技術(shù)研究所于2016年在國內(nèi)實(shí)現(xiàn)了光纖傳感首次在軌應(yīng)用，于2020年在中國空間站上利用光纖傳感手段實(shí)現(xiàn)了艙體關(guān)鍵部位的力、熱狀態(tài)監(jiān)測(cè)[11]。鑒于光纖傳感器在航天領(lǐng)域的應(yīng)用優(yōu)勢(shì)，國內(nèi)外眾多學(xué)者研究了利用光纖傳感器監(jiān)測(cè)航天器結(jié)構(gòu)形變的方法。文獻(xiàn)[12]提出了逆有限元方法(iFEM,inverse finial element method)，其具有重構(gòu)精度高、適應(yīng)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜邊界條件、對(duì)應(yīng)變測(cè)量中的噪聲不敏感、無需了解結(jié)構(gòu)的材料屬性和載荷的先驗(yàn)知識(shí)等優(yōu)勢(shì)[13-14]。利用光纖傳感器測(cè)量結(jié)構(gòu)的應(yīng)變并結(jié)合基于應(yīng)變的形變重構(gòu)算法可實(shí)現(xiàn)航天器結(jié)構(gòu)變形的在軌實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)，能夠?yàn)閾闲越Y(jié)構(gòu)的振動(dòng)變形抑制及且航天器結(jié)構(gòu)的健康監(jiān)測(cè)提供數(shù)據(jù)。

當(dāng)前基于iFEM的結(jié)構(gòu)變形重構(gòu)研究主要集中在梁和板等結(jié)構(gòu)上，對(duì)于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)如空間桁架的變形重構(gòu)研究非常少。文獻(xiàn)[15]研究了簡(jiǎn)單三維框架結(jié)構(gòu)的變形監(jiān)測(cè)問題；文獻(xiàn)[16]利用光纖傳感器基于Ko位移理論和結(jié)構(gòu)的變形曲率研究了桁架式支撐臂結(jié)構(gòu)的變形監(jiān)測(cè)問題；文獻(xiàn)[17]研究了空間桁架結(jié)構(gòu)的變形監(jiān)測(cè)，但該研究主要針對(duì)桁架結(jié)構(gòu)中橫桿結(jié)構(gòu)進(jìn)行了變形監(jiān)測(cè)，沒有解決空間桁架結(jié)構(gòu)作為一個(gè)整體的復(fù)雜變形反演問題，工程實(shí)用性不強(qiáng)。本文將空間桁架的整體結(jié)構(gòu)作為研究對(duì)象，利用iFEM的原理提出了一種適用于大型空間桁架結(jié)構(gòu)整體變形監(jiān)測(cè)的方法。

1 桁架結(jié)構(gòu)分析

桁架是由桿件通過鉸接的方式連接起來的桿系結(jié)構(gòu)。通常桁架結(jié)構(gòu)只在其節(jié)點(diǎn)處承受外部載荷，在桁架中各桿件發(fā)生軸向拉伸和壓縮變形而不發(fā)生彎曲變形。因此在實(shí)際應(yīng)用中可以沿桿件的軸向在其表面粘貼應(yīng)變傳感器以測(cè)量結(jié)構(gòu)的應(yīng)變，傳感器安裝如圖2所示。

圖2 應(yīng)變傳感器安裝示意圖

航天器的外伸結(jié)構(gòu)大量采用空間桁架，由于飛行器的質(zhì)量遠(yuǎn)大于桁架質(zhì)量，在力學(xué)分析時(shí)，可以把桁架結(jié)構(gòu)與航天器連接的一端的邊界條件設(shè)為固支，同時(shí)將桁架上搭載的其他設(shè)備簡(jiǎn)化成等效集中質(zhì)量加載到桁架節(jié)點(diǎn)上[18-19]。

針對(duì)上述分析，本文利用有限元及iFEM分析空間桁架結(jié)構(gòu)的變形時(shí)采用了空間桿單元，同時(shí)桁架結(jié)構(gòu)的邊界條件設(shè)置為單端固支，在結(jié)構(gòu)另一端的節(jié)點(diǎn)上加載使其發(fā)生形變。

