張桐松，邵雪卷，張井崗，趙志誠，陳志梅

(太原科技大學(xué)電子信息工程學(xué)院，山西 太原 030024)

0 引言

橋式吊車屬于典型的非線性欠驅(qū)動(dòng)設(shè)備，被廣泛應(yīng)用于工業(yè)、港口、建筑工地、露天倉庫等場合，執(zhí)行貨物的運(yùn)輸。對(duì)于橋式吊車系統(tǒng)的定位防擺控制，一般采用狀態(tài)反饋的方法實(shí)現(xiàn)[1-4]。其狀態(tài)信息通常經(jīng)過傳感器直接測量得到。但在實(shí)際工作現(xiàn)場，吊車系統(tǒng)的小車速度及擺角速度等信號(hào)不容易直接測量。即使可測，也摻雜著大量的噪聲，且安裝速度傳感器也會(huì)增加硬件的成本。

為了解決橋式吊車狀態(tài)信息難以測量的問題，國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了一系列研究。崔建偉等[5]和鐘斌等[6]針對(duì)實(shí)際工程中擺角與擺角角速度信息難以測量的問題，利用小車位置信息設(shè)計(jì)了全維線性狀態(tài)觀測器。曾少航等[7]針對(duì)吊車吊重系統(tǒng)設(shè)計(jì)了降維觀測器，用可測的小車位移和速度信息估計(jì)出擺角與擺角角速度信息。以上文獻(xiàn)均基于線性化模型構(gòu)建觀測器。一旦系統(tǒng)狀態(tài)遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)，所設(shè)計(jì)的觀測器便會(huì)失效。因此，根據(jù)非線性模型設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測器更符合工程實(shí)際需要。

鐘斌等[8]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能對(duì)任意函數(shù)逼近的原理，以吊重?cái)[角變量作為可測輸入，設(shè)計(jì)了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)觀測器。杜鵬等[9]以擺角信息作為可測輸入量，針對(duì)吊車吊重?cái)[角子系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器。但這兩種方法沒有同時(shí)觀測小車的位置與速度信息。為此，F(xiàn)eng等[10]和鐘斌等[11]以小車位置信息為輸入，分別設(shè)計(jì)了不同形式的擴(kuò)張狀態(tài)觀測器，成功估計(jì)了吊車系統(tǒng)的狀態(tài)。

以上文獻(xiàn)都是橋式吊車在定繩長情況下觀測器的構(gòu)建問題。在工程實(shí)際中，當(dāng)小車水平運(yùn)動(dòng)和負(fù)載升降同時(shí)進(jìn)行時(shí)，上述方法的狀態(tài)估計(jì)偏差漸近收斂時(shí)間都會(huì)增大，甚至有可能發(fā)散。為了解決這個(gè)問題，本文給出了一種橋式吊車系統(tǒng)在繩長變化時(shí)非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的設(shè)計(jì)方法，用于重構(gòu)橋式吊車系統(tǒng)的狀態(tài)。仿真結(jié)果證明了該觀測器的可行性和有效性。

1 模型描述

實(shí)際橋式吊車系統(tǒng)比較復(fù)雜。一般假設(shè)吊車系統(tǒng)滿足以下條件。

①鋼絲吊繩質(zhì)量相對(duì)于負(fù)載質(zhì)量可以忽略不計(jì)，吊繩的剛度足夠大。

②負(fù)載只在二維平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且被看成一個(gè)無體積的質(zhì)點(diǎn)。

③小車和地面之間的摩擦力與速度成正比。

④忽略小車與吊繩連接處的摩擦力。

二維橋式吊車系統(tǒng)物理模型如圖1所示。

圖1 二維橋式吊車系統(tǒng)物理模型Fig.1 Physical model of two-dimensional overhead crane system

圖1中：M為橋吊系統(tǒng)的小車質(zhì)量；小車在驅(qū)動(dòng)電機(jī)的水平驅(qū)動(dòng)力fx的作用下沿X軸方向運(yùn)動(dòng)；fr為小車運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的摩擦力；μ為摩擦系數(shù)；fd為小車所受到的外部干擾；m為負(fù)載質(zhì)量；負(fù)載在升降電機(jī)的驅(qū)動(dòng)力fl的作用下沿Y軸方向運(yùn)動(dòng)；l為吊繩長度，負(fù)載通過吊繩與小車相連；小車在運(yùn)動(dòng)的過程中會(huì)造成負(fù)載擺動(dòng)，擺角幅度用θ表示。

由拉格朗日方程可得含有擾動(dòng)的二維變繩長橋式吊車系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，為：

(1)

將q=[xlθ]T選作廣義坐標(biāo)向量，則可將式(1)表示為以下矩陣形式：

(2)

標(biāo)稱值矩陣為：

(3)

(4)

G0(q)=[0 -mgcosθmglsinθ]T

(5)

控制向量為：

U=[fxfl0]T

(6)

外部干擾向量為：

(7)

式(2)可進(jìn)一步改寫為：

(8)

(9)

2 擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的設(shè)計(jì)

(10)

基于式(10)的非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)為：

(11)