2 桁架結(jié)構(gòu)變形監(jiān)測(cè)方法研究

利用iFEM的原理重構(gòu)空間桁架結(jié)構(gòu)的形變，首先需要構(gòu)造空間桿單元，建立桿單元的力學(xué)模型。其次利用最小二乘變分原理和有限元離散化方法將單元的剛度矩陣和載荷列陣表示成各桿單元的幾何屬性和單元應(yīng)變值的函數(shù)，各桿單元的幾何屬性和其在桁架結(jié)構(gòu)中的位置在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)之初就可以確定，而各桿單元的應(yīng)變值可以通過粘貼或埋入結(jié)構(gòu)中的應(yīng)變傳感器測(cè)量獲得。最后在全局坐標(biāo)系下組裝各單元的偽剛度矩陣和偽載荷列陣，結(jié)合結(jié)構(gòu)的邊界條件就可以求解出桁架結(jié)構(gòu)的位移矩陣。

iFEM借鑒了有限元求解力學(xué)問題的方法，所不同的是利用iFEM求解結(jié)構(gòu)位移場(chǎng)的過程無需知道結(jié)構(gòu)的材料屬性和受載情況的先驗(yàn)知識(shí)，而是利用傳感器測(cè)得的結(jié)構(gòu)的應(yīng)變信息來求解結(jié)構(gòu)的位移場(chǎng)。利用iFEM的原理能夠?qū)崿F(xiàn)以應(yīng)變傳感器來監(jiān)測(cè)結(jié)構(gòu)的變形的目的。利用所提方法監(jiān)測(cè)桁架結(jié)構(gòu)的變形，僅需桁架結(jié)構(gòu)中桿件的尺寸和布局信息即可建立iFEM的計(jì)算模型，在此基礎(chǔ)上結(jié)合各桿件的應(yīng)變值即可重構(gòu)結(jié)構(gòu)的變形情況。

2.1 構(gòu)造逆桿單元

桁架結(jié)構(gòu)中的力學(xué)單元是僅受軸力的桿單元，因此建立如圖3所示的逆桿單元。該逆單元有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)Node 1和Node 2。在局部坐標(biāo)系Ox中，該桿單元的節(jié)點(diǎn)位移可以用沿軸向的位移x表示。在空間全局坐標(biāo)系Oxyz中，桿單元每個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移可以用沿3個(gè)坐標(biāo)軸方向的3個(gè)分量u,v,w來表示，因此在全局坐標(biāo)系下，桿單元每個(gè)節(jié)點(diǎn)有3個(gè)自由度。

圖3 逆桿單元示意圖

(1)

式中，x1,x2分別為逆單元兩個(gè)節(jié)點(diǎn)Node 1和Node 2處沿軸向的位移。

qe=[u1,v1,w1,u2,v2,w2]T

(2)

式中，u1,v1,w1和u2,v2,w2分別為逆單元在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)Node 1和Node 2處沿3個(gè)坐標(biāo)軸方向的位移。

設(shè)桿單元的軸線在全局坐標(biāo)系中的3個(gè)方向余弦分別為:

(3)

式中，(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)為桿單元兩個(gè)節(jié)點(diǎn)Node 1和Node 2的坐標(biāo)，l為桿單元的長(zhǎng)度且有：

(4)

則有：

(5)

式中,L為坐標(biāo)變換矩陣且有：

(6)

根據(jù)有限元理論，桿單元在局部坐標(biāo)系中的位移場(chǎng)可以表示為：

(7)

式中，N(x)為單元的形函數(shù)矩陣且有：

(8)

根據(jù)胡克定律，桿單元的應(yīng)變可以表示為：

(9)

式中，B(x)為逆單元的幾何矩陣，且有：

(10)

2.2 求解逆桿單元的偽剛度矩陣

設(shè)由應(yīng)變傳感器或由有限元軟件仿真得到桿件的應(yīng)變值為εe，理論應(yīng)變值為ε，由此可以得到理論值與測(cè)量值的誤差函數(shù)為:

(11)

令誤差函數(shù)的函數(shù)值達(dá)到最小，通過將誤差函數(shù)Φ(ε,εe)對(duì)位移列陣qe求偏導(dǎo)導(dǎo)并令偏導(dǎo)數(shù)等于0有:

(12)

化簡(jiǎn)整理可得逆單元的偽剛度方程為:

Keqe=Pe

(13)

式中,

Ke=B(ξ)TB(ξ)