式(11)的非線性函數(shù)定義為：

(12)

其中：

(13)

式中：E1i為估計(jì)誤差向量e1的第i個(gè)分量，E11為小車位置的估計(jì)誤差，E12為吊繩長度的估計(jì)誤差，E13為負(fù)載擺角的估計(jì)誤差，0<α<1。

假設(shè)：總擾動(dòng)D(t)及其導(dǎo)數(shù)h(t)都是有界的。

(14)

在參數(shù)滿足一定條件的情況下，擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的輸出量將在有限時(shí)間收斂至實(shí)際狀態(tài)的鄰域內(nèi)。關(guān)于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的收斂性證明，詳見文獻(xiàn)[12]中的推論2.1。

(15)

如果|E1i|≤1、|E2i|≤1、|E3i|≤1，則估計(jì)誤差可以表示為:

(16)

如果|E1i|>1、|E2i|>1、|E3i|>1，則估計(jì)誤差可以表示為:

(17)

3 仿真研究

為了驗(yàn)證本文方法的可行性，在Matlab/Simulink中對(duì)所設(shè)計(jì)的非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器進(jìn)行仿真，并與線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的估計(jì)效果進(jìn)行比較。

橋吊模型的相關(guān)仿真參數(shù)如下：小車質(zhì)量M=6.16 kg，負(fù)載質(zhì)量m=1 kg，重力加速度g=9.81 m/s2，摩擦力系數(shù)μ=20.37。為了保證擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的漸近穩(wěn)定性，觀測器增益取L1=L2=L3=diag[3 3 1]，非線性函數(shù)的參數(shù)α1=α=0.7、α2=0.4、α3=0.1、r=70。小車驅(qū)動(dòng)力fx=1 N。吊繩驅(qū)動(dòng)力fl=1 N。系統(tǒng)的初始狀態(tài)設(shè)計(jì)為(0,0.4,1.7,0,0,0)。擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的初始狀態(tài)為(0,0,0,0,0,0)。系統(tǒng)內(nèi)部的參數(shù)攝動(dòng)是通過增加橋吊模型參數(shù)值的10%來實(shí)現(xiàn)的。橋吊系統(tǒng)受到的慢時(shí)變外部干擾fd取值為：

(18)

圖2給出了非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器在慢時(shí)變擾動(dòng)下，系統(tǒng)狀態(tài)的非線性估計(jì)曲線及誤差曲線。圖2中，系統(tǒng)狀態(tài)的實(shí)際值曲線用黑色實(shí)線表示，估計(jì)曲線用黑色虛線表示，誤差曲線用黑色點(diǎn)劃線表示。

圖2 系統(tǒng)狀態(tài)的非線性估計(jì)曲線及誤差曲線Fig.2 Nonlinear estimation curves and error curves of system state

為了進(jìn)一步說明本文所給出的非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的有效性，下面給出線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的仿真結(jié)果。用于觀測橋吊系統(tǒng)(8)狀態(tài)的線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)為：

(19)

線性擴(kuò)張觀測器(19)選取與非線性擴(kuò)張觀測器(11)相同的參數(shù)值。

系統(tǒng)狀態(tài)的線性估計(jì)曲線及誤差曲線如圖3所示。

圖3 系統(tǒng)狀態(tài)的線性估計(jì)曲線及誤差曲線Fig.3 Linear estimation curves and error curves of system state

將圖2(a)、圖2(b)、圖2(c)、圖2(e)與圖3(a)、圖3(b)、圖3(c)、圖3(e)進(jìn)行對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的線性部分與線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的仿真結(jié)果基本相同。從圖2(d)和圖3(d)的比較中可以看出，在繩長變化速度上，非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的估計(jì)值超調(diào)量明顯小于線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的。對(duì)于擺角角速度的估計(jì)，圖2(f)的估計(jì)峰值不超過19°/s，而圖3(f)的角速度估計(jì)峰值接近87°/s，且可從其誤差曲線觀察到輕微振蕩，說明非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的估計(jì)效果優(yōu)于線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器。盡管線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的收斂時(shí)間短，即快速性優(yōu)于非線性擴(kuò)張觀測器，但它的估計(jì)峰值過高，使用到控制器中會(huì)產(chǎn)生更為不利的影響。綜合來說，所設(shè)計(jì)的非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器更能滿足實(shí)際需求。

4 結(jié)論

本文利用小車位置和負(fù)載擺角等測量信息設(shè)計(jì)非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器，合理選取觀測器參數(shù)，使觀測器能以有限時(shí)間和微小誤差對(duì)橋吊系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)，從而解決了吊繩繩長變化時(shí)狀態(tài)收斂時(shí)間長以及擾動(dòng)估計(jì)偏差大的問題。在相同條件下，非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的收斂過程更為平緩，沒有出現(xiàn)高頻的振蕩，估計(jì)性能和抗擾性能也比線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器更為實(shí)用。仿真結(jié)果表明，橋吊系統(tǒng)狀態(tài)在0.3 s內(nèi)可得到準(zhǔn)確估計(jì)值，觀測器設(shè)計(jì)合理且有效。