Pe=B(ξ)Tεe

(14)

Ke稱為逆單元的偽剛度矩陣，Pe稱為逆單元的偽載荷列陣。將公式(9)代入公式(13)可以得到在局部坐標(biāo)系Ox下逆單元的偽剛度矩陣和偽載荷列陣分別為:

(15)

(16)

2.3 組裝各逆單元的偽剛度矩陣和偽載荷列陣

因?yàn)榭臻g桁架結(jié)構(gòu)需要在全局坐標(biāo)系中描述，因此局部坐標(biāo)系下各量還需要通過坐標(biāo)變換矩陣L轉(zhuǎn)換到全局坐標(biāo)系下才能進(jìn)行后續(xù)的偽剛度矩陣和偽載荷列陣的組裝。在全局坐標(biāo)系Ouvw下逆單元i的偽剛度矩陣和偽載荷列陣分別為:

(17)

(18)

從公式(17)和公式(18)可以看出桁架結(jié)構(gòu)的偽剛度矩陣僅和組成桁架結(jié)構(gòu)的各桿件的幾何屬性及各桿件在桁架結(jié)構(gòu)中的位置有關(guān)，偽載荷列陣僅和桿件的幾何屬性及桿件的應(yīng)變值有關(guān)，而與桿件的材料屬性和受載荷情況無關(guān)。

Kq=P

(19)

2.4 施加邊界條件及求解結(jié)構(gòu)的位移場(chǎng)

設(shè)桁架結(jié)構(gòu)的邊界約束條件為C，聯(lián)立桁架結(jié)構(gòu)的整體偽剛度方程(19)和邊界條件C可得矩陣方程:

(20)

通過求解該矩陣方程即可得到桁架結(jié)構(gòu)發(fā)生形變后的位移矩陣q，由此實(shí)現(xiàn)了利用應(yīng)變傳感器監(jiān)測(cè)桁架結(jié)構(gòu)的形變的目的。

利用所提方法監(jiān)測(cè)桁架結(jié)構(gòu)的變形，首先建立結(jié)構(gòu)的逆有限元計(jì)算模型。具體包括結(jié)構(gòu)的偽剛度矩陣和偽載荷列陣，其可通過結(jié)構(gòu)中各桿件的尺寸和位置信息利用公式(17)和公式(18)求得。其次在工程應(yīng)用中，可以將應(yīng)變傳感器沿軸向粘貼于桿件表面測(cè)量其應(yīng)變值。最后利用各桿件的應(yīng)變值及結(jié)構(gòu)的逆有限元計(jì)算模型求解出桁架結(jié)構(gòu)的變形。

3 仿真研究

3.1 利用有限元軟件獲取結(jié)構(gòu)應(yīng)變

圖4 空間桁架結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)編號(hào)示意圖

表1 各節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)

表2 各桿件的編號(hào)

在建立好空間桁架結(jié)構(gòu)的幾何模型并設(shè)置好桿件材料屬性的各項(xiàng)數(shù)據(jù)后需要設(shè)置桁架結(jié)構(gòu)的邊界條件并且施加載荷。將節(jié)點(diǎn)1、2、3、4設(shè)置為固定端，在節(jié)點(diǎn)35和36處沿x軸方向加載1 000 N的力使桁架結(jié)構(gòu)發(fā)生形變，桁架結(jié)構(gòu)變形后的形狀見圖5(a)，為了使得變形更明顯，圖中桁架結(jié)構(gòu)的各節(jié)點(diǎn)的位移均放大了4倍。利用Comsol軟件計(jì)算得到桁架結(jié)構(gòu)變形后桿件i的應(yīng)變值為εi(i=1,…,100)。

3.2 利用iFEM方法重構(gòu)結(jié)構(gòu)的變形

將桁架結(jié)構(gòu)的每根桿件劃分為一個(gè)逆單元，對(duì)于逆單元i(i=1,…,100)按照公式(10)可以分別求出其偽剛度矩陣和偽載荷列陣為：

(21)

(22)

在求得各單元的偽剛度矩陣和偽載荷列陣后分別將其組裝為桁架結(jié)構(gòu)總的偽剛度矩陣[K]108×108和總的為載荷列陣[P]1×108。該桁架結(jié)構(gòu)上的節(jié)點(diǎn)1、2、3、4為固定端，因此在這4個(gè)節(jié)點(diǎn)上其3個(gè)方向的位移皆為0，相應(yīng)的其邊界條件為:

(23)

3.3 加噪聲后的重構(gòu)精度

利用光纖應(yīng)變傳感器或者電類傳感器測(cè)量結(jié)構(gòu)的應(yīng)變都存在測(cè)量誤差，為了評(píng)估該形變重構(gòu)算法在存在較大噪聲下的精度，采用人為添加噪聲的方法以模擬傳感器在測(cè)量結(jié)構(gòu)應(yīng)變時(shí)存在測(cè)量誤差的情況。由軟件計(jì)算得到的各桿件的應(yīng)變?yōu)棣舏(i=1,…,100)，對(duì)其加±5%的噪聲，則各桿件帶有隨機(jī)噪聲的應(yīng)變值為:

(24)

圖5 加噪聲后iFEM重構(gòu)桁架變形圖

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

4.1 利用iFEM方法重構(gòu)結(jié)構(gòu)形變的精度分析

利用Comsol軟件仿真及利用iFEM方法重構(gòu)得到空間桁架結(jié)構(gòu)變形后節(jié)點(diǎn)的位移見圖6。根據(jù)結(jié)構(gòu)的變形特點(diǎn)，圖中標(biāo)注了節(jié)點(diǎn)2、6、10、14、18、22、26、30和34處沿x軸方向的位移值，從圖中可以看出利用iFEM方法重構(gòu)出的位移和利用Comsol軟件仿真得到的位移值相近，重構(gòu)算法有較高的精度。

圖6 利用軟件仿真及iFEM重構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移圖

4.2 加噪聲后利用iFEM重構(gòu)結(jié)構(gòu)形變的精度分析

利用有限元軟件可以仿真計(jì)算得到了桁架結(jié)構(gòu)變形后各桿件的應(yīng)變值，但是在實(shí)際應(yīng)用中由傳感器測(cè)量結(jié)構(gòu)的應(yīng)變過程中都存在誤差，因此對(duì)于有限元仿真得到的各桿件的應(yīng)變值加入隨機(jī)噪聲，研究在應(yīng)變值存在誤差的情況下利用iFEM方法重構(gòu)結(jié)構(gòu)形變的精度。

桁架結(jié)構(gòu)在自由端的形變量較大，因此選取靠近自由端的節(jié)點(diǎn)34沿x軸方向的位移量，研究在加入隨機(jī)噪聲后iFEM的重構(gòu)精度。對(duì)于由Comsol軟件仿真得到的各桿件的應(yīng)變值加入±5%的隨機(jī)噪聲并重復(fù)計(jì)算1 000次。1 000次重構(gòu)實(shí)驗(yàn)中節(jié)點(diǎn)34沿x軸方向的位移值見圖7，從圖中可以看出，在應(yīng)變值存在較大噪聲的情況下利用iFEM重構(gòu)出的節(jié)點(diǎn)34沿x軸方向的位移值分布在Comsol仿真值的附近，且誤差整體較小。

圖7 加噪聲后iFEM形變重構(gòu)誤差直方圖

重復(fù)1 000次重構(gòu)實(shí)驗(yàn)的誤差直方圖見圖8，從圖中可以看出誤差基本上分布在±3%的范圍內(nèi)。在給應(yīng)變值加±5%的噪聲后，利用iFEM方法重構(gòu)結(jié)構(gòu)的變形依然有較高的精度。

圖8 加噪聲后iFEM重構(gòu)誤差直方圖

5 結(jié)束語

本文以航天器上大型空間桁架結(jié)構(gòu)作為研究對(duì)象，基于iFEM原理提出了一種適用于復(fù)雜桁架結(jié)構(gòu)的高精度變形監(jiān)測(cè)方法。以桁架結(jié)構(gòu)變形后各桿件的應(yīng)變?yōu)檩斎?，利用該方法可?shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)變形的重構(gòu)，此過程中不需了解結(jié)構(gòu)的材料屬性和受載情況，工程實(shí)用性較強(qiáng)。通過有限元仿真對(duì)該方法進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明所提方法對(duì)大型空間桁架結(jié)構(gòu)的形變重構(gòu)精度高，抗噪聲能力強(qiáng)，在航天器上具有廣闊的應(yīng)用前景。